Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

6.1 Strumień pola elektrycznego

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 26.1 Strumień pola elektrycznego

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • definiować pojęcie strumienia;
  • opisywać strumień pola elektrycznego;
  • obliczać strumień pola elektrycznego w danych przypadkach.

Formalnie strumień (ang. flux) wyrażamy jako iloczyn skalarny pola wektorowego (w tym rozdziale – pola elektrycznego) i powierzchni. Strumień pola elektrycznego można zobrazować jako liczbę linii pola elektrycznego przechodzących przez powierzchnię (Ilustracja 6.3), która im większa, tym więcej linii pola przechodzi przez nią i tym samym większy jest strumień; podobnie im silniejsze jest pole elektryczne (co oznacza większą gęstość linii pola), tym większy jest strumień. Z drugiej strony, gdy obrócimy powierzchnię, tak że linie pola są równoległe do płaszczyzny, to żadna z linii nie przechodzi przez nią i strumień jest zerowy.

Rysunek pokazuje zacieniowaną powierzchnię w środku. Strzałki biegną z lewej do prawej, przed, za i przez zaznaczoną. Oznaczone są jako pole elektryczne.
Ilustracja 6.3 Strumień pola elektrycznego zawiera informację o „liczbie” linii pola elektrycznego przechodzących przez powierzchnię. Wartość liczbowa strumienia zależy od wartości natężenia pola elektrycznego, wielkości powierzchni i jej orientacji względem kierunku pola elektrycznego.

Makroskopowa analogia, która może pomóc w zrozumieniu tego pojęcia, to umieszczenie obręczy w rzece. Gdy zmieniamy kąt, jaki tworzy ona względem kierunku prądu rzeki, regulujemy strumień wody przepływający przez obręcz. Podobnie przepływ wody przez obręcz zależy od tego, jak silny jest prąd rzeki i jak wielka jest obręcz. Podkreślmy ponownie, że pojęcie strumienia jest bardzo ogólne; przykładowo możemy je również stosować do opisu ilości promieniowania słonecznego docierającego do panelu fotowoltaicznego czy też rejestrowanej w teleskopie ilości energii docierającej z odległych gwiazd.

Żeby wyrazić ilościowo to pojęcie, na Ilustracji 6.4 (a) pokazano płaską powierzchnię S 1 S 1 prostopadłą do linii jednorodnego pola elektrycznego E = E y ̂ E = E y ̂ . Jeżeli N N linii pola przechodzi przez powierzchnię S 1 S 1 , to z definicji linii pola elektrycznego (Ładunki elektryczne i pola) wiemy, że N S 1 E N S 1 E, czyli N E S 1 N E S 1 .

Wielkość E S 1 E S 1 jest strumieniem natężenia pola elektrycznego (ang. electric flux) przez S 1 S 1 . Strumień natężenia pola elektrycznego przez otwartą powierzchnię taką jak S 1 S 1 oznaczamy symbolem ΦEΦE \Phi_E. Jest on wielkością skalarną i jego jednostką w układzie SI jest N m 2 C N m 2 C. Zauważ, że N E S 1 N E S 1 można zapisać jako NΦENΦE N \propto \Phi_E, pokazując, że strumień natężenia pola elektrycznego jest miarą liczby linii pola elektrycznego przenikających przez powierzchnię.

Na rysunku a pokazany jest zacieniowany prostokąt w płaszczyźnie xz. Oznaczony jest S1. Przechodzą przez niego trzy strzałki, oznaczone E. Są one równoległe do osi y i skierowane wzdłuż dodatniej osi y. Rysunek b także przedstawia płaszczyznę S1 i strzałki E. Druga płaszczyzna, oznaczona S2, tworzy z płaszczyzną S1 kąt theta. Linia ich przecięcia jest równoległa do osi x. Strzałka oznaczona n z daszkiem tworzy kąt theta z E.
Ilustracja 6.4 (a) Płaska powierzchnia S 1 S 1 jest prostopadła do pola elektrycznego o natężeniu E j ̂ E j ̂ . N N linii pola przechodzi przez powierzchnię S 1 S 1 . (b) Powierzchnia S 2 S 2 , której rzut na płaszczyznę x z x z to S 1 S 1 . Ta sama liczba linii pola przenika obie powierzchnie.

