Cel dydaktyczny
- różnic między iloczynem skalarnym a iloczynem wektorowym dwóch wektorów;
- obliczać iloczyn skalarny dwóch wektorów;
- obliczać iloczyn wektorowy dwóch wektorów;
- jakie zastosowanie w fizyce mają iloczyny wektorów.
Wektor można pomnożyć przez inny wektor, ale nie można go przez niego podzielić. Możemy wyróżnić dwa rodzaje mnożenia wektorów. Pierwszy rodzaj mnożenia to iloczyn skalarny. Wynik iloczynu skalarnego jest, jak sama nazwa wskazuje, skalarem, czyli liczbą. Z iloczynu skalarnego korzysta się podczas określania pracy i energii. Przykładowo, praca wykonywana przez pewną siłę (wektor) działającą na ciało i jednocześnie powodującą jego przesunięcie jest iloczynem skalarnym wektora siły i wektora przemieszczenia. Drugim rodzajem mnożenia jest iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy jest wektorem. Wykorzystywany jest do definiowania wektorowych wielkości pochodnych. Na przykład wielkość wektorową zwaną momentem siły definiuje się jako iloczyn wektorowy siły oraz promienia wodzącego łączącego oś obrotu z punktem przyłożenia tej siły.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba.
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny (ang. dot product) →A⋅→B dwóch wektorów →A i →B jest liczbą określoną wzorem
gdzie φ jest kątem między wektorami (zobacz Ilustracja 2.27).
Kierunek, w jakim mierzymy kąt φ, jest bez znaczenia, ponieważ cosφ=cos(−φ)=cos(2π−φ). Iloczyn skalarny jest liczbą ujemną, kiedy 90∘<φ⩽180∘, a liczbą dodatnią, kiedy 0∘⩽φ<90∘. Iloczyn skalarny wektorów o tym samym kierunku i zwrocie jest równy →A⋅→B=ABcos0∘=AB. Iloczyn skalarny dwóch wektorów o tym samym kierunku, lecz przeciwnych zwrotach jest równy →A⋅→B=ABcos180∘=−AB. Iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych jest równy zero: →A⋅→B=ABcos90∘=0. Iloczyn skalarny wektora mnożonego przez samego siebie jest kwadratem modułu tego wektora:
Przykład 2.15
Iloczyn skalarny
Znajdź iloczyn skalarny →A⋅→F (wektory przedstawione są na Ilustracji 2.13).Strategia rozwiązania
Moduły wektorów →A i →F są równe A=10,0 oraz F=20,0. Kąt θ między tymi wektorami jest równy θ=φ−α=110∘−35∘=75∘. Po podstawieniu powyższych wartości do Równania 2.27 otrzymujemy skalar.Rozwiązanie
Na podstawie obliczeń otrzymujemySprawdź, czy rozumiesz 2.11
Znajdź następujące iloczyny skalarne wektorów przedstawionych na Ilustracji 2.13: →A⋅→B oraz →F⋅→C.
W układzie współrzędnych kartezjańskich iloczyn skalarny wektorów jednostkowych zawsze jest równy zero, ponieważ wektory te są do siebie prostopadłe:
W tych równaniach korzystamy z faktu, że moduły wszystkich wektorów jednostkowych są równe jeden: |ˆi|=|ˆj|=|ˆk|=1. Na podstawie Równania 2.28 możemy zapisać:
Iloczyn skalarny →A⋅→B można również interpretować jako iloczyn B oraz rzutu prostopadłego A⊥ wektora →A na kierunek wektora →B (Ilustracja 2.27(b)) lub jako iloczyn A oraz rzutu prostopadłego B⊥ wektora →B na kierunek wektora →A (Ilustracja 2.27(c)):
Na przykład w prostokątnym, dwuwymiarowym układzie współrzędnych, wartość składowej x wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora oraz wersora ˆi, natomiast wartość składowej y wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora oraz wersora ˆj:
Iloczyn skalarny jest przemienny
oraz rozdzielny względem dodawania
Prawa przemienności i rozdzielności względem dodawania pozwalają na przedstawienie wzorów w przekształconej formie. Iloczyn skalarny dwóch wektorów możemy przedstawić na przykład przy pomocy ich składowych.
