15.2 Proste obwody prądu zmiennego

Opornik

Na początek zanalizujmy opornik podłączony do źródła napięcia zmiennego. Z prawa Ohma wynika, że napięcie na oporze z Ilustracji 15.5 (a) wynosi

a natężenie prądu płynącego przez ten rezystor wynosi

Ilustracja 15.5 (a) Opornik podłączony do źródła napięcia zmiennego. (b) Wykresy natężenia prądu $i_R\left(t\right)$ płynącego przez opornik i napięcia $u_R\left(t\right)$ na nim. Obie wielkości są zgodne w fazie.

W tym przypadku $I_0=U_0∕R$ jest amplitudą zmiennego w czasie natężenia prądu. Wykresy $i_R\left(t\right)$ i $u_R\left(t\right)$ przedstawione zostały na Ilustracji 15.5 (b). Obie krzywe osiągają maksima i minima w tym samym czasie, a więc oznacza to, że natężenie prądu płynącego przez opornik i napięcie prądu na oporniku są zgodne w fazie.

Graficzne przedstawienie relacji fazowej pomiędzy natężeniem i napięciem prądu jest bardzo przydatne w analizie obwodów prądu zmiennego. Takie przedstawienie nazywane jest wykresem wskazowym (ang. phasor diagram). Wykres wskazowy dla $i_R\left(t\right)$ przedstawiony został na Ilustracji 15.6 (a) z natężeniem prądu odłożonym na osi pionowej $i$. Strzałka (nazywana wskazem) obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ze stałą prędkością kątową $\omega$, więc widoczna jest w jednej z chwil $t$. Jeśli długość wskazu odpowiada amplitudzie natężenia prądu $I_0$, to rzut obracającego się wskazu na oś pionową wynosi $i_R\left(t\right)=I_{0}sin\left(\omega t\right)$, co odpowiada wartości chwilowej natężenia prądu.

Ilustracja 15.6 Wykres wskazowy przedstawiający natężenie prądu płynącego przez opornik z Ilustracji 15.5. (b) Wykres wskazowy przedstawiający zarówno $i_R\left(t\right)$, jak i $u_R\left(t\right)$.

Oś pionowa wykresu wskazowego może reprezentować zarówno natężenie, jak i napięcie prądu, w zależności od wskazu, który właśnie analizujemy. Ponadto możliwe jest przedstawienie kilku wielkości na tym samym wykresie wskazowym. Przykładowo na Ilustracji 15.6 (b) pokazano natężenie prądu $i_R\left(t\right)$ oraz $u_R\left(t\right)$. Ponieważ obie wielkości mają tę samą częstotliwość i są zgodne w fazie, ich wskazy mają ten sam kierunek i zwrot i obracają się z jednakową prędkością. Ponieważ obie wielkości mają tę samą częstotliwość i są zgodne w fazie, ich wskazy mają ten sam kierunek, a także zwrot i obracają się z jednakową prędkością kątową. Obracające się ze stałą prędkością kątową wskazy są konstrukcją matematyczną. To co jest mierzalne doświadczalnie to ich rzut na oś rzeczywistą (taki rzut jest wartością rzeczywistą w dwuwymiarowym układzie współrzędnych reprezentującym wszystkie możliwe liczby zespolone $z=x+iy$, gdzie $i^2=-1$). Każdy wskaz wyraża liczbę zespoloną $z\left(t\right)=z_0\left[sin\left(\omega t-\alpha \right)+icos\left(\omega t-\alpha \right)\right]$, gdzie $z_0$, $\omega$ i $\alpha$ są stałymi o wartościach rzeczywistych, a $i$ to jednostka urojona, której kwadrat jest liczbą $-1$. Koncepcja obracającego się wskazu wyrażonego analitycznie przez liczbę zespoloną $z\left(t\right)$ jest po prostu innym sposobem przedstawienia drgań oscylatora harmonicznego, którego położenie jest sinusoidalnie zmiennie w czasie. Przykładowo można zauważyć, że obracający się pręt o długości $L$ w danej płaszczyźnie $x⁣y$ ze stałą prędkością kątową $\omega$ i zaczepiony w punkcie $\left(x=0,y=0\right)$ można reprezentować drgania masy na sprężynie, kiedy nie występuje tarcie ($x\left(t\right)=Lsin\left(\omega t-\alpha \right)$). Tak obracający się pręt jest wskazem $z\left(t\right)=L\left[sin\left(\omega t-\alpha \right)+icos\left(\omega t-\alpha \right)\right]$. Stosowanie wskazów niesienie ukryte założenie, że zakładany przebieg zmienności napięcia i natężenia prądu elektrycznego cechuje się periodycznością czyli okresowością. Oczywiście tak jest w układach AC.

