6.1 Strumień pola elektrycznego

Wektor powierzchni

Przy omawianiu strumienia pola wektorowego wygodnie jest wprowadzić wektor powierzchni $\overrightarrow{S}$. Pozwala to na zapisanie ostatniego równania w bardziej spójnej postaci. Jaka powinna być długość wektora powierzchni? Jaki powinien być kierunek wektora powierzchni? Jakie są konsekwencje odpowiedzi udzielonych na powyższe pytania?

Wektor powierzchni (ang. area vector) dla płaskiej powierzchni $S$ ma następującą długość i kierunek:

• długość jest równa liczbowo powierzchni ($S$ );
• skierowany jest wzdłuż normalnej do powierzchni ($\hat{n}$); to znaczy jest prostopadły do powierzchni.

Ponieważ normalna do płaskiej powierzchni może być zwrócona w górę lub w dół, zwrot wektora powierzchni dla otwartej powierzchni może zostać wybrany, tak jak pokazano na Ilustracji 6.5.

Ilustracja 6.5 Dla płaszczyzny otwartej należy wybrać zwrot wektora powierzchni; można to zrobić na dwa pokazane tutaj sposoby. Wektor powierzchni dla wycinka powierzchni zamkniętej jest z definicji zwrócony na zewnątrz. W ten sposób jednoznacznie określamy jego zwrot.

Ponieważ $\hat{n}$ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni (wersorem), dla każdego punktu powierzchni można wybrać zwrot wektora powierzchni na dwa sposoby – Ilustracja 6.6 (a). Dla otwartej powierzchni możemy przyjąć jeden z dwóch możliwych zwrotów, ale wyboru tego musimy konsekwentnie przestrzegać. Część (c) Ilustracji 6.6 pokazuje kilka przypadków.

Ilustracja 6.6 (a) Dla każdego punktu powierzchni możemy wybrać wektor jednostkowy normalny do powierzchni na dwa sposoby. (b) W celu obliczenia strumienia przez zamkniętą powierzchnię stosujemy wektor jednostkowy normalny do powierzchni, skierowany na zewnątrz powierzchni. (c) Tylko dla $S_3$ podano spójny zestaw wektorów normalnych, pozwalający na zdefiniowanie strumienia przez tę powierzchnię.

Jeżeli mamy do czynienia z zamkniętą powierzchnią, to otacza ona pewną objętość. W takim przypadku wektor normalny (ang. normal vector) w każdym punkcie powierzchni jest skierowany od jej wnętrza na zewnątrz. Dla zamkniętej powierzchni, takiej jak na Ilustracji 6.6 (b), $\hat{n}$ jest wybrany tak, aby dla każdego punktu powierzchni był skierowany wzdłuż normalnej na zewnątrz, zgodnie z przyjętą konwencją znaku ładunku elektrycznego.

Strumień natężenia pola elektrycznego

Teraz, kiedy już zdefiniowaliśmy wektor powierzchni, możemy określić strumień natężenia jednorodnego pola elektrycznego przez płaską powierzchnię jako iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni, tak jak go zdefiniowano w podrozdziale Mnożenie wektorów

Na Ilustracji 6.7 pokazane jest pole elektryczne wytworzone przez przeciwnie naładowane, równoległe płytki, pomiędzy którymi znajduje się wirtualne pudełko. Pole elektryczne pomiędzy płytkami jest jednorodne i skierowane od płytki dodatniej do płytki ujemnej. Obliczenia strumienia natężenia pola elektrycznego przez różne ścianki pudełka pokazują, że wypadkowy strumień przechodzący przez pudełko jest równy zero. Dlaczego tak jest?

Ilustracja 6.7 Strumień natężenia pola elektrycznego przenikający sześcian umieszczony pomiędzy dwoma naładowanymi płytkami. Strumień przez dolną ściankę ($A⁣B⁣C⁣D$) jest ujemny, ponieważ wektor $\overrightarrow{E}$ jest zwrócony przeciwnie do normalnej do powierzchni. Strumień przez górną ściankę ($F⁣G⁣H⁣K$) jest dodatni, ponieważ wektor ten i normalna mają ten sam zwrot. Strumień przez pozostałe ścianki jest równy zero, gdyż wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do wektorów normalnych dla tych ścianek. Wypadkowy strumień przez sześcian jest sumą strumieni przenikających sześć ścianek i w tym przypadku wynosi zero. Wartość strumienia przez prostokąt $B⁣C⁣K⁣F$ jest równa wartości strumienia przez górną i dolną ściankę.

Powodem tego jest fakt, że źródła pola elektrycznego znajdują się na zewnątrz pudełka, a nie w jego wnętrzu, stąd linie pola, które wchodzą do wnętrza pudełka przenikając przez jego ścianki, muszą też z niego wyjść. Zatem, mówiąc ogólnie, strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zero, gdy nie ma ładunków źródłowych, dodatnich bądź ujemnych, wewnątrz zamkniętej powierzchni. Gdy linie pola wychodzą z zamkniętej powierzchni, to ${\mathrm{\Phi }}_E$ jest dodatni; a gdy wchodzą do powierzchni, ${\mathrm{\Phi }}_E$ jest ujemny.

Każdą gładką, niepłaską powierzchnię można potraktować jako zbiór małych, w przybliżeniu płaskich elementów, tak jak pokazano na Ilustracji 6.8. Jeżeli podzielimy powierzchnię $S$ na małe elementy (fragmenty), to zauważymy, że im mniejsze są te elementy, tym z lepszym przybliżeniem tworzą płaskie powierzchnie. Powierzchnię Ziemi również traktujemy lokalnie jako płaską, chociaż wiemy, że w całości ma w przybliżeniu kształt kulisty.

Ilustracja 6.8 Powierzchnia została podzielona na elementarne wycinki w celu wyznaczenia strumienia.

Żeby kontrolować elementy powierzchni, możemy je ponumerować od $1$ do $N$. Teraz dla każdego elementu definiujemy wektor o długości odpowiadającej wartości jego pola powierzchni i skierowany wzdłuż normalnej. Oznaczmy wektor powierzchni dla $i$-tego elementu jako $\delta {\overrightarrow{S}}_i$ (użyliśmy symbolu $\delta$, ponieważ element jest dowolnie mały). Dla dostatecznie małych elementów możemy z dobrym przybliżeniem przyjąć, że pole elektryczne przechodzące przez nie jest jednorodne. Oznaczmy średnie natężenie pola elektrycznego w miejscu $i$-tego elementu jako ${\overrightarrow{E}}_i$. Zatem możemy zapisać strumień natężenia pola elektrycznego ${\mathrm{\Phi }}_E$ przez powierzchnię $i$-tego elementu jako

W ten sposób możemy wyznaczyć strumień przenikający przez każdy pojedynczy element (fragment) powierzchni, a następnie zsumować pojedyncze strumienie, aby wyznaczyć (oszacować) wypadkowy strumień przenikający przez całą powierzchnię $S$, który oznaczamy po prostu jako ${\mathrm{\Phi }}_E$

To szacowanie staje się coraz dokładniejsze wraz ze zmniejszaniem się elementów. Jednak gdy dzielimy powierzchnię na mniejsze fragmenty, to potrzebujemy ich więcej do pokrycia całej powierzchni. W granicy dla nieskończenie małych elementów (elementów różniczkowych) można przyjąć, że mają one powierzchnię $dS$ i jednostkowy wektor normalny (wersor) $\hat{n}$. Ponieważ elementy są nieskończenie małe, możemy je uznać za płaskie i przyjąć, że ${\overrightarrow{E}}_i$ przenikające przez każdy element jest stałe. Wtedy strumień $d{\mathrm{\Phi }}_E$ przez powierzchnię $dS$ jest dany jako $d{\mathrm{\Phi }}_E=\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS$. Jest on dodatni, gdy kąt pomiędzy ${\overrightarrow{E}}_i$ oraz $\hat{n}$ wynosi mniej niż $90°$ i ujemny, gdy kąt jest większy niż $90°$. Wypadkowy strumień jest sumą nieskończenie małych elementarnych strumieni dla całej powierzchni. Dla nieskończenie małych elementów powierzchni ich liczba zmierza do nieskończoności i suma przechodzi w całkę. Otrzymujemy zatem całkę po (otwartej) powierzchni $S$

W praktyce całki powierzchniowe obliczamy, stosując całkę podwójną po obu wymiarach (zmiennych), przyjmując krawędzie rozpatrywanej powierzchni jako granice całkowania.

Aby rozróżnić strumień przez otwartą powierzchnię, taką jak na Ilustracji 6.4, od strumienia przez zamkniętą powierzchnię (otaczającą pewną objętość), przedstawiamy strumień przez zamkniętą powierzchnię jako

gdzie kółko na symbolu całki oznacza, że mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą i że całkujemy po całej tej powierzchni. Jeżeli całkujemy tylko po części zamkniętej powierzchni, oznacza to, że traktujemy ten jej podzbiór jako powierzchnię otwartą.

Przykład 6.1

Strumień natężenia jednorodnego pola elektrycznego

Pole elektryczne o stałym natężeniu $E_0$ jest skierowane w stronę dodatniej osi $z$ (Ilustracja 6.9). Ile wynosi strumień pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię o bokach $a$ i $b$, znajdującą się

1. w płaszczyźnie $x⁣y$;
2. w płaszczyźnie $x⁣z$?

Ilustracja 6.9 Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego $E_0$ przez prostokątną powierzchnię.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z definicji strumienia: ${\mathrm{\Phi }}_E=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{S}$ (jednorodne pole $\overrightarrow{E}$), w której kluczowe jest obliczenie iloczynu skalarnego.

Rozwiązanie

1. W tym przypadku
   $${\mathrm{\Phi }}_E={\overrightarrow{E}}_0\cdot \overrightarrow{S}=E_{0}S=E_{0}ab\text{.}$$
2. Wektor powierzchni jest zwrócony albo wzdłuż dodatniej osi $y$, albo w stronę ujemnej osi $y$. Dlatego iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni wynosi zero i w konsekwencji strumień też ma wartość zero.

Znaczenie

Orientacja pola elektrycznego względem powierzchni może w szczególności skutkować zerowym strumieniem pola przez powierzchnię.

Przykład 6.2

Strumień natężenia pola elektycznego przez zamkniętą powierzchnię

Stałe pole elektryczne o natężeniu $E_0$ jest zwrócone w stronę dodatniej osi $z$ (Ilustracja 6.10). Ile wynosi wypadkowy strumień pola przez sześcian?

Ilustracja 6.10 Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego $E_0$ przez zamkniętą powierzchnię sześcianu.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z definicji strumienia: ${\mathrm{\Phi }}_E=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{S}$ (jednorodne pole $\overrightarrow{E}$), pamiętając, że dla powierzchni zamkniętej nie występuje niejednoznaczność w wyborze zwrotu wektora powierzchni.

Rozwiązanie

Dla górnej ścianki sześcianu

$${\mathrm{\Phi }}_E={\overrightarrow{E}}_0\cdot \overrightarrow{S}=E_{0}S\text{.}$$

Dla dolnej ścianki sześcianu

$${\mathrm{\Phi }}_E={\overrightarrow{E}}_0\cdot \overrightarrow{S}=-E_{0}S\text{,}$$

ponieważ wektor powierzchni jest zwrócony w dół. Dla pozostałych czterech ścianek wektor powierzchni jest prostopadły do kierunku pola, dlatego iloczyn skalarny natężenia pola i wektora powierzchni jest równy zero i daje zerowy strumień.

Wypadkowy strumień wynosi

$${\mathrm{\Phi }}_{E⁣\text{ wyp}}=E_{0}S-E_{0}S=0\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2∕\mathrm{C}\text{.}$$

Znaczenie

Wypadkowy strumień jednorodnego pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zero.

Przykład 6.3

Strumień natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę, metoda całkowania

Jednorodne pole elektryczne o natężeniu $\overrightarrow{E}$ równym $10\mathrm{N}∕\mathrm{C}$ jest skierowane równolegle do płaszczyzny $y⁣z$ i pod kątem $30°$ w górę od płaszczyzny $x⁣y$, jak pokazano na Ilustracji 6.11. Ile wynosi strumień natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę o powierzchni $6{\mathrm{m}}^2$, leżącą w płaszczyźnie $x⁣z$? Załóżmy, że $\hat{n}$ jest zgodny z kierunkiem osi $y$.

Ilustracja 6.11 Wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię $S$.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z równania ${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS$, gdzie kierunek i wartość natężenia pola elektrycznego są stałe.

Rozwiązanie

Kąt pomiędzy wektorem natężenia jednorodnego pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$ a wersorem normalnym do powierzchni $\hat{n}$ wynosi $30°$. Ponieważ zarówno kierunek, jak i wartość natężenia pola elektrycznego są stałe, można wyłączyć $E$ przed całkę. Pozostaje więc całkowanie po powierzchni $dS$, które daje w wyniku $S$. Stąd, korzystając z równania dla otwartej powierzchni, znajdujemy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię

$${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS=EScos\theta =10\mathrm{N}∕\mathrm{C}\cdot 6{\mathrm{m}}^2\cdot cos30°=52\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2∕\mathrm{C}\text{.}$$

Znaczenie

Ponownie istotny jest kierunek pola elektrycznego względem powierzchni, a ogólne równanie zawierające całkę upraszcza się do zwykłego iloczynu skalarnego powierzchni i natężenia pola elektrycznego.

Przykład 6.4

Niejednorodne pole elektryczne

Jaki jest całkowity strumień pola elektrycznego o natężeniu $\overrightarrow{E}=c{y}^2\hat{k}$ przez prostokątną powierzchnię pokazaną na Ilustracji 6.12?

Ilustracja 6.12 Ponieważ natężenie pola elektrycznego nie jest stałe na całej powierzchni, do obliczenia strumienia konieczne jest całkowanie.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy ze wzoru ${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS$. Zakładamy, że wersor normalny $\hat{n}$ w danym punkcie powierzchni jest skierowany w dodatnim kierunku $z$, tak że $\hat{n}=\hat{k}$. Ponieważ natężenie pola elektrycznego nie jest jednakowe na całej powierzchni, konieczne jest podzielenie powierzchni na nieskończenie małe paski, wzdłuż których $\overrightarrow{E}$ jest stałe. Tak jak pokazano na Ilustracji 6.12, te paski są równoległe do osi $x$ i każdy z nich ma powierzchnię $dS=bdy$.

Rozwiązanie

Znajdujemy wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię, obliczając całkę dla powierzchni otwartej

$${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS=\underset{0}{\overset{a}{\int }}c{y}^2\hat{k}\cdot \hat{k}bdy=cb\underset{0}{\overset{a}{\int }}{y}^{2}dy=\frac{1}{3}{a}^{3}bc\text{.}$$

Znaczenie

Metoda całkowania jest konieczna w przypadku niejednorodnego pola elektrycznego.