Sprawdź, czy rozumiesz 2.12
Wektor→A=Axˆi+Ayˆj+Azˆk znajduje się w prostokątnym układzie współrzędnych. Skorzystaj z Równania 2.29 oraz z Równania 2.32, aby udowodnić, że →A⋅ˆi=Ax, →A⋅ˆj=Ay oraz →A⋅ˆk=Az.
Kiedy wektory z Równania 2.27 rozłożone są na składowe
możemy obliczyć ich iloczyn skalarny w następujący sposób:
Jako że iloczyn dwóch różnych wektorów jednostkowych jest równy zero, a wektor jednostkowy pomnożony skalarnie przez samego siebie daje jeden (zobacz Równanie 2.29 i Równanie 2.30), to w powyższym równaniu znajdują się tylko trzy wyrażenia, których wartość jest różna od zera. Upraszczamy więc iloczyn skalarny do następującej postaci:
Możemy zastosować Równanie 2.33, aby znaleźć kąt między dwoma wektorami (ang. angle between two vectors). Kiedy podzielimy Równanie 2.27 przez AB, otrzymamy wzór na cosφ, do którego podstawimy Równanie 2.33:
Kąt φ między wektorami →A i →B znajdziemy, obliczając arcus cosinus wyrażenia z Równania 2.34.
Przykład 2.16
Kąt między dwiema siłami
Trzy psy ciągną patyk w różne strony (Ilustracja 2.28). Pierwszy z nich ciągnie z siłą →F1=10,0N⋅ˆi−20,4N⋅ˆj+2,0N⋅ˆk, drugi z siłą →F2=−15,0N⋅ˆi−6,2N⋅ˆk, a trzeci z siłą →F3=5,0N⋅ˆi+12,5N⋅ˆj. Jaki jest kąt między siłami →F1 i →F2?Strategia rozwiązania
Składowe wektora siły →F1 są równe →F1x=10,0N, →F1y=−20,4N i →F1z=2,0N, a składowe wektora →F2 są równe F2x=−15,0N, F2y=0,0N i F2z=−6,2N. Kąt znajdujemy, obliczając iloczyn skalarny tych wektorów oraz ich moduły i podstawiając otrzymane wartości do Równania 2.34.Rozwiązanie
Moduły wektorów siły →F1 i →F2 są równeoraz
Obliczamy iloczyn skalarny, podstawiając wartości składowych do Równania 2.33
Po podstawieniu wszystkiego do Równania 2.34 otrzymujemy kąt
Znaczenie
Zauważ, że jeśli wektory opisane są przy pomocy wersorów osi, możemy znaleźć kąt między nimi, nie wiedząc, jakie kierunki geograficzne wskazują te wersory. W tym przykładzie oś x może wskazywać na wschód, a oś y na północ. Jednak kąt między wektorami siły będzie taki sam, jeśli oś x wskazywać będzie na zachód, a oś y na południe.Sprawdź, czy rozumiesz 2.13
Znajdź kąt zawarty między wektorami siły →F1 i →F3 z Przykładu 2.16.
Przykład 2.17
Praca wykonywana przez siłę
Kiedy siła →F ciągnie ciało powodując przemieszczenie →D, mówimy, że siła ta wykonuje pracę. Praca wykonywana przez siłę jest iloczynem skalarnym →F⋅→D. Jeśli patyk z Przykładu 2.16 zostanie przemieszczony o wektor →D=−7,9cm⋅ˆj−4,2cm⋅ˆk, to jaka praca zostanie wykonana przez trzeciego psa?Strategia rozwiązania
Obliczamy siłę, z jaką ciągnie patyk trzeci pies, czyli iloczyn skalarny wektora przemieszczenia →D i wektora siły →F3=5,0N⋅ˆi+12,5N⋅ˆj. Przez W3 oznaczymy pracę wykonaną przez siłę →F3 powodującą przemieszczenie →D.Rozwiązanie
Obliczamy pracę, czyli iloczyn skalarnyZnaczenie
Jednostką pracy w układzie SI jest dżul (J), 1J=1N⋅m. Jednostkę cm·N możemy zapisać jako 10−2m⋅N=10−2J, więc odpowiedź możemy zapisać jako W3=−0,9875J≈−1,0J.Sprawdź, czy rozumiesz 2.14
Jaką pracę wykonały dwa pierwsze psy z Przykładu 2.16, przy przemieszczeniu z Przykładu 2.17?
