Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • różnic między iloczynem skalarnym a iloczynem wektorowym dwóch wektorów;
  • obliczać iloczyn skalarny dwóch wektorów;
  • obliczać iloczyn wektorowy dwóch wektorów;
  • jakie zastosowanie w fizyce mają iloczyny wektorów.

Wektor można pomnożyć przez inny wektor, ale nie można go przez niego podzielić. Możemy wyróżnić dwa rodzaje mnożenia wektorów. Pierwszy rodzaj mnożenia to iloczyn skalarny. Wynik iloczynu skalarnego jest, jak sama nazwa wskazuje, skalarem, czyli liczbą. Z iloczynu skalarnego korzysta się podczas określania pracy i energii. Przykładowo, praca wykonywana przez pewną siłę (wektor) działającą na ciało i jednocześnie powodującą jego przesunięcie jest iloczynem skalarnym wektora siły i wektora przemieszczenia. Drugim rodzajem mnożenia jest iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy jest wektorem. Wykorzystywany jest do definiowania wektorowych wielkości pochodnych. Na przykład wielkość wektorową zwaną momentem siły definiuje się jako iloczyn wektorowy siły oraz promienia wodzącego łączącego oś obrotu z punktem przyłożenia tej siły.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny (ang. dot product) A B A B dwóch wektorów A A i B B jest liczbą określoną wzorem

A B = A B cos φ , A B =ABcosφ,
2.27

gdzie φ φ jest kątem między wektorami (zobacz Rysunek 2.27).

Kierunek, w jakim mierzymy kąt φ φ, jest bez znaczenia, ponieważ cos φ = cos ( φ ) = cos ( 2 π φ ) cos φ = cos ( φ ) = cos ( 2 π φ ) . Iloczyn skalarny jest liczbą ujemną, kiedy 90 < φ 180 90 <φ 180 , a liczbą dodatnią, kiedy 0 φ < 90 0 φ< 90 . Iloczyn skalarny wektorów o tym samym kierunku i zwrocie jest równy A B = A B cos 0 = A B A B =ABcos 0 =AB. Iloczyn skalarny dwóch wektorów o tym samym kierunku, lecz przeciwnych zwrotach jest równy A B = A B cos 180 = A B A B =ABcos 180 =AB. Iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych jest równy zero: A B = A B cos 90 = 0 A B =ABcos 90 =0. Iloczyn skalarny wektora mnożonego przez samego siebie jest kwadratem modułu tego wektora:

A 2 = A A = A A cos 0 = A 2 . A 2 = A A =AAcos 0 = A 2 .
2.28
Rysunek a: Wektory A i B mają wspólny punkt zaczepienia. Wektor A jest dłuższy niż wektor B. Kąt między nimi to kąt fi. Rysunek b: Wektor B jest przedłużony przy pomocy linii przerywanej. Kolejna linia przerywana poprowadzona jest od punktu końcowego wektora A do przedłużenia wektora B. Jest ona prostopadła do wektora B. A z indeksem prostopadłe jest równe modułowi A razy cosinus fi i jest to odległość od punktu początkowego wektora B do miejsca przecięcia linii przerywanych. Rysunek c: Od punktu końcowego wektora B poprowadzona jest linia przerywana, która przecina wektor A pod kątem prostym. B z indeksem prostopadłe jest równe moduł z B razy cosinus fi i jest to odległość od punktu zaczepienia wektora A do miejsca jego przecięcia z linią przerywaną.
Rysunek 2.27 Iloczyn skalarny dwóch wektorów. (a) Kąt między wektorami. (b) Rzut prostopadły A A wektora A A na kierunek wektora B B . (c) Rzut prostopadły B B wektora B B na kierunek wektora A A .

Przykład 2.15

Iloczyn skalarny

Znajdź iloczyn skalarny A F A F (wektory przedstawione są na Rysunku 2.13).

Strategia rozwiązania

Moduły wektorów A A i F F są równe A = 10,0 A=10,0 oraz F = 20,0 F=20,0. Kąt θ θ między tymi wektorami jest równy θ = φ α = 110 35 = 75 θ=φα= 110 35 = 75 . Po podstawieniu powyższych wartości do Równania 2.27 otrzymujemy skalar.

Rozwiązanie

Na podstawie obliczeń otrzymujemy
A F = A F cos θ = 10,0 20,0 cos 75 = 51,76. A F =AFcosθ=10,020,0cos 75 =51,76.

Sprawdź, czy rozumiesz 2.11

Znajdź następujące iloczyny skalarne wektorów przedstawionych na Rysunku 2.13: A B A B oraz F C F C .

W układzie współrzędnych kartezjańskich iloczyn skalarny wektorów jednostkowych zawsze jest równy zero, ponieważ wektory te są do siebie prostopadłe:

îĵ=îĵcos90°=110=0,îk̂=îk̂cos90°=110=0,k̂ĵ=k̂ĵcos90°=110=0.îĵ=îĵcos90°=110=0,îk̂=îk̂cos90°=110=0,k̂ĵ=k̂ĵcos90°=110=0. \begin{align} \hat i \cdot \hat j &= \abs{\hat i} \cdot \abs{\hat j} \cdot \cos \ang{90} &= 1 \cdot 1 \cdot 0 &= 0 \text{,} \\ \hat i \cdot \hat k &= \abs{\hat i} \cdot \abs{\hat k} \cdot \cos \ang{90} &= 1 \cdot 1 \cdot 0 &= 0 \text{,} \\ \hat k \cdot \hat j &= \abs{\hat k} \cdot \abs{\hat j} \cdot \cos \ang{90} &= 1 \cdot 1 \cdot 0 &= 0 \text{.} \end{align}
2.29

W tych równaniach korzystamy z faktu, że moduły wszystkich wektorów jednostkowych są równe jeden: | i ^ | = | j ^ | = | k ^ | = 1 | i ^ | = | j ^ | = | k ^ | =1. Na podstawie Równania 2.28 możemy zapisać:

i ^ i ^ = i 2 = j ^ j ^ = j 2 = k ^ k ^ = k 2 = 1. i ^ i ^ = i 2 = j ^ j ^ = j 2 = k ^ k ^ = k 2 =1.
2.30

Iloczyn skalarny A B A B można również interpretować jako iloczyn B B oraz rzutu prostopadłego A A wektora A A na kierunek wektora B B (Rysunek 2.27(b)) lub jako iloczyn A A oraz rzutu prostopadłego B B wektora B B na kierunek wektora A A (Rysunek 2.27(c)):

A B = A B cos φ = B ( A cos φ ) = B A = A ( B cos φ ) = A B . A B = A B cos φ = B ( A cos φ ) = B A = A ( B cos φ ) = A B .

Na przykład w prostokątnym, dwuwymiarowym układzie współrzędnych, wartość składowej x x wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora oraz wersora i ^ i ^ , natomiast wartość składowej y y wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora oraz wersora j ^ j ^ :

{ A i ^ = | A | | i ^ | cos θ A = A cos θ A = A x , A j ^ = | A | | j ^ | cos ( 90 θ A ) = A sin θ A = A y . { A i ^ = | A | | i ^ | cos θ A = A cos θ A = A x , A j ^ = | A | | j ^ | cos ( 90 θ A ) = A sin θ A = A y .

Iloczyn skalarny jest przemienny

A B = B A , A B = B A ,
2.31

oraz rozdzielny względem dodawania

A ( B + C ) = A B + A C . A ( B + C ) = A B + A C .
2.32

Prawa przemienności i rozdzielności względem dodawania pozwalają na przedstawienie wzorów w przekształconej formie. Iloczyn skalarny dwóch wektorów możemy przedstawić na przykład przy pomocy ich składowych.

Sprawdź, czy rozumiesz 2.12

Wektor A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ znajduje się w prostokątnym układzie współrzędnych. Skorzystaj z Równania 2.29 oraz z Równania 2.32, aby udowodnić, że A i ^ = A x A i ^ = A x , A j ^ = A y A j ^ = A y oraz A k ^ = A z A k ^ = A z .

Kiedy wektory z Równania 2.27 rozłożone są na składowe

A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ oraz B = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ , A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ oraz B = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ,

możemy obliczyć ich iloczyn skalarny w następujący sposób:

A · B = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) · ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x B x i ^ · i ^ + A x B y i ^ · j ^ + A x B z i ^ · k ^ + A y B x j ^ · i ^ + A y B y j ^ · j ^ + A y B z j ^ · k ^ + A z B x k ^ · i ^ + A z B y k ^ · j ^ + A z B z k ^ · k ^ . A · B = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) · ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x B x i ^ · i ^ + A x B y i ^ · j ^ + A x B z i ^ · k ^ + A y B x j ^ · i ^ + A y B y j ^ · j ^ + A y B z j ^ · k ^ + A z B x k ^ · i ^ + A z B y k ^ · j ^ + A z B z k ^ · k ^ .

Jako że iloczyn dwóch różnych wektorów jednostkowych jest równy zero, a wektor jednostkowy pomnożony skalarnie przez samego siebie daje jeden (zobacz Równanie 2.29 i Równanie 2.30), to w powyższym równaniu znajdują się tylko trzy wyrażenia, których wartość jest różna od zera. Upraszczamy więc iloczyn skalarny do następującej postaci:

A B = A x B x + A y B y + A z B z . A B = A x B x + A y B y + A z B z .
2.33

Możemy zastosować Równanie 2.33, aby znaleźć kąt między dwoma wektorami (ang. angle between two vectors). Kiedy podzielimy Równanie 2.27 przez A B AB, otrzymamy wzór na cos φ cos φ , do którego podstawimy Równanie 2.33:

cos φ = A · B A B = A x B x + A y B y + A z B z A B . cosφ= A · B A B = A x B x + A y B y + A z B z A B .
2.34

Kąt φ φ między wektorami A A i B B znajdziemy, obliczając arcus cosinus wyrażenia z Równania 2.34.

Przykład 2.16

Kąt między dwiema siłami

Trzy psy ciągną patyk w różne strony (Rysunek 2.28). Pierwszy z nich ciągnie z siłą F 1 = 10,0 N i ^ 20,4 N j ^ + 2,0 N k ^ F 1 =10,0 N i ^ 20,4 N j ^ +2,0 N k ^ , drugi z siłą F 2 = 15,0 N i ^ 6,2 N k ^ F 2 =15,0 N i ^ 6,2 N k ^ , a trzeci z siłą F 3 = 5,0 N i ^ + 12,5 N j ^ F 3 =5,0 N i ^ +12,5 N j ^ . Jaki jest kąt między siłami F 1 F 1 i F 2 F 2 ?
Trzy psy ciągną patyk.
Rysunek 2.28 Psy bawią się patykiem.

Strategia rozwiązania

Składowe wektora siły F 1 F 1 są równe F 1 x = 10,0 N F 1 x =10,0 N , F 1 y = 20,4 N F 1 y =20,4 N i F 1 z = 2,0 N F 1 z =2,0 N , a składowe wektora F 2 F 2 są równe F 2 x = 15,0 N F 2 x =15,0 N , F 2 y = 0,0 N F 2 y =0,0 N i F 2 z = 6,2 N F 2 z =6,2 N . Kąt znajdujemy, obliczając iloczyn skalarny tych wektorów oraz ich moduły i podstawiając otrzymane wartości do Równania 2.34.

Rozwiązanie

Moduły wektorów siły F 1 F 1 i F 2 F 2 są równe
F 1 = F 1 x 2 + F 1 y 2 + F 1 z 2 = ( 10,0 N ) 2 + ( 20,4 N ) 2 + ( 2,0 N ) 2 = 22,8 N , F 1 = F 1 x 2 + F 1 y 2 + F 1 z 2 = ( 10,0 N ) 2 + ( 20,4 N ) 2 + ( 2,0 N ) 2 =22,8 N ,

oraz

F 2 = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2 = ( 15,0 N ) 2 + ( 6,2 N ) 2 = 16,2 N . F 2 = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2 = ( 15,0 N ) 2 + ( 6,2 N ) 2 =16,2 N .

Obliczamy iloczyn skalarny, podstawiając wartości składowych do Równania 2.33

F 1 F 2 = F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z = 10,0 N ( 15,0 N ) + ( 20,4 N ) 0,0 N + 2,0 N ( 6,2 N ) = 162,4 N 2 . F 1 F 2 = F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z = 10,0 N ( 15,0 N ) + ( 20,4 N ) 0,0 N + 2,0 N ( 6,2 N ) = 162,4 N 2 .

Po podstawieniu wszystkiego do Równania 2.34 otrzymujemy kąt

cos φ = F 1 F 2 F 1 F 2 = 162,4 N 2 22,8 N 16,2 N = 0,438 φ = arccos ( 0,439 ) = 116 , 0 . cosφ= F 1 F 2 F 1 F 2 = 162,4 N 2 22,8 N 16,2 N =0,438φ=arccos(0,439)=116, 0 .

Znaczenie

Zauważ, że jeśli wektory opisane są przy pomocy wersorów osi, możemy znaleźć kąt między nimi, nie wiedząc, jakie kierunki geograficzne wskazują te wersory. W tym przykładzie oś x x może wskazywać na wschód, a oś y y na północ. Jednak kąt między wektorami siły będzie taki sam, jeśli oś x x wskazywać będzie na zachód, a oś y y na południe.

Sprawdź, czy rozumiesz 2.13


Znajdź kąt zawarty między wektorami siły F 1 F 1 i F 3 F 3 z Przykładu 2.16.

Przykład 2.17

Praca wykonywana przez siłę

Kiedy siła F F ciągnie ciało powodując przemieszczenie D D , mówimy, że siła ta wykonuje pracę. Praca wykonywana przez siłę jest iloczynem skalarnym F D F D . Jeśli patyk z Przykładu 2.16 zostanie przemieszczony o wektor D = 7,9 c m j ^ 4,2 c m k ^ D =7,9 c m j ^ 4,2 c m k ^ , to jaka praca zostanie wykonana przez trzeciego psa?

Strategia rozwiązania

Obliczamy siłę, z jaką ciągnie patyk trzeci pies, czyli iloczyn skalarny wektora przemieszczenia D D i wektora siły F 3 = 5,0 N i ^ + 12,5 N j ^ F 3 =5,0 N i ^ +12,5 N j ^ . Przez W 3 W 3 oznaczymy pracę wykonaną przez siłę F 3 F 3 powodującą przemieszczenie D D .

Rozwiązanie

Obliczamy pracę, czyli iloczyn skalarny
W 3 = F 3 D = F 3 x D x + F 3 y D y + F 3 z D z = 5,0 N 0,0 c m + 12,5 N ( 7,9 c m ) + 0,0 N ( 4,2 c m ) = 98,7 N c m . W 3 = F 3 D = F 3 x D x + F 3 y D y + F 3 z D z = 5,0 N 0,0 c m + 12,5 N ( 7,9 c m ) + 0,0 N ( 4,2 c m ) = 98,7 N c m .

Znaczenie

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul ( J ) (J), 1 J = 1 N m 1 J =1 N m . Jednostkę cm · N cm · N możemy zapisać jako 10 2 m N = 10 2 J 10 2 m N = 10 2 J , więc odpowiedź możemy zapisać jako W 3 = 0,9875 J 1,0 J W 3 =0,9875 J 1,0 J .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.14

Jaką pracę wykonały dwa pierwsze psy z Przykładu 2.16, przy przemieszczeniu z Przykładu 2.17?

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy (ang. cross product) dwóch wektorów A A oraz B B zapisujemy A × B A × B . Iloczyn wektorowy jest wektorem o kierunku prostopadłym do wektorów A A i B B . Inaczej mówiąc, A × B A × B jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory A A i B B , jak przedstawia Rysunek 2.29. Moduł iloczynu wektorowego definiuje się jako

| A × B | = A B sin φ , | A × B | =ABsinφ,
2.35

gdzie kąt między wektorami φ φ mierzy się od wektora A A (pierwszego wektora w iloczynie) w kierunku wektora B B , jak przedstawiono na Rysunku 2.29. Kąt ten przyjmuje wartości od 0 0 do 180 180 .

Zgodnie z Równaniem 2.35 iloczyn wektorowy równy jest zero, jeśli kierunek wektorów jest taki sam ( φ = 0 φ= 0 lub φ = 180 φ= 180 ), ponieważ sin 0 = sin 180 = 0 sin 0 =sin 180 =0.

Wektor A skierowany jest na zewnątrz i w lewo, wektor B skierowany jest na zewnątrz i w prawo. Kąt między nimi to kąt fi. Na rysunku a znajduje się również wektor C, będący wynikiem mnożenia A i B wektorowo. Wektor C skierowany jest do góry i jest prostopadły do wektorów A i B. Na rysunku b znajduje się wektor minus C, będący wynikiem mnożenia B i A wektorowo. Wektor minus C skierownay jest w dół i jest prostopadły do wektorów A i B.
Rysunek 2.29 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów rysuje się w przestrzeni trójwymiarowej. (a) Iloczyn wektorowy A × B A × B jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leżą wektory A A i B B . Narysowane pod kątem kwadraty oznaczają kąty proste między A A i C C , oraz między B B i C C , więc jeśli A A i B B leżałyby na podłodze, wektor C C wskazywałby sufit. (b) Iloczyn wektorowy B × A B × A ma zwrot przeciwny do wektora A × B A × B .

Wektor prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory A A i B B , może mieć jeden z dwóch możliwych zwrotów – w górę albo w dół (zobacz Rysunek 2.29). Jeżeli kąt między wektorami mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, rozpoczynając od pierwszego wektora, zwrot wektora A × B A × B wskazuje w górę (zobacz Rysunek 2.29(a)). W przeciwnym wypadku, to znaczy jeśli pierwszym czynnikiem jest B B , zwrot wektora B × A B × A wskazuje w dół (zobacz Rysunek 2.29(b)). Oznacza to, że wektory A × B A × B oraz B × A B × A mają przeciwne zwroty, a iloczyn wektorowy nie jest przemienny. Oznacza to, że zmiana kolejności czynników w iloczynie wektorowym powoduje zmianę znaku wyniku:

A × B = B × A . A × B = B × A .
2.36

Aby określić zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego stosujemy regułę korkociągu (ang. corkscrew right-hand rule), nazywaną też regułą śruby prawoskrętnej. Jak przedstawiono na Rysunku 2.30, korkociąg znajduje się pod kątem prostym do płaszczyzny, w której leżą wektory A A i B B , i jest on obracany w kierunku od wektora będącego pierwszym czynnikiem do wektora będącego drugim czynnikiem iloczynu wektorowego. Zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu określony jest przez kierunek, w jakim porusza się korkociąg.

Wektor A skierowany jest na zewnątrz i w lewo, wektor B skierowany jest na zewnątrz i w prawo. Na rysunku a przedstawiony jest iloczyn wektorowy A razy B – wektor skierowany do góry, prostopadły do A i B. Śruba obracająca się od A do B o kąt pi będzie przesuwać się w górę. Na rysunku b przedstawiony jest iloczyn wektorowy B razy A, prostopadły do A i B. Śruba obracająca się od B do A o kąt pi będzie przesuwać się w dół.
Rysunek 2.30 Regułę korkociągu stosuje się, aby określić zwrot wektora A × B A × B . Umieść korkociąg pod kątem prostym do płaszczyzny, w której leżą wektory A A i B B i obracaj go w kierunku od pierwszego do drugiego wektora, po mniejszym kącie. Na podstawie kierunku, w jakim porusza się korkociąg, możemy określić zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego. (a) Jeśli korkociąg porusza się w górę, zwrot wektora również wskazuje w górę. (b) Jeśli korkociąg porusza się w dół, zwrot wektora również wskazuje w dół.

Przykład 2.18

Moment siły

Efekt, który możemy uzyskać dzięki kluczowi (Rysunek 2.31), zależy od modułu F F siły, od jej kierunku w stosunku do uchwytu klucza i od tego, w jakiej odległości od nakrętki siła ta została przyłożona. Odległość R R od nakrętki do punktu przyłożenia wektora siły F F jest modułem wektora wodzącego R R . Wielkość wektorową powodującą obrót nakrętki nazywamy momentem siły ( M M ). Moment siły jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego, łączącego trzpień z punktem przyłożenia siły, oraz siły: M = R × F M = R × F .

Próbując poluzować zardzewiałą nakrętkę, do uchwytu klucza, pod kątem φ = 40 φ= 40 w odległości 0,25 m od nakrętki przyłożono siłę równą 20,00 N (Rysunek 2.31(a)). Znajdź moduł i kierunek wektora momentu siły działającego na nakrętkę. Jaki byłby moduł i kierunek momentu siły, jeśli siłę przyłożono by pod kątem φ = 45 φ= 45 (Rysunek 2.31(b))? Dla jakiego kąta φ φ moduł momentu siły jest największy?

Rysunek a: Klucz nałożony na nakrętkę. Siła F przyłożona jest do klucza w odległości R od nakrętki. Wektor R ma punkt początkowy na środku nakrętki, a punkt końcowy w miejscu przyłożenia siły F. Kąt przyłożenia siły jest równy fi, mierzony jest on przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od zwrotu wektora R. Rysunek b: Klucz nałożony na nakrętkę. iła F przyłożona jest do klucza w odległości R od nakrętki. Wektor R ma punkt początkowy na środku nakrętki, a punkt końcowy w miejscu przyłożenia siły F. Kąt przyłożenia siły jest równy fi, mierzony jest on zgodnie z ruchem wskazówek zegara od zwrotu wektora R.
Rysunek 2.31 Stosując klucz w celu obrócenia nakrętki, uzyskujemy zysk mechaniczny. (a) Obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aby poluzować nakrętkę. (b) Obrót w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, aby dokręcić nakrętkę.

Strategia rozwiązania

Stosujemy punkt odniesienia taki, jak na Rysunku 2.31, gdzie wektory R R i F F leżą na płaszczyźnie xy xy, a punkt biegunowy znajduje się w miejscu położenia nakrętki. Kierunek wektora R R (o zwrocie od bieguna) jest kierunkiem odniesienia umożliwiającym zmierzenie kąta φ φ, ponieważ wektor R R jest pierwszym czynnikiem iloczynu wektorowego M = R × F M = R × F . Wektor M M musi leżeć wzdłuż osi z z, ponieważ oś ta jest prostopadła do płaszczyzny xy xy, w której leżą wektory R R oraz F F . W celu obliczenia modułu M M stosujemy Równanie 2.35. Aby znaleźć zwrot wektora M M , stosujemy regułę śruby prawoskrętnej (Rysunek 2.30).

Rozwiązanie

Dla przypadku przedstawionego w (a), dzięki regule korkociągu możemy ustalić, że zwrot wektora R × F R × F jest zgodny z dodatnim kierunkiem osi z z. Oznacza to, że wektor momentu siły M M skierowany jest w górę kartki, prostopadle do uchwytu korkociągu. Wiemy, że F = 20,00 N F=20,00 N oraz R = 0,25 m R=0,25 m , więc stosując Równanie 2.11, możemy obliczyć moduł wektora:
M = | R × F | = R F sin φ = 0,25 m 20,00 N sin 40 = 3,21 N m . M= | R × F | =RFsinφ=0,25 m 20,00 N sin 40 =3,21 N m .

W przypadku przedstawionym w (b), wektor R × F R × F zwrócony jest w ujemnym kierunku osi z z. Oznacza to, że wektor M M wskazuje za kartkę, prostopadle do uchwytu korkociągu. Moduł momentu siły jest równy

M = | R × F | = R F sin φ = 0,25 m 20,00 N sin 45 = 3,53 N m . M= | R × F | =RFsinφ=0,25 m 20,00 N sin 45 =3,53 N m .

Moduł momentu siły jest największy, kiedy sin φ = 1 sinφ=1, a więc kiedy φ = 90 φ= 90 . Oznacza to, że zastosowanie klucza jest najbardziej efektywne – daje największy zysk mechaniczny – kiedy przyłożymy siłę prostopadle do uchwytu klucza. Dla danych z tego przykładu największy moduł jest równy M max = R F = 0,25 m 20,00 N = 5,00 N m M max =RF=0,25 m 20,00 N =5,00 N m .

Znaczenie

Rozwiązywanie zadań związanych z mechaniką dosyć często nie wymaga korzystania z reguły korkociągu, o czym przekonamy się, analizując alternatywne podejście do rozwiązania powyższego zadania. Stwierdziliśmy, że wektor R × F R × F leży wzdłuż osi z z, a więc możemy zapisać go przy pomocy k ^ k ^ , czyli wersora osi z z:
R × F = R F sin φ k ^ . R × F =RFsinφ k ^ .

Liczba, przez którą mnożymy wersor k ^ k ^ , to wartość składowej z z wektora R × F R × F . Podczas obliczania wartości tej składowej, kąt φ φ musi być mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od wektora R R (pierwszego czynnika) do wektora F F (drugiego czynnika). Stosując tę zasadę pomiaru kątów, otrzymujemy R F sin 40 = 3,2 N m RFsin 40 =3,2 N m dla przypadku (a) oraz R F sin ( 45 ) = 3,5 N m RFsin( 45 )=3,5 N m dla przypadku (b). W przypadku (b) kąt jest ujemny, ponieważ jak widać na Rysunku 2.31, kąt mierzony jest zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Jednak taki sam wynik otrzymamy, jeśli kąt ten zmierzymy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ponieważ 360 45 = 315 360 45 = 315 i sin 315 = sin ( 45 ) sin 315 =sin( 45 ). W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie bez korzystania z reguły korkociągu. Dla przypadku (a) rozwiązaniem jest R × F = 3,2 N m k ^ R × F =3,2 N m k ^ . Dla przypadku (b) rozwiązaniem jest R × F = 3,5 N m k ^ R × F =3,5 N m k ^ .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.15

Oblicz następujące iloczyny wektorowe wektorów z Rysunku 2.13: A × B A × B i C × F C × F .

Podobnie jak iloczyn skalarny (Równanie 2.31), iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodawania:

A × ( B + C ) = A × B + A × C . A × ( B + C ) = A × B + A × C .
2.37

Z własności rozdzielności względem dodawania często korzysta się, zapisując wektory rozłożone na składowe.

Kiedy zastosujemy definicję iloczynu wektorowego (Równanie 2.35) do wektorów jednostkowych i ^ i ^ , j ^ j ^ i k ^ k ^ , określających dodatnie kierunki osi x x, y y i z z, otrzymamy

i ^ × i ^ = j ^ × j ^ = k ^ × k ^ = 0. i ^ × i ^ = j ^ × j ^ = k ^ × k ^ =0.
2.38

Moduły wszystkich wektorów jednostkowych muszą być równe jeden, ponieważ i ^ i ^ , j ^ j ^ oraz k ^ k ^ są ortogonalne. Przykładowo, dla pary wektorów i ^ i ^ i j ^ j ^ moduł jest równy | i ^ × j ^ | = i j sin 90 = 1 1 1 = 1 | i ^ × j ^ | =ijsin 90 =111=1. Wektor i ^ × j ^ i ^ × j ^ musi być prostopadły do płaszczyzny xy xy, a więc jego kierunek musi być taki sam jak kierunek osi z z. Wektorami jednostkowymi o kierunku zgodnym z kierunkiem osi z z k ^ k ^ i + k ^ + k ^ . Zgodnie z regułą korkociągu zwrot wektora i ^ × j ^ i ^ × j ^ musi być zgodny z dodatnim kierunkiem osi z z. Dlatego wynikiem mnożenia i ^ × j ^ i ^ × j ^ jest + k ^ + k ^ . Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla pozostałych par wektorów jednostkowych. Uzyskamy wtedy:

{ i ^ × j ^ = + k ^ j ^ × k ^ = + i ^ k ^ × i ^ = + j ^ . { i ^ × j ^ = + k ^ j ^ × k ^ = + i ^ k ^ × i ^ = + j ^ .
2.39

Zauważ, że w Równaniu 2.39 wektory jednostkowe i ^ i ^ , j ^ j ^ i k ^ k ^ pojawiają się w porządku cyklicznym przedstawionym na diagramie na Rysunku 2.32(a). Porządek cykliczny oznacza, że we wzorze i ^ i ^ występuje po k ^ k ^ , ale przed j ^ j ^ , k ^ k ^ występuje po j ^ j ^ , ale przed i ^ i ^ , zaś j ^ j ^ występuje po i ^ i ^ , ale przed k ^ k ^ . Wynikiem iloczynu wektorowego wersorów dwóch osi zawsze jest wersor trzeciej osi. Kiedy mnożone wektorowo wersory dwóch osi występują w porządku cyklicznym, wynikiem jest wersor trzeciej osi, jak przedstawiono na Rysunku 2.32(b). Kiedy mnożone wektorowo wersory występują w innej kolejności, wynikiem jest wektor jednostkowy o zwrocie przeciwnym do zwrotu wersora trzeciej osi (to znaczy, że w wyniku występuje znak minus, tak jak na Rysunku 2.32(c) oraz Rysunku 2.32(d)). Zasada ta jest bardzo przydatna w przypadku obliczania iloczynu wektorowego wektorów rozłożonych na składowe.

Rysunek a: Przedstawione są wersory i z daszkiem, j z daszkiem oraz k z daszkiem osi x, y, z. Strzałki pokazują porządek od i z daszkiem do j z daszkiem do k z daszkiem i z powrotem do i z daszkiem. Rysunek b: Przedstawione są wersory i z daszkiem, j z daszkiem oraz k z daszkiem osi x, y, z. i z daszkiem równa się j z daszkiem wektorowo razy k z daszkiem. j z daszkiem równa się k z daszkiem wektorowo razy i z daszkiem. k z daszkiem równa się i z daszkiem wektorowo razy j z daszkiem. Rysunek c: Przedstawione są wektory jednostkowe i z daszkiem, j z daszkiem oraz minus k z daszkiem o zwrocie w dół. Minus k z daszkiem równa się j z daszkiem wektorowo razy i z daszkiem. Rysunek d: Przedstawione są wektory jednostkowe i z daszkiem, k z daszkiem oraz minus j z daszkiem o zwrocie w lewo. Minus j z daszkiem równa się i z daszkiem wektorowo razy k z daszkiem.
Rysunek 2.32 (a) Diagram przedstawiający porządek cykliczny wersorów osi. (b) Wszystkie iloczyny wektorowe, w których wersory osi występują w porządku cyklicznym. Wektory wynikowe mają znak dodatni. (c, d) Dwa przykłady iloczynów wektorowych, w których wersory osi nie występują w porządku cyklicznym. Wektory wynikowe mają znak ujemny.

Przypuśćmy, że chcemy obliczyć iloczyn wektorowy A × B A × B , gdzie A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ i B = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ B = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ . Podczas obliczeń możemy skorzystać z własności rozdzielności względem dodawania (Równanie 2.37), z faktu, że iloczyn wektorowy nie jest przemienny (ang. anticommutative property) (Równanie 2.36), oraz ze wzorów dla wektorów jednostkowych (Równanie 2.38 oraz Równanie 2.39):

A × B = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x i ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A y j ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A z k ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = + A x B x i ^ × i ^ + A x B y i ^ × j ^ + A x B z i ^ × k ^ + A y B x j ^ × i ^ + A y B y j ^ × j ^ + A y B z j ^ × k ^ + A z B x k ^ × i ^ + A z B y k ^ × j ^ + A z B z k ^ × k ^ = + A x B x 0 + A x B y k ^ + A x B z ( j ^ ) + A y B x ( k ^ ) + A y B y 0 + A y B z i ^ + A z B x j ^ + A z B y ( i ^ ) + A z B z 0. A × B = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x i ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A y j ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A z k ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = + A x B x i ^ × i ^ + A x B y i ^ × j ^ + A x B z i ^ × k ^ + A y B x j ^ × i ^ + A y B y j ^ × j ^ + A y B z j ^ × k ^ + A z B x k ^ × i ^ + A z B y k ^ × j ^ + A z B z k ^ × k ^ = + A x B x 0 + A x B y k ^ + A x B z ( j ^ ) + A y B x ( k ^ ) + A y B y 0 + A y B z i ^ + A z B x j ^ + A z B y ( i ^ ) + A z B z 0.

Podczas obliczania iloczynu wektorowego pamiętaj o tym, że działanie to nie jest przemienne, co oznacza, że musisz pamiętać o zachowaniu odpowiedniej kolejności czynników. Aby dokończyć zadanie, musimy wykonać jeszcze dwa kroki. Pierwszym z nich jest pogrupowanie wyrazów mnożonych przez ten sam wektor jednostkowy, a drugim rozkład wektora na składowe. W ten sposób otrzymujemy poniższy wzór, który jest bardzo przydatny podczas obliczania iloczynu wektorowego:

C = A × B = ( A y B z A z B y ) i ^ + ( A z B x A x B z ) j ^ + ( A x B y A y B x ) k ^ . C = A × B = ( A y B z A z B y ) i ^ + ( A z B x A x B z ) j ^ + ( A x B y A y B x ) k ^ .
2.40

Wartości poszczególnych składowych wektora wynikowego są równe

{ C x = A y B z A z B y C y = A z B x A x B z C z = A x B y A y B x . { C x = A y B z A z B y C y = A z B x A x B z C z = A x B y A y B x .
2.41

Podczas obliczania iloczynu wektorowego możemy skorzystać z Równania 2.35 lub z Równania 2.40, w zależności od tego, które z nich wymaga mniej skomplikowanych obliczeń. Wynik otrzymany za pomocą każdego z tych wzorów będzie taki sam. Jeśli chcemy się upewnić, że uzyskany przez nas wynik jest poprawny, możemy skorzystać z obu równań.

Przykład 2.19

Cząstka w polu magnetycznym

Niektóre cząstki poruszające się w polu magnetycznym mogą doświadczyć wpływu siły Lorentza. Bez zbędnego wchodzenia w szczegóły – dokładny opis zjawisk związanych z polem magnetycznym znajduje się w późniejszych rozdziałach – wyjaśnimy tylko, że pole magnetyczne B B jest wektorem, siła Lorentza F F jest wektorem i prędkość cząstki u u również jest wektorem. Wektor siły Lorentza jest wprost proporcjonalny do iloczynu wektorowego wektora prędkości oraz wektora pola magnetycznego, co zapisujemy jako F = ζ u × B F =ζ u × B . We wzorze tym stała ζ ζ zapewnia zachowanie odpowiedniej jednostki, dzięki czemu możemy pominąć jednostki występujące przy wektorach u u oraz B B . Na potrzeby tego przykładu przyjmijmy, że stała ζ ζ jest liczbą dodatnią.

Cząstka poruszająca się w przestrzeni z prędkością u = 5,0 i ^ 2,0 j ^ + 3,5 k ^ u =5,0 i ^ 2,0 j ^ +3,5 k ^ wpada w obszar oddziaływania pola magnetycznego, gdzie zaczyna działać na nią siła Lorentza. Znajdź siłę Lorentza F F działającą na tę cząstkę w miejscu, w którym wektor indukcji pola magnetycznego jest równy (a) B = 7,2 i ^ j ^ 2,4 k ^ B =7,2 i ^ j ^ 2,4 k ^ i (b) B = 4,5 k ^ B =4,5 k ^ . Dla obu przypadków znajdź moduł F F siły Lorentza oraz kąt θ θ między wektorem siły F F oraz wektorem indukcji pola magnetycznego B B .

Strategia rozwiązania

Na początku musimy obliczyć iloczyn u × B u × B , ponieważ dzięki temu, przy pomocy F = ζ u × B F =ζ u × B , będziemy mogli określić siłę Lorentza. Moduł F F można znaleźć albo podstawiając wartości składowych do wzoru F = F x 2 + F y 2 + F z 2 F= F x 2 + F y 2 + F z 2 , albo bezpośrednio z wyniku iloczynu wektorowego: | u × B | | u × B | (Równanie 2.35). W przypadku drugiego sposobu będziemy musieli znaleźć kąt między wektorami u u i B B . Jeżeli znamy wektor F F , kąt θ θ możemy znaleźć, obliczając iloczyn skalarny F B F B i podstawiając wynik do Równania 2.34. Iloczyn wektorowy możemy obliczyć albo przy pomocy Równania 2.40, albo bezpośrednio, w zależności od tego, która metoda wydaje nam się prostsza.

Rozwiązanie

Składowe wektora prędkości są równe u x = 5,0 u x =5,0, u y = −2,0 u y = −2,0 oraz u z = 3,5 u z = 3,5 .

(a) Wartości składowych wektora indukcji pola magnetycznego są równe B x = 7,2 B x = 7,2 , B y = −1,0 B y = −1,0 oraz B z = −2,4 B z = −2,4 . Podstawiając je do Równania 2.41, uzyskamy wartości składowych wektora F = ζ u × B F =ζ u × B :

{ F x = ζ ( u y B z u z B y ) = ζ [ 2,0 ( 2,4 ) 3,5 ( 1,0 ) ] = 8,3 ζ , F y = ζ ( u z B x u x B z ) = ζ [ 3,5 7,2 ( 5,0 ) ( 2,4 ) ] = 13,2 ζ , F z = ζ ( u x B y u y B x ) = ζ [ 5,0 ( 1,0 ) ( 2,0 ) 7,2 ] = 19,4 ζ . { F x = ζ ( u y B z u z B y ) = ζ [ 2,0 ( 2,4 ) 3,5 ( 1,0 ) ] = 8,3 ζ , F y = ζ ( u z B x u x B z ) = ζ [ 3,5 7,2 ( 5,0 ) ( 2,4 ) ] = 13,2 ζ , F z = ζ ( u x B y u y B x ) = ζ [ 5,0 ( 1,0 ) ( 2,0 ) 7,2 ] = 19,4 ζ .

Na tej podstawie możemy zapisać wektor siły Lorentza: F = ζ ( 8,3 i ^ + 13,2 j ^ + 19,4 k ^ ) F =ζ ( 8,3 i ^ + 13,2 j ^ + 19,4 k ^ ) . Jego moduł jest równy

F = F x 2 + F y 2 + F z 2 = ( 8,3 ζ ) 2 + ( 13,2 ζ ) 2 + ( 19,4 ζ ) 2 = 24,9 ζ . F= F x 2 + F y 2 + F z 2 = ( 8,3 ζ ) 2 + ( 13,2 ζ ) 2 + ( 19,4 ζ ) 2 =24,9ζ.

Aby obliczyć kąt θ θ , musimy znaleźć moduł wektora indukcji pola magnetycznego

B = B x 2 + B y 2 + B z 2 = ( 7,2 ) 2 + ( −1,0 ) 2 + ( −2,4 ) 2 = 7,6 , B = B x 2 + B y 2 + B z 2 = ( 7,2 ) 2 + ( −1,0 ) 2 + ( −2,4 ) 2 = 7,6 ,

oraz iloczyn skalarny F B F B :

F B = F x B x + F y B y + F z B z = 8,3 ζ 7,2 + 13,2 ζ ( 1,0 ) + 19,4 ζ ( 2,4 ) = 0. F B = F x B x + F y B y + F z B z =8,3ζ7,2+13,2ζ(1,0)+19,4ζ(2,4)=0.

Po podstawieniu wartości do Równania 2.34 otrzymujemy kąt θ θ :

cos θ = F B F B = 0 18,2 ζ 7,6 = 0 θ = 90 . cosθ= F B F B = 0 18,2 ζ 7,6 =0θ= 90 .

Wektor siły Lorentza jest więc prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego. (Moglibyśmy oszczędzić trochę czasu, gdybyśmy wcześniej obliczyli iloczyn skalarny).

(b) Ponieważ wektor B = 4,5 k ^ B =4,5 k ^ ma tylko jedną składową, której wartość jest różna od zera, możemy obliczyć iloczyn wektorowy bezpośrednio:

F = ζ u × B = ζ ( 5,0 i ^ 2,0 j ^ + 3,5 k ^ ) × ( 4,5 k ^ ) = ζ [ 5,0 4,5 i ^ × k ^ + ( 2,0 ) 4,5 j ^ × k ^ + 3,5 4,5 k ^ × k ^ ] = ζ [ 22,5 ( j ^ ) 9,0 i ^ + 0 ] = ζ ( 9,0 i ^ + 22,5 j ^ ) . F = ζ u × B = ζ ( 5,0 i ^ 2,0 j ^ + 3,5 k ^ ) × ( 4,5 k ^ ) = ζ [ 5,0 4,5 i ^ × k ^ + ( 2,0 ) 4,5 j ^ × k ^ + 3,5 4,5 k ^ × k ^ ] = ζ [ 22,5 ( j ^ ) 9,0 i ^ + 0 ] = ζ ( 9,0 i ^ + 22,5 j ^ ) .

Moduł siły Lorentza jest równy

F = F x 2 + F y 2 + F z 2 = ζ ( 9,0 ζ ) 2 + ( 22,5 ζ ) 2 + ( 0,0 ζ ) 2 = 24,2 ζ . F= F x 2 + F y 2 + F z 2 =ζ ( 9,0 ζ ) 2 + ( 22,5 ζ ) 2 + ( 0,0 ζ ) 2 =24,2ζ.

Ponieważ iloczyn skalarny jest równy

F B = F x B x + F y B y + F z B z = 9,0 ζ 0 + 22,5 ζ 0 + 0 ζ 4,5 = 0 , F B = F x B x + F y B y + F z B z =9,0ζ0+22,5ζ0+0ζ4,5=0,

wektor siły Lorentza F F jest prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego B B .

Znaczenie

Nawet bez obliczania iloczynu skalarnego możemy przewidzieć, że wektor siły Lorentza zawsze będzie prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego. Wektor siły Lorentza jest iloczynem wektorowym F = ζ u × B F =ζ u × B , a z definicji iloczynu wektorowego (zobacz Rysunek 2.29) wektor F F musi być prostopadły do wektorów u u i B B .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.16

Dane są dwa wektory A = i ^ + j ^ A = i ^ + j ^ i B = 3 i ^ j ^ B =3 i ^ j ^ . Oblicz:

  1. A × B A × B ;
  2. | A × B | | A × B | ;
  3. kąt między A A i B B ;
  4. kąt między A × B A × B i C = i ^ + k ^ C = i ^ + k ^ .

Na koniec chcemy jeszcze raz podkreślić, jaka jest różnica między iloczynem skalarnym a iloczynem wektorowym. Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba, podczas gdy wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.