William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

formułować prawo Gaussa;
w jakich przypadkach można stosować prawo Gaussa;
stosować prawo Gaussa do właściwych układów.

Możemy teraz wyznaczyć strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię, od dowolnego rozkładu ładunku. Stwierdziliśmy, że gdy wewnątrz zamkniętej powierzchni nie ma żadnych ładunków, na których kończyłyby się linie pola elektrycznego, to dowolne linie pola elektrycznego wchodzące do wnętrza powierzchni w dowolnym jej punkcie muszą koniecznie wyjść na zewnątrz w innym punkcie powierzchni. Dlatego, gdy nie ma ładunków wewnątrz otoczonej (ograniczonej) powierzchnią objętości, to strumień natężenia pola elektrycznego przenikający tę powierzchnię jest równy zero. Jaki natomiast będzie strumień natężenia pola elektrycznego, gdy wewnątrz otoczonej powierzchnią objętości znajdują się ładunki elektryczne? Prawo Gaussa dostarcza ilościowej odpowiedzi na to pytanie.

Żeby zorientować się, czego możemy się spodziewać, obliczymy strumień natężenia pola elektrycznego przez sferyczną powierzchnię wokół dodatniego ładunku punktowego $q$ , gdyż wiemy, jakie jest natężenie pola elektrycznego w tym przypadku. Przypomnij sobie, że gdy umieściliśmy ładunek punktowy w początku układu współrzędnych, to natężenie pola elektrycznego w punkcie $P$ odległym o $r$ od ładunku było dane wyrażeniem

{\vec{E}}_{P} = \frac{q}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{r^{2}} \hat{r},

gdzie $\hat{r}$ jest wektorem jednostkowym skierowanym od ładunku do punktu $P$ . Możemy teraz skorzystać z wyrażenia na natężenie pola elektrycznego do znalezienia strumienia pola przez powierzchnię sferyczną o promieniu $r$ , jak pokazano na Ilustracji 6.13.

Na rysunku pokazana jest kula S o promieniu R. W jej centrum, jest małe kółko ze znakiem plus, oznaczone q. Niewielki element sfery jest oznaczony jako dS. Dwie strzałki są skierowane na zewnątrz z tego miejsca, prostopadle do powierzchni sfery. Mniejsza strzałka oznaczona n z daszkiem jest równa r z daszkiem. Dłuższa strzałka oznacza wektor E. — Ilustracja 6.13 Zamknięta sferyczna powierzchnia otaczająca ładunek punktowy $q$ .

Następnie podstawiamy wartości do wzoru $\Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S$ . Dla omawianego przypadku sfery $\hat{n} = \hat{r}$ oraz $r = R$ , tak więc dla nieskończenie małego elementu powierzchni $d S$

\d \Phi_E = \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2}\hat{r} \cdot \hat{r} \d S = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2} \d S \text{.}

Teraz obliczamy wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego, całkując elementarny strumień po powierzchni sfery

\Phi_E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2} \prefop{\u{222F}}_S \d S = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2} \cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \text{,}

gdzie uwzględniono powierzchnię sfery $4 π R^{2}$ . W wyniku otrzymujemy strumień przez zamkniętą, sferyczną powierzchnię o promieniu $r$

\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0} \text{.}

6.4

Ciekawe jest to, że zgodnie z powyższym równaniem strumień jest niezależny od rozmiaru powierzchni sferycznej. Można to uzasadnić następująco: ponieważ strumień jest iloczynem natężenia pola, które w tym przypadku jest proporcjonalne do $1 ∕ r^{2}$ ⁠, i wielkości powierzchni, która jest proporcjonalna do $r^{2}$ , zatem ich iloczyn będzie wielkością niezależną od $r$ .

Wizualizacja za pomocą linii pola elektrycznego

Alternatywnym sposobem pokazania, dlaczego strumień przez zamkniętą sferyczną powierzchnię nie zależy od promienia sfery, jest obserwacja linii pola elektrycznego. Zauważmy, że każda linia pola wychodząca z ładunku $q$ , przenikająca powierzchnię o promieniu $R_{1}$ przenika także powierzchnię o promieniu $R_{2}$ (Ilustracja 6.14).

