William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać, jak energia może być magazynowana w polu magnetycznym;
wyprowadzać wzór na energię zmagazynowaną w kablu koncentrycznym wytwarzającym pole magnetyczne o danej gęstości energii.

W polu elektrycznym pomiędzy okładkami kondensatora magazynowana jest energia. W analogiczny sposób energia może być gromadzona również w polu magnetycznym cewki indukcyjnej. Obliczenie tej energii jest możliwe przez scałkowanie gęstości energii pola magnetycznego (ang. magnetic energy density)

u_{B} = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}

14.18

po odpowiedniej objętości. By zrozumieć, jak otrzymaliśmy to równanie, rozważmy długi, cylindryczny solenoid opisany w poprzedniej sekcji. W przybliżeniu nieskończonej cewki pole wewnątrz jest jednorodne i wynosi $B = μ_{0} n I$ . Zmagazynowana energia również jest rozłożona w sposób jednorodny. Zapiszemy ją jako iloczyn gęstości energii pola magnetycznego i objętości cewki

E_B = u_B V = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} \cdot S l = \frac12 \mu_0 n^2 S l I^2 \text{.}

14.19

Wyznaczoną zależność podstawimy do Równania 14.14, by otrzymać

E_B = \frac12 LI^2 \text{.}

14.20

Równanie to, choć wyprowadzone dla szczególnego przypadku, słuszne jest dla każdej cewki indukcyjnej. Możemy to wykazać, rozważając cewkę indukcyjną o dowolnej geometrii, przez którą płynie prąd. W każdym momencie wartość indukowanej SEM jest równa $\epsilon = L \d i / \d t$ , więc moc absorbowana przez cewkę wynosi

P = ε i = L \frac{d i}{d t} i .

14.21

Całkowitą energię zmagazynowaną w polu magnetycznym, gdy natężenie prądu rośnie od $\num{0}$ do $I$ w czasie od $\num{0}$ do $t$ , otrzymamy, całkując powyższe równanie

E_B = \int_0^t P\d t' = \int_0^t L \frac{\d i}{\d t'} i \d t' = L \int_0^I i \d i = \frac12 LI^2 \text{.}

14.22

Przykład 14.3

Indukcyjność własna kabla koncentrycznego

Na Ilustracji 14.11 przedstawione są dwa współosiowe cylindry o promieniach

R_{1}

i

R_{2}

. Wykorzystamy je, podobnie jak miało to miejsce w rozdziale Pojemność elektryczna, gdzie liczyliśmy pojemność takiego układu – jako uproszczony model kabla koncentrycznego (ang. coaxial cable). W tym przykładzie wyznaczymy

zmagazynowaną energię pola magnetycznego;
indukcyjność własną na jednostkę długości kabla.

Rysunek (a) pokazuje dwa ułożone koncentrycznie puste cylindry. Promień komory wewnętrznej jest R1. a zewnętrznej R 2. Rysunek (b) pokazuje linię kropkowaną koła o promieniu r między dwoma cylindrami. Wykres (c) pokazuje cylinder o długości l i promieniu r między obydwoma cylindrami. Jego grubość wynosi dr. — Ilustracja 14.11 (a) Koncentryczny kabel modelowo przedstawiamy jako dwa puste, cylindryczne przewodniki, przez które płynie prąd w przeciwnych kierunkach. (b) Pole magnetyczne pomiędzy przewodnikami można obliczyć z prawa Ampère’a zastosowanego do zaznaczonego pierścienia. (c) Energię pola magnetycznego na jednostkę długości znajdziemy, całkując po cylindrycznej powłoce o jednostkowej długości.

Strategia rozwiązania

Pole magnetyczne na zewnątrz i wewnątrz kabla koncentrycznego wyznaczymy z prawa Ampère’a. Wynik wstawimy do Równania 14.22 w celu policzenia gęstości energii. Następnym krokiem jest scałkowanie gęstości energii pomnożonej przez infinitezymalny element objętości. W ten sposób otrzymamy zmagazynowaną energię, a indukcyjność własną cewki wyznaczymy z Równania 14.22.

Rozwiązanie

Pole magnetyczne między przewodnikami wyznaczamy z prawa Ampère’a (część (b) Ilustracji 14.11), obliczając całkę krzywoliniową po pierścieniu o promieniu $r$ , gdzie $R_{1} < r < R_{2}$ . Ze względu na symetrię problemu, $\vec{B}$ jest stałe wzdłuż krzywej całkowania. Mamy więc
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = B \cdot 2 π r = μ_{0} I,$
co daje nam
$B = \frac{μ_{0} I}{2 π r} .$
Na zewnątrz kabla z prawa Ampère’a otrzymamy $B=\SI{0}{\tesla}$ , gdyż wypadkowe natężenie prądu jest równe zero, gdy $r > R_{2}$ , podobnie jak byłoby to wewnątrz mniejszego cylindra dla $r < R_{1}$ . Cała energia pola magnetycznego zmagazynowana jest więc między cylindrami. Gęstość energii wynosi
$u_{B} = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}} = \frac{μ_{0} I^{2}}{8 π^{2} r^{2}},$
a energia zawarta między powierzchniami cylindrycznymi o promieniach $r$ i $r + d r$ i długości $l$ wynosi
$d E_{L} = \frac{μ_{0} I^{2}}{8 π^{2} r^{2}} \cdot 2 π r l d r .$
Zatem całkowita energia pola magnetycznego na jednostkę długości
$E_B = \int_{E_B \apply (R_1)}^{E_B \apply (R_2)} \d E_B = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2} \cdot 2\pi r l \d r = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi} \ln(\frac{R_2}{R_1}) \text{.}$
Przypomnijmy Równanie 14.22
$E_B = \frac12 L I^2 \text{,}$
w którym $L$ jest indukcyjnością wzajemną koncentrycznego kabla o długości $l$ . Porównując stronami powyższe dwa równania, otrzymujemy
$\frac{L}{l} = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{.}$

Znaczenie

Indukcyjność własna na jednostkę długości zależy od ilorazu promieni cylindrów. Indukcyjność zbiega do zera w granicy nieskończenie małego rozstawu przewodników w kablu (

R_{1} = R_{2}

). Możemy również zaobserwować, że energia pola magnetycznego na jednostkę długości jest wprost proporcjonalna do kwadratu natężenia prądu.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.6

Jaka ilość energii zmagazynowana jest na cewce indukcyjnej z Przykładu 14.2, po tym jak natężenie prądu osiągnie maksymalną wartość?