Cel dydaktyczny
- wyjaśniać, dlaczego elektrownie przesyłają prąd pod wysokim napięciem i o małym natężeniu oraz jak jest to dokonywane;
- ustalać powiązanie pomiędzy natężeniem, napięciem prądu i liczbą zwojów na transformatorze.
Prąd wytworzony w elektrowni ma stosunkowo niskie napięcie. Do przesyłania go na duże odległości ze względów praktycznych, o których piszemy poniżej, podnosi się jego napięcie do bardzo wysokich wartości (nawet do 500kV). W transformatorze zmianie napięcia towarzyszy zmiana natężenia prądu przy czym moc przesyłanego prądu jest stała (w idealnym transformatorze nie zachodzą straty mocy). Przypomnijmy, że moc jest iloczynem napięcia i natężenia prądu (czyli IU=I2skR), dla uproszczenia pomijamy czynnik fazowy cosϕ. Zatem taką samą moc ma zarówno prąd o niskim napięciu i wysokim natężeniu, jak i prąd o wysokim napięciu i niskim natężeniu. By uniknąć wysokich strat na oporze podczas przesyłania prądu na duże odległości, podnosi się napięcie, tym samym obniżając natężenie prądu. Jest to szczególnie istotne na wielokilometrowych liniach przesyłowych (ang. transmission lines), takich jak na Ilustracji 15.20.
Zmienne (i niezbyt wysokie napięcia) są wytwarzane w elektrowniach. Następnie podwyższa się je z niskiego do wysokiego poziomu napięć i dopiero później przesyła liniami przesyłowymi. W takiej sytuacji zachodzą małe straty mocy w przypadku przesyłania energii elektrycznej na duże odległości. Potem SEM musi być obniżona do zatwierdzonych, bezpiecznych wartości (w zależności od kraju, od 100V do 240V). Urządzenie, które dokonuje transformacji napięcia pomiędzy dwiema wartościami z użyciem indukcji elektromagnetycznej, nazywa się transformatorem (ang. transformer) (Ilustracja 15.21).
Jak przedstawiono na Ilustracji 15.22, transformator w praktyce składa się z dwóch oddzielnych cewek nawiniętych na wspólny rdzeń ferromagnetyczny. Uzwojenie pierwotne posiada NP zwojów i podłączone jest do źródła napięcia zmiennego uP(t). Uzwojenie wtórne ma NW zwojów i podłączone jest do obciążenia RW. Główna zasada jest taka, że zmienny w czasie strumień pola magnetycznego generuje zmienne w czasie pole elektryczne, które jest widoczne w postaci zmiennego w czasie napięcia elektrycznego. Wykorzystujemy prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, znane od 1831 roku. W naszych rozważaniach zakładamy idealny przypadek transformatora, w którym wszystkie linie pola magnetycznego, czyli cały strumień, są zawarte w rdzeniu (ten sam strumień pola magnetycznego przepływa przez każdą z pętli uzwojenia wtórnego i pierwotnego). Pomijamy również straty z powodu histerezy magnetycznej, związanej z każdorazowym przemagnesowywaniem ferromagnetycznego rdzenia w cyklu, gdy SEM zmienia znak, a także ciepło wydzielane z powodu oporu w uzwojeniach i ciepło wydzielane z powodu prądów wirowych indukowanych w rdzeniu. Dobrze zaprojektowany transformator może mieć straty na poziomie 1% przesyłanej mocy. Nie jest to więc bezpodstawne założenie.
W celu analizy obwodu z transformatorem najpierw rozważymy uzwojenie pierwotne. Napięcie wejściowe uP(t) jest równe różnicy potencjałów indukowanej na uzwojeniu pierwotnym. Z prawa Faradaya wynika, że wyindukowana różnica potencjałów równa jest zawsze −NP⋅dΦ∕dt, gdzie Φ jest strumieniem pola magnetycznego przepływającego przez pojedynczą pętlę cewki. Tym samym
Analogicznie napięcie wyjściowe dostarczane do obciążenia musi być równe różnicy potencjałów wyindukowanej na uzwojeniu wtórnym. Ponieważ rozważany transformator jest wyidealizowany, strumień pola magnetycznego przez pojedynczą pętlę uzwojenia wtórego również wynosi Φ, więc
Korzystając z obu powyższych równań, otrzymujemy
Tym samym przy odpowiednio dobranych wartościach NP i NW napięcie wejściowe uP(t) może zostać podwyższone (NW>NP) lub obniżone (NW<NP) do napięcia wyjściowego uW(t). Zależność ta, często nazywana równaniem transformatora (ang. transformer equation), ma postać
i pokazuje, że stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego na transformatorze równy jest stosunkowi liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym. Dla transformatora podwyższającego (ang. step-up transformer), który zwiększa napięcie i zmniejsza natężenie prądu, ten stosunek jest większy od jedności. Dla transformatora obniżającego (ang. step-down transformer), który zmniejsza napięcie i zwiększa natężenie prądu, stosunek będzie mniejszy od jedności.
Jak wynika z zasady zachowania energii, moc dostarczona w dowolnym momencie przez napięcie uP(t) do uzwojenia pierwotnego musi być równa mocy oddanej obciążeniu uzwojenia wtórego. Tym samym
Gdy podstawimy tę zależność do Równania 15.21, otrzymamy wzór
Kiedy napięcie jest podwyższane, natężenie maleje i vice versa. W końcu gdy podstawimy iW(t)=uW(t)∕RW do Równania 15.21 i Równania 15.23, otrzymamy
co mówi nam, że z perspektywy napięcia wejściowego obwód uzwojenia wtórnego nie jest obciążony oporem RW, ale obciążeniem
Przeprowadzona tu analiza oparta była na wartościach chwilowych napięcia i natężenia prądu. Jednak otrzymane powyżej zależności są prawdziwe zarówno dla wartości chwilowych, amplitud, jak i wartości skutecznych.
Przykład 15.6
Transformator obniżający napięcie
Transformator na słupie elektrycznym obniża napięcie o wartości skutecznej 12kV do 240V.- Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym?
- Jeśli wejściowe natężenie prądu na uzwojeniu pierwotnym transformatora wynosi 2A, ile będzie ono wynosić na uzwojeniu wtórnym?
- Obliczmy moc traconą w czasie przesyłu energii, jeśli całkowity opór linii przesyłowej wynosi 200Ω.
- Jaką wartość miałaby moc strat, jeśli linia przesyłowa działałaby pod napięciem 240V zamiast 12kV? Skomentujmy wynik.
Strategia rozwiązania
Liczba zwojów została powiązana z napięciem w Równaniu 15.21. Natężenie wyjściowe obliczamy z Równania 15.23.Rozwiązanie
- Używając Równania 15.21 z wartościami skutecznymi UP i UW, otrzymamy NWNP=240V12⋅103V=150,co oznacza, że uzwojenie pierwotne ma 50-krotnie więcej zwojów niż uzwojenie wtórne.
- Z Równania 15.23 może być wyznaczona wartość skuteczna wyjściowego natężenia prądu IW
co daje namIW=NPNWIP,15.24IW=NPNWIP=50⋅2A=100A.
- Moc strat na linii przesyłowej można wyliczyć jako Pstrat=I2PR=(2A)2⋅200Ω=800W.
- Gdyby nie istniały transformatory, prąd elektryczny musiałby być przesyłany pod napięciem 240V, by sieć domowa pracowała właściwie. Straty przesyłu wynosiłyby wtedy Pstrat=I2WR=(100A)2⋅200Ω=2⋅106W.Tymczasem w czasie przesyłu energii zależy nam na minimalizacji strat z nim związanych. Oznacza to, że prąd przesyłany jest pod wysokim napięciem i dostosowywany do użytku przy pomocy transformatorów dopiero bezpośrednio przed przesłaniem do sieci domowych.
Znaczenie
Takie wykorzystanie transformatora obniżającego napięcie pozwala sieci domowej używającej napięcia 240V pobierać prąd o natężeniu do 100A. Dzięki temu możliwe jest zasilenie wielu urządzeń w domu.Sprawdź, czy rozumiesz 15.9
Transformator obniża napięcie ze 110V do 9V tak, że prąd o natężeniu 0,5A dostarczany jest do dzwonka do drzwi.
- Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym do liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym?
- Jakie jest natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym?
- Ile wynosi obciążenie 110-woltowego źródła?