Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 12.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym rozdziale nauczysz się:
  • opisywać wektory leżące w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej przy pomocy wersorów osi;
  • jakie są różnice między składową wektora a wartością tej składowej;
  • obliczać moduł wektora na podstawie jego składowych;
  • określać kąt skierowany wektora leżącego na płaszczyźnie;
  • jaki jest związek między współrzędnymi biegunowymi i współrzędnymi kartezjańskimi.

Wektory zazwyczaj opisuje się, podając ich współrzędne w układzie współrzędnych (ang. coordinate system). Nawet w życiu codziennym mamy skłonność do opisu rzeczywistości przy użyciu prostokątnego układu współrzędnych. Jeśli zapytasz kogoś, jak dostać się w pewne miejsce, bardziej prawdopodobne jest to, że usłyszysz, aby jechać 40 km na wschód, a następnie 30 km na północ, a nie 50 km, pod kątem 37 37 na północ od kierunku wschodniego.

W dwuwymiarowym, prostokątnym (kartezjańskim) układzie współrzędnych położenie punktu podaje się poprzez określenie jego dwóch współrzędnych ( x , y ) (x,y). Położenie wektora A A opisuje się w podobny sposób. Rolę współrzędnej x x wektora A A pełni składowa pozioma , a rolę współrzędnej y y wektora A A pełni składowa pionowa. Składowa pozioma to wektor zapisywany A x A x . Składowa pionowa to wektor zapisywany A y A y . W kartezjańskim układzie współrzędnych składowe (ang. vector components) x x i y y wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych: x x oraz y y. Dlatego, zgodnie z regułą równoległoboku, każdy wektor leżący na płaszczyźnie kartezjańskiej można przedstawić jako sumę jego składowych:

A = A x + A y . A = A x + A y .
2.10

Jak widać na Rysunku 2.16, wektor A A jest przekątną prostokąta, w którym składowa x x A x A x jest bokiem równoległym do osi x x, a składowa y y A y A y jest bokiem równoległym do osi y y. Składowa A x A x jest prostopadła do składowej A y A y .

Wektor A położony jest w dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich. Jego punkt początkowy znajduje się w punkcie b, a jego punkt końcowy w punkcie e. Wektor ten skierowany jest po skosie do góry i w prawo. Wektory jednostkowe i z daszkiem oraz j z daszkiem to małe wektory leżące wzdłuż osi x oraz y. Składowa x wektora A jest wektorem o kierunku poziomym o początku w punkcie b i końcu w punkcie poniżej punktu e. Na osi x leży wektor A z indeksem x o początku w punkcie x z indeksem b i końcu w punkcie x z indeksem e. Wektor ten jest równy modułowi A z indeksem x razy i z daszkiem. Moduł Ax równa się x z indeksem e odjąć x z indeksem b. Składowa y wektora A jest wektorem o kierunku pionowym o początku w punkcie b i końcu w punkcie znajdującym się na lewo od punktu e. Na osi y leży wektor A z indeksem y o początku w punkcie y z indeksem b i końcu w punkcie y z indeksem e. Wektor ten jest równy modułowi z A z indeksem y razy j z daszkiem. Moduł Ay jest równy y z indeksem e odjąć y z indeksem b.
Rysunek 2.16 Wektor A A położony na płaszczyźnie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest sumą swojej składowej poziomej i pionowej. Składowa A x A x jest rzutem wektora A A na oś x x . Składowa A y A y jest rzutem wektora A A na oś y y . Liczby A x A x oraz A y A y , przez które mnożone są wektory jednostkowe, są wartościami składowych wektora.

Przyjęło się oznaczać dodatni kierunek osi x x przy pomocy wektora jednostkowego i ^ i ^ , a dodatni kierunek osi y y przy pomocy wektora jednostkowego j ^ j ^ . Wektory jednostkowe osi (ang. unit vectors of the axes), nazywane wersorami osi, i ^ i ^ oraz j ^ j ^ , określają dwa prostopadłe względem siebie kierunki na płaszczyźnie. Jak widać poniżej (Rysunek 2.16), składowe x x i y y wektora można zapisać przy pomocy wersorów osi:

{ A x = A x i ^ A y = A y j ^ . { A x = A x i ^ A y = A y j ^ .
2.11

Wektory A x A x i A y A y występujące w Równaniu 2.11składowymi wektora A A . Liczby A x A x i A y A y składowymi skalarnymi (ang. scalar component) wektora A A . W wyniku połączenia Równania 2.10 i Równania 2.11 otrzymujemy rozkład wektora na składowe (ang. the component form of a vector):

A = A x i ^ + A y j ^ A = A x i ^ + A y j ^
2.12

Jeżeli znamy współrzędne p ( x p y p ) p( x p y p ) punktu początkowego wektora ( p p oznacza „początek”) i współrzędne k ( x k , y k ) k( x k , y k ) punktu końcowego wektora ( k k oznacza „koniec”), możemy poznać składowe skalarne wektora, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego:

{ A x = x k x p , A y = y k y p . { A x = x k x p , A y = y k y p .
2.13

Przykład 2.3

Przemieszczenie kursora

Przyjmując, że lewy dolny róg monitora jest początkiem układu współrzędnych, to kursor myszy znajduje się w punkcie ( 6,0 c m ; 1,6 c m ) (6,0 c m ;1,6 c m ). Jeśli najedziesz kursorem na ikonę znajdującą się w punkcie ( 2,0 c m ; 4,5 c m ) (2,0 c m ;4,5 c m ), jaki będzie wektor jego przemieszczenia?

