William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyznaczać częstość kątową oscylacji w obwodzie zawierającym opór, indukcyjność własną i pojemność (RLC);
odnosić drgania obwodu RLC do oscylatora harmonicznego z tłumieniem.

Obwód RLC (ang. RLC circuit) otrzymamy, jeśli rozważania z poprzedniej sekcji rozszerzymy o uwzględnienie skończonego oporu w obwodzie. Przyjmiemy, że opór podłączonych do obwodu urządzeń oraz przewodów tworzących połączenia możemy reprezentować w postaci pojedynczego opornika o oporze $R$ . Powoduje on rozpraszanie energii z szybkością $i^{2} R$ po zamknięciu obwodu przedstawionego schematycznie na Ilustracji 14.17 (a). Uprzednio naładowany kondensator zaczyna się rozładowywać. Zmiany zmagazynowanej w obwodzie energii opisuje równanie

\frac{\d E_{\text{cał}}}{\d t} = \frac{q}{C} \cdot \frac{\d q}{\d t} + L i \frac{\d i}{\d t} = - i^2 R \text{,}

14.42

gdzie $i$ oraz $q$ zależą od czasu. Uprościmy nieco powyższy zapis

L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{1}{C} q = 0 .

14.43

Rysunek a jest obwodem z kondensatorem, induktorem i rezystorem połączonych ze sobą szeregowo. Są one również połączone szeregowo z przełącznikiem, który jest otwarty. Rysunek b przedstawia wykres ładunku w stosunku do czasu. Ładunek ma maksymalną wartość, q0, w czasie t=0. Krzywa jest podobna do fali przypominającej sinusoidę, która redukuje amplitudę aż do wartości zerowej.

Ilustracja 14.17 (a) Obwód RLC. Oscylacje elektromagnetyczne mają swój początek w momencie zamknięcia obwodu. Zakładamy, że początkowo kondensator jest w pełni naładowany. (b) Zachowanie tłumionych oscylacji ładunku na kondensatorze

q (t)

. Początkowy ładunek wynosi

q_{0}

.

To równanie jest analogiczne do równania ruchu masy zawieszonej na sprężynie z uwzględnieniem tłumienia

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0 .

14.44

Z tym równaniem po raz pierwszy spotkaliśmy się w rozdziale Drgania. Zobaczyliśmy tam, że rozwiązania mogą przyjmować trzy postacie, zależnie od wartości częstości kątowej nietłumionej sprężyny względem $b ∕ 2 m$ . Układ może być tłumiony słabo ( $\sqrt{k ∕ m} > b ∕ 2 m$ ), krytycznie ( $\sqrt{k ∕ m} = b ∕ 2 m$ ) albo silnie ( $\sqrt{k ∕ m} < b ∕ 2 m$ ). Podstawiając $L$ za $m$ , $R$ za $b$ , $1 ∕ C$ za $k$ i $q$ za $x$ w Równaniu 14.44, przy założeniu $\sqrt{1 ∕ L C} > R ∕ 2 L$ otrzymujemy

q (t) = q_{0} e^{- R t ∕ 2 L} \cdot cos (ω^{'} t + ϕ),

14.45

gdzie częstość kątowa drgań dana jest wzorem

ω^{'} = \sqrt{\frac{1}{L C} - {(\frac{R}{2 L})}^{2}} .

14.46

Rozwiązanie odpowiadające słabemu tłumieniu przedstawione jest na Ilustracji 14.17 (b). Amplituda oscylacji zmniejsza się, gdyż energia rozpraszana jest na oporniku. Doświadczalnego potwierdzenia można dokonać, mierząc napięcie na kondensatorze w różnych chwilach czasu. Napięcie pomnożone przez pojemność da nam $q (t)$ .

Materiały pomocnicze

Wypróbuj interaktywny generator obwodów (w języku angielskim) pozwalający na śledzenie zmian natężenia prądu i napięcia w czasie. Za jago pomocą możesz tworzyć obwody RLC o dowolnej topografii ze źródłami prądu stałego i zmiennego.

Materiały pomocnicze

Przejrzyj stronę zawierającą interaktywny applet Java (w języku angielskim), za pomocą którego będziesz mógł ćwiczyć rozwiązywanie zadań z obwodami prądu.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.11

W obwodzie RLC $L = 5 mH$ , $C = 6 µF$ i $R = 200 Ω$ .

Określ, czy obwód jest tłumiony słabo, krytycznie czy silnie;
Jeśli początkowy ładunek na kondensatorze wynosi $3 \cdot 10^{- 3} C$ , jak dużo energii rozproszy się na oporniku do momentu wygaśnięcia oscylacji?

14.6 Obwody RLC