Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

15.2 Proste obwody prądu zmiennego

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 215.2 Proste obwody prądu zmiennego

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • interpretować wykresy wskazowe i stosować je do obwodów z opornikami, kondensatorami i cewkami;
  • definiować reaktancję rezystora, kondensatora i cewki w celu zrozumienia dokładnego zachowania prądu w każdym z tych elementów.

W tym podrozdziale zajmiemy się analizą prostych obwodów składających się ze źródła napięcia zmiennego podłączonego do trzech elementów: (1) opornika, (2) kondensatora i (3) cewki. Siła elektromotoryczna dostarczana przez źródło podana jest jako

u t = U 0 sin ω t , u t = U 0 sin ω t ,

jak przedstawiono na Ilustracji 15.4, przy założeniu, że zaczynamy rejestrację przebiegu w czasie t = 0 s t= 0 s dla u = 0 V u= 0 V . Możliwe jest również wprowadzenie stałej fazowej, która „przesunie” wykres funkcji w przypadku rozpoczęcia pomiarów w innym punkcie przebiegu. Jest to przypadek podobny do omawianego w rozdziale Fale. Ponieważ wolno nam jednak dokonywać pomiarów w dowolnym momencie, możemy na razie pominąć ten stały czynnik fazowy. Napięcie w obwodzie i na poszczególnych elementach może być określane z zastosowaniem dwóch metod: (1) podejścia analitycznego, opartego na naszej wiedzy na temat obwodów i elementów elektronicznych wyrażonej w równaniach różniczkowych, które należy rozwiązać otrzymując przebiegi napięcia i natężenia prądu elektrycznego co jest podejściem najogólniejszym, albo (2) podejścia schematycznego dla przebiegów okresowych prądu elektrycznego i napięcia (napięcie i natężenie prądu są tutaj funkcjami periodycznymi) wyrażonego graficznie przez wskazy, które objaśnione zostanie w kolejnych podrozdziałach.

Rysunek a przedstawia sinusoidę, której wartości maksymalne i minimalne wynoszą odpowiednio V0 i minus V0. Punkty na osi x, wskazane strzałką oznaczają wartości równe kolejnym wielokrotnościom jednego okresu i wynoszą kolejno 2pi przez omega, 4pi przez omega i 6 pi przez omega. Rysunek b przedstawia symbol stosowany do oznaczania napięcia prądu zmiennego.
Ilustracja 15.4 (a) Przebieg wyjściowy u t = U 0 sin ω t u t = U 0 sin ω t generatora napięcia zmiennego. (b) Symbol używany dla źródła napięcia zmiennego w schemacie elektrycznym.

Opornik

Na początek zanalizujmy opornik podłączony do źródła napięcia zmiennego. Z prawa Ohma wynika, że napięcie na oporze z Ilustracji 15.5 (a) wynosi

u R t = U 0 sin ω t , u R t = U 0 sin ω t ,

a natężenie prądu płynącego przez ten rezystor wynosi

i R t = u R t R = U 0 R sin ω t = I 0 sin ω t . i R t = u R t R = U 0 R sin ω t = I 0 sin ω t .
Rysunek a przedstawia obwód ze źródłem napięcia AC połączonym z opornikiem opornikiem. Źródło jest oznaczone V0 sinus omega t. Rysunek b pokazuje sinusoidalne krzywe będące wykresami napięcia AC i prądu w funkcji czasu, narysowane w tym samym układzie współrzędnych. Napięcie ma większą amplitudę niż natężenie prądu. Maksymalna wartość napięcia oznaczona jest V0 na osi y. Maksymalna wartość natężenia prądu oznaczona jest I0. Krzywa napięcia oznaczona jest jako V ze znakiem R nawias t nawias równe V0 sinus omega t. Krzywa natężenia prądu jest oznaczona i ze znakiem R nawias t nawias równe I0 sinus omega t.
Ilustracja 15.5 (a) Opornik podłączony do źródła napięcia zmiennego. (b) Wykresy natężenia prądu i R t i R t płynącego przez opornik i napięcia u R t u R t na nim. Obie wielkości są zgodne w fazie.