Rozważmy teraz przykład płaskiej powierzchni, która nie jest prostopadła do pola. Jak przedstawiamy strumień natężenia pola elektrycznego dla takiego przypadku? Ilustracja 6.4 (b) pokazuje powierzchnię S 2 S 2 , która jest nachylona pod kątem θ θ w stosunku do płaszczyzny x z x z i której rzut na tę płaszczyznę wynosi S 1 S 1 . Związek pomiędzy powierzchniami jest dany przez S 2 cos θ = S 1 S 2 cos θ = S 1 . Ponieważ ta sama liczba linii pola przechodzi przez obie powierzchnie S 1 S 1 i S 2 S 2 , strumienie przez obie powierzchnie są takie same. Strumień przez S 2 S 2 wynosi więc ΦE=ES1=ES2cosθΦE=ES1=ES2cosθ \Phi_E = ES_1 = ES_2 \cos \theta. Wprowadzając n ̂ 2 n ̂ 2 jako wektor jednostkowy prostopadły do S 2 S 2 – zob. Ilustracja 6.4 (b), otrzymujemy

ΦE=En̂2S2.ΦE=En̂2S2. \Phi_E = \vec{E} \cdot \hat{n}_2 S_2 \text{.}

Materiały pomocnicze

Obejrzyj film, żeby zobaczyć, jak zmienia się strumień wraz ze zmianą powierzchni i jej nachylenia lub zmianą natężenia pola elektrycznego.

Wektor powierzchni

Przy omawianiu strumienia pola wektorowego wygodnie jest wprowadzić wektor powierzchni S S . Pozwala to na zapisanie ostatniego równania w bardziej spójnej postaci. Jaka powinna być długość wektora powierzchni? Jaki powinien być kierunek wektora powierzchni? Jakie są konsekwencje odpowiedzi udzielonych na powyższe pytania?

Wektor powierzchni (ang. area vector) dla płaskiej powierzchni S S ma następującą długość i kierunek:

  • długość jest równa liczbowo powierzchni ( S S );
  • skierowany jest wzdłuż normalnej do powierzchni ( n ̂ n ̂ ); to znaczy jest prostopadły do powierzchni.

Ponieważ normalna do płaskiej powierzchni może być zwrócona w górę lub w dół, zwrot wektora powierzchni dla otwartej powierzchni może zostać wybrany, tak jak pokazano na Ilustracji 6.5.

Rysunek pokazuje poziome płaszczyzny oznaczone S. Pierwsza ma dwie strzałki skierowane w górę poza płaszczyznę. Dłuższa oznaczona jest jako wektor S, a krótsza jako n z daszkiem. Druga płaszczyzna ma takie same strzałki ale skierowane w dół od płaszczyzny.
Ilustracja 6.5 Dla płaszczyzny otwartej należy wybrać zwrot wektora powierzchni; można to zrobić na dwa pokazane tutaj sposoby. Wektor powierzchni dla wycinka powierzchni zamkniętej jest z definicji zwrócony na zewnątrz. W ten sposób jednoznacznie określamy jego zwrot.

Ponieważ n ̂ n ̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni (wersorem), dla każdego punktu powierzchni można wybrać zwrot wektora powierzchni na dwa sposoby – Ilustracja 6.6 (a). Dla otwartej powierzchni możemy przyjąć jeden z dwóch możliwych zwrotów, ale wyboru tego musimy konsekwentnie przestrzegać. Część (c) Ilustracji 6.6 pokazuje kilka przypadków.

