15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego

W obwodzie RLC zawierającym szeregowo połączony opornik, kondensator, cewkę indukcyjną jak i zasilanym zmienną w czasie źródłem napięciowym jak jest to przedstawione na Ilustracji 15.11 amplituda natężenia prądu elektrycznego wynosi wg Równania 15.10

Jeśli będziemy zmieniać częstotliwość źródła, jednocześnie utrzymując stałą amplitudę napięcia prądu, uzyskamy zmianę natężenia prądu elektrycznego w obwodzie. Wykres $I_0$ w funkcji $\omega$ przedstawiono na Ilustracji 15.17.

Ilustracja 15.17 Dla częstotliwości rezonansowej obwodu RLC (${\omega }_0=\sqrt{1∕\left(LC\right)}$) amplituda natężenia prądu osiąga maksymalną wartość.

Zauważmy, że w sytuacji $R=0\mathrm{\Omega }$ (nierealnej fizycznie, bo zawsze istnieje jakiś niezerowy opór elektryczny w układzie) możemy mieć nieskończenie wielki przepływ prądu dla ${\omega }_0=\sqrt{1∕\left(LC\right)}$. Taka sytuacja będzie zachodziła, gdy siła elektromotoryczna mająca kołową częstość ${\omega }_0$ będzie „pompować” energię do obwodu RLC (będzie systematycznie zwiększała się energia pola elektrycznego i magnetycznego) o częstości rezonansowej ${\omega }_0$ tak, że natężenie prądu elektrycznego będzie stale rosnąć i osiągnie wartość nieskończoną (w praktyce bardzo dużą), co doprowadzi do zniszczenia obwodu. Warto tutaj odwołać się do analogii pomiędzy oscylatorem harmonicznym tłumionym a obwodem RLC z zewnętrzną siłą elektromotoryczną SEM będącą w istocie sinusoidalną (harmoniczną) siłą wymuszającą i odpowiadającą sinusoidalnej sile wymuszającej w oscylatorze mechanicznym. Możemy również rozważać niesinusoidalną siłę wymuszającą i wtedy należy pamiętać, że niesinusoidalną funkcję można zasadniczo skonstruować poprzez sumę sinusoidalnych funkcji.

W rozdziale Drgania natknęliśmy się na podobny wykres jak w przypadku obwodu RLC i Ilustracji 15.17, gdzie przedstawiono amplitudę tłumionego oscylatora harmonicznego w zależności od częstotliwości sinusoidalnej siły napędzającej (patrz Drgania wymuszone). To podobieństwo nie jest przypadkowe. Jak przedstawiono wcześniej, przez zastosowanie drugiego prawa Kirchhoffa do obwodu z Ilustracji 15.11

albo

gdzie za $i\left(t\right)$ podstawiliśmy $dq\left(t\right)∕dt$. Równanie 15.16 i równania dla tłumionego ruchu harmonicznego (Drgania tłumione) pozwalają łatwo zauważyć, że zasilony obwód RLC jest elektrycznym odpowiednikiem napędzanego, tłumionego oscylatora harmonicznego.

Częstotliwość rezonansowa $f_0$ (ang. resonant frequency) obwodu RLC to taka częstotliwość, dla której amplituda natężenia prądu osiąga swoje maksimum, a obwód oscylowałby również po usunięciu generatora. Odpowiada to takiej częstości ${\omega }_0=2\pi f_0$, dla której impedancja $Z$ z Równania 15.15 osiąga swoje minimum, albo sytuacji, kiedy

z czego wynika, że

Jest to wyrażenie opisujące rezonansową częstość kołową obwodu. Podstawiając ${\omega }_0$ do Równania 15.9, Równania 15.10 i Równania 15.11, otrzymujemy

Oznacza to, że w warunkach rezonansu obwód RLC jest czysto rezystywny, z przyłożoną SEM i natężeniem prądu zgodnymi w fazie.