Rysunek przedstawia trzy koncentryczne koła. Najmniejsze w centrum oznaczone jest q, środkowe ma promień R1 a największe z nich promień R2. Z centrum wychodzi na zewnątrz osiem strzałek w ośmiu kierunkach. — Ilustracja 6.14 Strumienie przez sferyczne powierzchnie o promieniach $R_{1}$ i $R_{2}$ otaczające ładunek $q$ są równe niezależnie od rozmiaru powierzchni, ponieważ wszystkie linie pola $E$ , które zaczynają się na ładunku, wychodzą przez obie powierzchnie sferyczne.

Dlatego wypadkowa liczba linii pola elektrycznego wychodzących na zewnątrz przez obie powierzchnie jest taka sama. Ta wypadkowa liczba linii odpowiada strumieniowi pola elektrycznego przenikającemu przez te powierzchnie.

Widać, że gdy nie ma ładunków wewnątrz zamkniętej powierzchni, strumień pola elektrycznego musi być równy zero. Typowe linie pola wchodzą przez powierzchnię $d S_{1}$ i wychodzą przez $d S_{2}$ . Każda linia, która wchodzi przez powierzchnię musi także wyjść przez nią. Dlatego wypadkowy „przepływ” linii pola wchodzących i wychodzących jest równy zero – Ilustracja 6.15 (a). Taka sama sytuacja ma miejsce, gdy ładunki równe, ale te o przeciwnych znakach znajdują się wewnątrz zamkniętej powierzchni, tak że wypadkowy ładunek wewnątrz jest równy zero – Ilustracja 6.15 (b). Dla określonego ładunku możemy wybrać otaczającą powierzchnię w zasadzie dowolnie (pod względem jej kształtu i rozmiaru). Dla każdej takiej powierzchni liczba linii przechodzących przez nią będzie taka sama – Ilustracja 6.15 (c).

Rysunek pokazuje nieregularny trójwymiarowy kształt oznaczony S. Mała kulka ze znakiem plus, oznaczona q, znajduje się poza nim. Trzy strzałk,i oznaczone jako wektory E, wychodzą z q i przechodzą przez S. Elementarne fragmenty powierzchni, gdzie strzałki przebijają powierzchnię S, są zaznaczone. Elementarny fragment powierzchni, gdzie jedna strzałka wchodzi do obszaru S oznaczony jest dS1, a miejsce gdzie strzałka wyłania się z niego jest oznaczone dS2. Rysunek b pokazuje owal z dwoma małymi kółkami wewnątrz. Oznaczone są jako plus i minus. Trzy strzałki z plusa skierowane są na zewnątrz owalu. Trzy strzałki z obszaru na zewnątrz owalu są skierowane do kółka minus. Trzy strzałki są skierowane od kółka plus do minus. Trzy kolejne strzałki biegną od kółka plus na zewnątrz owalu. Rysunek c przedstawia nieregularny kształt oznaczony S2.Wnętrzu niego znajduje się sfera S1. W centrum znajduje się mała kulka oznaczona znakiem plus. Wychodzi z niej, na zewnątrz, sześć strzałek w różnych kierunkach. — Ilustracja 6.15 Rozumienie strumienia z punktu widzenia linii pola. (a) Strumień pola elektrycznego przenikającego przez zamkniętą powierzchnię, którego źródłem jest ładunek poza tą powierzchnią, jest równy zero. (b) Ładunki znajdują się wewnątrz powierzchni, ale ponieważ wypadkowy ładunek jest równy zero, również wypadkowy strumień jest równy zero. (c) Kształt i rozmiar powierzchni otaczającej ładunki nie mają znaczenia, gdyż strumień przenikający każdą powierzchnię jest taki sam.

Sformułowanie prawa Gaussa

Prawo Gaussa uogólnia ten wynik na przypadek dowolnej liczby ładunków o dowolnym rozmieszczeniu w przestrzeni ograniczonej przez zamkniętą powierzchnię. Zgodnie z prawem Gaussa strumień natężenia pola elektrycznego $\vec{E}$ przez dowolną zamkniętą powierzchnię, nazywaną powierzchnią Gaussa (ang. Gaussian surface), jest równy wypadkowemu ładunkowi otoczonemu przez tę powierzchnię ( $q_{wew}$ ), podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ( $ε_{0}$ )

\Phi_E = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.}

To równanie obowiązuje dla ładunków dowolnego znaku, ponieważ zdefiniowaliśmy wektor powierzchni jako skierowany na zewnątrz powierzchni zamkniętej. Jeżeli otoczony ładunek jest ujemny, zobacz Ilustracja 6.16 (b), wtedy strumień zarówno przez $S$ , jak i $S^{'}$ jest ujemny.

