William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać średnią moc w obwodzie prądu zmiennego, zarówno za pomocą szczytowych wartości napięcia i natężenia prądu elektrycznego, jak i za pomocą wartości skutecznych tych wielkości;
znajdować zależność kąta fazowego pomiędzy wskazem napięcia i natężenia prądu elektrycznego, a średnią mocą wydzielaną w układzie co jest znane jako współczynnik mocy.

Rozważamy tutaj obwody zawierające tylko pasywne elementy elektroniczne, takie jak opornik, cewka i kondensator, a niezawierające wzmacniacza operacyjnego (będącego aktywnym elementem elektronicznym). Elementy obwodu pasywnego rozpraszają moc zgodnie ze wzorem $P=UI$ , gdzie $I$ jest natężeniem prądu elektrycznego płynącego przez element, a napięciem $U$ odłożonym na tym elemencie. Istotnie, w oporniku moc $P$ ⁠jest wydzielana w postaci ciepła, gdyż przepływ nośników ładunków czyli prąd elektryczny jest stowarzyszony z oddziaływaniem z centrami rozpraszania tego ładunku (obecny zawsze, gdy do opornika przyłożone jest niezerowe napięcie $P = I^{2} R = U^{2} ∕ R$ ). Ponieważ zarówno natężenie prądu, jak i napięcie w obwodzie prądu zmiennego zależy od czasu, chwilowa moc $p\apply(t)=u\apply(t)\cdot i\apply(t)$ również jest zależna od czasu. W tym sensie możemy mówić o rozpraszaniu lub „generowaniu” mocy na oporniku, kondensatorze i cewce. Wykresy $p (t)$ dla różnych elementów obwodu przedstawione zostały na Ilustracji 15.16. Dla opornika $i (t)$ i $u (t)$ są zgodne w fazie, przez co zawsze mają ten sam znak (patrz Ilustracja 15.5). Dla kondensatora albo cewki znak $u (t) ∕ i (t)$ może zmieniać się w czasie z powodu niezerowej różnicy w fazie (patrz Ilustracja 15.7 i Ilustracja 15.9). W wyniku tego $p (t)$ w pewnych chwilach jest dodatnie, a w pewnych ujemne. Oznacza to, że elementy pojemnościowe i indukcyjne w niektórych warunkach wydzielają moc, a w innych ją pochłaniają.

Rysunki od a do d pokazują sinusoidalne wykresy P względem t. Wszystkie mają tę samą amplitudę i częstotliwość. Na rysunku a oznaczony jet opornik. Linia P przecina oś y w połowie maksymalnej wartości P. Krzywa na rysunku b jest podpisana kondensator. Krzywa na rysunku c jest opisana cewka. Krzywa na rysunku d jest opisana źródło AC.

Ilustracja 15.16 Wykresy mocy chwilowej dla różnych elementów obwodu. (a) Dla opornika

P_{śr} = I_{0} U_{0} ∕ 2

. Dla (b) kondensatora i dla (c) cewki

P_{śr} = 0

. (d) Dla źródła napięcia

P_{śr} = I_{0} U_{0} \cdot cos ϕ ∕ 2

i może być większa od zera, mniejsza od zera lub równa zero, w zależności od wartości

ϕ

.

Ponieważ moc chwilowa zmienia w czasie zarówno swoją wartość, jak i znak, rzadko kiedy ma ona znaczenie praktyczne. Prawie zawsze zainteresowani jesteśmy mocą uśrednioną w czasie, nazywaną mocą średnią. Jest ona zdefiniowana jako średnia po czasie mocy chwilowej dla pojedynczego cyklu

P_{śr} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t,

gdzie $T = 2 π ∕ ω$ jest okresem oscylacji. Po podstawieniu $u (t) = U_{0} sin (ω t)$ i $i (t) = I_{0} sin (ω t - ϕ)$ powyższa całka przyjmuje postać

P_{śr} = \frac{I_{0} U_{0}}{T} \int_{0}^{T} sin (ω t - ϕ) sin (ω t) d t .