Rysunek a pokazuje prostokątną, zakrzywioną powierzchnię. Z jej środka wychodzą dwie strzałki, które są skierowane prostopadle w przeciwstawnych kierunkach. Oznaczone są jako n 1 z daszkiem i n 2 z daszkiem. Rysunek b ukazuje trójwymiarową powierzchnię podobną do żarówki. Z różnych miejsc z jej wnętrza wychodzi prostopadle i kieruje się na zewnątrz pięć strzałek oznaczonych każda jako n z daszkiem. Rysunek c przedstawia trzy prostokątne płaszczyzny oznaczone S1, S2 i S3. Dwie strzałki oznaczone n z daszkiem wychodzą z S1 w przeciwne strony, na zewnątrz, prostopadle do S1. Trzy strzałki oznaczone jako n z daszkiem prostopadłe do S2 skierowane są na zewnątrz, jedna w przeciwnym kierunku niż dwie pozostałe. Trzy strzałki są prostopadłe do S3. Wszystkie punkty, z których wychodzą znajdują się po tej samej stronie powierzchni.
Ilustracja 6.6 (a) Dla każdego punktu powierzchni możemy wybrać wektor jednostkowy normalny do powierzchni na dwa sposoby. (b) W celu obliczenia strumienia przez zamkniętą powierzchnię stosujemy wektor jednostkowy normalny do powierzchni, skierowany na zewnątrz powierzchni. (c) Tylko dla S 3 S 3 podano spójny zestaw wektorów normalnych, pozwalający na zdefiniowanie strumienia przez tę powierzchnię.

Jeżeli mamy do czynienia z zamkniętą powierzchnią, to otacza ona pewną objętość. W takim przypadku wektor normalny (ang. normal vector) w każdym punkcie powierzchni jest skierowany od jej wnętrza na zewnątrz. Dla zamkniętej powierzchni, takiej jak na Ilustracji 6.6 (b), n ̂ n ̂ jest wybrany tak, aby dla każdego punktu powierzchni był skierowany wzdłuż normalnej na zewnątrz, zgodnie z przyjętą konwencją znaku ładunku elektrycznego.

Strumień natężenia pola elektrycznego

Teraz, kiedy już zdefiniowaliśmy wektor powierzchni, możemy określić strumień natężenia jednorodnego pola elektrycznego przez płaską powierzchnię jako iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni, tak jak go zdefiniowano w podrozdziale Mnożenie wektorów

ΦE=ES.ΦE=ES. \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} \text{.}
6.1

Na Ilustracji 6.7 pokazane jest pole elektryczne wytworzone przez przeciwnie naładowane, równoległe płytki, pomiędzy którymi znajduje się wirtualne pudełko. Pole elektryczne pomiędzy płytkami jest jednorodne i skierowane od płytki dodatniej do płytki ujemnej. Obliczenia strumienia natężenia pola elektrycznego przez różne ścianki pudełka pokazują, że wypadkowy strumień przechodzący przez pudełko jest równy zero. Dlaczego tak jest?

Pokazany jest sześcian ABCDKFGH w środku rysunku. Pokazana jest też ściana przekątna w jego wnętrzu, od KF do BC. Nieco powyżej sześcianu znajduje się równoległa do górnej ściany sześcianu płaszczyzna oznaczona minus q. Podobnie inna płaszczyzna oznaczona plus q znajduje się nieco poniżej dolnej powierzchni sześcianu i jest do niej równoległa. Pokazane są małe czerwone strzałki skierowane od dolnej płaszczyzny w górę, w stronę dolnej powierzchni sześcianu oraz strzałki od górnej powierzchnię sześcianu skierowane ku górnej płaszczyźnie. Strzałki oznaczone są jako wektor E.
Ilustracja 6.7 Strumień natężenia pola elektrycznego przenikający sześcian umieszczony pomiędzy dwoma naładowanymi płytkami. Strumień przez dolną ściankę ( A B C D A B C D A \sep B \sep C \sep D ) jest ujemny, ponieważ wektor E E jest zwrócony przeciwnie do normalnej do powierzchni. Strumień przez górną ściankę ( F G H K F G H K F \sep G \sep H \sep K ) jest dodatni, ponieważ wektor ten i normalna mają ten sam zwrot. Strumień przez pozostałe ścianki jest równy zero, gdyż wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do wektorów normalnych dla tych ścianek. Wypadkowy strumień przez sześcian jest sumą strumieni przenikających sześć ścianek i w tym przypadku wynosi zero. Wartość strumienia przez prostokąt B C K F B C K F B \sep C \sep K \sep F jest równa wartości strumienia przez górną i dolną ściankę.