W tym przypadku I 0 = U 0 R I 0 = U 0 R jest amplitudą zmiennego w czasie natężenia prądu. Wykresy i R t i R t i u R t u R t przedstawione zostały na Ilustracji 15.5 (b). Obie krzywe osiągają maksima i minima w tym samym czasie, a więc oznacza to, że natężenie prądu płynącego przez opornik i napięcie prądu na oporniku są zgodne w fazie.

Graficzne przedstawienie relacji fazowej pomiędzy natężeniem i napięciem prądu jest bardzo przydatne w analizie obwodów prądu zmiennego. Takie przedstawienie nazywane jest wykresem wskazowym (ang. phasor diagram). Wykres wskazowy dla i R t i R t przedstawiony został na Ilustracji 15.6 (a) z natężeniem prądu odłożonym na osi pionowej i i. Strzałka (nazywana wskazem) obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ze stałą prędkością kątową ω ω, więc widoczna jest w jednej z chwil t t. Jeśli długość wskazu odpowiada amplitudzie natężenia prądu I 0 I 0 , to rzut obracającego się wskazu na oś pionową wynosi i R t = I 0 sin ω t i R t = I 0 sin ω t , co odpowiada wartości chwilowej natężenia prądu.

Rysunek a przedstawia układ współrzędnych. Strzałka oznaczona I0 biegnie z początku układu i skierowana jest w górę i w prawo, tworząc kąt omega t z osią x. Narysowana jest również strzałka oznaczona omega w pobliżu ostrza, prostopadła do niego, skierowana w górę w lewo. Rzut I0 na oś y oznaczone jest i indeks dolny R nawias t nawias. Na rysunku b strzałka oznaczona V0 biegnie z początku układu i skierowana jest w w górę i w lewo. Jej rzut na oś y wynosi V indeks dolny R nawias t nawias. Strzałka oznaczona omega znajduje się w pobliżu ostrza, prostopadle do niego, wskazując w dół w lewo.
Ilustracja 15.6 Wykres wskazowy przedstawiający natężenie prądu płynącego przez opornik z Ilustracji 15.5. (b) Wykres wskazowy przedstawiający zarówno i R t i R t , jak i u R t u R t .

Oś pionowa wykresu wskazowego może reprezentować zarówno natężenie, jak i napięcie prądu, w zależności od wskazu, który właśnie analizujemy. Ponadto możliwe jest przedstawienie kilku wielkości na tym samym wykresie wskazowym. Przykładowo na Ilustracji 15.6 (b) pokazano natężenie prądu i R t i R t oraz u R t u R t . Ponieważ obie wielkości mają tę samą częstotliwość i są zgodne w fazie, ich wskazy mają ten sam kierunek i zwrot i obracają się z jednakową prędkością. Ponieważ obie wielkości mają tę samą częstotliwość i są zgodne w fazie, ich wskazy mają ten sam kierunek, a także zwrot i obracają się z jednakową prędkością kątową. Obracające się ze stałą prędkością kątową wskazy są konstrukcją matematyczną. To co jest mierzalne doświadczalnie to ich rzut na oś rzeczywistą (taki rzut jest wartością rzeczywistą w dwuwymiarowym układzie współrzędnych reprezentującym wszystkie możliwe liczby zespolone z=x+iyz=x+iy z = x + iy, gdzie i2=-1i2=-1 i^2 = -1). Każdy wskaz wyraża liczbę zespoloną zt=z0sinωtα+icosωtαzt=z0sinωtα+icosωtα z \apply (t) = z_0 [\sin (\omega t - \alpha) + i \cos (\omega t - \alpha)], gdzie z0z0 z_0, ωω \omega i αα \alpha są stałymi o wartościach rzeczywistych, a ii i to jednostka urojona, której kwadrat jest liczbą -1-1 -1. Koncepcja obracającego się wskazu wyrażonego analitycznie przez liczbę zespoloną ztzt z \apply (t) jest po prostu innym sposobem przedstawienia drgań oscylatora harmonicznego, którego położenie jest sinusoidalnie zmiennie w czasie. Przykładowo można zauważyć, że obracający się pręt o długości LL L w danej płaszczyźnie xyxy x\sep y ze stałą prędkością kątową ωω \omega i zaczepiony w punkcie x=0y=0x=0y=0 (x=0, y=0) można reprezentować drgania masy na sprężynie, kiedy nie występuje tarcie (xt=Lsinωtαxt=Lsinωtα x \apply (t) = L\sin (\omega t - \alpha)). Tak obracający się pręt jest wskazem zt=Lsinωtα+icosωtαzt=Lsinωtα+icosωtα z \apply (t) = L[\sin(\omega t - \alpha) + i \cos (\omega t - \alpha)]. Stosowanie wskazów niesienie ukryte założenie, że zakładany przebieg zmienności napięcia i natężenia prądu elektrycznego cechuje się periodycznością czyli okresowością. Oczywiście tak jest w układach AC.

Kondensator

W celu wygodnego przedstawienia zjawisk okresowych będziemy stosowali liczby zespolone. Liczby zespolone mogą być reprezentowane jako dwuwymiarowe wektory. Zakładając sinusoidalną zmienność prądu elektrycznego i napięcia definiujemy I ω = I 0 exp i ω t t 0 I ω = I 0 exp i ω t t 0 oraz U ω = U 0 exp i ω t t 0 U ω = U 0 exp i ω t t 0 , gdzie I 0 I 0 to amplituda prądu elektrycznego będąca liczbą rzeczywistą, t 0 t 0 to pewna stała rzeczywista, ω ω to częstotliwość kołowa, a U 0 U 0 to amplituda napięcia będąca liczbą rzeczywistą. To, co mierzymy na przykład na oporniku, to część rzeczywista I ω I ω oraz U ω U ω . W pewnym sensie koncepcja wskazów jest uogólnieniem prawa Ohma, gdzie natężenie prądu elektrycznego I ω I ω (wyrażone przez wskaz) przepływającego przez dany element elektroniczny jest powiązane z napięciem U ω U ω (wyrażonym przez wskaz) przyłożonym do tego elementu: U ω = Z ω I ω U ω = Z ω I ω . Tutaj Z ω Z ω jest impedancją będącą uogólnieniem oporności elektrycznej ( Z ω = R Z ω =R w przypadku opornika o oporze elektrycznym R R i jest wyrażone liczbą zespoloną – posiada część rzeczywistą i urojoną). Jednak zarówno napięcie, jak i natężenie prądu są reprezentowane przez wskazy (dwuwymiarowe wektory, które są liczbami zespolonymi). Długości wskazów wyrażają amplitudę wielkości sinusoidalnie zmiennych. Jednak stosunek długości tych dwóch wskazów może zostać wyrażony przez rezystancję, ponieważ jeden z nich reprezentuje napięcie, a drugi natężenie prądu. Część rzeczywista ( Re Re) impedancji to opór elektryczny ( R = Re Z R= Re Z ), a część urojona ( Im Im) impedancji to reaktancja ( X = Im Z X= Im Z ).

Rozpatrzmy teraz obwód z kondensatorem (ang. capacitor) połączonym ze źródłem napięcia zmiennego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na kondensatorze z Ilustracji 15.7 (a) opisane jest jako

u C t = U 0 sin ω t . u C t = U 0 sin ω t .

Pamiętamy, że ładunek zgromadzony w kondensatorze podlega zależności Q = C U Q= C U . Jest ona prawdziwa dla każdej chwili w cyklu prądu zmiennego. Oznacza to, że chwilową wartość ładunku w kondensatorze da się opisać zależnością

q t = C u c t = C U 0 sin ω t . q t = C u c t = C U 0 sin ω t .

Natężenie prądu w obwodzie z definicji jest miarą przepływu ładunku na jednostkę czasu, więc natężenie prądu może opisywać tempo opuszczania (lub pojawiania się) ładunku w kondensatorze

i C t = d q t d t = ω C U 0 cos ω t = I 0 cos ω t , i C t = d q t d t = ω C U 0 cos ω t = I 0 cos ω t ,

gdzie I 0 = ω C U 0 I 0 = ω C U 0 jest amplitudą natężenia prądu. Gdy zastosujemy zależność pomiędzy funkcją cosinus i sinus, czyli cos ω t = sin ω t + π 2 cos ω t = sin ω t + π 2 , chwilowa wartość natężenia prądu przyjmuje postać

i C t = I 0 sin ω t + π 2 . i C t = I 0 sin ω t + π 2 .

Poprzez podzielenie U 0 U 0 przez I 0 I 0 otrzymamy wyrażenie podobne do prawa Ohma

U 0 I 0 = 1 ω C = X C . U 0 I 0 = 1 ω C = X C .
15.3

Wielkość X C X C jest odpowiednikiem rezystancji (oporu) w obwodzie prądu stałego w kontekście stosunku napięcia do natężenia prądu w obwodzie. W związku z tym obie te wielkości mają wspólną jednostkę om oznaczaną ΩΩ \si{\ohm} w odniesieniu do innych jednostek 1Ω=1V1A1Ω=1V1A \SI{1}{\ohm} = \SI{1}{\volt} / \SI{1}{\ampere} (jeden om to jeden wolt dzielony przez jeden amper). Pamiętaj jednak, że kondensator przechowuje i uwalnia energię elektryczną, podczas gdy opornik ją rozprasza. Wielkość X C X C nazywana jest reaktancją pojemnościową (ang. capacitive reactance), kapacytancją (ang. capacitance) lub oporem biernym pojemnościowym kondensatora. Jest ona odwrotnie zależna od częstotliwości źródła napięcia zmiennego – im wyższa częstotliwość, tym niższa reaktancja pojemnościowa i odwrotnie – im niższa częstotliwość, tym wyższa kapacytancja, co pozwala użyć kondensatora jako elementu odfiltrowującego składową stałą prądu elektrycznego.

Rysunek a przedstawia obwód ze źródłem napięcia AC połączony z kondensatorem. Źródło oznaczone jest V0 sin omega t. Rysunek b przedstawia sinusoidalny wykres napięcia AC i natężenia prądu w funkcji czasu, w tym samym układzie współrzędnych. Napięcie ma większą amplitudę niż natężenie prądu, a jego wartość maksymalna wynosi V0. Maksymalna wartość natężenia prądu oznaczona jest I0. Obie krzywe mają ten sam okres ale są przesunięte w fazie o pi/2. Krzywa napięcia jest opisana V ze znakiem C nawias t nawias równe V0 sinus omega t. Krzywa natężenia prądu oznaczona jest i ze znakiem C nawias t nawias równa jet l0 sinus nawias omega t plus pi przez 2 nawias.
Ilustracja 15.7 (a) Kondensator połączony szeregowo ze źródłem napięcia zmiennego. (b) Natężenie prądu i C t i C t płynącego przez kondensator i napięcie prądu u C t u C t na tym kondensatorze. Zauważ, że i C t i C t „wyprzedza” u C t u C t o π 2 rad π 2 rad (\pi/2)\si{\radian} .

Porównanie wyrażeń na u C t u C t i i C t i C t pozwala zauważyć, że występuje pomiędzy nimi przesunięcie fazowe o π2radπ2rad (\pi/2)\si{\radian}. Gdy obie te wielkości zostaną umieszone razem na wykresie wskazowym, widać, że natężenie prądu osiąga amplitudę ćwierć cyklu (lub π2radπ2rad (\pi/2)\si{\radian}) wcześniej niż napięcie prądu. Pokazuje to Ilustracja 15.7 (b).

Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Strzałka oznaczona V0 biegnie z początku układu i wskazuje w górę i w prawo tworząc kąt omega t z osią x. Strzałka opisana jako omega znajduje się w w pobliżu ostrza, jest prostopadła do niego i wskazuje w górę w lewo. Rzut ostrza strzałki V0 wynosi V ze znakiem C nawias t nawias. Strzałka oznaczona l0 biegnie z początku układu i wskazuje w górę w lewo. Jest prostopadła do V0. Jej rzut na y oznaczony jest i ze znakiem C nawias t nawias. Strzałka opisana jako omega znajduje się w pobliżu ostrza, jest prostopadła do niego, wskazuje w dół w lewo.
Ilustracja 15.8 Wykres wskazowy dla kondensatora z Ilustracji 15.7 (a). Wskaz natężenia prądu wyprzedza wskaz napięcia prądu o π 2 rad π 2 rad (\pi/2)\si{\radian} , ale oba nadal obracają się z jednakową prędkością kątową.