Kondensator

W celu wygodnego przedstawienia zjawisk okresowych będziemy stosowali liczby zespolone. Liczby zespolone mogą być reprezentowane jako dwuwymiarowe wektory. Zakładając sinusoidalną zmienność prądu elektrycznego i napięcia definiujemy $I\left(\omega \right)=I_{0}exp\left[i\omega \left(t-t_0\right)\right]$ oraz $U\left(\omega \right)=U_{0}exp\left[i\omega \left(t-t_0\right)\right]$, gdzie $I_0$ to amplituda prądu elektrycznego będąca liczbą rzeczywistą, $t_0$ to pewna stała rzeczywista, $\omega$ to częstotliwość kołowa, a $U_0$ to amplituda napięcia będąca liczbą rzeczywistą. To, co mierzymy na przykład na oporniku, to część rzeczywista $I\left(\omega \right)$ oraz $U\left(\omega \right)$. W pewnym sensie koncepcja wskazów jest uogólnieniem prawa Ohma, gdzie natężenie prądu elektrycznego $I\left(\omega \right)$ (wyrażone przez wskaz) przepływającego przez dany element elektroniczny jest powiązane z napięciem $U\left(\omega \right)$ (wyrażonym przez wskaz) przyłożonym do tego elementu: $U\left(\omega \right)=Z\left(\omega \right)I\left(\omega \right)$. Tutaj $Z\left(\omega \right)$ jest impedancją będącą uogólnieniem oporności elektrycznej ($Z\left(\omega \right)=R$ w przypadku opornika o oporze elektrycznym $R$ i jest wyrażone liczbą zespoloną – posiada część rzeczywistą i urojoną). Jednak zarówno napięcie, jak i natężenie prądu są reprezentowane przez wskazy (dwuwymiarowe wektory, które są liczbami zespolonymi). Długości wskazów wyrażają amplitudę wielkości sinusoidalnie zmiennych. Jednak stosunek długości tych dwóch wskazów może zostać wyrażony przez rezystancję, ponieważ jeden z nich reprezentuje napięcie, a drugi natężenie prądu. Część rzeczywista ($\text{Re}$) impedancji to opór elektryczny ($R=Re\left(Z\right)$), a część urojona ($\text{Im}$) impedancji to reaktancja ($X=Im\left(Z\right)$).

Rozpatrzmy teraz obwód z kondensatorem (ang. capacitor) połączonym ze źródłem napięcia zmiennego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na kondensatorze z Ilustracji 15.7 (a) opisane jest jako

Pamiętamy, że ładunek zgromadzony w kondensatorze podlega zależności $Q=CU$. Jest ona prawdziwa dla każdej chwili w cyklu prądu zmiennego. Oznacza to, że chwilową wartość ładunku w kondensatorze da się opisać zależnością

Natężenie prądu w obwodzie z definicji jest miarą przepływu ładunku na jednostkę czasu, więc natężenie prądu może opisywać tempo opuszczania (lub pojawiania się) ładunku w kondensatorze

gdzie $I_0=\omega C{U}_0$ jest amplitudą natężenia prądu. Gdy zastosujemy zależność pomiędzy funkcją cosinus i sinus, czyli $cos\left(\omega t\right)=sin\left(\omega t+\pi ∕2\right)$, chwilowa wartość natężenia prądu przyjmuje postać

Poprzez podzielenie $U_0$ przez $I_0$ otrzymamy wyrażenie podobne do prawa Ohma

Wielkość $X_C$ jest odpowiednikiem rezystancji (oporu) w obwodzie prądu stałego w kontekście stosunku napięcia do natężenia prądu w obwodzie. W związku z tym obie te wielkości mają wspólną jednostkę om oznaczaną $\mathrm{\Omega }$ w odniesieniu do innych jednostek $1\mathrm{\Omega }=1\mathrm{V}∕1\mathrm{A}$ (jeden om to jeden wolt dzielony przez jeden amper). Pamiętaj jednak, że kondensator przechowuje i uwalnia energię elektryczną, podczas gdy opornik ją rozprasza. Wielkość $X_C$ nazywana jest reaktancją pojemnościową (ang. capacitive reactance), kapacytancją (ang. capacitance) lub oporem biernym pojemnościowym kondensatora. Jest ona odwrotnie zależna od częstotliwości źródła napięcia zmiennego – im wyższa częstotliwość, tym niższa reaktancja pojemnościowa i odwrotnie – im niższa częstotliwość, tym wyższa kapacytancja, co pozwala użyć kondensatora jako elementu odfiltrowującego składową stałą prądu elektrycznego.

Ilustracja 15.7 (a) Kondensator połączony szeregowo ze źródłem napięcia zmiennego. (b) Natężenie prądu $i_C\left(t\right)$ płynącego przez kondensator i napięcie prądu $u_C\left(t\right)$ na tym kondensatorze. Zauważ, że $i_C\left(t\right)$ „wyprzedza” $u_C\left(t\right)$ o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$.

Porównanie wyrażeń na $u_C\left(t\right)$ i $i_C\left(t\right)$ pozwala zauważyć, że występuje pomiędzy nimi przesunięcie fazowe o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$. Gdy obie te wielkości zostaną umieszone razem na wykresie wskazowym, widać, że natężenie prądu osiąga amplitudę ćwierć cyklu (lub $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$) wcześniej niż napięcie prądu. Pokazuje to Ilustracja 15.7 (b).

Ilustracja 15.8 Wykres wskazowy dla kondensatora z Ilustracji 15.7 (a). Wskaz natężenia prądu wyprzedza wskaz napięcia prądu o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$, ale oba nadal obracają się z jednakową prędkością kątową.

Do tej pory używaliśmy w naszych rozważaniach jedynie amplitud natężenia lub napięcia prądu ($I_0$ i $U_0$). Gdy spróbujemy wyliczyć średnią wartość natężenia lub napięcia prądu, wynikiem będzie wartość zerowa. Jednak w opisie natężenia i napięcia prądu często używana jest alternatywna wartość, nazywana wartością skuteczną (ang. root mean square value, rms). Proces wyliczania takiej wartości polega na wyliczeniu średniej kwadratowej, stąd jest to wartość niezerowa. Odbiorniki prądu zmiennego oznacza się zazwyczaj stosując wartości skuteczne, a nie amplitud. W dalszych rozważaniach wartości skuteczne oznaczane będą za pomocą indeksu dolnego „sk” tak jak np. $I_{\text{sk}}$.

Mimo że kondensator tak naprawdę przerywa obwód elektryczny (likwidując składową stałą prądu elektrycznego i pozostawiając składowe sinusoidalnie zmienne czyli z $I\left(t\right)=I_1+I_{0}sin\left(\omega t-\alpha \right)$ otrzymujemy $I\left(t\right)=I_{0}sin\left(\omega t-\alpha \right)$), natężenie skuteczne (ang. rms current) prądu pojawia się w obwodzie, zawierającym źródło napięcia zmiennego. Ma ono wartość

gdzie $I_0$ jest amplitudą natężenia prądu w rozważanym obwodzie. Napięcie skuteczne na danym kondensatorze (ang. rms voltage) w sytuacji sinusoidalnie zmiennego prądu wynosi

gdzie $U_0$ jest amplitudą napięcia w rozważanym obwodzie. Natężenie skuteczne pojawia się, ponieważ napięcie ciągle odwraca kierunki, ładując i rozładowując kondensator. W sytuacji, gdy częstotliwość płynącego prądu elektrycznego dąży do zera otrzymujemy napięcie stałe i wówczas $X_C$ dąży do nieskończoności, a wartość natężenia prądu elektrycznego będzie równa zero po naładowaniu się kondensatora. Dla bardzo wysokich częstotliwości reaktancja pojemnościowa kondensatora dąży do zera i nie opóźnia już przepływu prądu i możemy wówczas zapomnieć o istnieniu kondensatora zastępując go zwartym kablem w schemacie obwodowym.

Cewka

Ostatnim rozważanym elementem jest cewka podłączona do źródła napięcia zmiennego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na cewce (ang. inductor) $L$ z Ilustracji 15.9 (a) wynosi

Siła elektromotoryczna działająca na cewkę równa jest $\epsilon =-L\cdot d{i}_L\left(t\right)∕dt$ (co wyraża prawo Faradaya i przy założeniu, że strumień pol magnetycznego generowany przez cewkę jest proporcjonalny do wielkości natężenia przepływającego prądu elektrycznego). Spadek potencjału na cewce wynosi $u_L\left(t\right)=L\cdot d{i}_L\left(t\right)∕dt$, ponieważ suma napięć w całej pętli ma wynosić zero – napięcie wytworzone przez źródło musi zostać odłożone na cewce. Tym samym po podłączeniu cewki do źródła napięcia otrzymujemy

Ilustracja 15.9 (a) Cewka podłączona do źródła napięcia zmiennego. (b) Natężenie prądu $i_L\left(t\right)$ płynącego przez cewkę i napięcie $u_L\left(t\right)$ na niej. W tym przypadku $i_L\left(t\right)$ jest opóźnione względem $u_L\left(t\right)$ o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$.

Natężenie prądu $i_L\left(t\right)$ wyznacza się poprzez obustronne scałkowanie powyższego wyrażenia. Ponieważ obwód nie posiada żadnego źródła stałej siły elektromotorycznej, nie istnieje w nim stałe natężenie prądu. Dzięki temu możemy przyjąć stałą całkowania, odpowiadającą wartości stałoprądowego natężenia prądu w obwodzie, za zero. Tym samym otrzymujemy

gdzie $I_0=U_0∕\left(\omega L\right)$. Relacja pomiędzy $U_0$ a $I_0$ może również zostać zapisana w postaci analogicznej do prawa Ohma

Wielkość $X_L$ znana jest jako reaktancja indukcyjna (ang. inductive reactance), induktancja (ang. inductance) lub opór bierny indukcyjny cewki przed wywołany szybkością zmiany natężenia prądu elektrycznego w obwodzie wyrażone przez $\omega$. Jednostką impedancji indukcyjnej jest również om. Istotny jest tutaj fakt, że cewka przepuszcza jedynie składową stałą prądu elektrycznego w granicy dużych częstości $\omega$ (w tym sensie cewka ma własność odwrotną do cechy kondensatora, który przepuszcza składowe zmienne prądu elektrycznego i zatrzymuje składowe stałe prądu elektrycznego). Zauważmy, że $X_L$ jest liniowo zależne od częstotliwości źródła napięcia zmiennego – wysoka częstotliwość powoduje pojawienie się wysokiej reaktancji indukcyjnej.

Różnica fazy o wartości $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$ pojawia się pomiędzy natężeniem prądu płynącego przez cewkę i napięciem prądu odłożonym na cewce. Z Równania 15.6 i Równania 15.7 wynika, że natężenie prądu jest opóźnione względem napięcia na cewce o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$, czyli o ćwierć cyklu. Wykres wskazowy dla tego przypadku pokazuje Ilustracja 15.10.

Ilustracja 15.10 Wykres wskazowy dla cewki z Ilustracji 15.9. Wskaz natężenia prądu jest opóźniony względem wskazu napięcia o wartość $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$, ale oba nadal obracają się z jednakową prędkością kątową.