Co w takim razie dzieje się z mocą w rezonansie? Równanie 15.14 opisuje, jak średnia moc przesyłana z generatora napięcia zmiennego do obwodów RLC zależy od częstotliwości. Ponadto $P_{\text{śr}}$ osiąga maksimum wtedy, kiedy $Z$, zależące od częstotliwości, osiąga minimum, czyli kiedy $X_L=X_C$ i $Z=R$. Oznacza to, że w rezonansie średnia moc wytwarzana przez źródło w szeregowym układzie RLC osiąga maksymalną wartość. Według Równania 15.14 to maksimum równe jest natomiast $U_{\text{sk}}^2∕R$.

Ilustracja 15.18 to typowy wykres zależności $P_{\text{śr}}$ od $\omega$ w obszarze maksimum mocy. Szerokość pasma (ang. bandwidth) $\Delta \omega$ piku rezonansowego jest zdefiniowana jako zakres częstości kołowych $\omega$, dla których średnia moc $P_{\text{śr}}$ jest większa niż połowa maksymalnej wartości $P_{\text{śr}}$. Stromość piku opisywana jest przy pomocy wielkości niemianowanej nazywanej dobrocią (ang. quality factor) $Q$ obwodu. Jest ona miarą tego, jak długo układ RLC może przechowywać zgromadzoną energię w postaci energii pola elektrycznego i energii pola magnetycznego czyli ile cyklów drgań pola elektrycznego musi upłynąć by układ RLC stracił przechowywaną energię

gdzie ${\omega }_0$ jest rezonansową częstością kołową. Wysoka dobroć $Q$ wskazuje na stromy pik rezonansowy. Dobroć $Q$ zapisana za pomocą parametrów obwodu przyjmuje postać

Ilustracja 15.18 Podobnie jak natężenie prądu, średnia moc wydzielana w obwodzie RLC przez generator napięcia zmiennego osiąga amplitudę dla częstotliwości rezonansowej.

Układ RLC o nieskończenie małym oporze elektrycznym będzie miał będzie miał nieskończenie dużą dobroć oznaczaną literą $Q$ (będącą stosunkiem energii ulokowanej w statycznym polu elektrycznym do energii traconej w jednym cyklu) i wówczas będzie mógł przechowywać energię obecną w polu elektrycznym i magnetycznym (w kondensatorze i cewce) nieskończenie długo. Obwody rezonansowe są często używane jako filtry – do przepuszczania lub odrzucania („odfiltrowania”) wybranych zakresów częstotliwości. Energia z tych zakresów częstości trafia do obwodu RLC i tam ulega rozproszeniu. Osiąga się to poprzez zmianę wartości jednego z elementów, czyli przez „strojenie” obwodu do konkretnych częstotliwości rezonansowych. Na przykład w radiach odbiornik jest dostrojony do pożądanej stacji poprzez ustawienie częstotliwości rezonansowej obwodów radia do częstotliwości, na której nadaje ta stacja. Jeśli obwód filtrujący ma wysoką dobroć $Q$, będzie się on charakteryzował małą szerokością pasma, więc sygnał ze stacji o częstotliwościach nawet nieznacznie różnych od częstotliwości rezonansowej doświadczy wysokiej impedancji i nie zostanie przepuszczony przez obwód. Telefony komórkowe działają na podobnej zasadzie, korzystając z sygnałów o częstotliwościach wokół wartości $1\mathrm{GHz}$, dostrajanych za pomocą obwodów kondensator-cewka. Jednym z najczęstszych zastosowań kondensatorów jest użycie ich w zmiennoprądowych obwodach czasowych, pracujących dla częstotliwości rezonansowej. Detektory metalu również działają na zasadzie zmiany częstotliwości rezonansowej spowodowanej obecnością metalu w pobliżu obwodu (Ilustracja 15.19).

Ilustracja 15.19 Kiedy detektor znajduje się w pobliżu kawałka metalu, samoindukcja jednej z cewek ulega zmianie. To powoduje przesunięcie częstotliwości rezonansowej całego obwodu zawierającego tą cewkę. Zmiana jest wykrywana przez urządzenie i przesyłana do nurka przez słuchawki.