Strategia rozwiązania

Początkiem dwuwymiarowego układu współrzędnych jest lewy dolny róg ekranu. Oznacza to, że wersor i ^ i ^ osi x x skierowany jest w prawo, a wersor j ^ j ^ osi y y skierowany jest w górę. Punkt początkowy wektora przemieszczenia p p leży w ( 6,0 ; 1,6 ) (6,0;1,6). Punkt końcowy wektora przemieszczenia k k leży w ( 2,0 ; 4,5 ) (2,0;4,5). Podstaw współrzędne tych punktów do Równania 2.13, aby otrzymać składowe skalarne D x D x oraz D y D y wektora przemieszczenia D D . Aby uzyskać rozkład wektora na składowe, podstaw obliczone składowe do Równania 2.12.

Rozwiązanie

Na podstawie treści zadania mamy x p = 6,0 x p =6,0, x k = 2,0 x k =2,0, y p = 1,6 y p =1,6 i y k = 4,5 y k =4,5, gdzie jednostką jest 1 cm. Możemy obliczyć składowe skalarne x x oraz y y wektora:
Dx=xkxp=2,0cm6,0cm=4,0cm,Dy=ykyp=4,5cm1,6cm=+2,9cm.Dx=xkxp=2,0cm6,0cm=4,0cm,Dy=ykyp=4,5cm1,6cm=+2,9cm. \begin{align} D_x &= x_{\text{k}} - x_{\text{p}} = \SI{2,0}{\centi\metre} - \SI{6,0}{\centi\metre} = - \SI{4,0}{\centi\metre} \text{,} \\ D_y &= y_{\text{k}} - y_{\text{p}} = \SI{4,5}{\centi\metre} - \SI{1,6}{\centi\metre} = +\SI{2,9}{\centi\metre} \text{.} \end{align}

Rozkład wektora na składowe przedstawia się następująco:

D = D x i ^ + D y j ^ = 4,0 c m i ^ + 2,9 c m j ^ . D = D x i ^ + D y j ^ =4,0 c m i ^ +2,9 c m j ^ .
2.14

Rozwiązanie przedstawiono na Rysunku 2.17.

Wektor D ma punkt początkowy w (6,0; 1,6), a punkt końcowy w (2,0; 4,5). Wektor D równa się wektor D z indeksem z dodać wektor D z indeksem y. Wektor D z indeksem x równa się minus 4,0 i z daszkiem. Wektor ten ma punkt początkowy w x=6,0, a punkt końcowy w x =2,0. Moduł wektora D z indeksem x równa się 2,0-6,0 = -4,0. D z indeksem y równa się plus 2,9 j z daszkiem. Wektor ten ma punkt początkowy w y=1,6, a punkt końcowy w y=4,5. Moduł wektora D z indeksem y równa się 4,5 − 1,6.
Rysunek 2.17 Wektor przemieszczenia w układzie współrzędnych. Punkt początkowy wektora oznaczony jest przez p p , a punkt końcowy przez k k .

Znaczenie

Zauważ, że jednostkę – w tym przypadku 1 cm – można umieścić albo przy każdej składowej, przed symbolem wersora, albo dla obu składowych jednocześnie, jak w Równaniu 2.14. Wygodniej jest korzystać z drugiego sposobu, ponieważ jest on prostszy.

Moduł wektora D x = 4,0 i ^ = 4,0 ( i ^ ) D x =4,0 i ^ =4,0( i ^ ), czyli składowej poziomej wektora przemieszczenia, jest równy | D x | = | 4,0 | | i ^ | = 4,0 | D x | = | 4,0 | | i ^ | =4,0, ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy | i ^ | = 1 | i ^ | =1. Zauważ, że kierunek składowej x x jest równy i ^ i ^ , a więc jest on przeciwny do kierunku osi x x. Oznacza to, że składowa x x wektora D x D x skierowana jest w lewo, tak jak przedstawia to Rysunek 2.17. Składowa skalarna x x wektora D D jest równa D x = - 4,0 D x =-4,0.

Moduł wektora y y D y = + 2,9 j ^ D y =+2,9 j ^ , czyli składowej pionowej wektora przemieszczenia, jest równy | D y | = | 2,9 | | j ^ | = 2,9 | D y | = | 2,9 | | j ^ | =2,9, ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy | j ^ | = 1 | j ^ | =1. Kierunek składowej y y jest równy + j ^ + j ^ , a więc jest on zgodny z kierunkiem osi y y. Oznacza to, że składowa y y wektora D y D y skierowana jest w górę, tak jak przedstawiono na Rysunku 2.17. Składowa skalarna y y wektora D D jest równa D y = + 2,9 D y =+2,9. Wektor przemieszczenia D D jest sumą swoich składowych.

Rozkład wektora na składowe (Równanie 2.14) mówi nam, że kursor został przesunięty o 4,0 cm w lewo i o 2,9 cm do góry.

Sprawdź, czy rozumiesz 2.4

Mucha ląduje na arkuszu papieru milimetrowego w punkcie położonym 10,0 cm na prawo od jego lewej krawędzi i 8,0 cm powyżej krawędzi dolnej, po czym przemieszcza się do punktu położonego 5,0 od lewej krawędzi i 5,0 cm od krawędzi dolnej. Przyjmij, że lewy dolny róg arkusza jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych i znajdź wektor przemieszczenia muchy. Przedstaw rozwiązanie graficznie.

Jeśli znamy składowe skalarne A x A x i A y A y wektora A A , możemy znaleźć jego moduł A A oraz jego kierunek opisywany przez kąt θ A θ A . Kierunek wektora określa się względem kąta nachylenia wektora do osi x x. Kąt θ A θ A , patrząc od osi x x, mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (Rysunek 2.18). Ponieważ odcinki o długościach A A, A x A x i A y A y tworzą trójkąt prostokątny, zależność między nimi opisuje twierdzenie Pitagorasa:

A 2 = A x 2 + A y 2 A = A x 2 + A y 2 . A 2 = A x 2 + A y 2 A= A x 2 + A y 2 .
2.15

Zależność ta jest spełniona, nawet jeśli składowe skalarne wektora są liczbami ujemnymi. Kierunek wektora definiuje się obliczając tangens kąta θ A θ A (Rysunek 2.18):

tgθ=AyAxθ=arc tgAyAx.tgθ=AyAxθ=arc tgAyAx. \tg \theta = \frac{A_y}{A_x} \implies \theta = \arctg (\frac{A_y}{A_x}) \text{.}
2.16
Wektor A ma składową x A z indeksem x równą moduł A z indeksem x razy i z daszkiem, oraz składową y A z indeksem y równą modułowi z A z indeksem y razy j z daszkiem. Wektor A oraz jego składowe tworzą trójkąt prostokątny, z przyprostokątnymi o długości moduł z A z indeksem x oraz moduł z A z indeksem y oraz przeciwprostokątną o długości pierwiastek kwadratowy z A z indeksem x do kwadratu dodać A z indeksem y do kwadratu. Kąt między poziomym bokiem A z indeksem x oraz przeciwprostokątną A jest równy theta z indeksem A.
Rysunek 2.18 Moduł A A oraz kąt nachylenia θ A θ A wektora A A związane są z długością jego składowych, ponieważ A A , A x A x oraz A y A y tworzą trójkąt prostokątny.

Jeśli wektor leży w pierwszej lub czwartej ćwiartce, gdzie składowa A x A x jest liczbą dodatnią (Rysunek 2.19), kąt θ θ (z Równania 2.16) jest identyczny z kątem nachylenia θ A θ A . Jeśli wektor leży w czwartej ćwiartce, kąt θ θ jest ujemny, co oznacza, że kąt nachylenia θ A θ A takiego wektora do osi x x mierzy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, rozpoczynając od osi x x. Jeśli wektor leży w drugiej ćwiartce, kąt θ θ również jest ujemny. Jeśli wektor leży w drugiej lub trzeciej ćwiartce, gdzie składowa A x A x jest liczbą ujemną, kąt nachylenia wektora jest równy θ A = θ + 180 θ A =θ+ 180 (Rysunek 2.19).

Rysunek I przedstawia wektor A leżący w pierwszej ćwiartce (zwrot do góry i w prawo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek dodatni) oraz A z indeksem y (kierunek dodatni). Kąt theta z indeksem A mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest mniejszy niż 90 stopni. Rysunek II przedstawia wektor A w drugiej ćwiartce (zwrot do góry i w lewo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek ujemny) oraz A z indeksem y (kierunek dodatni). Kąt theta z indeksem A mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest większy niż 90 stopni, ale mniejszy niż 180 stopni. Kąt theta, mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jest mniejszy niż 90 stopni. Rysunek III przedstawia wektor A leżący w trzeciej ćwiartce (zwrot w dół i w lewo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek ujemny) oraz A z indeksem y (kierunek ujemny). Kąt theta z indeksem A mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest większy niż 180 stopni, ale mniejszy niż 270 stopni. Kąt theta, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek od ujemnego kierunku osi x jest mniejszy niż 90 stopni. Rysunek IV przedstawia wektor A leżący w czwartej ćwiartce (zwrot w dół i w prawo). Składowe tego wektora to A z indeksem x (kierunek dodatni) oraz A z indeksem y (kierunek ujemny). Kąt theta z indeksem A mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x jest mniejszy niż 90 stopni.
Rysunek 2.19 Wartości składowych wektora mogą być dodatnie lub ujemne. Dla wektorów leżących w pierwszej ćwiartce (I) wartości obu składowych są dodatnie, a dla wektorów leżących w trzeciej ćwiartce (III) obie te wartości są ujemne. Kąt nachylenia wektora znajdującego się w II lub III ćwiartce do osi x x jest równy θ A = θ + 180 θ A = θ + 180 .

Przykład 2.4

Moduł i kierunek wektora przemieszczenia

Przesuwasz kursor z punktu początkowego ( 6,0 c m ; 1,6 c m ) (6,0 c m ; 1,6 c m ) na ikonę znajdującą się w punkcie ( 2,0 c m ; 4,5 c m ) (2,0 c m ; 4,5 c m ). Jaki jest moduł i kierunek wektora przemieszczenia kursora?

Strategia rozwiązania

W Przykładzie 2.3 znaleźliśmy wektor przemieszczenia D D kursora (zobacz Równanie 2.14). Na początku musimy określić wartości składowych wektora: D x = 4,0 c m D x =4,0 c m i D y = + 2,9 c m D y =+2,9 c m i podstawić je do Równania 2.15 i Równania 2.16, aby znaleźć moduł D D wektora oraz jego kąt nachylenia θ D θ D .

Rozwiązanie

Moduł wektora D D jest równy
D = D x 2 + D y 2 = ( 4,0 c m ) 2 + ( 2,9 c m ) 2 = ( 4,0 ) 2 + ( 2,9 ) 2 c m = 4,9 c m . D= D x 2 + D y 2 = ( 4,0 c m ) 2 + ( 2,9 c m ) 2 = ( 4,0 ) 2 + ( 2,9 ) 2 c m =4,9 c m .

Kąt nachylenia wektora do osi jest równy

tg θ = D y D x = 2,9 c m 4,0 c m = 0,725 θ = arctg ( 0,725 ) = 35,9 . tgθ= D y D x = 2,9 c m 4,0 c m =0,725θ=arctg(0,725)= 35,9 .

Wektor D D leży w drugiej ćwiartce, więc jego kierunek opisujemy przy pomocy kąta

θ D = θ + 180 = 35,9 + 180 = 144,1 . θ D =θ+ 180 = 35,9 + 180 = 144,1 .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.5

Jeśli przemieszczenie muchy wędrującej po arkuszu papieru milimetrowego jest równe D = 5,00 c m i ^ 3,00 c m j ^ D =5,00 c m i ^ 3,00 c m j ^ , znajdź jego moduł i kierunek.

W praktyce często zdarza się, że trzeba znaleźć sumę wielu wektorów, których moduły i kierunki są znane. Wyobraź sobie na przykład, że podczas silnego wiatru na moście znajduje się jednocześnie 400 samochodów. Każdy z nich oddziałuje na most naciskiem o innym kierunku, a my chcemy dowiedzieć się, jaka jest suma nacisku. Poznałeś już metodę graficzną znajdowania sumy wektorów, więc wiesz, że metoda ta, ze względu na mierzenie długości i kątów, może szybko prowadzić do znaczących błędów. W przypadku metod analitycznych takie zagrożenie nie występuje. Pierwszym krokiem podejścia analitycznego, jeśli moduł i kierunek wektora są dane, jest znalezienie jego składowych.

Wróćmy do trójkąta prostokątnego z Rysunku 2.18. Stosunek długości przyprostokątnej A x A x i przeciwprostokątnej A A jest cosinusem kąta θ A θ A , A x / A = cos θ A A x /A=cos θ A , a stosunek długości przyprostokątnej A y A y i przeciwprostokątnej A A jest sinusem kąta θ A θ A , A y / A = sin θ A A y /A=sin θ A . Jeśli moduł A A i kierunek θ A θ A są znane, możemy znaleźć wartości składowych wektora:

{ A x = A cos θ A A y = A sin θ A . { A x = A cos θ A A y = A sin θ A .
2.17

Podczas obliczania składowych wektora przy pomocy Równania 2.17 należy pamiętać o zasadach wyznaczania kąta. Kąt θ A θ A jest kątem mierzonym przeciwnie do ruchów wskazówek zegara, zaczynając od osi x x. Kąt mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara będzie ujemny.

Przykład 2.5

Składowe wektorów przemieszczenia

Ekipa ratunkowa szukająca zaginionego dziecka podąża za Azorem, psem tropiącym. Azor często gubi trop i często zawraca. W końcu znajduje dziecko i wszystko dobrze się kończy, więc możemy skupić się na wektorach przemieszczenia Azora. Wektory te są bardzo zróżnicowane: najpierw Azor przebiegł 200,0 m na południowy wschód, następnie 300,0 m na północ, później węsząc przeszedł 50,0 m w kierunku 30 30 na zachód od kierunku północnego. Po przejściu 80,0 m na południe Azor złapał świeży trop i skręcił w kierunku 23 23 na zachód od kierunku południowego, po czym przebiegł 150,0 m. Znajdź wartości składowych wektorów przemieszczenia Azora i wektory przemieszczenia (w postaci rozkładu na składowe) dla każdej z przebytych przez niego ścieżek.

Strategia rozwiązania

W celu rozwiązania tego zadania skorzystamy z prostokątnego układu współrzędnych o osi x x skierowanej na wschód oraz osi y y skierowanej na północ. Oznacza to, że wersor i ^ i ^ będzie wskazywał na wschód, a wersor j ^ j ^ na północ. Azor wytyczył pięć ścieżek, co oznacza, że jego przemieszczenie składa się z pięciu wektorów przemieszczenia. Zaczniemy od znalezienia ich modułów i kierunków, następnie użyjmy Równania 2.17, aby znaleźć wartości składowych wektorów i zapiszemy wektory w postaci przedstawionej na Równaniu 2.12.

Rozwiązanie

Moduł przemieszczenia Azora na pierwszej ścieżce jest równy L 1 = 200,0 m L 1 =200,0 m , a wektor ma kierunek południowo-wschodni. Za kąt nachylenia θ 1 θ 1 możemy przyjąć albo - 45 - 45 mierzone od kierunku południe-północ, jeśli zmierzymy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara, albo 45 + 270 45 + 270 , jeśli zmierzymy go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W pierwszym przypadku θ 1 = 45 θ 1 = 45 , a w drugim θ 1 = + 315 θ 1 =+ 315 . Możemy użyć którejkolwiek z tych wartości. Składowe są więc równe:
L1x=L1cosθ1=200,0mcos315°=141,4m,L1y=L1sinθ1=200,0msin315°=141,4m.L1x=L1cosθ1=200,0mcos315°=141,4m,L1y=L1sinθ1=200,0msin315°=141,4m. \begin{align} L_{1\sep x} &= L_1 \cos \theta_1 = \SI{200,0}{\metre} \cdot \cos \ang{315} = \SI{141,4}{\metre} \text{,} \\ L_{1\sep y} &= L_1 \sin \theta_1 = \SI{200,0}{\metre} \cdot \sin \ang{315} = - \SI{141,4}{\metre} \text{.} \end{align}

Wektor przemieszczenia na pierwszej ścieżce jest równy:

L 1 = L 1 x i ^ + L 1 y j ^ = 141,4 m i ^ 141,4 m j ^ . L 1 = L 1 x i ^ + L 1 y j ^ =141,4 m i ^ 141,4 m j ^ .

Moduł przemieszczenia Azora na drugiej ścieżce jest równy L 2 = 300,0 m L 2 =300,0 m , a wektor skierowany jest na północ. Kąt nachylenia θ 2 = + 90 θ 2 =+ 90 . Otrzymujemy następujące wyniki:

L 2 x = L 2 cos θ 2 = 300,0 m cos 90 = 0,0 m , L 2 y = L 2 sin θ 2 = 300,0 m sin 90 = 300,0 m , L 2 = L 2 x i ^ + L 2 y j ^ = 300,0 m j ^ . L 2 x = L 2 cos θ 2 = 300,0 m cos 90 = 0,0 m , L 2 y = L 2 sin θ 2 = 300,0 m sin 90 = 300,0 m , L 2 = L 2 x i ^ + L 2 y j ^ = 300,0 m j ^ .

Moduł przemieszczenia Azora na trzeciej ścieżce jest równy L 3 = 50,0 m L 3 =50,0 m , a wektor skierowany jest 30 30 na zachód od kierunku północnego. Kąt nachylenia mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi x jest równy θ 3 = 30 + 90 = + 120 θ 3 = 30 + 90 =+ 120 . Otrzymujemy następujące wyniki:

L 3 x = L 3 cos θ 3 = 50,0 m cos 120 = 25,0 m , L 3 y = L 3 sin θ 3 = 50,0 m sin 120 = + 43,3 m , L 3 = L 3 x i ^ + L 3 y j ^ = 25,0 m i ^ + 43,3 m j ^ . L 3 x = L 3 cos θ 3 = 50,0 m cos 120 = 25,0 m , L 3 y = L 3 sin θ 3 = 50,0 m sin 120 = + 43,3 m , L 3 = L 3 x i ^ + L 3 y j ^ = 25,0 m i ^ + 43,3 m j ^ .

Moduł przemieszczenia Azora na czwartej ścieżce jest równy L 4 = 80,0 m L 4 =80,0 m , a wektor skierowany jest na południe. Za kąt nachylenia możemy przyjąć θ 4 = 90 θ 4 = 90 albo θ 4 = + 270 θ 4 =+ 270 . Otrzymujemy następujące wyniki:

L 4 x = L 4 cos θ 4 = 80,0 m cos ( 90 ) = 0,0 m , L 4 y = L 4 sin θ 4 = 80,0 m sin ( 90 ) = 80,0 m , L 4 = L 4 x i ^ + L 4 y j ^ = 80,0 m j ^ . L 4 x = L 4 cos θ 4 = 80,0 m cos ( 90 ) = 0,0 m , L 4 y = L 4 sin θ 4 = 80,0 m sin ( 90 ) = 80,0 m , L 4 = L 4 x i ^ + L 4 y j ^ = 80,0 m j ^ .

Moduł przemieszczenia Azora na ostatniej ścieżce to L 5 = 150,0 m L 5 =150,0 m , a kąt nachylenia jest równy θ 5 = 23 + 270 = + 247 θ 5 = 23 + 270 =+ 247 ( 23 23 na zachód od kierunku południowego), co daje:

L 5 x = L 5 cos θ 5 = 150,0 m cos 247 = 58,6 m , L 5 y = L 5 sin θ 5 = 150,0 m sin 247 = 138,1 m , L 5 = L 5 x i ^ + L 5 y j ^ = 58,6 m i ^ 138,1 m j ^ . L 5 x = L 5 cos θ 5 = 150,0 m cos 247 = 58,6 m , L 5 y = L 5 sin θ 5 = 150,0 m sin 247 = 138,1 m , L 5 = L 5 x i ^ + L 5 y j ^ = 58,6 m i ^ 138,1 m j ^ .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.6

Jeśli Azor przebiegnie 20 m na zachód, jaki będzie wektor jego przemieszczenia?

Współrzędne biegunowe

Aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie, potrzebujemy dwóch ortogonalnych kierunków. W kartezjańskim układzie współrzędnych kierunki te są wyznaczone przez wersor i ^ i ^ osi x x oraz wersor j ^ j ^ osi y y. Korzystanie z kartezjańskiego układu współrzędnych jest wygodne, jeśli chodzi o opis przemieszczeń, prędkości i sił. Jednak w przypadku ruchu obrotowego korzystanie z tego układu okazuje się nieefektywne. Opisu ruchu obrotowego dokonuje się zazwyczaj w układzie współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinate system).

W układzie współrzędnych biegunowych położenie punktu P P określa się za pomocą dwóch współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinates) (Rysunek 2.20). Pierwsza współrzędna biegunowa to promień wodzący (ang. radial coordinate r r, czyli odległość punktu P P od bieguna. Drugą współrzędną biegunową jest kąt φ φ zawarty między promieniem wodzącym a pewną prostą (ang. direction angle), zazwyczaj osią x x. W układzie współrzędnych biegunowych miarę kątów podaje się w radianach. Punktem początkowym promienia wodzącego jest punkt ( 0 , 0 ) (0, 0), a punktem końcowym punkt P P. Kierunek promienia wodzącego opisuje wektor jednostkowy r ^ r ^ . Drugi wektor jednostkowy t ^ t ^ jest prostopadły do wektora r ^ r ^ . Kierunek dodatni + t ^ + t ^ informuje nas, że kąt φ φ zmienia się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Położenie punktu P P o współrzędnych ( x , y ) (x, y) w prostokątnym układzie współrzędnych może być również opisane przez współrzędne biegunowe ( r , φ ) (r, φ). Równanie 2.17 jest spełnione dla wszystkich wektorów, więc za jego pomocą możemy wyrazić współrzędne x x oraz y y wektora r r . W ten sposób możemy wyznaczyć zależność między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi punktu P P:

{ x = r cos φ y = r sin φ . { x = r cos φ y = r sin φ .
2.18
Punkt początkowy wektora r znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych, a jego punkt końcowy z punkcie P. Kąt zawarty między wektorem r oraz dodatnim kierunkiem osi x to kąt fi. X równa się r cosinus fi, a y równa się r sinus fi. Wektor jednostkowy r z daszkiem zaznaczony jest na przedłużeniu wektora r. Wektor jednostkowy t z daszkiem jest prostopadły do wektora r z daszkiem (jest przesunięty o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazó→wek zegara).
Rysunek 2.20 Wektor jednostkowy r ^ r ^ definiuje kierunek promienia wodzącego r r , a prostopadły do niego wektor jednostkowy t ^ t ^ definiuje kierunek obrotu promienia o kąt φ φ .

Przykład 2.6

Współrzędne biegunowe

Poszukiwacz skarbów znajduje srebrną monetę 20,0 m od wyschniętej studni w kierunku 20 20 na północ od kierunku wschodniego i złotą monetę 10,0 m od studni w kierunku 20 20 na północ od kierunku zachodniego. Jakie są współrzędne biegunowe i kartezjańskie jego znalezisk względem studni?

Strategia rozwiązania

Miejsce położenia studni jest biegunem układu współrzędnych, a wschód to dodatni kierunek osi x x. Promienie wodzące łączące biegun z miejscami poszczególnych znalezisk są równe r S = 20,0 m r S =20,0 m (miejsce znalezienia srebrnej monety) i r Z = 10,0 m r Z =10,0 m (miejsce znalezienia złotej monety). W celu określenia wartości kąta φ φ przekształcamy 20 20 na radiany: 20 = π 20 / 180 r a d = π / 9 r a d 20 =π20/180 r a d =π/9 r a d . Aby znaleźć współrzędne x x i y y monet, korzystamy z Równania 2.18.

Rozwiązanie

Kąt położenia srebrnej monety jest równy φ S = π / 9 φ S =π/9, a kąt położenia złotej monety jest równy φ Z = π π / 9 = 8 π / 9 φ Z =ππ/9=8π/9. Współrzędne biegunowe srebrnej monety są więc równe ( r S , φ S ) = ( 20,0 m ; π / 9 r a d ) ( r S , φ S )=(20,0 m ; π/9 r a d ), natomiast współrzędne monety złotej to ( r Z , φ Z ) = ( 10,0 m ; 8 π / 9 r a d ) ( r Z , φ Z )=(10,0 m ; 8π/9 r a d ). Aby otrzymać współrzędne kartezjańskie, podstawiamy współrzędne biegunowe do Równania 2.18. Współrzędne kartezjańskie miejsca znalezienia złotej monety są równe
{ x Z = r Z cos φ Z = 10,0 m cos ( 8 π / 9 ) = 9,4 m y Z = r Z sin φ Z = 10,0 m sin ( 8 π / 9 ) = 3,4 m ( x Z , y Z ) = ( 9,4 m ; 3,4 m ) . { x Z = r Z cos φ Z = 10,0 m cos ( 8 π / 9 ) = 9,4 m y Z = r Z sin φ Z = 10,0 m sin ( 8 π / 9 ) = 3,4 m ( x Z , y Z )=(9,4 m ; 3,4 m ).

Współrzędne miejsca znalezienia srebrnej monety są równe

{ x S = r S cos φ S = 20,0 m cos ( π / 9 ) = 18,9 m y S = r S sin φ S = 20,0 m sin ( π / 9 ) = 6,8 m ( x S , y S ) = ( 18,9 m ; 6,8 m ) . { x S = r S cos φ S = 20,0 m cos ( π / 9 ) = 18,9 m y S = r S sin φ S = 20,0 m sin ( π / 9 ) = 6,8 m ( x S , y S )=(18,9 m ; 6,8 m ).

Wektory w przestrzeni trójwymiarowej

Aby określić położenie punktu w przestrzeni, potrzebne są trzy zmienne ( x , y , z ) (x, y, z), gdzie x x oraz y y określają położenie punktu na płaszczyźnie, natomiast współrzędna z z informuje o odległości od płaszczyzny w pionie. W przestrzeni trójwymiarowej możemy wyróżnić trzy kierunki ortogonalne, a więc do opisu tej przestrzeni potrzebne są trzy wektory jednostkowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich pierwsze dwa wektory jednostkowe to wersory osi x x i ^ i ^ oraz y y j ^ j ^ . Trzecim wektorem jednostkowym k ^ k ^ jest wektor informujący o kierunku osi z z, a więc wersor tej osi (Rysunek 2.21). Kolejność podpisywania osi, a tym samym kolejność definiowania wektorów jednostkowych jest istotna, ponieważ od niej zależy orientacja układu współrzędnych. Kolejność x x y y z z, równoważna z kolejnością i ^ i ^ j ^ j ^ k ^ k ^ , oznacza, że mamy do czynienia z układem prawoskrętnym, który definiuje się, używając metody śruby prawoskrętnej.

Trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich o wersorach i z daszkiem, j z daszkiem, k z daszkiem osi x, y, z. I z daszkiem ma zwrot na zewnątrz w naszym kierunku, j z daszkiem ma zwrot w prawo, k z daszkiem ma zwrot w górę strony. Wersory osi są bokami sześcianu.
Rysunek 2.21 Trzy wektory jednostkowe definiują układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej. Od kolejności podpisywania osi zależy orientacja układu współrzędnych. Układ przedstawiony na rysunku jest układem prawoskrętnym.

W przestrzeni trójwymiarowej wektor A A ma trzy składowe: składową x x: A x = A x i ^ A x = A x i ^ , będącą rzutem wektora A A na oś x x, składową y y: A y = A y j ^ A y = A y j ^ , będącą rzutem wektora A A na oś y y, oraz składową z z: A z = A z k ^ A z = A z k ^ , będącą rzutem wektora na oś z z. Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich trzech składowych. (Rysunek 2.22):

A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ . A = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ .
2.19

Jeśli znamy współrzędne punktu początkowego wektora p ( x p , y p , z p ) p( x p , y p , z p ) oraz współrzędne jego punktu końcowego k ( x k , y k , z k ) k( x k , y k , z k ), możemy obliczyć wartości składowych wektora, odejmując od siebie współrzędne punktów – dla A x A x i A y A y zostało to pokazane w Równaniu 2.13. Wartość składowej z z uzyskujemy w następujący sposób:

A z = z k z p . A z = z k z p .
2.20

Moduł A A obliczamy, wykonując Równanie 2.15 dla trzech wymiarów:

A = A x 2 + A y 2 + A z 2 . A = A x 2 + A y 2 + A z 2 .
2.21

Powyższy wzór wynika z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Jak widać na Rysunku 2.22, przekątna w płaszczyźnie x y xy ma długość A x 2 + A y 2 A x 2 + A y 2 , a po podniesieniu do kwadratu i dodaniu A z 2 A z 2 daje A 2 A 2 . Zauważ, że kiedy składowa z z jest równa zero, wektor leży w płaszczyźnie xy xy, w związku z czym jego opis ogranicza się do dwóch wymiarów.

Wektor A znajduje się w trójwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich. Wektor A jest sumą wektorów A z indeksem x, A z indeksem y, A z indeksem z. Wektor A z indeksem x jest składową x wektora A, a jego długość jest równa A z indeksem x razy i z daszkiem. Wektor A z indeksem y jest składową y wektora A i ma długość A z indeksem y razy j z daszkiem. Wektor A z indeksem z jest składową z wektora A i ma długość A z indeksem z razy k z daszkiem. Składowe wektora A tworzą prostopadłościan o bokach długości A z indeksem x, A z indeksem y, A z indeksem z.
Rysunek 2.22 Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich składowych.

Przykład 2.7

Lot drona

Podczas startu dron IAI Heron (Rysunek 2.23) znajduje się 100 m nad ziemią, 300 m na wschód i 200 m na północ względem wieży kontroli lotów. Minutę później dron znajduje się 250 m nad ziemią, 1200 m na wschód i 2100 m na północ względem wieży. Jaki jest wektor przemieszczenia drona względem wieży? Jaki jest moduł tego wektora?
Zdjęcie drona.
Rysunek 2.23 Dron IAI Heron. (Źródło: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)

Strategia rozwiązania

Przyjmujemy, że miejsce położenia wieży stanowi początek układu współrzędnych. Dodatni kierunek osi x x określa wektor jednostkowy i ^ i ^ (jest to kierunek wschodni), dodatni kierunek osi y y określa wektor jednostkowy j ^ j ^ (jest to kierunek północny), a dodatni kierunek osi z z określa wektor jednostkowy k ^ k ^ (skierowany pionowo względem ziemi). Pozycja, z której startuje dron, stanowi punkt początkowy wektora przemieszczenia, a jego pozycja po upływie minuty stanowi jego punkt końcowy.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności określamy współrzędne punktów p ( 300,0 m ; 200,0 m ; 100,0 m ) p(300,0 m ; 200,0 m ; 100,0 m ) oraz k ( 1200,0 m ; 2100,0 m ; 250,0 m ) k(1200,0 m ; 2100,0 m ; 250,0 m ), a następnie znajdujemy wartości składowych wektora przemieszczenia przy pomocy Równania 2.13 oraz Równania 2.20:
{ D x = x k x p = 1200,0 m 300,0 m = 900,0 m , D y = y k y p = 2100,0 m 200,0 m = 1900,0 m , D z = z k z p = 250,0 m 100,0 m = 150,0 m . { D x = x k x p = 1200,0 m 300,0 m = 900,0 m , D y = y k y p = 2100,0 m 200,0 m = 1900,0 m , D z = z k z p = 250,0 m 100,0 m = 150,0 m .

Aby znaleźć wektor przemieszczenia, podstawiamy powyższe wartości do Równania 2.19:

D = D x i ^ + D y j ^ + D z k ^ = 900,0 m i ^ + 1900,0 m j ^ + 150,0 m k ^ . D = D x i ^ + D y j ^ + D z k ^ =900,0 m i ^ +1900,0 m j ^ +150,0 m k ^ .

Aby znaleźć moduł wektora przemieszczenia, podstawiamy moduły poszczególnych składowych do Równania 2.21:

D = D x 2 + D y 2 + D z 2 = ( 0,90 km ) 2 + ( 1,90 km ) 2 + ( 0,15 km ) 2 = 2,11 k m . D= D x 2 + D y 2 + D z 2 = ( 0,90 km ) 2 + ( 1,90 km ) 2 + ( 0,15 km ) 2 =2,11 k m .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.7

Jeśli wektor średniej prędkości drona z Przykładu 2.7 jest równy u = 15,0 m/s i ^ + 31,7 m/s j ^ + 2,5 m/s k ^ u =15,0m/s i ^ +31,7m/s j ^ +2,5m/s k ^ , jaka jest wartość modułu tego wektora?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.