William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać, dlaczego elektrownie przesyłają prąd pod wysokim napięciem i o małym natężeniu oraz jak jest to dokonywane;
ustalać powiązanie pomiędzy natężeniem, napięciem prądu i liczbą zwojów na transformatorze.

Prąd wytworzony w elektrowni ma stosunkowo niskie napięcie. Do przesyłania go na duże odległości ze względów praktycznych, o których piszemy poniżej, podnosi się jego napięcie do bardzo wysokich wartości (nawet do $500 kV$ ⁠). W transformatorze zmianie napięcia towarzyszy zmiana natężenia prądu przy czym moc przesyłanego prądu jest stała (w idealnym transformatorze nie zachodzą straty mocy). Przypomnijmy, że moc jest iloczynem napięcia i natężenia prądu (czyli $IU=I^2_{\text{sk}}R$ ), dla uproszczenia pomijamy czynnik fazowy $cos ϕ$ . Zatem taką samą moc ma zarówno prąd o niskim napięciu i wysokim natężeniu, jak i prąd o wysokim napięciu i niskim natężeniu. By uniknąć wysokich strat na oporze podczas przesyłania prądu na duże odległości, podnosi się napięcie, tym samym obniżając natężenie prądu. Jest to szczególnie istotne na wielokilometrowych liniach przesyłowych (ang. transmission lines), takich jak na Ilustracji 15.20.

Rysunek przedstawia z lewej elektrownię. Jest ona połączona do transformatora podwyższającego napięcie poprzez linię 12 kV. Transformator jest połączony linią wysokiego napięcia 400 kV. Ta jest połączona z podstacją transformatora obniżającego napięcie. Od tego miejsca linia 13 kV prowadzi do transformatora step down na słupie elektrycznym. Stąd 240 V linia prowadzi do domu.

Ilustracja 15.20 Napięcie skuteczne prądu przesyłanego z elektrowni w którymś momencie musi zostać zamienione z

12 kV

na

230 V

, by mogło zostać bezpiecznie przesłane do sieci domowych. Wysokonapięciowe linie przesyłowe pozwalają przesyłać prąd o niskim natężeniu na ogromne odległości z wykorzystaniem podstacji.

Zmienne (i niezbyt wysokie napięcia) są wytwarzane w elektrowniach. Następnie podwyższa się je z niskiego do wysokiego poziomu napięć i dopiero później przesyła liniami przesyłowymi. W takiej sytuacji zachodzą małe straty mocy w przypadku przesyłania energii elektrycznej na duże odległości. Potem SEM musi być obniżona do zatwierdzonych, bezpiecznych wartości (w zależności od kraju, od $\SI{100}{\volt}$ do $\SI{240}{\volt}$ ). Urządzenie, które dokonuje transformacji napięcia pomiędzy dwiema wartościami z użyciem indukcji elektromagnetycznej, nazywa się transformatorem (ang. transformer) (Ilustracja 15.21).

Zdjęcie transformatorów na słupie elektrycznym. Znajdują się na nim trzy transformatory, a każdy umieszczony jest w cylindrycznym pojemniku.

Ilustracja 15.21 Transformatory wykorzystuje się m.in. do zamiany wysokich napięć w liniach przesyłowych na napięcie

220 V

, używane w sieciach domowych. Źródło: modyfikacja pracy „Fortyseven”/Flickr

Jak przedstawiono na Ilustracji 15.22, transformator w praktyce składa się z dwóch oddzielnych cewek nawiniętych na wspólny rdzeń ferromagnetyczny. Uzwojenie pierwotne posiada $N_{P}$ zwojów i podłączone jest do źródła napięcia zmiennego $u_{P} (t)$ . Uzwojenie wtórne ma $N_{W}$ zwojów i podłączone jest do obciążenia $R_{W}$ . Główna zasada jest taka, że zmienny w czasie strumień pola magnetycznego generuje zmienne w czasie pole elektryczne, które jest widoczne w postaci zmiennego w czasie napięcia elektrycznego. Wykorzystujemy prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, znane od 1831 roku. W naszych rozważaniach zakładamy idealny przypadek transformatora, w którym wszystkie linie pola magnetycznego, czyli cały strumień, są zawarte w rdzeniu (ten sam strumień pola magnetycznego przepływa przez każdą z pętli uzwojenia wtórnego i pierwotnego). Pomijamy również straty z powodu histerezy magnetycznej, związanej z każdorazowym przemagnesowywaniem ferromagnetycznego rdzenia w cyklu, gdy SEM zmienia znak, a także ciepło wydzielane z powodu oporu w uzwojeniach i ciepło wydzielane z powodu prądów wirowych indukowanych w rdzeniu. Dobrze zaprojektowany transformator może mieć straty na poziomie $\SI{1}{\percent}$ przesyłanej mocy. Nie jest to więc bezpodstawne założenie.