Do tej pory używaliśmy w naszych rozważaniach jedynie amplitud natężenia lub napięcia prądu ( I 0 I 0 i U 0 U 0 ). Gdy spróbujemy wyliczyć średnią wartość natężenia lub napięcia prądu, wynikiem będzie wartość zerowa. Jednak w opisie natężenia i napięcia prądu często używana jest alternatywna wartość, nazywana wartością skuteczną (ang. root mean square value, rms). Proces wyliczania takiej wartości polega na wyliczeniu średniej kwadratowej, stąd jest to wartość niezerowa. Odbiorniki prądu zmiennego oznacza się zazwyczaj stosując wartości skuteczne, a nie amplitud. W dalszych rozważaniach wartości skuteczne oznaczane będą za pomocą indeksu dolnego „sk” tak jak np. I sk I sk .

Mimo że kondensator tak naprawdę przerywa obwód elektryczny (likwidując składową stałą prądu elektrycznego i pozostawiając składowe sinusoidalnie zmienne czyli z It=I1+I0sinωtαIt=I1+I0sinωtα I \apply (t) = I_1 + I_0 \sin (\omega t - \alpha) otrzymujemy It=I0sinωtαIt=I0sinωtα I \apply (t) = I_0 \sin (\omega t - \alpha)), natężenie skuteczne (ang. rms current) prądu pojawia się w obwodzie, zawierającym źródło napięcia zmiennego. Ma ono wartość

I sk = I 0 2 , I sk = I 0 2 ,
15.4

gdzie I 0 I 0 jest amplitudą natężenia prądu w rozważanym obwodzie. Napięcie skuteczne na danym kondensatorze (ang. rms voltage) w sytuacji sinusoidalnie zmiennego prądu wynosi

U sk = U 0 2 , U sk = U 0 2 ,
15.5

gdzie U 0 U 0 jest amplitudą napięcia w rozważanym obwodzie. Natężenie skuteczne pojawia się, ponieważ napięcie ciągle odwraca kierunki, ładując i rozładowując kondensator. W sytuacji, gdy częstotliwość płynącego prądu elektrycznego dąży do zera otrzymujemy napięcie stałe i wówczas X C X C dąży do nieskończoności, a wartość natężenia prądu elektrycznego będzie równa zero po naładowaniu się kondensatora. Dla bardzo wysokich częstotliwości reaktancja pojemnościowa kondensatora dąży do zera i nie opóźnia już przepływu prądu i możemy wówczas zapomnieć o istnieniu kondensatora zastępując go zwartym kablem w schemacie obwodowym.

Cewka

Ostatnim rozważanym elementem jest cewka podłączona do źródła napięcia zmiennego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na cewce (ang. inductor) L L z Ilustracji 15.9 (a) wynosi

u L t = U 0 sin ω t . u L t = U 0 sin ω t .
15.6

Siła elektromotoryczna działająca na cewkę równa jest ε=LdiLtdtε=LdiLtdt (co wyraża prawo Faradaya i przy założeniu, że strumień pol magnetycznego generowany przez cewkę jest proporcjonalny do wielkości natężenia przepływającego prądu elektrycznego). Spadek potencjału na cewce wynosi uLt=LdiLtdtuLt=LdiLtdt, ponieważ suma napięć w całej pętli ma wynosić zero – napięcie wytworzone przez źródło musi zostać odłożone na cewce. Tym samym po podłączeniu cewki do źródła napięcia otrzymujemy