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem.
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy (ang. cross product) dwóch wektorów →A oraz →B zapisujemy →A×→B. Iloczyn wektorowy jest wektorem o kierunku prostopadłym do wektorów →A i →B. Inaczej mówiąc, →A×→B jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory →A i →B, jak przedstawia Ilustracja 2.29. Moduł iloczynu wektorowego definiuje się jako
gdzie kąt między wektorami φ mierzy się od wektora →A (pierwszego wektora w iloczynie) w kierunku wektora →B, jak przedstawiono na Ilustracji 2.29. Kąt ten przyjmuje wartości od 0∘ do 180∘.
Zgodnie z Równaniem 2.35 iloczyn wektorowy równy jest zero, jeśli kierunek wektorów jest taki sam (φ=0∘ lub φ=180∘), ponieważ sin0∘=sin180∘=0.
Wektor prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory →A i →B, może mieć jeden z dwóch możliwych zwrotów – w górę albo w dół (zobacz Ilustracja 2.29). Jeżeli kąt między wektorami mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, rozpoczynając od pierwszego wektora, zwrot wektora →A×→B wskazuje w górę (zobacz Ilustracja 2.29(a)). W przeciwnym wypadku, to znaczy jeśli pierwszym czynnikiem jest →B, zwrot wektora →B×→A wskazuje w dół (zobacz Ilustracja 2.29(b)). Oznacza to, że wektory →A×→B oraz →B×→A mają przeciwne zwroty, a iloczyn wektorowy nie jest przemienny. Oznacza to, że zmiana kolejności czynników w iloczynie wektorowym powoduje zmianę znaku wyniku:
Aby określić zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego stosujemy regułę korkociągu (ang. corkscrew right-hand rule), nazywaną też regułą śruby prawoskrętnej. Jak przedstawiono na Ilustracji 2.30, korkociąg znajduje się pod kątem prostym do płaszczyzny, w której leżą wektory →A i →B, i jest on obracany w kierunku od wektora będącego pierwszym czynnikiem do wektora będącego drugim czynnikiem iloczynu wektorowego. Zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu określony jest przez kierunek, w jakim porusza się korkociąg.
Przykład 2.18
Moment siły
Efekt, który możemy uzyskać dzięki kluczowi (Ilustracja 2.31), zależy od modułu F siły, od jej kierunku w stosunku do uchwytu klucza i od tego, w jakiej odległości od nakrętki siła ta została przyłożona. Odległość R od nakrętki do punktu przyłożenia wektora siły →F jest modułem wektora wodzącego →R. Wielkość wektorową powodującą obrót nakrętki nazywamy momentem siły (→M). Moment siły jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego, łączącego trzpień z punktem przyłożenia siły, oraz siły: →M=→R×→F.Próbując poluzować zardzewiałą nakrętkę, do uchwytu klucza, pod kątem φ=40∘ w odległości 0,25 m od nakrętki przyłożono siłę równą 20,00 N (Ilustracja 2.31(a)). Znajdź moduł i kierunek wektora momentu siły działającego na nakrętkę. Jaki byłby moduł i kierunek momentu siły, jeśli siłę przyłożono by pod kątem φ=45∘ (Ilustracja 2.31(b))? Dla jakiego kąta φ moduł momentu siły jest największy?