Rysunek przedstawia w środku miękki rdzeń żelazny. Ma on formę prostokątnego pierścienia. Po lewej stronie jego ramienia znajdują się uzwojenia połączone ze źródłem napięcia. Oznaczone są jako N ze znakiem p zwojów. Płynący przez niego prąd oznaczony jest i ze znakiem p nawias t nawias. Napięcie naprzeciw dwóch końców uzwojenia to v ze znakiem p nawias t nawias. Uzwojenia na prawym ramieniu rdzenia są połączone z opornikiem R ze znakiem s. Uzwojenia są oznaczone N ze znakiem s zwojów. Liczba uzwojeń jest większa na prawym ramieniu niż na lewym. Prąd w prawej stronie obwodu to i ze znakiem s nawias t nawias. Napięcie naprzeciw uzwojenia to v ze znakiem s nawias t nawis. Prąd w lewym obwodzie płynie w uzwojeniach z góry. Prąd w prawym obwodzie wypływa z uzwojenia z góry.

Ilustracja 15.22 Transformator podwyższający napięcie (więcej zwojów jest na uzwojeniu wtórnym niż na uzwojeniu pierwotnym). Obie cewki nawinięte są na ten sam rdzeń.

W celu analizy obwodu z transformatorem najpierw rozważymy uzwojenie pierwotne. Napięcie wejściowe $u_{P} (t)$ jest równe różnicy potencjałów indukowanej na uzwojeniu pierwotnym. Z prawa Faradaya wynika, że wyindukowana różnica potencjałów równa jest zawsze $- N_{P} \cdot d Φ ∕ d t$ , gdzie $Φ$ jest strumieniem pola magnetycznego przepływającego przez pojedynczą pętlę cewki. Tym samym

u_{P} (t) = - N_{P} \frac{d Φ}{d t} .

Analogicznie napięcie wyjściowe dostarczane do obciążenia musi być równe różnicy potencjałów wyindukowanej na uzwojeniu wtórnym. Ponieważ rozważany transformator jest wyidealizowany, strumień pola magnetycznego przez pojedynczą pętlę uzwojenia wtórego również wynosi $Φ$ , więc

u_{W} (t) = - N_{W} \frac{d Φ}{d t} .

Korzystając z obu powyższych równań, otrzymujemy

u_{W} (t) = \frac{N_{W}}{N_{P}} u_{P} (t) .

15.21

Tym samym przy odpowiednio dobranych wartościach $N_{P}$ i $N_{W}$ napięcie wejściowe $u_{P} (t)$ może zostać podwyższone ( $N_{W} > N_{P}$ ) lub obniżone ( $N_{W} < N_{P}$ ) do napięcia wyjściowego $u_{W} (t)$ . Zależność ta, często nazywana równaniem transformatora (ang. transformer equation), ma postać

\frac{U_{W}}{U_{P}} = \frac{N_{W}}{N_{P}}

15.22

i pokazuje, że stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego na transformatorze równy jest stosunkowi liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym. Dla transformatora podwyższającego (ang. step-up transformer), który zwiększa napięcie i zmniejsza natężenie prądu, ten stosunek jest większy od jedności. Dla transformatora obniżającego (ang. step-down transformer), który zmniejsza napięcie i zwiększa natężenie prądu, stosunek będzie mniejszy od jedności.

Jak wynika z zasady zachowania energii, moc dostarczona w dowolnym momencie przez napięcie $u_{P} (t)$ do uzwojenia pierwotnego musi być równa mocy oddanej obciążeniu uzwojenia wtórego. Tym samym

i_{P} (t) u_{P} (t) = i_{W} (t) u_{W} (t) .

Gdy podstawimy tę zależność do Równania 15.21, otrzymamy wzór

i_{W} (t) = \frac{N_{P}}{N_{W}} i_{P} (t) .

15.23

Kiedy napięcie jest podwyższane, natężenie maleje i vice versa. W końcu gdy podstawimy $i_{W} (t) = u_{W} (t) ∕ R_{W}$ do Równania 15.21 i Równania 15.23, otrzymamy

u_{P} (t) = i_{P} (t) [{(\frac{N_{P}}{N_{W}})}^{2} R_{W}],

co mówi nam, że z perspektywy napięcia wejściowego obwód uzwojenia wtórnego nie jest obciążony oporem $R_{W}$ , ale obciążeniem

R_{P} = {(\frac{N_{P}}{N_{W}})}^{2} R_{W} .

Przeprowadzona tu analiza oparta była na wartościach chwilowych napięcia i natężenia prądu. Jednak otrzymane powyżej zależności są prawdziwe zarówno dla wartości chwilowych, amplitud, jak i wartości skutecznych.

Przykład 15.6

Transformator obniżający napięcie

Transformator na słupie elektrycznym obniża napięcie o wartości skutecznej

12 kV

do

240 V

.

Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym?
Jeśli wejściowe natężenie prądu na uzwojeniu pierwotnym transformatora wynosi $2 A$ , ile będzie ono wynosić na uzwojeniu wtórnym?
Obliczmy moc traconą w czasie przesyłu energii, jeśli całkowity opór linii przesyłowej wynosi $200 Ω$ .
Jaką wartość miałaby moc strat, jeśli linia przesyłowa działałaby pod napięciem $240 V$ zamiast $12 kV$ ? Skomentujmy wynik.

Strategia rozwiązania

Liczba zwojów została powiązana z napięciem w Równaniu 15.21. Natężenie wyjściowe obliczamy z Równania 15.23.

Rozwiązanie

Używając Równania 15.21 z wartościami skutecznymi $U_{P}$ i $U_{W}$ , otrzymamy
$\frac{N_{W}}{N_{P}} = \frac{240 V}{12 \cdot 10^{3} V} = \frac{1}{50},$
co oznacza, że uzwojenie pierwotne ma 50-krotnie więcej zwojów niż uzwojenie wtórne.
Z Równania 15.23 może być wyznaczona wartość skuteczna wyjściowego natężenia prądu $I_{W}$

$I_{W} = \frac{N_{P}}{N_{W}} I_{P},$
15.24

co daje nam
$I_{W} = \frac{N_{P}}{N_{W}} I_{P} = 50 \cdot 2 A = 100 A .$
Moc strat na linii przesyłowej można wyliczyć jako
$P_{strat} = I_{P}^{2} R = {(2 A)}^{2} \cdot 200 Ω = 800 W .$
Gdyby nie istniały transformatory, prąd elektryczny musiałby być przesyłany pod napięciem $240 V$ , by sieć domowa pracowała właściwie. Straty przesyłu wynosiłyby wtedy
$P_{strat} = I_{W}^{2} R = {(100 A)}^{2} \cdot 200 Ω = 2 \cdot 10^{6} W .$
Tymczasem w czasie przesyłu energii zależy nam na minimalizacji strat z nim związanych. Oznacza to, że prąd przesyłany jest pod wysokim napięciem i dostosowywany do użytku przy pomocy transformatorów dopiero bezpośrednio przed przesłaniem do sieci domowych.

Znaczenie

Takie wykorzystanie transformatora obniżającego napięcie pozwala sieci domowej używającej napięcia

240 V

pobierać prąd o natężeniu do

100 A

. Dzięki temu możliwe jest zasilenie wielu urządzeń w domu.

Sprawdź, czy rozumiesz 15.9

Transformator obniża napięcie ze $110 V$ do $9 V$ tak, że prąd o natężeniu $0,5 A$ dostarczany jest do dzwonka do drzwi.

Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym do liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym?
Jakie jest natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym?
Ile wynosi obciążenie 110-woltowego źródła?

15.6 Transformatory

Transformator obniżający napięcie

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie