2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora

Wektory zazwyczaj opisuje się, podając ich współrzędne w układzie współrzędnych (ang. coordinate system). Nawet w życiu codziennym mamy skłonność do opisu rzeczywistości przy użyciu prostokątnego układu współrzędnych. Jeśli zapytasz kogoś, jak dostać się w pewne miejsce, bardziej prawdopodobne jest to, że usłyszysz, aby jechać 40 km na wschód, a następnie 30 km na północ, a nie 50 km, pod kątem ${37}^{\circ }$ na północ od kierunku wschodniego.

W dwuwymiarowym, prostokątnym (kartezjańskim) układzie współrzędnych położenie punktu podaje się poprzez określenie jego dwóch współrzędnych $(x,y)$. Położenie wektora $\overrightarrow{A}$ opisuje się w podobny sposób. Rolę współrzędnej $x$ wektora $\overrightarrow{A}$ pełni składowa pozioma , a rolę współrzędnej $y$ wektora $\overrightarrow{A}$ pełni składowa pionowa. Składowa pozioma to wektor zapisywany ${\overrightarrow{A}}_x$. Składowa pionowa to wektor zapisywany ${\overrightarrow{A}}_y$. W kartezjańskim układzie współrzędnych składowe (ang. vector components) $x$ i $y$ wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych: $x$ oraz $y$. Dlatego, zgodnie z regułą równoległoboku, każdy wektor leżący na płaszczyźnie kartezjańskiej można przedstawić jako sumę jego składowych:

Jak widać na Ilustracji 2.16, wektor $\overrightarrow{A}$ jest przekątną prostokąta, w którym składowa $x$ ${\overrightarrow{A}}_x$ jest bokiem równoległym do osi $x$, a składowa $y$ ${\overrightarrow{A}}_y$ jest bokiem równoległym do osi $y$. Składowa ${\overrightarrow{A}}_x$ jest prostopadła do składowej ${\overrightarrow{A}}_y$.

Ilustracja 2.16 Wektor $\overrightarrow{A}$ położony na płaszczyźnie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest sumą swojej składowej poziomej i pionowej. Składowa ${\overrightarrow{A}}_x$ jest rzutem wektora $\overrightarrow{A}$ na oś $x$. Składowa ${\overrightarrow{A}}_y$ jest rzutem wektora $\overrightarrow{A}$ na oś $y$. Liczby $A_x$ oraz $A_y$, przez które mnożone są wektory jednostkowe, są wartościami składowych wektora.

Przyjęło się oznaczać dodatni kierunek osi $x$ przy pomocy wektora jednostkowego $\hat{i}$, a dodatni kierunek osi $y$ przy pomocy wektora jednostkowego $\hat{j}$. Wektory jednostkowe osi (ang. unit vectors of the axes), nazywane wersorami osi, $\hat{i}$ oraz $\hat{j}$, określają dwa prostopadłe względem siebie kierunki na płaszczyźnie. Jak widać poniżej (Ilustracja 2.16), składowe $x$ i $y$ wektora można zapisać przy pomocy wersorów osi:

Wektory ${\overrightarrow{A}}_x$ i ${\overrightarrow{A}}_y$ występujące w Równaniu 2.11 są składowymi wektora $\overrightarrow{A}$. Liczby $A_x$ i $A_y$ są składowymi skalarnymi (ang. scalar component) wektora $\overrightarrow{A}$. W wyniku połączenia Równania 2.10 i Równania 2.11 otrzymujemy rozkład wektora na składowe (ang. the component form of a vector):

Jeżeli znamy współrzędne $p(x_{\mathrm{p}}{y}_{\mathrm{p}})$ punktu początkowego wektora ($\mathrm{p}$ oznacza „początek”) i współrzędne $k(x_{\mathrm{k}},y_{\mathrm{k}})$ punktu końcowego wektora ($\mathrm{k}$ oznacza „koniec”), możemy poznać składowe skalarne wektora, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego:

Przykład 2.3

Przemieszczenie kursora

Przyjmując, że lewy dolny róg monitora jest początkiem układu współrzędnych, to kursor myszy znajduje się w punkcie $(\mathrm{6,0}\mathrm{c}\mathrm{m};\mathrm{1,6}\mathrm{c}\mathrm{m})$. Jeśli najedziesz kursorem na ikonę znajdującą się w punkcie $(\mathrm{2,0}\mathrm{c}\mathrm{m};\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m})$, jaki będzie wektor jego przemieszczenia?

Strategia rozwiązania

Początkiem dwuwymiarowego układu współrzędnych jest lewy dolny róg ekranu. Oznacza to, że wersor $\hat{i}$ osi $x$ skierowany jest w prawo, a wersor $\hat{j}$ osi $y$ skierowany jest w górę. Punkt początkowy wektora przemieszczenia $p$ leży w $(\mathrm{6,0};\mathrm{1,6})$. Punkt końcowy wektora przemieszczenia $k$ leży w $(\mathrm{2,0};\mathrm{4,5})$. Podstaw współrzędne tych punktów do Równania 2.13, aby otrzymać składowe skalarne $D_x$ oraz $D_y$ wektora przemieszczenia $\overrightarrow{D}$. Aby uzyskać rozkład wektora na składowe, podstaw obliczone składowe do Równania 2.12.

Rozwiązanie

Na podstawie treści zadania mamy $x_{\mathrm{p}}=\mathrm{6,0}$, $x_{\mathrm{k}}=\mathrm{2,0}$, $y_{\mathrm{p}}=\mathrm{1,6}$ i $y_{\mathrm{k}}=\mathrm{4,5}$, gdzie jednostką jest 1 cm. Możemy obliczyć składowe skalarne $x$ oraz $y$ wektora:

Rozkład wektora na składowe przedstawia się następująco:

$$\overrightarrow{D}=D_x\hat{i}+D_y\hat{j}=-\mathrm{4,0}\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \hat{i}+\mathrm{2,9}\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \hat{j}.$$

2.14

Rozwiązanie przedstawiono na Ilustracji 2.17.

Ilustracja 2.17 Wektor przemieszczenia w układzie współrzędnych. Punkt początkowy wektora oznaczony jest przez $p$, a punkt końcowy przez $k$.

Znaczenie

Zauważ, że jednostkę – w tym przypadku 1 cm – można umieścić albo przy każdej składowej, przed symbolem wersora, albo dla obu składowych jednocześnie, jak w Równaniu 2.14. Wygodniej jest korzystać z drugiego sposobu, ponieważ jest on prostszy.

Moduł wektora ${\overrightarrow{D}}_x=-\mathrm{4,0}\hat{i}=\mathrm{4,0}\cdot (-\hat{i})$, czyli składowej poziomej wektora przemieszczenia, jest równy $\left|{\overrightarrow{D}}_x\right|=\left|-\mathrm{4,0}\right|\cdot \left|\hat{i}\right|=\mathrm{4,0}$, ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy $\left|\hat{i}\right|=1$. Zauważ, że kierunek składowej $x$ jest równy $-\hat{i}$, a więc jest on przeciwny do kierunku osi $x$. Oznacza to, że składowa $x$ wektora ${\overrightarrow{D}}_x$ skierowana jest w lewo, tak jak przedstawia to Ilustracja 2.17. Składowa skalarna $x$ wektora $\overrightarrow{D}$ jest równa $D_x=-\mathrm{4,0}$.

Moduł wektora $y$ ${\overrightarrow{D}}_y=+\mathrm{2,9}\hat{j}$, czyli składowej pionowej wektora przemieszczenia, jest równy $\left|{\overrightarrow{D}}_y\right|=\left|\mathrm{2,9}\right|\cdot \left|\hat{j}\right|=\mathrm{2,9}$, ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy $\left|\hat{j}\right|=1$. Kierunek składowej $y$ jest równy $+\hat{j}$, a więc jest on zgodny z kierunkiem osi $y$. Oznacza to, że składowa$y$ wektora ${\overrightarrow{D}}_y$ skierowana jest w górę, tak jak przedstawiono na Ilustracji 2.17. Składowa skalarna $y$ wektora $\overrightarrow{D}$ jest równa $D_y=+\mathrm{2,9}$. Wektor przemieszczenia $\overrightarrow{D}$ jest sumą swoich składowych.

Rozkład wektora na składowe (Równanie 2.14) mówi nam, że kursor został przesunięty o 4,0 cm w lewo i o 2,9 cm do góry.

Jeśli znamy składowe skalarne $A_x$ i $A_y$ wektora $\overrightarrow{A}$, możemy znaleźć jego moduł $A$ oraz jego kierunek opisywany przez kąt ${\theta }_A$. Kierunek wektora określa się względem kąta nachylenia wektora do osi $x$. Kąt ${\theta }_A$, patrząc od osi $x$, mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (Ilustracja 2.18). Ponieważ odcinki o długościach $A$, $A_x$ i $A_y$ tworzą trójkąt prostokątny, zależność między nimi opisuje twierdzenie Pitagorasa:

Zależność ta jest spełniona, nawet jeśli składowe skalarne wektora są liczbami ujemnymi. Kierunek wektora definiuje się obliczając tangens kąta ${\theta }_A$ (Ilustracja 2.18):

Ilustracja 2.18 Moduł $A$ oraz kąt nachylenia ${\theta }_A$ wektora $\overrightarrow{A}$ związane są z długością jego składowych, ponieważ $A$, $A_x$ oraz $A_y$ tworzą trójkąt prostokątny.

Jeśli wektor leży w pierwszej lub czwartej ćwiartce, gdzie składowa $A_x$ jest liczbą dodatnią (Ilustracja 2.19), kąt $\theta$ (z Równania 2.16) jest identyczny z kątem nachylenia ${\theta }_A$. Jeśli wektor leży w czwartej ćwiartce, kąt $\theta$ jest ujemny, co oznacza, że kąt nachylenia ${\theta }_A$ takiego wektora do osi $x$ mierzy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, rozpoczynając od osi $x$. Jeśli wektor leży w drugiej ćwiartce, kąt $\theta$ również jest ujemny. Jeśli wektor leży w drugiej lub trzeciej ćwiartce, gdzie składowa $A_x$ jest liczbą ujemną, kąt nachylenia wektora jest równy ${\theta }_A=\theta +{180}^{\circ }$ (Ilustracja 2.19).

Ilustracja 2.19 Wartości składowych wektora mogą być dodatnie lub ujemne. Dla wektorów leżących w pierwszej ćwiartce (I) wartości obu składowych są dodatnie, a dla wektorów leżących w trzeciej ćwiartce (III) obie te wartości są ujemne. Kąt nachylenia wektora znajdującego się w II lub III ćwiartce do osi $x$ jest równy ${\theta }_A=\theta +{180}^{\circ }$.

W praktyce często zdarza się, że trzeba znaleźć sumę wielu wektorów, których moduły i kierunki są znane. Wyobraź sobie na przykład, że podczas silnego wiatru na moście znajduje się jednocześnie 400 samochodów. Każdy z nich oddziałuje na most naciskiem o innym kierunku, a my chcemy dowiedzieć się, jaka jest suma nacisku. Poznałeś już metodę graficzną znajdowania sumy wektorów, więc wiesz, że metoda ta, ze względu na mierzenie długości i kątów, może szybko prowadzić do znaczących błędów. W przypadku metod analitycznych takie zagrożenie nie występuje. Pierwszym krokiem podejścia analitycznego, jeśli moduł i kierunek wektora są dane, jest znalezienie jego składowych.

Wróćmy do trójkąta prostokątnego z Ilustracji 2.18. Stosunek długości przyprostokątnej $A_x$ i przeciwprostokątnej $A$ jest cosinusem kąta ${\theta }_A$, $A_x\mathrm{/}A=\cos {\theta }_A$, a stosunek długości przyprostokątnej $A_y$ i przeciwprostokątnej $A$ jest sinusem kąta ${\theta }_A$, $A_y\mathrm{/}A=\sin {\theta }_A$. Jeśli moduł $A$ i kierunek ${\theta }_A$ są znane, możemy znaleźć wartości składowych wektora:

Podczas obliczania składowych wektora przy pomocy Równania 2.17 należy pamiętać o zasadach wyznaczania kąta. Kąt ${\theta }_A$ jest kątem mierzonym przeciwnie do ruchów wskazówek zegara, zaczynając od osi $x$. Kąt mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara będzie ujemny.

Współrzędne biegunowe

Aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie, potrzebujemy dwóch ortogonalnych kierunków. W kartezjańskim układzie współrzędnych kierunki te są wyznaczone przez wersor $\hat{i}$ osi $x$ oraz wersor $\hat{j}$ osi $y$. Korzystanie z kartezjańskiego układu współrzędnych jest wygodne, jeśli chodzi o opis przemieszczeń, prędkości i sił. Jednak w przypadku ruchu obrotowego korzystanie z tego układu okazuje się nieefektywne. Opisu ruchu obrotowego dokonuje się zazwyczaj w układzie współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinate system).

W układzie współrzędnych biegunowych położenie punktu $P$ określa się za pomocą dwóch współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinates) (Ilustracja 2.20). Pierwsza współrzędna biegunowa to promień wodzący (ang. radial coordinate $r$, czyli odległość punktu $P$ od bieguna. Drugą współrzędną biegunową jest kąt $\phi$ zawarty między promieniem wodzącym a pewną prostą (ang. direction angle), zazwyczaj osią $x$. W układzie współrzędnych biegunowych miarę kątów podaje się w radianach. Punktem początkowym promienia wodzącego jest punkt $(0,0)$, a punktem końcowym punkt $P$. Kierunek promienia wodzącego opisuje wektor jednostkowy $\hat{r}$. Drugi wektor jednostkowy $\hat{t}$ jest prostopadły do wektora $\hat{r}$. Kierunek dodatni $+\hat{t}$ informuje nas, że kąt $\phi$ zmienia się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Położenie punktu $P$ o współrzędnych $(x,y)$ w prostokątnym układzie współrzędnych może być również opisane przez współrzędne biegunowe $(r,\phi )$. Równanie 2.17 jest spełnione dla wszystkich wektorów, więc za jego pomocą możemy wyrazić współrzędne $x$ oraz $y$ wektora $\overrightarrow{r}$. W ten sposób możemy wyznaczyć zależność między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi punktu $P$:

$$\{\begin{array}{c}x=r\text{cos}\phi \\ y=r\text{sin}\phi .\end{array}$$

2.18

Ilustracja 2.20 Wektor jednostkowy $\hat{r}$ definiuje kierunek promienia wodzącego $r$, a prostopadły do niego wektor jednostkowy $\hat{t}$ definiuje kierunek obrotu promienia o kąt $\phi$.

Przykład 2.6

Współrzędne biegunowe

Poszukiwacz skarbów znajduje srebrną monetę 20,0 m od wyschniętej studni w kierunku ${20}^{\circ }$ na północ od kierunku wschodniego i złotą monetę 10,0 m od studni w kierunku ${20}^{\circ }$ na północ od kierunku zachodniego. Jakie są współrzędne biegunowe i kartezjańskie jego znalezisk względem studni?

Strategia rozwiązania

Miejsce położenia studni jest biegunem układu współrzędnych, a wschód to dodatni kierunek osi $x$. Promienie wodzące łączące biegun z miejscami poszczególnych znalezisk są równe $r_{\mathrm{S}}=\mathrm{20,0}\mathrm{m}$ (miejsce znalezienia srebrnej monety) i $r_{\mathrm{Z}}=\mathrm{10,0}\mathrm{m}$ (miejsce znalezienia złotej monety). W celu określenia wartości kąta $\phi$ przekształcamy ${20}^{\circ }$ na radiany: ${20}^{\circ }=\pi \cdot 20\mathrm{/}180\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\pi \mathrm{/}9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$. Aby znaleźć współrzędne $x$ i $y$ monet, korzystamy z Równania 2.18.

Rozwiązanie

Kąt położenia srebrnej monety jest równy ${\phi }_{\mathrm{S}}=\pi \mathrm{/}9$, a kąt położenia złotej monety jest równy ${\phi }_{\mathrm{Z}}=\pi -\pi \mathrm{/}9=8\pi \mathrm{/}9$. Współrzędne biegunowe srebrnej monety są więc równe $(r_{\mathrm{S}},{\phi }_{\mathrm{S}})=(\mathrm{20,0}\mathrm{m};\pi \mathrm{/}9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})$, natomiast współrzędne monety złotej to $(r_{\mathrm{Z}},{\phi }_{\mathrm{Z}})=(\mathrm{10,0}\mathrm{m};8\pi \mathrm{/}9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})$. Aby otrzymać współrzędne kartezjańskie, podstawiamy współrzędne biegunowe do Równania 2.18. Współrzędne kartezjańskie miejsca znalezienia złotej monety są równe

$$\{\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{Z}}=r_{\mathrm{Z}}\cos {\phi }_{\mathrm{Z}}=\mathrm{10,0}\mathrm{m}\cdot \cos (8\pi \mathrm{/}9)=-\mathrm{9,4}\mathrm{m}\\ y_{\mathrm{Z}}=r_{\mathrm{Z}}\sin {\phi }_{\mathrm{Z}}=\mathrm{10,0}\mathrm{m}\cdot \sin (8\pi \mathrm{/}9)=\mathrm{3,4}\mathrm{m}\end{array}⟹(x_{\mathrm{Z}},y_{\mathrm{Z}})=(-\mathrm{9,4}\mathrm{m};\mathrm{3,4}\mathrm{m}).$$

Współrzędne miejsca znalezienia srebrnej monety są równe

$$\{\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{S}}=r_{\mathrm{S}}\cos {\phi }_{\mathrm{S}}=\mathrm{20,0}\mathrm{m}\cdot \cos (\pi \mathrm{/}9)=\mathrm{18,9}\mathrm{m}\\ y_{\mathrm{S}}=r_{\mathrm{S}}\sin {\phi }_{\mathrm{S}}=\mathrm{20,0}\mathrm{m}\cdot \sin (\pi \mathrm{/}9)=\mathrm{6,8}\mathrm{m}\end{array}⟹(x_{\mathrm{S}},y_{\mathrm{S}})=(\mathrm{18,9}\mathrm{m};\mathrm{6,8}\mathrm{m}).$$

Wektory w przestrzeni trójwymiarowej

Aby określić położenie punktu w przestrzeni, potrzebne są trzy zmienne $(x,y,z)$, gdzie $x$ oraz $y$ określają położenie punktu na płaszczyźnie, natomiast współrzędna $z$ informuje o odległości od płaszczyzny w pionie. W przestrzeni trójwymiarowej możemy wyróżnić trzy kierunki ortogonalne, a więc do opisu tej przestrzeni potrzebne są trzy wektory jednostkowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich pierwsze dwa wektory jednostkowe to wersory osi $x$ $\hat{i}$ oraz $y$ $\hat{j}$. Trzecim wektorem jednostkowym $\hat{k}$ jest wektor informujący o kierunku osi $z$, a więc wersor tej osi (Ilustracja 2.21). Kolejność podpisywania osi, a tym samym kolejność definiowania wektorów jednostkowych jest istotna, ponieważ od niej zależy orientacja układu współrzędnych. Kolejność $x$–$y$–$z$, równoważna z kolejnością $\hat{i}$–$\hat{j}$–$\hat{k}$, oznacza, że mamy do czynienia z układem prawoskrętnym, który definiuje się, używając metody śruby prawoskrętnej.

Ilustracja 2.21 Trzy wektory jednostkowe definiują układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej. Od kolejności podpisywania osi zależy orientacja układu współrzędnych. Układ przedstawiony na rysunku jest układem prawoskrętnym.

W przestrzeni trójwymiarowej wektor $\overrightarrow{A}$ ma trzy składowe: składową $x$: ${\overrightarrow{A}}_x=A_x\hat{i}$, będącą rzutem wektora $\overrightarrow{A}$ na oś $x$, składową $y$: ${\overrightarrow{A}}_y=A_y\hat{j}$, będącą rzutem wektora $\overrightarrow{A}$ na oś $y$, oraz składową $z$: ${\overrightarrow{A}}_z=A_z\hat{k}$, będącą rzutem wektora na oś $z$. Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich trzech składowych. (Ilustracja 2.22):

$$\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}.$$

2.19

Jeśli znamy współrzędne punktu początkowego wektora $p(x_{\mathrm{p}},y_{\mathrm{p}},z_{\mathrm{p}})$ oraz współrzędne jego punktu końcowego $k(x_{\mathrm{k}},y_{\mathrm{k}},z_{\mathrm{k}})$, możemy obliczyć wartości składowych wektora, odejmując od siebie współrzędne punktów – dla $A_x$ i $A_y$ zostało to pokazane w Równaniu 2.13. Wartość składowej $z$ uzyskujemy w następujący sposób:

$$A_z=z_{\mathrm{k}}-z_{\mathrm{p}}.$$

2.20

Moduł $A$ obliczamy, wykonując Równanie 2.15 dla trzech wymiarów:

$$A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.$$

2.21

Powyższy wzór wynika z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Jak widać na Ilustracji 2.22, przekątna w płaszczyźnie $xy$ ma długość $\sqrt{A_x^2+A_y^2}$, a po podniesieniu do kwadratu i dodaniu $A_z^2$ daje $A^2$. Zauważ, że kiedy składowa $z$ jest równa zero, wektor leży w płaszczyźnie $\mathrm{xy}$, w związku z czym jego opis ogranicza się do dwóch wymiarów.

Ilustracja 2.22 Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich składowych.

Przykład 2.7

Lot drona

Podczas startu dron IAI Heron (Ilustracja 2.23) znajduje się 100 m nad ziemią, 300 m na wschód i 200 m na północ względem wieży kontroli lotów. Minutę później dron znajduje się 250 m nad ziemią, 1200 m na wschód i 2100 m na północ względem wieży. Jaki jest wektor przemieszczenia drona względem wieży? Jaki jest moduł tego wektora?

Ilustracja 2.23 Dron IAI Heron. (Źródło: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)

Strategia rozwiązania

Przyjmujemy, że miejsce położenia wieży stanowi początek układu współrzędnych. Dodatni kierunek osi $x$ określa wektor jednostkowy $\hat{i}$ (jest to kierunek wschodni), dodatni kierunek osi $y$ określa wektor jednostkowy $\hat{j}$ (jest to kierunek północny), a dodatni kierunek osi $z$ określa wektor jednostkowy $\hat{k}$ (skierowany pionowo względem ziemi). Pozycja, z której startuje dron, stanowi punkt początkowy wektora przemieszczenia, a jego pozycja po upływie minuty stanowi jego punkt końcowy.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności określamy współrzędne punktów $p(\mathrm{300,0}\mathrm{m};\mathrm{200,0}\mathrm{m};\mathrm{100,0}\mathrm{m})$ oraz $k(\mathrm{1200,0}\mathrm{m};\mathrm{2100,0}\mathrm{m};\mathrm{250,0}\mathrm{m})$, a następnie znajdujemy wartości składowych wektora przemieszczenia przy pomocy Równania 2.13 oraz Równania 2.20:

$$\{\begin{array}{l}{D}_x=x_{\mathrm{k}}-x_{\mathrm{p}}=\mathrm{1200,0}\mathrm{m}-\mathrm{300,0}\mathrm{m}=\mathrm{900,0}\mathrm{m},\\ D_y=y_{\mathrm{k}}-y_{\mathrm{p}}=\mathrm{2100,0}\mathrm{m}-\mathrm{200,0}\mathrm{m}=\mathrm{1900,0}\mathrm{m},\\ D_z=z_{\mathrm{k}}-z_{\mathrm{p}}=\mathrm{250,0}\mathrm{m}-\mathrm{100,0}\mathrm{m}=\mathrm{150,0}\mathrm{m}.\end{array}$$

Aby znaleźć wektor przemieszczenia, podstawiamy powyższe wartości do Równania 2.19:

$$\overrightarrow{D}=D_x\hat{i}+D_y\hat{j}+D_z\hat{k}=\mathrm{900,0}\mathrm{m}\cdot \hat{i}+\mathrm{1900,0}\mathrm{m}\cdot \hat{j}+\mathrm{150,0}\mathrm{m}\cdot \hat{k}.$$

Aby znaleźć moduł wektora przemieszczenia, podstawiamy moduły poszczególnych składowych do Równania 2.21:

$$D=\sqrt{D_x^2+D_y^2+D_z^2}=\sqrt{(\mathrm{0,90}\text{km}{)}^2+(\mathrm{1,90}\text{km}{)}^2+(\mathrm{0,15}\text{km}{)}^2}=\mathrm{2,11}\mathrm{k}\mathrm{m}.$$

Sprawdź, czy rozumiesz 2.7

Jeśli wektor średniej prędkości drona z Przykładu 2.7 jest równy $\overrightarrow{u}=\mathrm{15,0}\text{m/s}\cdot \hat{i}+\mathrm{31,7}\text{m/s}\cdot \hat{j}+\mathrm{2,5}\text{m/s}\cdot \hat{k}$, jaka jest wartość modułu tego wektora?