Na rysunku pokazany jest nieregularny kształt oznaczony S. W jego ramach znajduje się koło oznaczona jako S prim. W środku znajduje się małe kółko oznaczone znakiem plus. Ze środka wychodzi w różnych kierunkach sześć, oznaczonych jako E, strzałek. Na rysunku b jest pokazany ten sam nieregularny kształt S i koło S prim. W środku jest małe kółko oznaczone znakiem minus. Sześć, oznaczonych jako E, strzałek biegnących z różnych kierunków, jest skierowanych do kółka minus. — Ilustracja 6.16 Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię otaczającą ładunek punktowy $q$ może być obliczony na podstawie prawa Gaussa. (a) Otoczony ładunek jest dodatni. (b) Otoczony ładunek jest ujemny.

Powierzchnia Gaussa nie musi być powierzchnią rzeczywistego obiektu i zazwyczaj jest matematyczną (wirtualną) powierzchnią o dowolnym kształcie; ważne, żeby była to powierzchnia zamknięta. Jednak ponieważ zamierzamy całkować strumień po tej wirtualnej powierzchni, staramy się wybierać kształty (powierzchnie) o wysokim stopniu symetrii.

Jeżeli mamy do czynienia z odrębnymi ładunkami punktowymi, to po prostu dodajemy je. Jeżeli dany jest ciągły rozkład ładunku, wtedy konieczne jest obliczenie odpowiedniej całki celem znalezienia całkowitego ładunku znajdującego się w otoczonej objętości. Na przykład strumień przez powierzchnię Gaussa $S$ pokazaną na Ilustracji 6.17 wynosi $Φ_{E} = (q_{1} + q_{2} + q_{5}) ∕ ε_{0}$ . Zauważmy, że $q_{wew}$ jest po prostu sumą ładunków punktowych. Gdybyśmy mieli do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku, musielibyśmy obliczyć odpowiednią całkę, aby wyznaczyć całkowity ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa.

Rysunek przestawia nieregularny kształt oznaczony jako S. Wewnątrz niego znajduje się ładunek dodatni q1, ujemny q2 i q5. Poza S znajdują się ładunki oznaczone q3, q4, q6 i q ze znakiem N minus 1 i ujemny q7 oraz q N. — Ilustracja 6.17 Strumień przez powierzchnię Gaussa od przedstawionego rozkładu ładunków wynosi $Φ_{E} = (q_{1} + q_{2} + q_{5}) ∕ ε_{0}$ .

Przypomnijmy sobie, że dla pola elektrycznego obowiązuje zasada superpozycji. Dlatego całkowite natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie, w tym również na powierzchni Gaussa, jest sumą wszystkich natężeń pól elektrycznych w tym punkcie. To pozwala nam wyrazić prawo Gaussa za pomocą całkowitego natężenia pola elektrycznego.

Prawo Gaussa

Strumień $Φ_{E}$ natężenia pola elektrycznego $\vec{E}$ przez dowolną zamkniętą powierzchnię $S$ (powierzchnię Gaussa) jest równy wypadkowemu ładunkowi ( $q_{wew}$ ) otoczonemu przez tę powierzchnię, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ( $ε_{0}$ )

\Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.}

6.5

Aby skutecznie korzystać z prawa Gaussa, musisz w pełni rozumieć, co oznacza każdy wyraz w równaniu. Natężenie pola $\vec{E}$ jest całkowitym natężeniem pola elektrycznego w każdym punkcie powierzchni Gaussa. To całkowite natężenie pola obejmuje przyczynki (wkład) od ładunków znajdujących się zarówno na zewnątrz, jak i wewnątrz powierzchni Gaussa. Jednak $q_{wew}$ jest ładunkiem wewnątrz powierzchni Gaussa. I wreszcie, powierzchnia Gaussa jest dowolną zamkniętą powierzchnią w przestrzeni. Może pokrywać się z rzeczywistą powierzchnią przewodnika lub może być dowolną wirtualną, geometryczną powierzchnią. Jedyny warunek, jaki musi spełniać powierzchnia Gaussa, to ten, żeby była ona powierzchnią zamkniętą (Ilustracja 6.18).