Powodem tego jest fakt, że źródła pola elektrycznego znajdują się na zewnątrz pudełka, a nie w jego wnętrzu, stąd linie pola, które wchodzą do wnętrza pudełka przenikając przez jego ścianki, muszą też z niego wyjść. Zatem, mówiąc ogólnie, strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zero, gdy nie ma ładunków źródłowych, dodatnich bądź ujemnych, wewnątrz zamkniętej powierzchni. Gdy linie pola wychodzą z zamkniętej powierzchni, to ΦEΦE \Phi_E jest dodatni; a gdy wchodzą do powierzchni, ΦEΦE \Phi_E jest ujemny.

Każdą gładką, niepłaską powierzchnię można potraktować jako zbiór małych, w przybliżeniu płaskich elementów, tak jak pokazano na Ilustracji 6.8. Jeżeli podzielimy powierzchnię S S na małe elementy (fragmenty), to zauważymy, że im mniejsze są te elementy, tym z lepszym przybliżeniem tworzą płaskie powierzchnie. Powierzchnię Ziemi również traktujemy lokalnie jako płaską, chociaż wiemy, że w całości ma w przybliżeniu kształt kulisty.

Rysunek przedstawia pofalowaną powierzchnię oznaczoną S. Wychodzą z niej, w trzech różnych kierunkach, trzy strzałki oznaczone jako n z daszkiem. Dłuższe strzałki oznaczone jako wektory E również wychodzą z tych samych punktów, wycinków powierzchni, w tych samych kierunkach. Rysunek powiększony pokazuje jeden z wycinków. Widać, że n z daszkiem jest prostopadły do powierzchni wycinka.
Ilustracja 6.8 Powierzchnia została podzielona na elementarne wycinki w celu wyznaczenia strumienia.

Żeby kontrolować elementy powierzchni, możemy je ponumerować od 1 1 do N N. Teraz dla każdego elementu definiujemy wektor o długości odpowiadającej wartości jego pola powierzchni i skierowany wzdłuż normalnej. Oznaczmy wektor powierzchni dla i i-tego elementu jako δSiδSi \prefop{\delta} \vec{S}_i (użyliśmy symbolu δ δ, ponieważ element jest dowolnie mały). Dla dostatecznie małych elementów możemy z dobrym przybliżeniem przyjąć, że pole elektryczne przechodzące przez nie jest jednorodne. Oznaczmy średnie natężenie pola elektrycznego w miejscu i i-tego elementu jako E i E i . Zatem możemy zapisać strumień natężenia pola elektrycznego ΦEΦE \Phi_E przez powierzchnię i i-tego elementu jako

δΦEi=EiδSi.δΦEi=EiδSi. \prefop{\delta} \Phi_{E\sep i} = \vec{E}_i \cdot \prefop{\delta} \vec{S}_i \text{.}

W ten sposób możemy wyznaczyć strumień przenikający przez każdy pojedynczy element (fragment) powierzchni, a następnie zsumować pojedyncze strumienie, aby wyznaczyć (oszacować) wypadkowy strumień przenikający przez całą powierzchnię S S, który oznaczamy po prostu jako ΦEΦE \Phi_E

ΦE=i=1NδΦEi=i=1NEiδSi.ΦE=i=1NδΦEi=i=1NEiδSi. \Phi_E = \sum_{i=1}^N \prefop{\delta} \Phi_{E\sep i} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \prefop{\delta} \vec{S}_i \text{.}

To szacowanie staje się coraz dokładniejsze wraz ze zmniejszaniem się elementów. Jednak gdy dzielimy powierzchnię na mniejsze fragmenty, to potrzebujemy ich więcej do pokrycia całej powierzchni. W granicy dla nieskończenie małych elementów (elementów różniczkowych) można przyjąć, że mają one powierzchnię d S dS i jednostkowy wektor normalny (wersor) n ̂ n ̂ . Ponieważ elementy są nieskończenie małe, możemy je uznać za płaskie i przyjąć, że E i E i przenikające przez każdy element jest stałe. Wtedy strumień dΦEdΦE \d \Phi_E przez powierzchnię d S dS jest dany jako dΦE=En̂dSdΦE=En̂dS \d \Phi_E = \vec{E} \cdot \hat{n} \d S. Jest on dodatni, gdy kąt pomiędzy E i E i oraz n ̂ n ̂ wynosi mniej niż 90 ° 90° i ujemny, gdy kąt jest większy niż 90 ° 90°. Wypadkowy strumień jest sumą nieskończenie małych elementarnych strumieni dla całej powierzchni. Dla nieskończenie małych elementów powierzchni ich liczba zmierza do nieskończoności i suma przechodzi w całkę. Otrzymujemy zatem całkę po (otwartej) powierzchni S S

ΦE=SEn̂dS=SEdS.ΦE=SEn̂dS=SEdS. \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \iint_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} \text{.}
6.2

W praktyce całki powierzchniowe obliczamy, stosując całkę podwójną po obu wymiarach (zmiennych), przyjmując krawędzie rozpatrywanej powierzchni jako granice całkowania.

Aby rozróżnić strumień przez otwartą powierzchnię, taką jak na Ilustracji 6.4, od strumienia przez zamkniętą powierzchnię (otaczającą pewną objętość), przedstawiamy strumień przez zamkniętą powierzchnię jako

ΦE=SEn̂dS=SEdS,ΦE=SEn̂dS=SEdS, \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} \text{,}
6.3

gdzie kółko na symbolu całki oznacza, że mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą i że całkujemy po całej tej powierzchni. Jeżeli całkujemy tylko po części zamkniętej powierzchni, oznacza to, że traktujemy ten jej podzbiór jako powierzchnię otwartą.

Przykład 6.1

Strumień natężenia jednorodnego pola elektrycznego

Pole elektryczne o stałym natężeniu E 0 E 0 jest skierowane w stronę dodatniej osi z z (Ilustracja 6.9). Ile wynosi strumień pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię o bokach a a i b b, znajdującą się
  1. w płaszczyźnie x y x y ;
  2. w płaszczyźnie x z x z ?
Na płaszczyźnie xy pokazano prostokątną powierzchnię. Jej bok wzdłuż osi x ma długość a, a jej bok wzdłuż y ma długość b. Strzałki oznaczone jako E ze znakiem 0 wychodzą z powierzchni i są skierowane w kierunku dodatnim osi z.
Ilustracja 6.9 Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego E 0 E 0 przez prostokątną powierzchnię.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z definicji strumienia: ΦE=ESΦE=ES \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} (jednorodne pole EE), w której kluczowe jest obliczenie iloczynu skalarnego.

Rozwiązanie

  1. W tym przypadku
    ΦE=E0S=E0S=E0ab.ΦE=E0S=E0S=E0ab. \Phi_E = \vec{E}_0 \cdot \vec{S} = E_0 S = E_0 ab \text{.}
  2. Wektor powierzchni jest zwrócony albo wzdłuż dodatniej osi y y, albo w stronę ujemnej osi y y. Dlatego iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni wynosi zero i w konsekwencji strumień też ma wartość zero.

Znaczenie

Orientacja pola elektrycznego względem powierzchni może w szczególności skutkować zerowym strumieniem pola przez powierzchnię.

Przykład 6.2

Strumień natężenia pola elektycznego przez zamkniętą powierzchnię

Stałe pole elektryczne o natężeniu E 0 E 0 jest zwrócone w stronę dodatniej osi z z (Ilustracja 6.10). Ile wynosi wypadkowy strumień pola przez sześcian?
Pokazany jest sześcian ABCDKFGH w środku rysunku. Pokazana jest też ściana przekątna w jego wnętrzu, od KF do BC. Nieco powyżej sześcianu znajduje się równoległa do górnej ściany sześcianu płaszczyzna oznaczona minus q. Podobnie inna płaszczyzna oznaczona plus q znajduje się nieco poniżej dolnej powierzchni sześcianu i jest do niej równoległa. Pokazane są małe czerwone strzałki skierowane od dolnej płaszczyzny w górę, w stronę dolnej powierzchni sześcianu oraz strzałki od górnej powierzchnię sześcianu skierowane ku górnej płaszczyźnie. Strzałki oznaczone są jako wektor E.
Ilustracja 6.10 Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego E 0 E 0 przez zamkniętą powierzchnię sześcianu.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z definicji strumienia: ΦE=ESΦE=ES \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} (jednorodne pole EE), pamiętając, że dla powierzchni zamkniętej nie występuje niejednoznaczność w wyborze zwrotu wektora powierzchni.

Rozwiązanie

Dla górnej ścianki sześcianu
ΦE=E0S=E0S.ΦE=E0S=E0S. \Phi_E = \vec{E}_0 \cdot \vec{S} = E_0 S \text{.}

Dla dolnej ścianki sześcianu

ΦE=E0S=E0S,ΦE=E0S=E0S, \Phi_E = \vec{E}_0 \cdot \vec{S} = - E_0 S \text{,}

ponieważ wektor powierzchni jest zwrócony w dół. Dla pozostałych czterech ścianek wektor powierzchni jest prostopadły do kierunku pola, dlatego iloczyn skalarny natężenia pola i wektora powierzchni jest równy zero i daje zerowy strumień.

Wypadkowy strumień wynosi

ΦE wyp=E0SE0S=0Nm2C.ΦE wyp=E0SE0S=0Nm2C. \Phi_{E\sep\text{ wyp}} = E_0 S - E_0 S = \SI{0}{\newton\metre\squared\per\coulomb} \text{.}

Znaczenie

Wypadkowy strumień jednorodnego pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zero.

Przykład 6.3

Strumień natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę, metoda całkowania

Jednorodne pole elektryczne o natężeniu E E równym 10 N C 10 N C jest skierowane równolegle do płaszczyzny y z y z i pod kątem 30 ° 30° w górę od płaszczyzny x y x y , jak pokazano na Ilustracji 6.11. Ile wynosi strumień natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę o powierzchni 6 m 2 6 m 2 , leżącą w płaszczyźnie x z x z ? Załóżmy, że n ̂ n ̂ jest zgodny z kierunkiem osi y y.
Na rysunku pokazana jest prostokątna płaszczyzna S w płaszczyźnie xz. Trzy strzałki oznaczone jako n z daszkiem wychodzą z trzech punktów na powierzchni i skierowane są w kierunku dodatnim y. Trzy dłuższe strzałki oznaczone jako wektor E wychodzą także z tych samych punktów. Tworzą one ze strzałkami n z daszkiem kąt 30 stopni.
Ilustracja 6.11 Wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię S S .

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z równania ΦE=SEn̂dSΦE=SEn̂dS \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S, gdzie kierunek i wartość natężenia pola elektrycznego są stałe.

Rozwiązanie

Kąt pomiędzy wektorem natężenia jednorodnego pola elektrycznego E E a wersorem normalnym do powierzchni n ̂ n ̂ wynosi 30 ° 30°. Ponieważ zarówno kierunek, jak i wartość natężenia pola elektrycznego są stałe, można wyłączyć E E przed całkę. Pozostaje więc całkowanie po powierzchni d S dS, które daje w wyniku S S. Stąd, korzystając z równania dla otwartej powierzchni, znajdujemy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię
ΦE=SEn̂dS=EScosθ=10NC6m2cos30°=52Nm2C.ΦE=SEn̂dS=EScosθ=10NC6m2cos30°=52Nm2C. \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = ES \cos \theta = \SI{10}{\newton\per\coulomb} \cdot \SI{6}{\metre\squared} \cdot \cos \ang{30} = \SI{52}{\newton\metre\squared\per\coulomb} \text{.}

Znaczenie

Ponownie istotny jest kierunek pola elektrycznego względem powierzchni, a ogólne równanie zawierające całkę upraszcza się do zwykłego iloczynu skalarnego powierzchni i natężenia pola elektrycznego.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.1

Jaki kąt powinien tworzyć wektor natężenia pola elektrycznego z powierzchnią pokazaną na Ilustracji 6.11 w poprzednim przykładzie, aby strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię był równy zero?

Przykład 6.4

Niejednorodne pole elektryczne

Jaki jest całkowity strumień pola elektrycznego o natężeniu E = c y 2 k ̂ E = c y 2 k ̂ przez prostokątną powierzchnię pokazaną na Ilustracji 6.12?
Na rysunku pokazano prostokąt oznaczony S w płaszczyźnie xy. Jego bok wzdłuż osi y ma długość a, a wzdłuż osi x ma długość b. Na prostokącie zaznaczono pasek ustawiony dłuższym bokiem równolegle do osi x. Jego długość wynosi b, a szerokość dy. Jego powierzchnia oznaczona dS jest równa b dy. Pokazane są dwie strzałki ustawione prostopadłe do S, n z daszkiem równa k z daszkiem i wektor E równy c y do kwadratu k z daszkiem. Strzałki skierowane są w dodatnim kierunku z.
Ilustracja 6.12 Ponieważ natężenie pola elektrycznego nie jest stałe na całej powierzchni, do obliczenia strumienia konieczne jest całkowanie.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy ze wzoru ΦE=SEn̂dSΦE=SEn̂dS \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S. Zakładamy, że wersor normalny n ̂ n ̂ w danym punkcie powierzchni jest skierowany w dodatnim kierunku z z, tak że n ̂ = k ̂ n ̂ = k ̂ . Ponieważ natężenie pola elektrycznego nie jest jednakowe na całej powierzchni, konieczne jest podzielenie powierzchni na nieskończenie małe paski, wzdłuż których E E jest stałe. Tak jak pokazano na Ilustracji 6.12, te paski są równoległe do osi x x i każdy z nich ma powierzchnię d S = b d y d S = b d y .

Rozwiązanie

Znajdujemy wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię, obliczając całkę dla powierzchni otwartej
ΦE=SEn̂dS=0acy2k̂k̂bdy=cb0ay2dy=13a3bc.ΦE=SEn̂dS=0acy2k̂k̂bdy=cb0ay2dy=13a3bc. \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \int_0^a cy^2 \hat{k} \cdot \hat{k} b \d y = cb \int_0^a y^2 \d y = \frac{1}{3}a^3bc \text{.}

Znaczenie

Metoda całkowania jest konieczna w przypadku niejednorodnego pola elektrycznego.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.2

Jeżeli pole elektryczne w Przykładzie 6.4 ma natężenie E = m x k ̂ E = m x k ̂ , to ile wynosi strumień przechodzący przez prostokątną powierzchnię?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.