Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • analizować obwody zawierające cewkę indukcyjną i opornik połączone szeregowo;
  • opisywać, jak prąd i napięcie zmieniają się wykładniczo w zależności od warunków początkowych.

Obwód posiadający opór i indukcyjność własną nazywamy w skrócie obwodem RL. Ilustracja 14.12 (a) przedstawia tego rodzaju obwód z następującymi elementami: opornikiem, cewką indukcyjną, baterią generującą stałą SEM oraz dwoma przełącznikami S 1 S 1 i S 2 S 2 . Przy zamkniętym przełączniku S 1 S 1 otrzymujemy obwód zawierający wszystkie elementy połączone szeregowo: baterię, cewkę i opornik, natomiast przy zamkniętym S 2 S 2 (i otwartym S 1 S 1 ) mamy obwód z odłączoną baterią. Te dwie sytuacje przedstawione są na Ilustracji 14.12 (b) i (c).

Rysunek (a) pokazuje opornik R i cewkę L połączone szeregowo z dwoma otwartymi przełącznikami leżącymi wobec siebie równolegle. Oba przełączniki są otwarte. Zamknięcie przełącznika S1 uruchamia połączenie szeregowe z R i L i baterią, której terminal dodatni skierowany jest ku L. Zamykając przełącznik S2 zamykamy obieg R i L z baterią. Rysunek (b) pokazuje zamknięty obwód z R, L i baterią w połączeniu szeregowym. Strona L skierowana ku baterii ma potencjał dodatni. Prąd płynie od końcówki dodatniej L ku ujemnej. Rysunek (c) pokazuje połączone szeregowo R i L. Potencjał poprzez L jest skierowany odwrotnie, ale prąd biegnie w tym samym kierunku, jak na rysunku (b).
Ilustracja 14.12 Obwód RL z przełącznikami S 1 S 1 i S 2 S 2 . Przedstawione są obwody otrzymane przez (b) zamknięcie S 1 S 1 i pozostawienie S 2 S 2 otwartym, (c) zamknięcie S 2 S 2 i pozostawienie S 1 S 1 otwartym.

W momencie zamknięcia S 1 S 1 bateria zaczyna generować prąd płynący przez obwód. Gdybyśmy pominęli indukcyjność własną obwodu, natężenie natychmiast wzrosłoby do stałej wartości ε R εR. W opisywanej sytuacji w obwodzie pojawia się jendak dodatkowa SEM uLt=LditdtuLt=Lditdt u_L \apply (t) = - L \cdot \d i\apply (t) / \d t, przeciwdziałająca nagłej zmianie prądu zgodnie z regułą Lenza. W rezultacie itit i \apply (t) początkowo jest równe zero, a następnie rośnie asymptotycznie do wartości końcowej. Na mocy prawa Kirchoffa możemy zapisać

εLdidtiR=0.εLdidtiR=0. \epsilon - L \frac{\d i}{\d t} - i R = 0 \text{.}
14.23

Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na I t I t . Zauważmy jego podobieństwo do równania wyprowadzonego wcześniej dla obwodu RC (Obwody RC). Równanie 14.23 może być rozwiązane w analogiczny sposób, zastępując człony pojemnościowe indukcyjnymi, co da nam

i t = ε R 1 e R t L = ε R 1 e t τ L , i t = ε R 1 e R t L = ε R 1 e t τ L ,
14.24

gdzie

τL=LRτL=LR \tau_L = \frac{L}{R}
14.25

jest stałą czasową obwodu RL (ang. inductive time constant).

Zależność i t i t wykreślona jest na Ilustracji 14.13 (a). Zaczyna się w zerze, a kiedy t t dąży asymptotycznie do ε R εR. Indukowana SEM u L t u L t jest wprost proporcjonalna do d i d t d i d t , czyli nachylenia krzywej i t i t . Wobec tego indukowana SEM zbiega w granicy bardzo długiego czasu do zera, a obwód staje się równoważny opornikowi podłączonemu do źródła SEM.