Rysunek pokazuje butelkę, która wygląda jak obrócona do góry nogami kolba, której szyja jest wydłużona, wygięta ku górze, skręcona, wciągnięta do wnętrza i połączona z jej podstawą, mającą tym samym tylko jedną powierzchnię. — Ilustracja 6.18 Butelka Kleina (ang. Klein bottle) wypełniona częściowo cieczą. Czy powierzchnia butelki Kleina może być użyta jako powierzchnia Gaussa?

Przykład 6.5

Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnie Gaussa

Obliczmy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnie Gaussa pokazane na Ilustracji 6.19.

Rysunki od a do d przedstawiają nieregularne kształty, natomiast rysunek e pokazuje sześcian. Na rysunku a ładunek wewnątrz kształtu oznaczony jest plus 2,0 mikro C. Na rysunku b ładunek wewnątrz kształtu oznaczony jest minus 2 mikro C. Na rysunku c ładunek wewnątrz kształtu oznaczony jest plus 2,0 mikro C, a dwa ładunki na zewnątrz oznaczone są plus 4 mikro C i minus 2 mikro C. Na rysunku d trzy ładunki wewnątrz kształtu oznaczone są minus 1,0 mikro C, minus 4,0 mikro C i plus 6,0 mikro C, a dwa ładunki na zewnątrz kształtu oznaczone są minus 5,0 mi C i plus 4 mi C. Na rysunku e trzy ładunki wewnątrz oznaczone są plus 4,0 mikro C, plus 6,0 mikro C i minus 10,0 mikro C, a dwa ładunki na zewnątrz sześcianu oznaczone są plus 5,0 mikro C i 3,0 mikro C. — Ilustracja 6.19 Różne powierzchnie Gaussa i różne ładunki.

Strategia rozwiązania

Zgodnie z prawem Gaussa strumień przenikający przez każdą z powierzchni jest dany wyrażeniem

q_{wew} ∕ ε_{0}

, gdzie

q_{wew}

jest ładunkiem otoczonym przez tę powierzchnię.

Rozwiązanie

$Φ_{E} = 2 µC ∕ ε_{0} = 2,3 \cdot 10^{5} N m^{2} ∕ C$ ;
$Φ_{E} = - 2 µC ∕ ε_{0} = -2,3 \cdot 10^{5} N m^{2} ∕ C$ ;
$Φ_{E} = - 2 µC ∕ ε_{0} = -2,3 \cdot 10^{5} N m^{2} ∕ C$ ;
$Φ_{E} = (- 4 µC + 6 µC - 1 µC) ∕ ε_{0} = 1,1 \cdot 10^{5} N m^{2} ∕ C$ ;
$Φ_{E} = (4 µC + 6 µC - 10 µC) ∕ ε_{0} = 0 N m^{2} ∕ C$ .

Znaczenie

W przypadku szczególnych, zamkniętych powierzchni, obliczanie strumienia sprowadza się do sumowania ładunków. W następnej części pozwoli nam to na rozważanie bardziej złożonych układów.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.3

Oblicz strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię sześcianu dla każdego rozkładu ładunku pokazanego na Ilustracji 6.20.

Na rysunkach od a do d pokazane są sześciany z jednym wierzchołkiem leżącym w początku układu współrzędnych. Na rysunku a ładunek plus 3,0 mikro C znajduje się na powierzchni równoległej do płaszczyzny yz. Na rysunku b ładunek minus 3,0 mikro C znajduje się na powierzchni równoległej do płaszczyzny yz. Na rysunku c ładunek plus 3,0 mikro C znajduje się na powierzchni równoległej do płaszczyzny yz, ładunek minus 3,0 mikro C na osi y poza sześcianem i ładunek plus 6,0 mikro C poza sześcianem. Na rysunku d, znajduje się ładunek minus 3,0 mikro C na osi y poza sześcianem i ładunek plus 3,0 mikro C i plus 6,0 mikro C poza sześcianem. — Ilustracja 6.20 Sześcienna powierzchnia Gaussa z różnymi rozkładami ładunku.

Materiały pomocnicze

Za pomocą tej symulacji zmieniaj wartość ładunku i promień powierzchni Gaussa otaczającej ładunek. Zobacz, jak wpływa to na całkowity strumień pola elektrycznego i na natężenie pola na powierzchni Gaussa.