d i L t d t = U 0 L sin ω t . d i L t d t = U 0 L sin ω t .
Rysunek a przedstawia obwód ze źródłem napięcia AC połączony z cewką. Źródło oznaczone jest V0 sinus omega t. Rysunek b przedstawia krzywą sinusoidalną napięcia AC i natężenia prądu w tym samym układzie współrzędnych. Napięcie ma mniejszą amplitudę niż natężenie prądu, a jego maksymalna wartość jest oznaczona V0. Maksymalna wartość prądu oznaczona jest I0. Dwie krzywe mają ten sam okres ale są przesunięte w fazie o pi/2. Krzywa napięcia opisana jest V ze znakiem L nawias t nawias równa V0 sinus omega t. Krzywa prądu oznaczona jest I ze znakiem L nawias t nawias równe I0 sinus nawias omega t minus pi przez dwa nawias.
Ilustracja 15.9 (a) Cewka podłączona do źródła napięcia zmiennego. (b) Natężenie prądu i L t i L t płynącego przez cewkę i napięcie u L t u L t na niej. W tym przypadku i L t i L t jest opóźnione względem u L t u L t o π 2 rad π 2 rad (\pi/2)\si{\radian} .

Natężenie prądu i L t i L t wyznacza się poprzez obustronne scałkowanie powyższego wyrażenia. Ponieważ obwód nie posiada żadnego źródła stałej siły elektromotorycznej, nie istnieje w nim stałe natężenie prądu. Dzięki temu możemy przyjąć stałą całkowania, odpowiadającą wartości stałoprądowego natężenia prądu w obwodzie, za zero. Tym samym otrzymujemy

i L t = U 0 ω L cos ω t = U 0 ω L sin ω t π 2 = I 0 sin ω t π 2 , i L t = U 0 ω L cos ω t = U 0 ω L sin ω t π 2 = I 0 sin ω t π 2 ,
15.7

gdzie I0=U0ωLI0=U0ωL. Relacja pomiędzy U 0 U 0 a I 0 I 0 może również zostać zapisana w postaci analogicznej do prawa Ohma

U 0 I 0 = ω L = X L . U 0 I 0 = ω L = X L .
15.8

Wielkość X L X L znana jest jako reaktancja indukcyjna (ang. inductive reactance), induktancja (ang. inductance) lub opór bierny indukcyjny cewki przed wywołany szybkością zmiany natężenia prądu elektrycznego w obwodzie wyrażone przez ωω \omega. Jednostką impedancji indukcyjnej jest również om. Istotny jest tutaj fakt, że cewka przepuszcza jedynie składową stałą prądu elektrycznego w granicy dużych częstości ωω \omega (w tym sensie cewka ma własność odwrotną do cechy kondensatora, który przepuszcza składowe zmienne prądu elektrycznego i zatrzymuje składowe stałe prądu elektrycznego). Zauważmy, że X L X L jest liniowo zależne od częstotliwości źródła napięcia zmiennego – wysoka częstotliwość powoduje pojawienie się wysokiej reaktancji indukcyjnej.

Różnica fazy o wartości π2radπ2rad (\pi/2)\si{\radian} pojawia się pomiędzy natężeniem prądu płynącego przez cewkę i napięciem prądu odłożonym na cewce. Z Równania 15.6 i Równania 15.7 wynika, że natężenie prądu jest opóźnione względem napięcia na cewce o π2radπ2rad (\pi/2)\si{\radian}, czyli o ćwierć cyklu. Wykres wskazowy dla tego przypadku pokazuje Ilustracja 15.10.

Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Strzałka oznaczona V0 biegnie z początku układu i wskazuje w górę i w prawo tworząc kąt omega t z osią x. W pobliżu ostrza narysowana jest strzałka oznaczona omega, prostopadła do ostrza, wskazująca w górę w lewo. Rzut V0 na y wynosi V ze znakiem L nawias t nawias. Strzałka oznaczona I0 biegnie z początku układu i wskazuje w dół w prawo. Jest prostopadła do V0. Rzut strzałki na ujemną oś y wynosi i ze znakiem L nawias t nawias. W pobliżu ostrza narysowana jest strzałka oznaczona omega, jest ona prostopadła do do strzałki V0 i wskazuje w górę i w prawo.
Ilustracja 15.10 Wykres wskazowy dla cewki z Ilustracji 15.9. Wskaz natężenia prądu jest opóźniony względem wskazu napięcia o wartość π 2 rad π 2 rad (\pi/2)\si{\radian} , ale oba nadal obracają się z jednakową prędkością kątową.

