William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

14.5 Oscylacje obwodów LC

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać, dlaczego prąd oscyluje między kondensatorem a cewką indukcyjną połączonymi szeregowo;
opisywać związek między oscylującym ładunkiem i natężeniem prądu w takim układzie.

Zarówno kondensatory, jak i cewki indukcyjne są urzędzeniami zdolnymi do magazynowania energii w ich polach elektrycznych (kondensator, ozn. $C$ ) i magnetycznych (cewka, ozn. $L$ ). Energia ta oscyluje między nimi, gdy są połączone w obwodzie, bez przyłożonej zewnętrznej SEM, pochodzącej na przykład z baterii. Koncepcje przedstawione w tej sekcji znajdują zastosowanie w ogólniejszych problemach transferu energii między polem elektrycznym i magnetycznym fali elektromagnetycznej, czyli światła. Rozważania zaczniemy od wyidealizowanego przypadku obwodu z zerowym oporem, czyli obwodu LC (ang. LC circuit).

Obwód LC przedstawiono schematycznie na Ilustracji 14.16. W chwili $t = 0 s$ , cała energia obwodu zmagazynowana jest w polu elektrycznym kondensatora – Ilustracja 14.16 (a). Ładunek zgromadzony w kondensatorze przed zamknięciem obwodu wynosi $q_{0}$ . Energię w kondensatorze zapiszemy wtedy równaniem

E_{C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{0}^{2}}{C} .

14.33

Kiedy zamykamy obwód, kondensator zaczyna się rozładowywać, a w obwodzie zaczyna płynąć prąd. Ten indukuje pole magnetyczne w cewce, którego natężenie stopniowo rośnie, podczas gdy spada natężenie pola elektrycznego w kondensatorze.

Rysunki od (a) poprzez (d) przedstawiają induktor połączony do kondensatora. Rysunek (a) jest oznaczony t = 0, T. Górna płytka kondensatora jest dodatnia. Przez obwód nie płynie żaden prąd. Rysunek (b) jest oznaczony t = T przez 4. Kondensator jest nienaładowany. Prąd I0 płynie z górnej płytki. Rysunek (c) jest oznaczony t = T przez 2. Polaryzacja kondensatora jest odwrócona, z dolną płytką naładowaną dodatnio. Przez obwód nie płynie żaden prąd. Rysunek (d) jest oznaczony 3T przez 4. Kondensator jest nienaładowany. Prąd I0 płynie z dolnej płytki. Rysunek (e) przedstawia dwie sinusoidy. Jedna z nich, q0 ma swe najwyższe punkty dla t = 0 i t = T. Przecina oś przy t = T przez 4 i t = 3T przez 4. Ma swój najniższy punkt t = 3T przez 4. Najniższy punkt jej koryta jest dla t = T przez 4. Przecina oś dla t = T przez 2 i t = T. — Ilustracja 14.16 (a-d) Oscylacja zmagazynowanego ładunku z zaznaczonym kierunkiem przepływu prądu. (e) Wykresy przedstawiają przebieg zmian ładunku i natężenia prądu między elementami obwodu LC.

Po pewnym czasie dojdzie do pełnego transferu energii. Kondensator zostanie całkowicie rozładowany, a cała energia zmagazynowana będzie w polu magnetycznym cewki – Ilustracja 14.16 (b). Natężenie prądu osiąga teraz maksymalną wartość $I_{0}$ , a energię cewki można wyrazić wzorem

E_{L} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} .

14.34

Pominęliśmy opór obwodu, zatem energia nie jest tracona w postaci ciepła Joule’a. Z tego wynika, że maksymalne energie zgromadzone na kondensatorze i na cewce muszą być sobie równe

\frac{1}{2} \cdot \frac{q_{0}^{2}}{C} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} .

14.35

W dowolnej chwili czasu $t$ , kiedy ładunek na kondensatorze wynosi $q (t)$ , a natężenie płynącego prądu $i (t)$ , całkowita energia $E_{\text{cał}}$ dana jest równaniem

E_{\text{cał}} \apply (t) = \frac{q^2 \apply (t)}{2C} + \frac{L i^2 \apply (t)}{2} \text{.}

A ponieważ pomijamy rozpraszanie energii, to

E_{cał} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2}}{C} + \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{0}^{2}}{C} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} .

14.36

Cewka indukcyjna przeciwdziała zmianom natężenia prądu, więc ten nie przestaje płynąć, nawet gdy kondensator jest rozładowany. Po osiągnięciu maksymalnej wartości $I_{0}$ prąd $i (t)$ powoduje dalsze przemieszczanie się ładunku między okładkami kondensatora, ponownie go ładując z odwróconą biegunowością. Pole elektryczne kondensatora ponownie rośnie, podczas gdy pole magnetyczne cewki maleje. W rezultacie energia przekazywana jest z powrotem do kondensatora. Spełniona musi być zasada zachowania energii, więc maksymalny ładunek, który znajdzie się na kondensatorze, wynosi znowu $q_{0}$ . Jak widać jednak na Ilustracji 14.16 (c), jego okładki naładowane są ładunkiem przeciwnego znaku niż miało to miejsce na początku.

Po całkowitym naładowaniu energia natychmiast zaczyna być przekazywana do cewki aż do pełnego rozładowania – Ilustracja 14.16 (d). Potem energia znów przepływa do kondensatora, a układ powraca do stanu początkowego.

Prześledziliśmy jeden pełen okres oscylacji w obwodzie. Zachodzące drgania elektromagnetyczne są analogiczne do drgań mechanicznych masy zawieszonej na sprężynie. W drugim przypadku energia oscyluje między ciężarkiem, którego energia kinetyczna wynosi $m v^{2} ∕ 2$ , a sprężyną, której energia potencjalna równa jest $k x^{2} ∕ 2$ . Tak jak w przypadku obwodu LC założyliśmy zerowy opór, tak tutaj możemy założyć, że tarcie jest pomijalnie małe. W tej sytuacji oscylacje będą powtarzały się w nieskończoność. Założenia te nie sprawdzają się w praktyce. Rzeczywisty obwód zawsze będzie miał skończony opór, na którym tracona będzie energia.

Dla układu mechanicznego wielkością analogiczną do natężenia prądu $i (t) = d q (t) ∕ d t$ jest prędkość ciężarka $v (t) = d x (t) ∕ d t$ . Całkowitą energię mechaniczną zapiszemy jako

E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} .

14.37

Analogia między poprzednim akapitem a Równaniem 14.36 jest ewidentna. Przechodząc z układu mechanicznego do elektromagnetycznego, zastępujemy po prostu $m$ przez $L$ , $v$ przez $i$ , $k$ przez $1 ∕ C$ , a $x$ przez $q$ . Skorzystajmy z tego, że znamy już rozwiązanie mechanicznego oscylatora harmonicznego

x (t) = A \cdot cos (ω t + ϕ),

14.38

gdzie $ω = \sqrt{k ∕ m}$ . Wobec tego ładunek zmagazynowany na kondensatorze w obwodzie LC dany jest analogicznym równaniem

q (t) = q_{0} \cdot cos (ω t + ϕ),

14.39

gdzie częstość kątowa oscylacji w obwodzie wynosi

ω = \sqrt{\frac{1}{L C}} .

14.40

Zapiszmy jeszcze wzór na natężenie prądu jako pochodną ładunku po czasie

i (t) = \frac{d q (t)}{d t} = - ω q_{0} \cdot sin (ω t + ϕ) .

14.41

Zachowanie w czasie $q (t)$ i $i (t)$ dla zerowego przesunięcia fazowego $ϕ = 0$ przedstawione jest na Ilustracji 14.16 (e).