Strategia rozwiązania
Stosujemy punkt odniesienia taki, jak na Ilustracji 2.31, gdzie wektory →R i →F leżą na płaszczyźnie xy, a punkt biegunowy znajduje się w miejscu położenia nakrętki. Kierunek wektora →R (o zwrocie od bieguna) jest kierunkiem odniesienia umożliwiającym zmierzenie kąta φ, ponieważ wektor →R jest pierwszym czynnikiem iloczynu wektorowego →M=→R×→F. Wektor →M musi leżeć wzdłuż osi z, ponieważ oś ta jest prostopadła do płaszczyzny xy, w której leżą wektory →R oraz →F. W celu obliczenia modułu M stosujemy Równanie 2.35. Aby znaleźć zwrot wektora →M, stosujemy regułę śruby prawoskrętnej (Ilustracja 2.30).Rozwiązanie
Dla przypadku przedstawionego w (a), dzięki regule korkociągu możemy ustalić, że zwrot wektora →R×→F jest zgodny z dodatnim kierunkiem osi z. Oznacza to, że wektor momentu siły →M skierowany jest w górę kartki, prostopadle do uchwytu korkociągu. Wiemy, że F=20,00N oraz R=0,25m, więc stosując Równanie 2.11, możemy obliczyć moduł wektora:W przypadku przedstawionym w (b), wektor →R×→F zwrócony jest w ujemnym kierunku osi z. Oznacza to, że wektor →M wskazuje za kartkę, prostopadle do uchwytu korkociągu. Moduł momentu siły jest równy
Moduł momentu siły jest największy, kiedy sinφ=1, a więc kiedy φ=90∘. Oznacza to, że zastosowanie klucza jest najbardziej efektywne – daje największy zysk mechaniczny – kiedy przyłożymy siłę prostopadle do uchwytu klucza. Dla danych z tego przykładu największy moduł jest równy Mmax=RF=0,25m⋅20,00N=5,00N⋅m.
Znaczenie
Rozwiązywanie zadań związanych z mechaniką dosyć często nie wymaga korzystania z reguły korkociągu, o czym przekonamy się, analizując alternatywne podejście do rozwiązania powyższego zadania. Stwierdziliśmy, że wektor →R×→F leży wzdłuż osi z, a więc możemy zapisać go przy pomocy ˆk, czyli wersora osi z:Liczba, przez którą mnożymy wersor ˆk, to wartość składowej z wektora →R×→F. Podczas obliczania wartości tej składowej, kąt φ musi być mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od wektora →R (pierwszego czynnika) do wektora →F (drugiego czynnika). Stosując tę zasadę pomiaru kątów, otrzymujemy RFsin40∘=3,2N⋅m dla przypadku (a) oraz RFsin(−45∘)=−3,5N⋅m dla przypadku (b). W przypadku (b) kąt jest ujemny, ponieważ jak widać na Ilustracji 2.31, kąt mierzony jest zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Jednak taki sam wynik otrzymamy, jeśli kąt ten zmierzymy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ponieważ 360∘−45∘=315∘ i sin315∘=sin(−45∘). W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie bez korzystania z reguły korkociągu. Dla przypadku (a) rozwiązaniem jest →R×→F=3,2N⋅m⋅ˆk. Dla przypadku (b) rozwiązaniem jest →R×→F=−3,5N⋅m⋅ˆk.
Sprawdź, czy rozumiesz 2.15
Oblicz następujące iloczyny wektorowe wektorów z Ilustracji 2.13: →A×→B i →C×→F.
Podobnie jak iloczyn skalarny (Równanie 2.31), iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodawania:
Z własności rozdzielności względem dodawania często korzysta się, zapisując wektory rozłożone na składowe.