Używając zależności trygonometrycznej $sin (A - B) = sin A cos B - sin B cos A$ , otrzymujemy

P_{śr} = \frac{I_{0} U_{0} cos ϕ}{T} \int_{0}^{T} sin (ω t) d t - \frac{I_{0} U_{0} sin ϕ}{T} \int_{0}^{T} {(sin (ω t))}^{2} cos (ω t) d t .

Powyższe całki równe są

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {(sin (ω t))}^{2} d t = \frac{1}{2}

i

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} sin (ω t) cos (ω t) d t = 0 .

Tym samym średnia moc wydzielana w obwodzie jest równa

P_{śr} = \frac{1}{2} I_{0} U_{0} cos ϕ .

15.12

W zastosowaniach inżynierskich czynnik $cos ϕ$ bywa często nazywany współczynnikiem mocy (ang. power factor) i jest mnożnikiem określającym, o ile moc dostarczana do układu różni się od teoretycznego maksimum z powodu różnicy w fazie pomiędzy napięciem i natężeniem prądu. Dla opornika $ϕ = 0$ średnia moc wydzielana w obwodzie wynosi zatem

P_{śr} = \frac{1}{2} I_{0} U_{0} .

Porównanie $p (t)$ i $P_{śr}$ pokazano na Ilustracji 15.16 (d). Aby móc porównywać $P_{śr} = I_{0} U_{0} ∕ 2$ z odpowiednikiem dla prądu stałego, używamy wartości skutecznych natężenia i napięcia prądu. Z definicji są one równe

I_{sk} = \sqrt{⟨ i^{2} (t) ⟩} i U_{sk} = \sqrt{⟨ u^{2} (t) ⟩},

gdzie

⟨ i^{2} (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} (t) d t i ⟨ u^{2} (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2} (t) d t .

Podstawiając $i (t) = I_{0} sin (ω t - ϕ)$ oraz $u (t) = U_{0} sin (ω t)$ do powyższych wzorów, otrzymamy

I_{sk} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{0} i U_{sk} = \frac{1}{\sqrt{2}} U_{0} .

Możemy tym samym zapisać ostateczny wzór na średnią moc wydzielaną na rezystorze

P_{śr} = \frac{1}{2} I_{0} U_{0} = I_{sk} U_{sk} = I_{sk}^{2} R .

15.13

Powyższe równanie dodatkowo wskazuje powód używania wartości skutecznych (napięcia AC czy natężenia prądu AC) zamiast amplitud napięcia i natężenia. Oba wyrażenia na średnią moc z Równania 15.13 są poprawne, ale to wyrażone z wykorzystaniem wartości skutecznych nie potrzebuje dodatkowego czynnika $1 ∕ 2$ .

Zmienne napięcia i natężenia są zazwyczaj opisywane za pomocą ich wartości skutecznych. Na przykład napięcie $230 V$ w gniazdku to wartość skuteczna. Amplituda takiego źródła wynosi $230 \sqrt{2} V = 325 V$ . Ponieważ większość mierników prądu zmiennego jest wyskalowana tak, by pokazywać wartości skuteczne, typowy miernik pokaże napięcie $230 V$ , gdy zmierzymy nim napięcie w gniazdku.

Dla kondensatora i dla cewki kolejno $ϕ = π ∕ 2$ i $ϕ = - π ∕ 2$ . Ponieważ $cos (π ∕ 2) = cos (- π ∕ 2) = 0$ , z Równania 15.12 wynika, że średnia moc wydzielana na tych elementach wynosi $P_{śr} = 0$ . Kondensatory i cewki pochłaniają energię z obwodu w trakcie połowy cyklu i w trakcie drugiej połowy oddają ją do obwodu. To zjawisko widoczne jest na Ilustracji 15.16 (b) i (c), który pokazuje moc chwilową $p (t)$ oscylującą sinusoidalnie wokół zera.

Kąt fazowy generatora napięcia zmiennego może mieć dowolną wartość. Jeśli $cos ϕ > 0$ , generator produkuje energię. Jeśli $cos ϕ < 0$ , źródło pochłania ją. Moc średnia wyrażona za pomocą wartości skutecznych równa będzie

P_{śr} = I_{sk} U_{sk} cos ϕ .

Dla źródła napięcia w obwodzie RLC

tg ϕ = \frac{X_{L} - X_{C}}{R}

oraz

cos ϕ = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}} = \frac{R}{Z} .

Oznacza to, że średnia moc źródła napięcia zmiennego wynosi

P_{śr} = I_{sk} U_{sk} cos ϕ = \frac{U_{sk}}{Z} U_{sk} \frac{R}{Z} = \frac{U_{sk}^{2} R}{Z^{2}} .

15.14

Można to również zapisać jako

P_{śr} = I_{sk}^{2} R,

co oznacza, że moc wytwarzana przez źródło rozpraszana jest na oporniku. Prawo Ohma dla wartości skutecznych prądu zmiennego powstaje przez podzielenie napięcia skutecznego przez moduł impedancji obwodu.

Przykład 15.3

Moc wytwarzana przez generator

Generator napięcia zmiennego wytwarzający SEM opisaną równaniem

u (t) = 4 V \cdot sin (10^{4} rad ∕ s \cdot t)

podłączony jest do obwodu RLC, w którym $L = 2 \cdot 10^{- 3} H$ , $C = 4 \cdot 10^{- 6} F$ , a $R = 5 Ω$ .

Ile wynosi wartość skuteczna napięcia na generatorze?
Ile wynosi impedancja obwodu?
Ile wynosi średnia moc wydzielana w obwodzie?

Strategia rozwiązania

Wartość skuteczna napięcia równa jest amplitudzie napięcia podzielonej przez czynnik

\sqrt{2}

. Induktancja obwodu zależy od oporu i reaktancji kondensatora i cewki. Średnia moc wydzielana w obwodzie może zostać wyliczona z Równania 15.14, dokładniej z ostatniej jego postaci, ponieważ znamy impedancję obwodu

Z

, napięcie skuteczne

U_{sk}

i opór

R

.

Rozwiązanie

Ponieważ $U_{0} = 4 V$ , napięcie skuteczne na generatorze jest równe
$U_{sk} = \frac{4 V}{\sqrt{2}} = 2,83 V .$
Impedancja obwodu wynosi
$\begin{multiline} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= [(\SI{5}{\ohm})^2 + (10^4 \si{\radian\per\second} \cdot \SI{2e-3}{\henry} - \frac{1}{10^4 \si{\radian\per\second} \cdot \SI{4e-6}{\farad}})^2]^{1/2} \\ &= \SI{7,07}{\ohm} \text{.} \end{multiline}$
Z Równania 15.14 średnia moc wydzielana w obwodzie wynosi
$P_{śr} = \frac{U_{sk}^{2} R}{Z^{2}} = \frac{{(2,83 V)}^{2} \cdot 5 Ω}{{(7,07 Ω)}^{2}} = 0,8 W .$

Znaczenie

Jeśli opór jest znacząco większy od reaktancji kondensatora lub cewki, średnia moc wydzielana w obwodzie jest opisana wzorem dla obwodu prądu stałego

P = U^{2} ∕ R

, gdzie zamiast

U

występuje wartość skuteczna.

Sprawdź, czy rozumiesz 15.4

Miernik prądu zmiennego, podłączony do wyjścia 45-hercowego generatora napięcia zmiennego, wyświetla wartość $7,07 V$ . Zapisz wyrażenie na SEM tego generatora.

Sprawdź, czy rozumiesz 15.5

Pokaż, że napięcia skuteczne na oporniku, kondensatorze i cewce w obwodzie prądu zmiennego, gdzie natężenie prądu ma wartość $I_{sk}$ , wynoszą kolejno $I_{sk} R$ , $I_{sk} X_{C}$ i $I_{sk} X_{L}$ . Ustal wartości tych napięć dla elementów obwodu RLC z Równania 15.12.

15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego

Moc wytwarzana przez generator

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie