William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

różnic między wielkościami skalarnymi i wektorowymi;
określać moduł i kierunek wektora;
mnożyć wielkości wektorowe przez skalar;
dodawać i odejmować wielkości wektorowe w przestrzeni jednowymiarowej;
stosować metodę graficzną dodawania i odejmowania wektorów leżących na płaszczyźnie;
rozpoznawać równanie wektorowe.

Wiele wielkości fizycznych można opisać, podając liczbę oraz odpowiednią jednostkę. Możemy powiedzieć na przykład „lekcja trwa 45 minut”, „bak w moim samochodzie ma pojemność 65 l” lub „odległość między tymi słupami to 100 m”. Wielkości, które można określić w ten sposób, nazywamy wielkościami skalarnymi (ang. scalar quantity). Skalar oznacza liczbę. Czas, masa, droga, długość, objętość, temperatura oraz energia są przykładami wielkości skalarnych.

Wielkości skalarne przedstawiane przy pomocy tych samych jednostek mogą być dodawane lub odejmowane tak jak pozostałe liczby. Na przykład lekcja, która skończy się 10 min przed czasem, będzie trwała $45 m i n - 10 m i n = 35 m i n$ . Całkowita energia zawarta w bananie, który ma 90 kalorii, oraz w pączku, który ma 200 kalorii, jest równa $90 c a l + 200 c a l = 290 c a l$ . W wyniku mnożenia wielkości skalarnej przez liczbę otrzymamy tę samą liczbę, choć o innej wartości. Przykładowo, jeśli zjedzone przez nas wczoraj śniadanie miało 200 kalorii, a to, które zjedliśmy dziś, było 4 razy bardziej kaloryczne, to energia dzisiejszego śniadania była równa $4 \cdot 200 c a l = 800 c a l$ . Wielkości skalarne mogą być mnożone lub dzielone przez siebie nawzajem. Wynikiem takich działań są pochodne wielkości skalarne. Jeśli pociąg przebywa drogę 100 km w ciągu 1,0 h, oznacza to, że jedzie ze średnią szybkością $100 km / 1,0 h = 100 km/h = 27,8 m/s$ , gdzie szybkość jest pochodną wielkością skalarną, otrzymaną w wyniku dzielenia drogi przez czas.

Do opisu wielu wielkości fizycznych nie wystarczą jednak liczba i jednostka. Jeśli straż przybrzeżna wysyła jednostkę ratunkową, nie wystarczy, że zna odległość od miejsca, z którego wysłano sygnał SOS, musi również znać kierunek, z którego ten sygnał dochodzi. Wielkości fizyczne, które opisuje się, podając liczbę jednostek (długość) oraz kierunek, nazywamy wielkościami wektorowymi (ang. vector quantity). Należą do nich przemieszczenie, prędkość, siła oraz moment siły. Wielkości wektorowe reprezentowane są przez obiekty matematyczne zwane wektorami (ang. vector) (Ilustracja 2.2). Wektory można dodawać lub odejmować, można je również mnożyć przez skalar lub przez inny wektor, natomiast dzielenie wektora przez skalar to mnożenie przez odwrotność skalara.

A Zdjęcie jamnika. Pod zdjęciem umieszczono poziomą strzałkę. Jej początek znajduje się poniżej ogona psa, a koniec poniżej jego nosa. Strzałkę oznaczono jako “wektor D“, a jej długość jako “moduł D“. Punkt początkowy strzałki podpisano “od ogona“, a jej punkt końcowy “do głowy wektora“.

Ilustracja 2.2 Wektor rysujemy od punktu zaczepienia (nazywanego też początkiem wektora) do punktu końcowego (nazywanego też końcem wektora) oznaczonego grotem strzałki. Moduł wektora jest równy jego długości – jest to liczba dodatnia. (Źródło: modyfikacja pracy Cate Sevilla)

Na początku zapoznamy się z metodą graficzną dodawania i odejmowania wektorów – pomoże ci to zrozumieć podstawowe pojęcia i nauczyć się odpowiedniego sposobu myślenia. W rzeczywistości podczas rozwiązywania zadań korzysta się z metod analitycznych, o czym wkrótce się przekonamy. Metody analityczne są dokładniejsze, a wykonywane w ich przypadku obliczenia bardzo proste. Aby odróżnić wielkości skalarne od wektorowych, przyjmiemy, że pochylona litera ze strzałką u góry oznacza wektor. Na przykład drogę równą 2,0 km, a więc wielkość skalarną, zapiszemy jako $d = 2,0 k m$ , natomiast przemieszczenie w konkretnym kierunku, równe 2,0 km zapiszemy jako $\vec{d}$ , ponieważ jest to wielkość wektorowa.

Wyobraź sobie, że jesteś z przyjacielem na kempingu i mówisz mu, że odkryłeś fantastyczne miejsce do wędkowania, 6 km od twojego namiotu. Jeśli nie powiesz, w jakim kierunku od obozowiska znajduje się to miejsce, twój przyjaciel najprawdopodobniej go nie znajdzie, ponieważ nie podając kierunku określiłeś jedynie okrąg, na którego obwodzie znajduje się to miejsce. Możesz powiedzieć na przykład „Idź 6 km na północny wschód od mojego namiotu”. Krótko mówiąc, musisz podać dwie informacje — odległość (6 km) oraz kierunek (północny wschód).

Przemieszczenie jest to ogólne pojęcie opisujące zmianę położenia, jak na przykład podczas wędrówki z namiotu do miejsca wędkowania. Przemieszczenie jest przykładem wielkości wektorowej. Jeśli idziesz od namiotu (położenie $A$ ) do jeziora (położenie $B$ ), jak przedstawiono na Ilustracji 2.3, wektor $\vec{D}$ , reprezentujący Twoje przemieszczenie (ang. displacement), przedstawia się za pomocą strzałki z początkiem w punkcie $A$ i końcem w punkcie $B$ . Grot strzałki oznacza koniec wektora. Kierunek strzałki jest kierunkiem wektora przemieszczenia $\vec{D}$ . Długość strzałki przedstawia moduł (ang. magnitude) $D$ wektora $\vec{D}$ . W tym przypadku jest to $D = 6 k m$ . Ponieważ moduł wektora jest jego długością, a więc liczbą dodatnią, moduł można również zapisać, obejmując symbol wektora wartością bezwzględną: $D \equiv | \vec{D} |$ . Aby rozwiązać zadanie dotyczące wektorów graficznie, musimy narysować wektor $\vec{D}$ w odpowiedniej skali. Jeśli przyjmiemy, że jedna jednostka długości (1 km) na rysunku będzie odpowiadała długości $u = 2 c m$ , wektor przemieszczenia będzie miał całkowitą długość $d = 6 u = 6 \cdot 2 c m = 12 c m$ , jak widzimy na Ilustracji 2.4. Zauważ, że użyliśmy różnych symboli, aby oznaczyć moduł wektora ( $D = 6 k m$ ) oraz długość jego reprezentacji graficznej ( $d = 12 c m$ ).