Materiały pomocnicze

Animacja obwodów prądu zmiennego wykonana przez University of New South Wales (obwody prądu zmiennego ) przedstawia niektóre z zagadnień opisywanych w tym rozdziale. Ponadto zawiera ona wykresy przebiegów i wskazów, które ewoluują w czasie, co pozwala na lepsze zrozumienie zjawisk zachodzących w takich obwodach.

Przykład 15.1

Proste obwody prądu zmiennego

Generator napięcia zmiennego wytwarza siłę elektromotoryczną o amplitudzie 10 V 10V i częstotliwości f = 60 Hz f= 60 Hz . Wyznaczmy wartość napięcia odłożonego na elementach i wartość natężenia prądu płynącego przez elementy, gdy generator jest podłączony do
  1. opornika o oporze 100 Ω 100Ω;
  2. kondensatora o pojemności 10 µF 10µF;
  3. cewki o indukcyjności 15 mH 15mH.

Strategia rozwiązania

Całkowite napięcie zmienne na każdym z elementów jest równe napięciu źródła. Możemy znaleźć wartość natężenia prądu przez znalezienie reaktancji X X każdego z elementów i wykorzystanie zależności pomiędzy amplitudami I 0 = U 0 X I 0 = U 0 X .

Rozwiązanie

Napięcie na zaciskach generatora wynosi
u t = U 0 sin ω t = 10 V sin 120 π t , u t = U 0 sin ω t = 10 V sin 120 π t ,

gdzie ω = 2 π f = 120 π rad s ω= 2 π f = 120 π rad s jest częstością. Ponieważ u t u t jest jednocześnie napięciem na każdym z elementów, otrzymujemy

u t = u R t = u C t = u L t = 10 V sin 120 π t . u t = u R t = u C t = u L t = 10 V sin 120 π t .
  1. Kiedy R = 100 Ω R= 100 Ω , amplituda natężenia prądu płynącego przez opornik wynosi
    I 0 = U 0 R = 10 V 100 Ω = 0,1 A , I 0 = U 0 R = 10 V 100 Ω = 0,1 A ,
    i R t = 0,1 A sin 120 π t . i R t = 0,1 A sin 120 π t .
  2. Z Równania 15.3 kapacytancja wynosi
    X C = 1 ω C = 1 120 π rad s 10 6 F = 265 Ω , X C = 1 ω C = 1 120 π rad s 10 6 F = 265 Ω ,
    więc amplituda natężenia prądu elektrycznego będzie równa
    I 0 = U 0 X C = 10 V 256 Ω = 3,8 10 2 A , I 0 = U 0 X C = 10 V 256 Ω = 3,8 10 2 A ,
    i C t = 3,8 10 2 A sin 120 π t + π 2 . i C t = 3,8 10 2 A sin 120 π t + π 2 .
  3. Jak wynika z Równania 15.8, induktancja wynosi
    X L = ω L = 120 π rad s 15 10 3 H = 5,7 Ω . X L = ω L = 120 π rad s 15 10 3 H = 5,7 Ω .
    Amplituda natężenia prądu elektrycznego jest wtedy równa
    I 0 = 10 V 5,7 Ω = 1,8 A , I 0 = 10 V 5,7 Ω = 1,8 A ,
    a natężenie chwilowe wynosi
    i L t = 1,8 A sin 120 π t π 2 . i L t = 1,8 A sin 120 π t π 2 .

Znaczenie

Mimo że napięcie na każdym z elementów jest identyczne, amplitudy natężenia prądu różnią się między sobą w zależności od reaktancji elementu. Reaktancja każdego z elementów zależna jest od wartości oporności, pojemności i indukcyjności.

Sprawdź, czy rozumiesz 15.2

Powtórz Przykład 15.1 dla generatora napięcia zmiennego o amplitudzie 20 V 20V i częstotliwości 100 Hz 100Hz.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.