Kiedy zastosujemy definicję iloczynu wektorowego (Równanie 2.35) do wektorów jednostkowych ˆi, ˆj i ˆk, określających dodatnie kierunki osi x, y i z, otrzymamy
Moduły wszystkich wektorów jednostkowych muszą być równe jeden, ponieważ ˆi, ˆj oraz ˆk są ortogonalne. Przykładowo, dla pary wektorów ˆi i ˆj moduł jest równy |ˆi׈j|=i⋅j⋅sin90∘=1⋅1⋅1=1. Wektor ˆi׈j musi być prostopadły do płaszczyzny xy, a więc jego kierunek musi być taki sam jak kierunek osi z. Wektorami jednostkowymi o kierunku zgodnym z kierunkiem osi z są −ˆk i +ˆk. Zgodnie z regułą korkociągu zwrot wektora ˆi׈j musi być zgodny z dodatnim kierunkiem osi z. Dlatego wynikiem mnożenia ˆi׈j jest +ˆk. Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla pozostałych par wektorów jednostkowych. Uzyskamy wtedy:
Zauważ, że w Równaniu 2.39 wektory jednostkowe ˆi, ˆj i ˆk pojawiają się w porządku cyklicznym przedstawionym na Ilustracji 2.32(a). Porządek cykliczny oznacza, że we wzorze ˆi występuje po ˆk, ale przed ˆj, ˆk występuje po ˆj, ale przed ˆi, zaś ˆj występuje po ˆi, ale przed ˆk. Wynikiem iloczynu wektorowego wersorów dwóch osi zawsze jest wersor trzeciej osi. Kiedy mnożone wektorowo wersory dwóch osi występują w porządku cyklicznym, wynikiem jest wersor trzeciej osi, jak przedstawiono na Ilustracji 2.32(b). Kiedy mnożone wektorowo wersory występują w innej kolejności, wynikiem jest wektor jednostkowy o zwrocie przeciwnym do zwrotu wersora trzeciej osi (to znaczy, że w wyniku występuje znak minus, tak jak na Ilustracji 2.32(c) oraz Ilustracji 2.32(d)). Zasada ta jest bardzo przydatna w przypadku obliczania iloczynu wektorowego wektorów rozłożonych na składowe.
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć iloczyn wektorowy →A×→B, gdzie →A=Axˆi+Ayˆj+Azˆk i →B=Bxˆi+Byˆj+Bzˆk. Podczas obliczeń możemy skorzystać z własności rozdzielności względem dodawania (Równanie 2.37), z faktu, że iloczyn wektorowy nie jest przemienny (ang. anticommutative property) (Równanie 2.36), oraz ze wzorów dla wektorów jednostkowych (Równanie 2.38 oraz Równanie 2.39):
Podczas obliczania iloczynu wektorowego pamiętaj o tym, że działanie to nie jest przemienne, co oznacza, że musisz pamiętać o zachowaniu odpowiedniej kolejności czynników. Aby dokończyć zadanie, musimy wykonać jeszcze dwa kroki. Pierwszym z nich jest pogrupowanie wyrazów mnożonych przez ten sam wektor jednostkowy, a drugim rozkład wektora na składowe. W ten sposób otrzymujemy poniższy wzór, który jest bardzo przydatny podczas obliczania iloczynu wektorowego:
Wartości poszczególnych składowych wektora wynikowego są równe
Podczas obliczania iloczynu wektorowego możemy skorzystać z Równania 2.35 lub z Równania 2.40, w zależności od tego, które z nich wymaga mniej skomplikowanych obliczeń. Wynik otrzymany za pomocą każdego z tych wzorów będzie taki sam. Jeśli chcemy się upewnić, że uzyskany przez nas wynik jest poprawny, możemy skorzystać z obu równań.