Rysunek przedstawia jezioro położone w pewnej odległości na północny wschód od namiotu. Północ znajduje się u góry strony, wschód po prawej. Namiot podpisano jako “położenie A“, zaś jezioro jako “położenie B“. Prosta strzałka zaczyna się w punkcie A i kończy w punkcie B. Trzy kręte ścieżki, narysowane przy pomocy linii przerywanej, również zaczynają się w punkcie A i kończą w punkcie B.

Ilustracja 2.3 Wektor przemieszczenia z początkiem w punkcie

A

(w obozowisku) oraz końcem w punkcie

B

(przy jeziorze) obrazuje strzałka o początku w punkcie

A

oraz końcu w punkcie

B

. Przemieszczenie jest takie samo dla każdej z dróg (reprezentowanych na rysunku przez inne strzałki) łączącej punkty

A

oraz

B

.

Rysunek przedstawia linijkę z podziałką w centymetrach. Równolegle do linijki narysowano wektor D. Wektor ten zaczyna się w punkcie 0 cm i kończy w punkcie 12 cm.

Ilustracja 2.4 Jeśli przyjmiemy, że 2 cm oznaczają 1 jednostkę przemieszczenia (w tym przypadku 1 km), to przesunięcie

\vec{D}

o module 6 km należy przedstawić graficznie za pomocą strzałki o długości 12 cm.

Przypuśmy, że twój przyjaciel idzie z obozowiska znajdującego się w punkcie $A$ do jeziora znajdującego się w punkcie $B$ , a następnie z powrotem: z jeziora znajdującego się w $B$ do obozowiska znajdującego się w $A$ . Moduł wektora przemieszczenia ${\vec{D}}_{A B}$ z $A$ do $B$ jest równy modułowi wektora przemieszczenia ${\vec{D}}_{B A}$ z $B$ do $A$ (w obu przypadkach jest równy 6 km), możemy więc zapisać, że $D_{A B} = D_{B A}$ . Jednak wektor ${\vec{D}}_{A B}$ nie jest równy wektorowi ${\vec{D}}_{B A}$ , ponieważ wektory te mają inny zwrot: ${\vec{D}}_{A B} \neq {\vec{D}}_{B A}$ . Na Ilustracji 2.3 wektor ${\vec{D}}_{B A}$ miałby początek w punkcie $B$ , a koniec w punkcie $A$ , co oznacza, że ${\vec{D}}_{B A}$ wskazuje na południowy-zachód, zatem kąt między wektorem ${\vec{D}}_{A B}$ i ${\vec{D}}_{B A}$ wynosi $180^{\circ}$ . Mówimy, że wektor ${\vec{D}}_{B A}$ oraz wektor ${\vec{D}}_{A B}$ są wektorami przeciwnymi (ang. antiparallel vectors). Zależność tę zapisujemy: ${\vec{D}}_{A B} = - {\vec{D}}_{B A}$ , gdzie minus oznacza kierunek przeciwny.

Wektory zwrócone w tym samym kierunku nazywamy wektorami zgodnie skierowanymi (ang. parallel vectors), co oznacza, że mają one ten sam zwrot. Dwa wektory o tym samym zwrocie $\vec{A}$ oraz $\vec{B}$ są równe, co zapisujemy $\vec{A} = \vec{B}$ , wtedy i tylko wtedy, kiedy ich moduły są równe $| \vec{A} | = | \vec{B} |$ . Równe są także wektory o różnych punktach zaczepienia, o ile mają taki sam kierunek, zwrot i moduł. Dwa wektory o zwrotach różniących się o $90^{\circ}$ to wektory ortogonalne (ang. orthogonal vectors), czyli wektory prostopadłe. Relacje między wektorami pokazano na Ilustracji 2.5.

Rysunek a: dwa przykłady wektorów zgodnych. W pierwszym wektor A i wektor B znajdują się w tej samej linii, jeden za drugim. Wektor A jest dłuższy niż wektor B. W drugim punkty początkowe wektora A i B znajdują się obok siebie. Wektor A jest krótszy od wektora B. Rysunek b: Wektory o przeciwnych zwrotach. Wektor A ma zwrot w lewo i jest dłuższy niż wektor B, który ma zwrot w prawo. Kąt między nimi jest równy 180 stopni. Rysunek c: Wektor A o zwrocie przeciwnym do wektora minus A. A ma zwrot w prawo, -A ma zwrot w lewo. Oba wektory maja tę samą długość. Rysunek d: Dwa przykłady wektorów równych. W pierwszym wektory A i B znajdują się w tej samej linii, jeden za drugim i mają tę samą długość. W drugim A i B są równoległe, a ich punkty początkowe znajdują się obok siebie. Wektory te mają tę samą długość. Rysunek e: Dwa przykłady wektorów ortogonalnych. W pierwszym A ma zwrot w dół, a B w prawo. Oba wektory mają tę samą długość, a kąt między nimi jest równy 90 stopni. W drugim wektory narysowane są po skosie. A ma zwrot w dół i w prawo, natomiast B w dół i w lewo. Oba wektory mają tę samą długość, a kąt między nimi jest równy 90 stopni.

Ilustracja 2.5 Zależności między dwoma wektorami

\vec{A}

i

\vec{B}

. (a)

\vec{A} \neq \vec{B}

, ponieważ

A \neq B

. (b)

\vec{A} \neq \vec{B}

, ponieważ mają różne zwroty oraz

A \neq B

. (c)

\vec{A} \neq - \vec{A}

, ponieważ ich zwroty są różne (mimo tego, że

| \vec{A} | = | - \vec{A} | = A

). (d)

\vec{A} = \vec{B}

, ponieważ mają takie same zwroty oraz równe moduły.

A = B

(e)

\vec{A} \neq \vec{B}

, ponieważ ich kierunki są różne; ich kierunki różnią się o

90^{\circ}

, czyli są to wektory ortogonalne.

Sprawdź, czy rozumiesz 2.1

Dwie łodzie motorowe o nazwach „Alicja” i „Beata” poruszają się po jeziorze. Na podstawie poniższych informacji określ, czy ich wektory prędkości są równe, czy nie.

„Alicja” porusza się na północ z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na zachód z prędkością 6 węzłów.
„Alicja” porusza się na zachód z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na zachód z prędkością 3 węzłów.
„Alicja” porusza się na północny wschód z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na południe z prędkością 3 węzłów.
„Alicja” porusza się na północny wschód z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na południowy zachód z prędkością 6 węzłów.
„Alicja” porusza się na północny wschód z prędkością 2 węzłów, a „Beata” znajduje się bliżej brzegu i porusza się na północny wschód z prędkością 2 węzłów.

Rachunek wektorowy w jednym wymiarze

Wektory mogą być mnożone przez skalar, dodawane lub odejmowane od innych wektorów. Pokażemy te działania na przykładzie wyprawy na ryby, który przedstawiliśmy już na Ilustracji 2.6.

Trzy rysunki przedstawiające to samo jezioro położone na północny wschód od namiotu. Północ znajduje się u góry strony. Położenie namiotu oznaczono literą A, zaś położenie jeziora literą B. W dwóch trzecich drogi między punktami A i B znajduje się punkt C. Na rysunku a wektor poprowadzony od punktu A do punktu B nazwano wektorem D z indeksem AB i przedstawiono jako niebieską strzałkę. Wektor poprowadzony z punktu A do punktu C nazwano wektorem D z indeksem AC i przedstawiono jako czerwona strzałkę. Trzy kręte ścieżki, oznaczone linia przerywaną, łączą punkty A i B. Na rysunku b, oprócz tego co na rysunku a, znajdują się: punkt D w połowie drogi między punktami A i B,wektor D z indeksem AD łączący punkty A i D, przedstawiony jako fioletowa strzałka, wektor D z indeksem DB, łączący punkty D i B, przedstawiony jako pomarańczowa strzałka. Na rysunku c dodano zieloną strzałkę łączącą punkty C i D, podpisana jako wektor D z indeksem CD. Wektor ten ma inny zwrot niż pozostałe wektory (wskazuje na namiot, a nie na jezioro).

Ilustracja 2.6 Wektory przemieszczenia podczas wyprawy na ryby. (a) Postój w punkcie

C

podczas wędrówki z obozowiska (punkt

A

) nad jezioro (punkt

B

). (b) Powrót po zgubioną skrzynkę (punkt

D

). (c) Zakończenie wędrówki nad jeziorem.

Przypuśćmy, że twój przyjaciel wyrusza z punktu $A$ (z obozowiska) i idzie w kierunku punktu $B$ (jeziora), ale w pewnym momencie robi postój w punkcie $C$ , znajdującym się w trzech czwartych drogi między punktem $A$ a punktem $B$ (Ilustracja 2.6(a)). Jaki jest jego wektor przemieszczenia ${\vec{D}}_{A C}$ , kiedy znajduje się w punkcie $C$ ? Wiemy, że jeśli przejdzie całą drogę do punktu $B$ , jego wektor przemieszczenia o początku w punkcie $A$ jest równy ${\vec{D}}_{A B}$ , jego moduł jest równy $D_{A B} = 6 k m$ , a kierunek wektora to północny wschód. Jeśli przejdzie 0,75 drogi, utrzymując kierunek północno-wschodni, to będąc w punkcie $C$ , musi znajdować się $0,75 D_{A B} = 4,5 k m$ od obozowiska w punkcie $A$ . Oznacza to, że wektor przemieszczenia, kiedy znajduje się on w punkcie $C$ , ma moduł równy $D_{A C} = 4,5 k m = 0,75 D_{A B}$ i jest równoległy do wektora przemieszczenia ${\vec{D}}_{A B}$ . Można to przedstawić za pomocą poniższego równania wektorowego (ang. vector equation):

{\vec{D}}_{A C} = 0,75 {\vec{D}}_{A B} .

W równaniu wektorowym po obu stronach znaku równości znajdują się wektory. Powyższe równanie jest przykładem mnożenia wektora przez dodatni skalar (liczbę) $α = 0,75$ . Wynikiem ${\vec{D}}_{A C}$ mnożenia jest nowy wektor o tym samym kierunku i zwrocie co wektor ${\vec{D}}_{A B}$ .

Wynikiem mnożenia wektora $\vec{A}$ przez liczbę dodatnią $α$ jest nowy wektor $\vec{B}$ o tym samym kierunku oraz zwrocie co wektor $\vec{A}$ :

\vec{B} = α \vec{A} .

2.1

Moduł $| \vec{B} |$ nowego wektora oblicza się uwzględniając moduł $| \vec{A} |$ oryginalnego wektora. Ukazuje to poniższe równanie skalarne (ang. scalar equation):

B = | α | A .

2.2

W równaniu skalarnym po obu stronach znaku równości znajdują się liczby. Równanie 2.2 jest równaniem skalarnym, ponieważ moduły wektorów są liczbami (dodatnimi). Jeśli skalar $α$ występujący w wektorowym Równaniu 2.1 jest ujemny, to moduł $| \vec{B} |$ nowego wektora wciąż obliczamy z Równania 2.2, ale zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora $\vec{A}$ . Dokładne zasady przedstawione zostały na Ilustracji 2.7(a) na dwóch przykładach, gdzie długość wektora $\vec{A}$ wynosi 1,5 jednostki. Kiedy $α = 2$ , nowy wektor $\vec{B} = 2 \vec{A}$ ma długość $B = 2 A = 3,0$ jednostki (jest dwa razy dłuższy) i ma taki sam zwrot oraz kierunek, co pierwszy wektor. Kiedy $α = −2$ , nowy wektor $\vec{C} = - 2 \vec{A}$ ma długość $C = | - 2 | A = 3,0$ jednostki (jest dwa razy dłuższy) i ma ten sam kierunek co pierwszy wektor, lecz przeciwny zwrot.

Rysunek przedstawia wektor A o zwrocie w prawo. Moduł tego wektora jest równy A = 1,5. Wektor B = 2 razy A również ma zwrot w prawo. Jego moduł jest równy B = 2 A = 3,0. Wektor C = -2 razy wektor A. Jego moduł jest równy C = 2,0. Rysunek b przedstawia wektor A o zwrocie w prawo i module równym A=1,5. Wektor B znajduje się ponizej wektora A, ich punkty początkowe znajdują się obok siebie. Wektor B ma zwrot w prawo, a jego moduł jest równy 2,0. Obok przedstawiono połączone wektory – punkt początkowy wektora B znajduje się w punkcie końcowym wektora A. Poniżej połączonych wektorów znajduje się wektor R 0 wektor A dodać wektor B. Wektor R ma zwrot w prawo. Jego punkt początkowy znajduje się obok punktu początkowego wektora A, a jego punkt końcowy obok punktu końcowego wektora B. Moduł wektora R jest równy sumie modułów A i B = 3,5. Rysunek c przedstawia wektor A o zwrocie w prawo i module A=1,5. Wektor B znajduje się poniżej wektora A, punkty początkowe tych wektorów znajdują się obok siebie. Wektor minus B ma zwrot w prawo. Jego moduł jest równy 3,2. Obok przedstawiono połączone wektory A i minus B. Punkty końcowe tych wektorów są połączone. Poniżej połączonych wektorów znajduje się wektor D = wektor A minus wektor B. Jest krótszy niż wektor minus B i ma zwrot w lewo. Jego punkt końcowy znajduje się obok punktu końcowego wektora minus B. Moduł wektora D jest równy różnicy modułów A i B = 1,7.

Ilustracja 2.7 Rachunek wektorowy w jednym wymiarze. (a) Mnożenie przez skalar. (b) Dodawanie dwóch wektorów (

\vec{R}

jest sumą wektorów

\vec{A}

i

\vec{B}

). (c) Odejmowanie dwóch wektorów (

\vec{D}

jest różnicą wektorów

\vec{A}

i

\vec{B}

).

Teraz załóżmy, że twój przyjaciel wędkarz wyrusza z punktu $A$ i idzie w kierunku punktu $B$ , ale po drodze zauważa, że zgubił skrzynkę z przyborami wędkarskimi. Wraca więc do punktu $C$ (w trzech czwartych drogi między punktem $A$ a punktem $B$ ), gdzie zrobił postój, bo pamięta, że tam na pewno jeszcze miał ją przy sobie. Zawraca więc i idzie w kierunku obozowiska. Znajduje skrzynkę leżącą przy ścieżce 1,2 km od punktu $C$ , w punkcie $D$ (zobacz Ilustrację 2.6(b)). Jaki jest jego wektor przemieszczenia ${\vec{D}}_{A D}$ , jeśli skrzynka znajdowała się w punkcie $D$ ? Jaki jest jego wektor przemieszczenia ${\vec{D}}_{D B}$ od punktu $D$ do jeziora? Już wcześniej stwierdziliśmy, że w punkcie $C$ jego wektor przesunięcia jest równy ${\vec{D}}_{A C} = 0,75 {\vec{D}}_{A B}$ . Po wznowieniu marszu w punkcie $C$ wędkarz idzie na południowy zachód (w kierunku obozowiska), co oznacza, że jego wektor przemieszczenia ${\vec{D}}_{C D}$ o początku w punkcie $C$ i końcu w punkcie $D$ ma zwrot przeciwny do wektora ${\vec{D}}_{A B}$ . Jego moduł $| {\vec{D}}_{C D} |$ jest równy $D_{C D} = 1,2 k m = 0,2 D_{A B}$ , a więc jego drugi wektor przemieszczenia jest równy ${\vec{D}}_{C D} = - 0,2 {\vec{D}}_{A B}$ . Jego całkowite przemieszczenie ${\vec{D}}_{A D}$ względem obozu jest sumą wektorów (ang. vector sum) przemieszczenia: wektora ${\vec{D}}_{A C}$ (od obozu do miejsca postoju) oraz wektora ${\vec{D}}_{C D}$ (od miejsca postoju do miejsca, w którym znalazł zgubioną skrzynkę):

{\vec{D}}_{A D} = {\vec{D}}_{A C} + {\vec{D}}_{C D} .

2.3

Jeśli wektory znajdujące się po prawej stronie Równania 2.3 są znane, możemy znaleźć sumę ${\vec{D}}_{A D}$ w następujący sposób:

{\vec{D}}_{A D} = {\vec{D}}_{A C} + {\vec{D}}_{C D} = 0,75 {\vec{D}}_{A B} - 0,2 {\vec{D}}_{A B} = (0,75 - 0,2) {\vec{D}}_{A B} = 0,55 {\vec{D}}_{A B} .

2.4

Kiedy twój przyjaciel dotrze wreszcie nad jezioro (do punktu $B$ ), wektor jego przemieszczenia ${\vec{D}}_{A B}$ z punktu $A$ będzie sumą wektorów przemieszczenia ${\vec{D}}_{A D}$ z punktu $A$ do punktu $D$ oraz wektora przemieszczenia ${\vec{D}}_{D B}$ z punktu $D$ do docelowego punktu nad jeziorem ${\vec{D}}_{A B} = {\vec{D}}_{A D} + {\vec{D}}_{D B}$ (Ilustracja 2.6(c)). Oznacza to, że wektor jego przemieszczenia ${\vec{D}}_{D B}$ będzie różnicą wektorów (ang. difference of two vectors):

{\vec{D}}_{D B} = {\vec{D}}_{A B} - {\vec{D}}_{A D} = {\vec{D}}_{A B} + (- {\vec{D}}_{A D}) .

2.5

Zauważ, że różnica dwóch wektorów jest po prostu sumą wektora, który jest pierwszym jej składnikiem, oraz wektora o zwrocie przeciwnym. Drugim składnikiem Równania 2.5 jest wektor $- {\vec{D}}_{A D}$ (który ma zwrot przeciwny niż wektor ${\vec{D}}_{A D}$ ). Jeśli podstawimy Równanie 2.4 do Równania 2.5, otrzymamy drugi wektor przemieszczenia:

{\vec{D}}_{D B} = {\vec{D}}_{A B} - {\vec{D}}_{A D} = {\vec{D}}_{A B} - 0,55 {\vec{D}}_{A B} = (1,0 - 0,55) {\vec{D}}_{A B} = 0,45 {\vec{D}}_{A B} .

2.6

Wynik oznacza, że twój przyjaciel przeszedł $D_{D B} = 0,45 D_{A B} = 0,45 \cdot 6,0 k m = 2,7 k m$ od punktu, w którym znalazł zgubioną skrzynkę, do punktu docelowego nad jeziorem.

Jeśli wektory $\vec{A}$ i $\vec{B}$ są do siebie równoległe, tak jak w przykładzie z wyprawą na ryby, to wektory będące ich sumą $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ i różnicą $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$ również są do nich równoległe – mają ten sam kierunek. Dodawanie i odejmowanie wektorów możemy przedstawić graficznie, rysując je z zachowaniem skali, tak jak przedstawiono na Ilustracji 2.7.

Aby narysować wektor będący sumą wektorów $\vec{A}$ i $\vec{B}$ o tym samym kierunku i zwrocie, rysujemy je jeden za drugim, łącząc punkt początkowy jednego z nich z punktem końcowym drugiego (Ilustracja 2.7(b)). Moduł wektora wynikowego jest sumą modułów wektorów składowych: $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ . Zwrot wektora wynikowego jest taki sam jak zwrot wektorów składowych. Kiedy wektor $\vec{A}$ ma zwrot przeciwny do wektora $\vec{B}$ , rysujemy je, łącząc ze sobą punkty końcowe (Ilustracja 2.7(c)) lub początkowe. Moduł wektora będącego różnicą wektorów jest wartością bezwzględną $D = | A - B |$ różnicy modułów wektorów składowych. Zwrot wektora wynikowego $\vec{D}$ jest taki sam jak zwrot wektora składowego o większym module.

Ogólnie rzecz biorąc, niezależnie od liczby wymiarów przestrzeni, możemy dodawać dowolną liczbę wektorów w dowolnej kolejności, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne (ang. commutative),

\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A},

2.7

oraz łączne (ang. associative),

(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) .

2.8

Mnożenie przez skalar jest rozdzielne (ang. distributive) względem dodawania:

α_{1} \vec{A} + α_{2} \vec{A} = (α_{1} + α_{2}) \vec{A} .

2.9

Z cechy rozdzielności mnożenia względem dodawania korzystamy w Równaniu 2.4 i Równaniu 2.6.

Podczas dodawania wielu wektorów w jednym wymiarze przydatne jest pojęcie wektora jednostkowego (ang. unit vector). Wektor jednostkowy oznaczać będziemy przez pochyloną literę z daszkiem, jak na przykład $\hat{u}$ . Jego moduł jest równy jeden, a sam wektor nie jest opisywany przez żadną jednostkę, więc $| \hat{u} | = u = 1$ . Jedyną rolą wektora jednostkowego jest ustalenie kierunku. Na przykład zamiast mówić, że wektor ${\vec{D}}_{A B}$ ma moduł równy 6,0 km i kierunek północno-wschodni, możemy posłużyć się wektorem jednostkowym $\hat{u}$ o kierunku północno-wschodnim i zapisać ${\vec{D}}_{A B} = 6,0 k m \cdot \hat{u}$ . Kierunek południowo-zachodni wskazywany jest wtedy przez wektor jednostkowy $- \hat{u}$ . Przemieszczenie o 6,0 km w kierunku południowo-zachodnim możemy zapisać w następujący sposób:

{\vec{D}}_{B A} = - 6,0 k m \cdot \hat{u} .

Przykład 2.1

Wędrująca biedronka

Długa drewniana miarka stoi oparta o ścianę w laboratorium fizycznym. Jej koniec, oznaczony wartością 200 cm, dotyka podłogi. Biedronka ląduje na wartości 100 cm i zaczyna się przemieszczać wzdłuż miarki. Najpierw przechodzi 15 cm w stronę podłogi, następnie 56 cm w stronę ściany, a później znowu 3 cm w stronę podłogi. Następnie zatrzymuje się na chwilę, przechodzi 25 cm w stronę podłogi i 19 cm w stronę ściany, po czym zatrzymuje się (Ilustracja 2.8). Znajdź wektor przemieszczenia biedronki i ustal jej końcowe położenie na miarce.

Strategia rozwiązania

Jeśli przyjmiemy, że kierunek wektora jednostkowego

\hat{u}

wskazuje w stronę podłogi, to kierunek ten oznaczymy przez

+ \hat{u}

, a kierunek od podłogi w górę przez

- \hat{u}

. Możemy wyróżnić pięć wektorów przemieszczenia biedronki:

\begin{align} \vec D_1 &= \SI{15}{\centi\metre} \cdot (+\hat u) \text{,} \\ \vec D_2 &= \SI{56}{\centi\metre} \cdot (-\hat u) \text{,} \\\vec D_3 &= \SI{3}{\centi\metre} \cdot (+\hat u) \text{,} \\\vec D_4 &= \SI{25}{\centi\metre} \cdot (+\hat u) \text{,} \\ \vec D_5 &= \SI{19}{\centi\metre} \cdot (-\hat u) \text{.} \end{align}

Całkowity wektor przemieszczenia $\vec{D}$ jest sumą wszystkich wektorów przemieszczenia.

Pięć rysunków przedstawiających biedronkę chodzącą po miarce opartej o ścianę. Wektor +u z daszkiem ma zwrot w kierunku podłogi, wektor – u z daszkiem ma zwrot w kierunku górnej części miarki. Na pierwszym rysunku biedronka znajduje się w pobliżu środka miarki, a wektor D1 zwrócony jest w stronę podłogi. Na drugim rysunku biedronka znajduje się niżej, w miejscu, w którym na pierwszym rysunku znajduje się punkt końcowy wektora D1. Wektor D2 ma zwrot w górę miarki. Na trzecim rysunku biedronka znajduje się wyżej, w miejscu, w którym na drugim rysunku znajduje się punkt końcowy wektora D2. Wektor D3 ma zwrot w dół miarki. Na czwartym rysunku biedronka znajduje się niżej, w miejscu, w którym na trzecim rysunku znajduje się punkt końcowy wektora D2. Wektor D4 ma zwrot w dół miarki. Na piątym rysunku biedronka znajduje się niżej, w miejscu, w którym na czwartym rysunku znajduje się punkt końcowy wektora D4. Wektor D5 ma zwrot w górę miarki.

Ilustracja 2.8 Pięć wektorów przemieszczenia biedronki. Zauważ, że na tym schemacie moduły poszczególnych wektorów nie zachowują skali. (Źródło: modyfikacja pracy „Persian Poet Gal”/Wikimedia Commons)

Rozwiązanie

Suma wszystkich wektorów przemieszczenia jest następująca:

\begin{aligned} \vec{D} & = {\vec{D}}_{1} + {\vec{D}}_{2} + {\vec{D}}_{3} + {\vec{D}}_{4} + {\vec{D}}_{5} \\ = 15 c m \cdot (+ \hat{u}) + 56 c m \cdot (- \hat{u}) + 3 c m \cdot (+ \hat{u}) + 25 c m \cdot (+ \hat{u}) + 19 c m \cdot (- \hat{u}) \\ = (15 c m - 56 c m + 3 c m + 25 c m - 19 c m) \cdot \hat{u} \\ = - 32 c m \cdot \hat{u} . \end{aligned}

W powyższych obliczeniach korzystamy z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania przedstawionego w Równaniu 2.9. Wynik interpretujemy w następujący sposób: punkt zaczepienia wektora całkowitego przemieszczenia znajduje się w punkcie oznaczonym 100 cm (w miejscu wylądowania biedronki). Wektor skierowany jest w stronę ściany. Na dotykającym ściany końcu miarki znajduje się wartość 0 cm, a więc biedronka po zakończeniu wędrówki znajduje się w punkcie wyznaczonym przez proste odejmowanie $100 c m - 32 c m = 68 c m$ .

Sprawdź, czy rozumiesz 2.2

Nurek jaskiniowy wpływa do długiego podwodnego tunelu. Kiedy jego przemieszczenie względem początku tunelu jest równe 20 m, przypadkowo upuszcza aparat fotograficzny, ale zauważa to dopiero po przepłynięciu kolejnych 6 m. Kiedy zauważa brak aparatu, zawraca i przepływa 10 m, nie może go jednak znaleźć i decyduje się zakończyć nurkowanie. Jak daleko znajduje się od początku tunelu? Przyjmując, że wektor zwrócony na zewnątrz tunelu ma wartość dodatnią, jaki jest jego wektor przemieszczenia?

Rachunek wektorowy w dwóch wymiarach

Wektory leżące na płaszczyźnie, to znaczy w przestrzeni dwuwymiarowej, mogą być mnożone przez skalar, dodawane oraz odejmowane od innych wektorów, zgodnie z zasadami przedstawionymi w Równaniu 2.1, Równaniu 2.2, Równaniu 2.7 oraz Równaniu 2.8. Jednak dodawanie wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej jest bardziej skomplikowane niż dodawanie w jednym wymiarze. Wektory można dodawać metodą graficzną, korzystając z zasad geometrii, lecz aby obliczyć zwrot, kierunek i moduł wektora wypadkowego, potrzebna będzie trygonometria. Metoda graficzna często wykorzystywana jest w nawigacji (Ilustracja 2.9). Podczas konstrukcji wektorów z zachowaniem skali potrzebne ci będą dwie linijki, ekierka, kątomierz, ołówek oraz gumka do ścierania.

Zdjęcie przedstawiające dłonie człowieka odmierzającego dystans na mapie przy pomocy cyrkla i linijki.

Ilustracja 2.9 Wektory przemieszczenia dodawane są na mapach za pomocą metody graficznej.

Podczas graficznego dodawania wektorów na płaszczyźnie stosujemy metodę równoległoboku (ang. parallelogram rule). Załóżmy, że dwa wektory $\vec{A}$ i $\vec{B}$ znajdują się w przypadkowych pozycjach przedstawionych na Ilustracji 2.10. Jeden z wektorów należy przesunąć tak, aby punkt zaczepienia obu wektorów był wspólny. Następnie od punktu końcowego wektora $\vec{A}$ prowadzimy odcinek równoległy do wektora $\vec{B}$ , a od punktu końcowego wektora $\vec{B}$ prowadzimy odcinek równoległy do wektora $\vec{A}$ (odcinki te na Ilustracji 2.10 oznaczone są liniami przerywanymi). W ten sposób tworzymy równoległobok. Rysujemy przekątną zawierającą punkt zaczepienia wektorów. Przekątna ta jest sumą $\vec{R}$ dwóch wektorów: $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ (Ilustracja 2.10(a)). Druga przekątna równoległoboku jest różnicą dwóch wektorów $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$ , co przedstawiono na Ilustracji 2.10(b). Zauważ, że punkt końcowy wektora będącego różnicą wektorów jest wspólny z punktem końcowym wektora $\vec{A}$ .

Na rysunku przedstawiono metodę równoległoboku dodawania wektorów. Rysunek a przedstawia wektory A i B. Wektor A skierowany jest w prawo i w dół, a wektor B skierowany jest w prawo i w górę. Na rysunku obok wektory A i B są połączone w punktach zaczepienia, ich kierunki i zwroty pozostają takie same. W punkcie końcowym wektora B ma swój początek odcinek równoległy do wektora A, zaznaczony linią przerywaną. W punkcie końcowym wektora A ma swój początek odcinek równoległy do wektora B, zaznaczony linią przerywaną. Wektory A i B oraz dwa odcinki tworzą równoległobok. Przedstawiono również wektor R, R = wektor A dodać wektor B. Punkt początkowy wektora R pokrywa się z punktami początkowymi wektorów A i B, a jego punkt końcowy znajduje się w przeciwległym wierzchołku równoległoboku, gdzie spotykają się zaznaczone przerywaną linią odcinki. Zaznaczono, że moduł R nie jest równy sumie modułów A i B. Rysunek b przedstawia wektory A oraz minus B. Wektor minus B to wektor B z rysunku a, obrócony o 180 stopni. Wektor A skierowany jest w dół i w prawo, a wektor minus B w dół i w lewo. Na rysunku obok wektory A i B są połączone w punktach zaczepienia, ich kierunki i zwroty pozostają takie same. W punkcie końcowym wektora B ma swój początek odcinek równoległy do wektora A, zaznaczony linią przerywaną. W punkcie końcowym wektora A ma swój początek odcinek równoległy do wektora B, zaznaczony linią przerywaną. Wektory A i B oraz dwa odcinki tworzą równoległobok. Na rysunku przedstawiono również trzeci wektor – wektor D. Punkt początkowy wektora D znajduje się w punkcie końcowym wektora minus B, a jego punkt końcowy znajduje się w punkcie końcowym wektora A, w przeciwległym wierzchołku równoległoboku. Zaznaczono, że wektor D jest równy różnicy wektorów A i B, ale jego moduł nie jest równy różnicy modułów tych wektorów.

Ilustracja 2.10 Metoda równoległoboku dodawania dwóch wektorów. Przesuń jeden z wektorów w taki sposób, aby punkt zaczepienia (oznaczony kropką) obu wektorów był wspólny. Skonstruuj równoległobok, którego dwoma bokami będą wektory, a pozostałymi dwoma odcinki do nich równoległe (oznaczone na rysunku linią przerywaną). (a) Wektor o tym samym punkcie zaczepienia, jaki mają dodawane wektory, pokrywający się z przekątną równoległoboku, to suma wektorów

R

. Moduł

R

sumy wektorów nie jest równy sumie modułów dodawanych wektorów. (b) Przekątna łącząca punkty końcowe wektorów tworzy wektor będący różnicą wektorów

\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}

. Punkt początkowy wektora

\vec{D}

powinien być wspólny z punktem końcowym wektora

\vec{B}

, a punkt końcowy wektora

\vec{D}

powinien być wspólny z punktem końcowym wektora

\vec{A}

. Moduł

D

różnicy wektorów nie jest równy różnicy modułów odejmowanych wektorów.

Zgodnie z regułą równoległoboku moduł sumy wektorów ani moduł różnicy wektorów nie mogą być obliczone poprzez dodawanie, ani odejmowanie modułów wektorów $A$ i $B$ , ponieważ długość przekątnej równoległoboku nie jest równa sumie ani różnicy długości boków. Jeśli chcemy znaleźć wartość modułów $| \vec{R} |$ i $| \vec{D} |$ , musimy posłużyć się trygonometrią, co może prowadzić do skomplikowanych obliczeń. Istnieją dwa sposoby na ich obejście. Jednym z nich jest wykorzystanie współrzędnych wektorów, co zaprezentujemy w następnym podrozdziale. Drugi sposób, którym zajmiemy się teraz, polega na narysowaniu wektorów z zachowaniem skali, tak jak robią to nawigatorzy, i zmierzeniu długości i kierunku uzyskanego wektora.

Jeśli musimy dodać do siebie trzy lub więcej wektorów, postępujemy zgodnie z metodą równoległoboku, dodając do siebie pary wektorów, aż otrzymamy wektor będący sumą wszystkich sum. Na przykład jeśli chcemy dodać trzy wektory, najpierw znajdujemy sumę wektorów numer 1 i numer 2, a następnie tę sumę dodajemy do wektora numer 3. Kolejność dodawania poszczególnych wektorów jest bez znaczenia, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne i łączne (zobacz Równanie 2.7 i Równanie 2.8). Zanim sformułujemy zasadę wynikającą z metody równoległoboku, spójrzmy na przykład przedstawiony poniżej.

Wyobraź sobie, że planujesz podróż do Ameryki, aby odwiedzić swoją rodzinę mieszkającą na Florydzie. Wyruszasz ze stolicy stanu Tallahassee. Najpierw zamierzasz odwiedzić wujka w Jacksonville, złożyć wizytę kuzynce w Daytona Beach, wspólnie zwiedzić Orlando, zobaczyć cyrk w Tampie, a na końcu odwiedzić University of Florida w Gainesville. Przebytą przez ciebie trasę można przedstawić przy pomocy pięciu wektorów przemieszczenia $\vec{A}$ , $\vec{B}$ , $\vec{C}$ , $\vec{D}$ i $\vec{E}$ , na Ilustracji 2.11 zaznaczonych kolorem czerwonym. Jaki będzie wektor twojego przemieszczenia w chwili, kiedy dotrzesz do Gainesville? Całkowite przemieszczenie jest sumą wszystkich pięciu wektorów przemieszczenia i można je znaleźć, cztery razy stosując metodę równoległoboku. Wiemy jednak, że wektor przemieszczenia ma swój punkt początkowy (Tallahassee) oraz punkt końcowy (Gainesville), a więc wektor całkowitego przemieszczenia można narysować od razu, łącząc Tallahassee z Gainesville (zielony wektor na Ilustracji 2.11). Jeśli cztery razy zastosujemy metodę równoległoboku, uzyskany przez nas wektor sumy $\vec{R}$ będzie pokrywał się z zielonym wektorem: $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E}$ .

Mapa Florydy z następującymi wektorami zaznaczonymi na czerwono: wektor A z Tallahassee do Jacksonville, prawie dokładnie na zachód, wektor B z Jacksonville do Daytona Beach, na południowy wschód, wektor C z Daytona Beach do Orlando, na południowy zachód, wektor D z Orlando do Tampy, na południowy zachód (mniej pionowo niż wektor C), wektor E z Tampy do Gainesville, nieco na wschód od kierunku północnego. Wektor R z Tallahassee do Gainsville zaznaczono zieloną strzałką.

Ilustracja 2.11 Przez czterokrotne zastosowanie metody równoległoboku otrzymujemy wektor sumy

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E}

, zaznaczony na rysunku kolorem zielonym.

Rysowanie wektora będącego sumą wielu wektorów można uprościć poprzez łączenie punktów końcowych i początkowych wektorów (ang. tail-to-head geometric construction). Załóżmy, że chcemy narysować wektor sumy $\vec{R}$ czterech wektorów $\vec{A}$ , $\vec{B}$ , $\vec{C}$ , $\vec{D}$ (Ilustracja 2.12(a)). Wybieramy którykolwiek z czterech wektorów i zaczepiamy inny wektor w punkcie końcowym wektora pierwszego. Następnie wybieramy kolejny wektor i zaczepiamy go w punkcie końcowym wektora drugiego. W ten sposób łączymy wszystkie wektory (Ilustracja 2.12). Wektor sumy $\vec{R}$ rysujemy, łącząc punkt początkowy pierwszego wektora z punktem końcowym ostatniego wektora. Punkt końcowy wektora sumy pokrywa się z punktem końcowym ostatniego wektora. Kolejność łączenia wektorów jest dowolna, ponieważ dodawanie jest przemienne i łączne.

Rysunek a przedstawia cztery niepołączone ze sobą wektory: A, B, C oraz D. Rysunek b przedstawia te same wektory połączone punktami końcowymi i początkowymi: punkt początkowy wektora A znajduje się w punkcie końcowym wektora D, punkt początkowy wektora C znajduje się w punkcie końcowym wektora A, punkt początkowy wektora B znajduje się w punkcie końcowym wektora C. Piąty wektor, wektor R, ma punkt początkowy w punkcie początkowym wektora D i punkt końcowy w punkcie końcowym wektora B.

Ilustracja 2.12 Metoda łączenia punktów końcowych i początkowych wektorów pozwala na znalezienie sumy wektorów

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}

. (a) Cztery wektory o różnych modułach i kierunkach. (b) Połączenie punktów końcowych i początkowych wektorów; wektor sumy rysujemy, łącząc punkt początkowy pierwszego wektora z punktem końcowym ostatniego wektora.

Przykład 2.2

Konstrukcja sumy wektorów

Moduły wektorów przemieszczenia

\vec{A}

,

\vec{B}

i

\vec{C}

na Ilustracji 2.13 są równe

A = 10,0

,

B = 7,0

i

C = 8,0

, a ich kąty nachylenia do poziomu są równe

α = 35^{\circ}

,

β = - 110^{\circ}

i

γ = 30^{\circ}

. Wartości modułów podane są w centymetrach. Zastosuj odpowiednią skalę i użyj linijki oraz kątomierza, aby znaleźć sumy następujących wektorów:

$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ ,
$\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$ ,
$\vec{S} = \vec{A} - 3 \vec{B} + \vec{C}$ .

Moduł wektora A jest równy 10,0, wektor ten znajduje się pod kątem alfa mierzonym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od poziomu jest równy 35 stopni. Wektor ten ma zwrot w górę i w prawo. Moduł wektora B jest równy 7,0, wektor ten znajduje się pod kątem beta mierzonym zgodnie z ruchem wskazówek zegara od poziomu jest równy -110 stopni. Wektor ten ma zwrot w dół i w lewo. Moduł wektora C jest równy 8,0, wektor ten znajduje się pod kątem gamma mierzonym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od poziomu jest równy 30 stopni. Wektor ten ma zwrot w górę i w prawo. Moduł wektora F jest równy 20,0, wektor ten znajduje się pod kątem fi 110 mierzonym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od poziomu jest równy 35 stopni. Wektor ten ma zwrot w górę i w lewo.

Ilustracja 2.13 Wektory użyte w Przykładzie 2.2 oraz w zadaniu „Sprawdź, czy rozumiesz”.

Strategia rozwiązania zadania

„Znalezienie wektora” oznacza znalezienie jego modułu oraz kąta nachylenia do poziomu. Należy narysować, z zachowaniem skali, wektory znajdujące się po prawej stronie znaku równości, po czym dokonać konstrukcji szukanego wektora. Wartość modułu i kąta nachylenia należy odczytać przy pomocy linijki i kątomierza. Dla podpunktów (a) i (b) stosujemy metodę równoległoboku, w podpunkcie (c) łączymy punkty końcowe i początkowe wektorów.

Rozwiązanie

W podpunktach (a) i (b) łączymy punkty początkowe wektorów

\vec{B}

i

\vec{A}

, jak na Ilustracji 2.14, i tworzymy równoległobok. Krótsza przekątna tego równoległoboku jest sumą

\vec{A} + \vec{B}

. Dłuższa przekątna równoległoboku to różnica

\vec{A} - \vec{B}

. Za pomocą linijki mierzymy długości przekątnych, a za pomocą kątomierza mierzymy kąty nachylenia. Moduł wektora

\vec{R}

jest równy

R = 5,8 c m

, a kąt

θ_{R} \approx 0^{\circ}

. Moduł wektora

\vec{D}

jest równy

D = 16,2 c m

, a kąt nachylenia

θ_{D} = 49, 3^{\circ}

, jak pokazano na Ilustracji 2.14.

Trzy diagramy przedstawiające wektory A i B. Na pierwszym diagramie wektory A i B mają ten sam punkt zaczepienia. Wektor A skierowany jest w górę i w prawo, a jego moduł jest równy 10,0. Wektor B skierowany jest w dół i w lewo, a jego moduł jest równy 7,0. Kąt między wektorami A i B jest równy 145 stopni. Na drugim diagramie wektory A i B przedstawione są w ten sam sposób, ale znajdują się na nim również równoległe do nich odcinki, zaznaczone linią przerywaną. Wektory i odcinki tworzą równoległobok. Wektor R równy sumie wektorów A i B ma punkt początkowy wspólny z punktem początkowym wektorów A i B i punkt końcowy w przeciwległym wierzchołki równoległoboku. Moduł wektora R jest równy 5,8. Na trzecim diagramie znajduje się ten sam równoległobok. Nie ma na nim wektora R. Przedstawiony jest wektor D będący różnicą wektorów A i B. Jego punkt początkowy znajduje się w punkcie końcowym wektora B, a jego punkt końcowy w punkcie końcowym wektora A. Moduł wektora D jest równy 16,2, a kąt między tym wektorem a poziomem jest równy 49,3. Wektor R z drugiego diagramu jest znacznie krótszy niż wektor D z trzeciego diagramu.

Ilustracja 2.14 Zastosowanie metody równoległoboku w celu znalezienia (a) sumy wektorów (wektor czerwony) (b) różnicy wektorów (wektor niebieski).

Aby rozwiązać zadanie z podpunktu (c), do wektora $- 3 \vec{B}$ przyłączamy kolejne wektory (punkty początkowe łącząc z punktami końcowymi, tak jak na Ilustracji 2.15. Kolejność, w jakiej połączymy wektory, jest bez znaczenia, ale zachowanie skali jest niezwykle ważne. Następnie rysujemy wektor $\vec{S}$ , łącząc punkt początkowy pierwszego wektora z punktem końcowym ostatniego wektora. Przy pomocy linijki mierzymy długość wektora $\vec{S}$ – jego moduł jest równy $S = 36,9 c m$ . Przy pomocy kątomierza mierzymy kąt nachylenia $θ_{S} = {52,9}^{\circ}$ . Rozwiązanie przedstawiono na Ilustracji 2.15.

Trzy niebieskie wektory połączone są punktami końcowymi i początkowymi. Wektor minus 3B skierowany jest w górę i w prawo, a jego moduł jest równy 3B = 21,0. Wektor A ma punkt początkowy w punkcie końcowym wektora minus 3B, jest skierowany w górę i w prawo, a jego moduł jest równy A = 10,0. Kąt między wektorem A i wektorem minus 3B jest równy 145 stopni. Wektor C ma punkt początkowy w punkcie końcowym wektora A, a jego moduł jest równy C = 8,0. Wektor S jest zielony i łączy punkt początkowy wektora minus 3B z punktem końcowym wektora C. Wektor S równa się wektora A minus wektor 3B dodać wektor C. Moduł wektora S jest równy 36,9, a jego kąt nachylenia do poziomu jest równy 52,9 stopnia.

Ilustracja 2.15 Rozwiązanie podpunktu (c) przez łączenie punktów końcowych i początkowych wektorów (znalezienie zielonego wektora

\vec{S}

).

Sprawdź, czy rozumiesz 2.3

Wybierz odpowiednią skalę oraz użyj linijki i kątomierza w celu znalezienia wektora $\vec{G} = \vec{A} + 2 \vec{B} - \vec{F}$ (wektory $\vec{A}$ , $\vec{B}$ i $\vec{F}$ przedstawiono na Ilustracji 2.13).

Materiały pomocnicze

Powtórz wiadomości o dodawaniu wektorów i zobacz kalkulator wektorów oraz tę symulację.

2.1 Skalary i wektory

Rachunek wektorowy w jednym wymiarze

Wędrująca biedronka

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Rachunek wektorowy w dwóch wymiarach

Konstrukcja sumy wektorów

Strategia rozwiązania zadania

Rozwiązanie