Rysunek (a) przedstawia wykres prądu elektrycznego l w zależności od czasu t. Aktualnie wzrasta wraz z czasem krzywej, która wyrównuje się przy epsilon I R. W t równym tau ze znakiem L wartość I wynosi 0,63 epsilon I R. Rysunek (b) pokazuje wykres wielkości indukowanego napięcia, z wartością bezwzględną V ze znakiem L, w stosunku do czasu t. Wartość V ze znakiem L startuje od wartości epsilon i opada z czasem wzdłuż krzywej osiągając zero. W t równym tau ze znakiem L, wartość I wynosi 0,37 epsilon.
Ilustracja 14.13 Wykresy w funkcji czasu: (a) natężenia prądu i (b) SEM indukowanej w obwodzie przedstawionym na Ilustracji 14.12 (b).

Energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki jest równa

u B = 1 2 L I 2 . u B = 1 2 L I 2 .
14.26

Maksymalna wartość zmagazynowanej energii wynosi L ε R 2 2 L ε R 2 2 przy maksymalnym natężeniu wynoszącym ε R εR.

Stała czasowa τ L τ L mówi nam o szybkości wzrostu natężenia prądu do jego końcowej wartości. Natężenie prądu w czasie t = τ L t= τ L wyliczymy z Równania 14.24

i τ L = ε R 1 e 1 = 0,63 ε R . i τ L = ε R 1 e 1 = 0,63 ε R .
14.27

Wynosi ono 63 % 63% końcowej wartości ε R εR. Im mniejsza stała czasowa τ L = L R τ L = L R , tym szybsze są te zmiany.

Zmienność w czasie indukowanej przez cewkę SEM możemy znaleźć, korzystając z tego, że u L t = L d I d t u L t = L d I d t i z Równania 14.24

u L t = L d I d t = ε e t τ L . u L t = L d I d t = ε e t τ L .
14.28

Jej wartość w zależności od czasu przedstawiona jest na Ilustracji 14.13 (b). W chwili zamknięcia S 1 S 1 i otwarcia S 2 S 2 , SEM ma maksymalną wartość ε ε, gdyż d I d t d I d t jest wtedy największe. Następnie układ zbiega do stanu ustalonego, kiedy natężenie prądu przestaje się zmieniać. Wtedy też indukowana SEM zbiega do zera. Stała czasowa obwodu określa szybkość tych zmian. W chwili t = τ L t= τ L wielkość indukowanej SEM wynosi

u L τ L = ε e 1 = 0,37 ε = 0,37 u L 0 s . u L τ L = ε e 1 = 0,37 ε = 0,37 u L 0 s .
14.29

Po upływie czasu równego jednej stałej czasowej indukowane napięcie wynosi więc 37 % 37% wartości początkowej. Im mniejsza stała czasowa, tym wyższa szybkość tych zmian.

Po pewnym czasie natężenie prądu osiągnie w przybliżeniu swoją końcową wartość. W tym momencie zmieniamy pozycję obu przełączników, w efekcie otrzymując obwód przedstawiony na Ilustracji 14.12 (c). Prąd płynący w obwodzie ma wtedy natężenie i 0 s = ε R i 0 s = ε R . Z prawa Kirchoffa zapiszemy

i R + L d i d t = 0 V . i R + L d i d t = 0 V .
14.30

Rozwiązanie tego równania przebiega podobnie jak dla rozładowującego się kondensatora. Natężenie prądu w chwili t t zapisuje się równaniem

i t = ε R e t τ L . i t = ε R e t τ L .
14.31

Początkowo natężenie i 0 s = ε R i 0 s = ε R , a następnie zanika, podczas gdy zużywana jest energia zmagazynowana na cewce indukcyjnej (Ilustracja 14.14). Zależność indukowanego SEM od czasu wynosi

u L t = ε e t τ L . u L t = ε e t τ L .
14.32

Początkowa SEM wynosi u L 0 s = ε u L 0 s =ε i zbiega do zera, podobnie jak natężenie prądu i energia pola magnetycznego cewki L I 2 2 L I 2 2, która rozpraszana jest na oporze w postaci ciepła Joule’a.

Wykres l w stosunku do t. Wartość l na t równym zero do 0 wynosi epsilon I R. I spada w czasie wzdłuż krzywej osiągającej 0. Na t równym tau ze znakiem L, wartość l wynosi 0,37 epsilon I R.
Ilustracja 14.14 Zachowanie się natężenia prądu w obwodzie RL przedstawionym na Ilustracji 14.12 (c). Indukowana SEM również zanika wykładniczo.

Przykład 14.4

Obwód RL ze źródłem SEM

Rozważmy obwód przedstawiony na Ilustracji 14.12 (a) z ε = 2 V ε= 2 V , R = 4 Ω R= 4 Ω i L = 4 H L= 4 H . Przy zamkniętym przełączniku S 1 S 1 i otwartym S 2 S 2 Ilustracja 14.12 (b).
  1. Ile wynosi stała czasowa obwodu?
  2. Ile wynosi natężenie prądu w obwodzie i wielkość SEM indukowanej w cewce w chwilach czasu t = 0 s t= 0 s , t = 2 τ L t= 2 τ L oraz t t?

Strategia rozwiązania

Stała czasowa może być obliczona z Równania 14.25. Natężenie prądu płynącego przez cewkę indukcyjną i indukowana SEM znaleziona będzie z Równania 14.24 i Równania 14.32.

Rozwiązanie

  1. Stała czasowa dla tego obwodu wynosi
    τ L = L R = 4 H 4 Ω = 1 s . τ L = L R = 4 H 4 Ω = 1 s .
  2. Natężenie prądu w obwodzie rośnie zgodnie z Równaniem 14.24
    i t = ε R 1 e t τ L . i t = ε R 1 e t τ L .
    W chwili t = 0 s t= 0 s
    1etτL=11=0i0s=0A.1etτL=11=0i0s=0A. 1 - e^{-t/\tau_L} = 1-1 = 0 \implies i\apply (\SI{0}{\second}) = \SI{0}{\ampere} \text{.}
    W chwili t = 2 τ L t= 2 τ L
    i 2 τ L = ε R 1 e 2 = 0,5 A 0,86 = 0,43 A . i 2 τ L = ε R 1 e 2 = 0,5 A 0,86 = 0,43 A .
    Natomiast w t t
    i t = ε R = 0,5 A . i t = ε R = 0,5 A .
    Wartość indukowanej SEM maleje zgodnie z Równaniem 14.32
    u L t = ε e t τ L . u L t = ε e t τ L .
    W chwilach czasu t = 0 s t= 0 s , t = 2 τ L t= 2 τ L i t t otrzymujemy
    uL0s=ε=2V,uL2τL=εe-2=0,27V,uLt=0V.uL0s=ε=2V,uL2τL=εe-2=0,27V,uLt=0V. \begin{align} \abs{u_L \apply (\SI{0}{\second})} &= \epsilon = \SI{2}{\volt} \text{,} \\ \abs{u_L \apply (2\tau_L)} &= \epsilon e^{-2} = \SI{0,27}{\volt} \text{,} \\ \abs{u_L \apply (t \to \infty)} &= \SI{0}{\volt} \text{.} \end{align}

Znaczenie

Jeśli odstęp czasowy między pomiarami jest znacznie większy od stałej czasowej, nie zaobserwujemy wykładniczego zaniku albo wzrostu napięcia na cewce indukcyjnej i oporniku. Tak jak przedstawiono to na Ilustracji 14.15, mierzone napięcia szybko osiągają końcowe wartości.
Rysunki (a), (b) i (c) przedstawiają oscyloskopowe ślady napięcia w stosunku do czasu, napięcia na źródle, napięcia na induktorze i odpowiednio napięcia na oporniku. Rysunek (a) jest prostokątną krzywą o różnych wartościach od minus 12 woltów do plus 12 woltów z okresem od minus 10 ms do minus 0.001 ms. Rysunek (b) przedstawia prostokątną krzywą o różnych wartościach od minus 6 woltów ze szpicem 16 woltów na początku każdego grzebienia i szpicem minus 16 woltów na początku każdej niecki. Okres jest taki sam jak na rysunku (a). Rysunek (c) przedstawia prostokątną krzywą o różnych wartościach od minus 0,3 do plus 0.3 woltów, ze szpicami wychodzącymi poza obszar ze śladami w kierunku dodatnim na początku każdego grzebienia i niecki. Okres fali jest od minus 9.985 do plus 0.015 ms.
Ilustracja 14.15 Jako źródło prądu do obwodu RL przyłączono generator napięcia prostokątnego. Na wykresach przedstawione jest zachowanie w czasie (a) napięcia źródła, (b) napięcia na cewce indukcyjnej, (c) napięcia na oporniku.