Przykład 2.19
Cząstka w polu magnetycznym
Niektóre cząstki poruszające się w polu magnetycznym mogą doświadczyć wpływu siły Lorentza. Bez zbędnego wchodzenia w szczegóły – dokładny opis zjawisk związanych z polem magnetycznym znajduje się w późniejszych rozdziałach – wyjaśnimy tylko, że pole magnetyczne →B jest wektorem, siła Lorentza →F jest wektorem i prędkość cząstki →u również jest wektorem. Wektor siły Lorentza jest wprost proporcjonalny do iloczynu wektorowego wektora prędkości oraz wektora pola magnetycznego, co zapisujemy jako →F=ζ→u×→B. We wzorze tym stała ζ zapewnia zachowanie odpowiedniej jednostki, dzięki czemu możemy pominąć jednostki występujące przy wektorach →u oraz →B. Na potrzeby tego przykładu przyjmijmy, że stała ζ jest liczbą dodatnią.Cząstka poruszająca się w przestrzeni z prędkością →u=−5,0ˆi−2,0ˆj+3,5ˆk wpada w obszar oddziaływania pola magnetycznego, gdzie zaczyna działać na nią siła Lorentza. Znajdź siłę Lorentza →F działającą na tę cząstkę w miejscu, w którym wektor indukcji pola magnetycznego jest równy (a) →B=7,2ˆi−ˆj−2,4ˆk i (b) →B=4,5ˆk. Dla obu przypadków znajdź moduł F siły Lorentza oraz kąt θ między wektorem siły →F oraz wektorem indukcji pola magnetycznego →B.
Strategia rozwiązania
Na początku musimy obliczyć iloczyn →u×→B, ponieważ dzięki temu, przy pomocy →F=ζ→u×→B, będziemy mogli określić siłę Lorentza. Moduł F można znaleźć albo podstawiając wartości składowych do wzoru F=√F2x+F2y+F2z, albo bezpośrednio z wyniku iloczynu wektorowego: |→u×→B| (Równanie 2.35). W przypadku drugiego sposobu będziemy musieli znaleźć kąt między wektorami →u i →B. Jeżeli znamy wektor →F, kąt θ możemy znaleźć, obliczając iloczyn skalarny →F⋅→B i podstawiając wynik do Równania 2.34. Iloczyn wektorowy możemy obliczyć albo przy pomocy Równania 2.40, albo bezpośrednio, w zależności od tego, która metoda wydaje nam się prostsza.Rozwiązanie
Składowe wektora prędkości są równe ux=−5,0, uy=−2,0 oraz uz=3,5.(a) Wartości składowych wektora indukcji pola magnetycznego są równe Bx=7,2, By=−1,0 oraz Bz=−2,4. Podstawiając je do Równania 2.41, uzyskamy wartości składowych wektora →F=ζ→u×→B:
Na tej podstawie możemy zapisać wektor siły Lorentza: →F=ζ(8,3ˆi+13,2ˆj+19,4ˆk). Jego moduł jest równy
Aby obliczyć kąt θ, musimy znaleźć moduł wektora indukcji pola magnetycznego
oraz iloczyn skalarny →F⋅→B:
Po podstawieniu wartości do Równania 2.34 otrzymujemy kąt θ:
Wektor siły Lorentza jest więc prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego. (Moglibyśmy oszczędzić trochę czasu, gdybyśmy wcześniej obliczyli iloczyn skalarny).
(b) Ponieważ wektor →B=4,5ˆk ma tylko jedną składową, której wartość jest różna od zera, możemy obliczyć iloczyn wektorowy bezpośrednio:
Moduł siły Lorentza jest równy
Ponieważ iloczyn skalarny jest równy
wektor siły Lorentza →F jest prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego →B.
Znaczenie
Nawet bez obliczania iloczynu skalarnego możemy przewidzieć, że wektor siły Lorentza zawsze będzie prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego. Wektor siły Lorentza jest iloczynem wektorowym →F=ζ→u×→B, a z definicji iloczynu wektorowego (zobacz Ilustracja 2.29) wektor →F musi być prostopadły do wektorów →u i →B.Sprawdź, czy rozumiesz 2.16
Dane są dwa wektory →A=−ˆi+ˆj i →B=3ˆi−ˆj. Oblicz:
- →A×→B;
- |→A×→B|;
- kąt między →A i →B;
- kąt między →A×→B i →C=ˆi+ˆk.
Na koniec chcemy jeszcze raz podkreślić, jaka jest różnica między iloczynem skalarnym a iloczynem wektorowym. Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba, podczas gdy wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor.