Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyznaczać częstość kątową oscylacji w obwodzie zawierającym opór, indukcyjność własną i pojemność (RLC);
  • odnosić drgania obwodu RLC do oscylatora harmonicznego z tłumieniem.

Obwód RLC (ang. RLC circuit) otrzymamy, jeśli rozważania z poprzedniej sekcji rozszerzymy o uwzględnienie skończonego oporu w obwodzie. Przyjmiemy, że opór podłączonych do obwodu urządzeń oraz przewodów tworzących połączenia możemy reprezentować w postaci pojedynczego opornika o oporze R R. Powoduje on rozpraszanie energii z szybkością i 2 R i 2 R po zamknięciu obwodu przedstawionego schematycznie na Ilustracji 14.17 (a). Uprzednio naładowany kondensator zaczyna się rozładowywać. Zmiany zmagazynowanej w obwodzie energii opisuje równanie

dEcałdt=qCdqdt+Lididt=i2R,dEcałdt=qCdqdt+Lididt=i2R, \frac{\d E_{\text{cał}}}{\d t} = \frac{q}{C} \cdot \frac{\d q}{\d t} + L i \frac{\d i}{\d t} = - i^2 R \text{,}
14.42

gdzie i i oraz q q zależą od czasu. Uprościmy nieco powyższy zapis

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = 0 . L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = 0 .
14.43
Rysunek a jest obwodem z kondensatorem, induktorem i rezystorem połączonych ze sobą szeregowo. Są one również połączone szeregowo z przełącznikiem, który jest otwarty. Rysunek b przedstawia wykres ładunku w stosunku do czasu. Ładunek ma maksymalną wartość, q0, w czasie t=0. Krzywa jest podobna do fali przypominającej sinusoidę, która redukuje amplitudę aż do wartości zerowej.
Ilustracja 14.17 (a) Obwód RLC. Oscylacje elektromagnetyczne mają swój początek w momencie zamknięcia obwodu. Zakładamy, że początkowo kondensator jest w pełni naładowany. (b) Zachowanie tłumionych oscylacji ładunku na kondensatorze q t q t . Początkowy ładunek wynosi q 0 q 0 .

To równanie jest analogiczne do równania ruchu masy zawieszonej na sprężynie z uwzględnieniem tłumienia

m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0 . m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0 .
14.44

Z tym równaniem po raz pierwszy spotkaliśmy się w rozdziale Drgania. Zobaczyliśmy tam, że rozwiązania mogą przyjmować trzy postacie, zależnie od wartości częstości kątowej nietłumionej sprężyny względem b 2 m b 2 m. Układ może być tłumiony słabo ( k m > b 2 m k m > b 2 m ), krytycznie ( k m = b 2 m k m = b 2 m ) albo silnie ( k m < b 2 m k m < b 2 m ). Podstawiając L L za m m, R R za b b, 1 C 1C za k k i q q za x x w Równaniu 14.44, przy założeniu 1 L C > R 2 L 1 L C > R 2 L otrzymujemy

q t = q 0 e R t 2 L cos ω t + ϕ , q t = q 0 e R t 2 L cos ω t + ϕ ,
14.45

gdzie częstość kątowa drgań dana jest wzorem

ω = 1 L C R 2 L 2 . ω = 1 L C R 2 L 2 .
14.46

Rozwiązanie odpowiadające słabemu tłumieniu przedstawione jest na Ilustracji 14.17 (b). Amplituda oscylacji zmniejsza się, gdyż energia rozpraszana jest na oporniku. Doświadczalnego potwierdzenia można dokonać, mierząc napięcie na kondensatorze w różnych chwilach czasu. Napięcie pomnożone przez pojemność da nam q t q t .

Materiały pomocnicze

Wypróbuj interaktywny generator obwodów (w języku angielskim) pozwalający na śledzenie zmian natężenia prądu i napięcia w czasie. Za jago pomocą możesz tworzyć obwody RLC o dowolnej topografii ze źródłami prądu stałego i zmiennego.

Materiały pomocnicze

Przejrzyj stronę zawierającą interaktywny applet Java (w języku angielskim), za pomocą którego będziesz mógł ćwiczyć rozwiązywanie zadań z obwodami prądu.

Sprawdź, czy rozumiesz 14.11

W obwodzie RLC L = 5 mH L= 5 mH , C = 6 µF C= 6 µF i R = 200 Ω R= 200 Ω .

  1. Określ, czy obwód jest tłumiony słabo, krytycznie czy silnie;
  2. Jeśli początkowy ładunek na kondensatorze wynosi 3 10 3 C 3 10 3 C, jak dużo energii rozproszy się na oporniku do momentu wygaśnięcia oscylacji?
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.