Przykład 14.5

Obwód RL bez źródła SEM

Po osiągnięciu przez obwód z Przykładu 14.4 stanu ustalonego pozycja obu przełączników jest odwrócona i otrzymujemy obwód z wypiętą baterią – Ilustracja 14.12 (c).
  1. Po jakim czasie natężenie prądu spadnie do połowy początkowej wartości?
  2. Po jakim czasie energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej spadnie do 1 % 1% wartości maksymalnej?

Strategia rozwiązania

Na oporze występującym w obwodzie rozpraszana będzie energia prądu, więc jego natężenie będzie teraz malało wykładniczo. W punktach (a) i (b) skorzystamy z tego samego wyrażenia na i t i t , najpierw bezpośrednio wyliczając natężenie, a potem podstawiając do wyrażenia na energię zmagazynowaną w cewce.

Rozwiązanie

  1. Po zmianie pozycji przełączników natężenie prądu zanika zgodnie z równaniem
    it=εRetτL=i0setτL.it=εRetτL=i0setτL.
    W szukanym czasie natężenie prądu wynosi połowę początkowej wartości
    it=0,5i0setτL=0,5,it=0,5i0setτL=0,5, i\apply (t) = \num{0,5} \cdot i\apply (\SI{0}{\second}) \implies e^{-t/\tau_L} = \num{0,5}\text{,}
    więc
    t=ln0,5τL=0,691s=0,69s,t=ln0,5τL=0,691s=0,69s,
    gdzie skorzystaliśmy ze stałej czasowej obliczonej w poprzednim przykładzie.
  2. Energia zmagazynowana w cewce indukcyjnej wynosi
    E L t = 1 2 L i t 2 = 1 2 L ε R e t τ L 2 = L e 2 2 R 2 e 2 t τ L . E L t = 1 2 L i t 2 = 1 2 L ε R e t τ L 2 = L e 2 2 R 2 e 2 t τ L .
    Energia spada do 1%1% \SI{1}{\percent} wartości początkowej, otrzymujemy więc
    ELt=0,01EL0s lub Le22R2e2tτL=0,01Le22R2.ELt=0,01EL0s lub Le22R2e2tτL=0,01Le22R2.
    Po skróceniu i zlogarytmowaniu obu stron ostatniego równania otrzymujemy
    2tτL=ln0,01,2tτL=ln0,01,
    zatem
    t=12τLln0,01.t=12τLln0,01.
    Skoro τ L = 1 s τ L = 1 s , to energia zmagazynowana w cewce osiągnie 1 % 1% początkowej wartości po czasie
    t=121sln0,01=2,3s.t=121sln0,01=2,3s.

Znaczenie

W obliczeniach przyjęliśmy, że przed przełączeniem przełączników S 1 S 1 i S 2 S 2 w obwodzie (b) ustaliła się maksymalna wartość natężenia prądu. W przeciwnym razie początkowe natężenie byłoby niższe i zanikałoby według tego samego równania.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.7

Wykaż, że R C RC i L R LR mają wymiar czasu.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.8

  1. Ile wynosi stała czasowa obwodu z Ilustracji 14.12 (b), jeśli po czasie 5 s 5s natężenie rośnie do 90 % 90% maksymalnej wartości?
  2. Ile wynosi indukcyjność własna cewki, jeśli R = 20 Ω R= 20 Ω ?
  3. Po jakim czasie natężenie osiągnie 90 % 90% maksymalnej wartości, jeśli R R zwiększy się z 20 Ω 20Ω do 100 Ω 100Ω?

Sprawdź, czy rozumiesz 14.9

Wykaż, że po ustaleniu się stanu obwodu z Ilustracji 14.12 (b) różnica całkowitej energii wytworzonej przez baterię i rozproszonej na oporniku równa będzie energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.