Przykład 14.6

Obwód LC

W obwodzie LC indukcyjność własna cewki wynosi

2 \cdot 10^{- 2} H

, a pojemność kondensatora

8 \cdot 10^{- 6} F

. W chwili czasu

t = 0 s

cała energia zmagazynowana jest na kondensatorze naładowanym do

1,2 \cdot 10^{- 5} C

.

Ile wynosi częstość kątowa drgań w obwodzie?
Ile wynosi maksymalny prąd płynący w obwodzie?
Po jakim czasie kondensator rozładuje się całkowicie?
Znajdźmy równanie na $q (t)$ .

Strategia rozwiązania

Częstość kątowa dana jest Równaniem 14.40. Maksymalne natężenie prądu znajdziemy, korzystając z zasady zachowania energii dla obwodu (Równanie 14.35). Czas, w którym kondensator rozładuje się całkowicie, równy jest jednej czwartej pełnego okresu drgań, który łatwo obliczymy, znając częstość kątową. Wyrażenie na

q (t)

znajdziemy, podstawiając początkowy ładunek na kondensatorze i częstość kątową do Równania 14.39.

Rozwiązanie

Z Równania 14.40 wyliczamy częstość oscylacji
$ω = \sqrt{\frac{1}{L C}} = \sqrt{\frac{1}{2 \cdot 10^{- 2} H \cdot 8 \cdot 10^{- 6} F}} = 2,5 \cdot 10^{3} rad ∕ s .$
Prąd płynący w obwodzie ma maksymalne natężenie, kiedy cała energia, wcześniej zmagazynowana w całości na kondensatorze, przeniesiona zostanie na cewkę. Z zasady zachowania energii
$\frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{0}^{2}}{C},$
otrzymujemy
$I_{0} = \sqrt{\frac{1}{L C}} \cdot q_{0} = 2,5 \cdot 10^{3} rad ∕ s \cdot 1,2 \cdot 10^{- 5} C = 3 \cdot 10^{- 2} A .$
Innym sposobem znalezienia rozwiązania jest zastosowanie analogii do mechanicznego oscylatora harmonicznego i potraktowanie ładunku jako położenia, a natężenia prądu jako prędkości masy na sprężynie.
Kondensator ulega całkowitemu rozładowaniu po jednej czwartej pełnego okresu drgań
$\frac{1}{4} T = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{ω} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{2,5 \cdot 10^{3} rad ∕ s} = \frac{1}{4} \cdot 6,3 \cdot 10^{- 4} s .$
Rozważmy początkowy stan układu. W chwili $t = 0 s$ kondensator jest naładowany, więc $q (0 s) = q_{0}$ . Po wstawieniu do Równania 14.20 otrzymamy
$q (0 s) = q_{0} = q_{0} cos ϕ .$
Zatem $ϕ = 0$ , a równanie na $q (t)$ ostatecznie przybiera postać
$q (t) = 1,2 \cdot 10^{- 5} C \cdot cos (2,5 \cdot 10^{3} rad ∕ s \cdot t) .$

Znaczenie

Zależność, z której skorzystaliśmy w punkcie (b), można również wyprowadzić z pełnego wyrażenia na energię układu w dowolnej chwili czasu, kiedy część energii zmagazynowana jest na kondensatorze, a część – na cewce. By otrzymać równość z Równania 14.35, uwzględniamy stan w chwili, kiedy albo kondensator jest rozładowany, albo przez cewkę nie płynie prąd.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.10

Częstość kątowa drgań obwodu LC wynosi $2 \cdot 10^{3} rad ∕ s$ , natomiast $L = 0,1 H$ .

Ile wynosi pojemność kondensatora $C$ ?
W chwili czasu $t = 0 s$ cała energia zmagazynowana jest na cewce. Ile wynosi wartość przesunięcia fazowego $ϕ$ ?
Do obwodu wpięto drugi kondensator równolegle do pierwszego. Ile wynosi częstość kątowa oscylacji tego obwodu?