14.4 Obwody RL

Obwód posiadający opór i indukcyjność własną nazywamy w skrócie obwodem RL. Ilustracja 14.12 (a) przedstawia tego rodzaju obwód z następującymi elementami: opornikiem, cewką indukcyjną, baterią generującą stałą SEM oraz dwoma przełącznikami $S_1$ i $S_2$. Przy zamkniętym przełączniku $S_1$ otrzymujemy obwód zawierający wszystkie elementy połączone szeregowo: baterię, cewkę i opornik, natomiast przy zamkniętym $S_2$ (i otwartym $S_1$) mamy obwód z odłączoną baterią. Te dwie sytuacje przedstawione są na Ilustracji 14.12 (b) i (c).

Ilustracja 14.12 Obwód RL z przełącznikami $S_1$ i $S_2$. Przedstawione są obwody otrzymane przez (b) zamknięcie $S_1$ i pozostawienie $S_2$ otwartym, (c) zamknięcie $S_2$ i pozostawienie $S_1$ otwartym.

W momencie zamknięcia $S_1$ bateria zaczyna generować prąd płynący przez obwód. Gdybyśmy pominęli indukcyjność własną obwodu, natężenie natychmiast wzrosłoby do stałej wartości $\epsilon ∕R$. W opisywanej sytuacji w obwodzie pojawia się jendak dodatkowa SEM $u_L\left(t\right)=-L\cdot di\left(t\right)∕dt$, przeciwdziałająca nagłej zmianie prądu zgodnie z regułą Lenza. W rezultacie $i\left(t\right)$ początkowo jest równe zero, a następnie rośnie asymptotycznie do wartości końcowej. Na mocy prawa Kirchoffa możemy zapisać

Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na $I\left(t\right)$. Zauważmy jego podobieństwo do równania wyprowadzonego wcześniej dla obwodu RC (Obwody RC). Równanie 14.23 może być rozwiązane w analogiczny sposób, zastępując człony pojemnościowe indukcyjnymi, co da nam

gdzie

jest stałą czasową obwodu RL (ang. inductive time constant).

Zależność $i\left(t\right)$ wykreślona jest na Ilustracji 14.13 (a). Zaczyna się w zerze, a kiedy $t⟶\infty$ dąży asymptotycznie do $\epsilon ∕R$. Indukowana SEM $u_L\left(t\right)$ jest wprost proporcjonalna do $di∕dt$, czyli nachylenia krzywej $i\left(t\right)$. Wobec tego indukowana SEM zbiega w granicy bardzo długiego czasu do zera, a obwód staje się równoważny opornikowi podłączonemu do źródła SEM.

Ilustracja 14.13 Wykresy w funkcji czasu: (a) natężenia prądu i (b) SEM indukowanej w obwodzie przedstawionym na Ilustracji 14.12 (b).

Energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki jest równa

Maksymalna wartość zmagazynowanej energii wynosi $L{\left(\epsilon ∕R\right)}^2∕2$ przy maksymalnym natężeniu wynoszącym $\epsilon ∕R$.

Stała czasowa ${\tau }_L$ mówi nam o szybkości wzrostu natężenia prądu do jego końcowej wartości. Natężenie prądu w czasie $t={\tau }_L$ wyliczymy z Równania 14.24

Wynosi ono $63\mathrm{\%}$ końcowej wartości $\epsilon ∕R$. Im mniejsza stała czasowa ${\tau }_L=L∕R$, tym szybsze są te zmiany.

Zmienność w czasie indukowanej przez cewkę SEM możemy znaleźć, korzystając z tego, że $u_L\left(t\right)=-L\cdot dI∕dt$ i z Równania 14.24

Jej wartość w zależności od czasu przedstawiona jest na Ilustracji 14.13 (b). W chwili zamknięcia $S_1$ i otwarcia $S_2$, SEM ma maksymalną wartość $\epsilon$, gdyż $dI∕dt$ jest wtedy największe. Następnie układ zbiega do stanu ustalonego, kiedy natężenie prądu przestaje się zmieniać. Wtedy też indukowana SEM zbiega do zera. Stała czasowa obwodu określa szybkość tych zmian. W chwili $t={\tau }_L$ wielkość indukowanej SEM wynosi

Po upływie czasu równego jednej stałej czasowej indukowane napięcie wynosi więc $37\mathrm{\%}$ wartości początkowej. Im mniejsza stała czasowa, tym wyższa szybkość tych zmian.

Po pewnym czasie natężenie prądu osiągnie w przybliżeniu swoją końcową wartość. W tym momencie zmieniamy pozycję obu przełączników, w efekcie otrzymując obwód przedstawiony na Ilustracji 14.12 (c). Prąd płynący w obwodzie ma wtedy natężenie $i\left(0\mathrm{s}\right)=\epsilon ∕R$. Z prawa Kirchoffa zapiszemy

Rozwiązanie tego równania przebiega podobnie jak dla rozładowującego się kondensatora. Natężenie prądu w chwili $t$ zapisuje się równaniem

Początkowo natężenie $i\left(0\mathrm{s}\right)=\epsilon ∕R$, a następnie zanika, podczas gdy zużywana jest energia zmagazynowana na cewce indukcyjnej (Ilustracja 14.14). Zależność indukowanego SEM od czasu wynosi

Początkowa SEM wynosi $u_L\left(0\mathrm{s}\right)=\epsilon$ i zbiega do zera, podobnie jak natężenie prądu i energia pola magnetycznego cewki $L{I}^2∕2$, która rozpraszana jest na oporze w postaci ciepła Joule’a.

Ilustracja 14.14 Zachowanie się natężenia prądu w obwodzie RL przedstawionym na Ilustracji 14.12 (c). Indukowana SEM również zanika wykładniczo.

Przykład 14.4

Obwód RL ze źródłem SEM

Rozważmy obwód przedstawiony na Ilustracji 14.12 (a) z $\epsilon =2\mathrm{V}$, $R=4\mathrm{\Omega }$ i $L=4\mathrm{H}$. Przy zamkniętym przełączniku $S_1$ i otwartym $S_2$ – Ilustracja 14.12 (b).

1. Ile wynosi stała czasowa obwodu?
2. Ile wynosi natężenie prądu w obwodzie i wielkość SEM indukowanej w cewce w chwilach czasu $t=0\mathrm{s}$, $t=2{\tau }_L$ oraz $t⟶\infty$?

Strategia rozwiązania

Stała czasowa może być obliczona z Równania 14.25. Natężenie prądu płynącego przez cewkę indukcyjną i indukowana SEM znaleziona będzie z Równania 14.24 i Równania 14.32.

Rozwiązanie

1. Stała czasowa dla tego obwodu wynosi
   $${\tau }_L=\frac{L}{R}=\frac{4\mathrm{H}}{4\mathrm{\Omega }}=1\mathrm{s}\text{.}$$
2. Natężenie prądu w obwodzie rośnie zgodnie z Równaniem 14.24
   $$i\left(t\right)=\frac{\epsilon }{R}\left(1-e^{-t∕{\tau }_L}\right)\text{.}$$
   W chwili $t=0\mathrm{s}$
   $$1-e^{-t∕{\tau }_L}=1-1=0\Rightarrow i\left(0\mathrm{s}\right)=0\mathrm{A}\text{.}$$
   W chwili $t=2{\tau }_L$
   $$i\left(2{\tau }_L\right)=\frac{\epsilon }{R}\left(1-e^{-2}\right)=\mathrm{0,5}\mathrm{A}\cdot \mathrm{0,86}=\mathrm{0,43}\mathrm{A}\text{.}$$
   Natomiast w $t⟶\infty$
   $$i\left(t⟶\infty \right)=\frac{\epsilon }{R}=\mathrm{0,5}\mathrm{A}\text{.}$$
   Wartość indukowanej SEM maleje zgodnie z Równaniem 14.32
   $$\left|u_L\left(t\right)\right|=\epsilon e^{-t∕{\tau }_L}\text{.}$$
   W chwilach czasu $t=0\mathrm{s}$, $t=2{\tau }_L$ i $t⟶\infty$ otrzymujemy

Znaczenie

Jeśli odstęp czasowy między pomiarami jest znacznie większy od stałej czasowej, nie zaobserwujemy wykładniczego zaniku albo wzrostu napięcia na cewce indukcyjnej i oporniku. Tak jak przedstawiono to na Ilustracji 14.15, mierzone napięcia szybko osiągają końcowe wartości.

Ilustracja 14.15 Jako źródło prądu do obwodu RL przyłączono generator napięcia prostokątnego. Na wykresach przedstawione jest zachowanie w czasie (a) napięcia źródła, (b) napięcia na cewce indukcyjnej, (c) napięcia na oporniku.