Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

6.3 Stosowanie prawa Gaussa

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 26.3 Stosowanie prawa Gaussa

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • charakteryzować symetrię sferyczną, cylindryczną i płaszczyznową;
  • rozpoznawać, czy dany układ posiada lub nie jedną z tych symetrii;
  • stosować prawo Gaussa do wyznaczania natężenia pola elektrycznego układów posiadających jedną z tych symetrii.

Prawo Gaussa jest bardzo użyteczne do wyznaczania natężenia pola elektrycznego, pomimo że samo prawo nie odnosi się wprost do natężenia pola elektrycznego, ale dotyczy strumienia natężenia pola elektrycznego. Okazuje się, że w sytuacjach, w których rozkład ładunku ma określoną symetrię (sferyczną, cylindryczną lub płaszczyznową), możemy wywnioskować, jakie jest natężenie pola elektrycznego, na podstawie znajomości strumienia pola elektrycznego. W tych układach możemy wybrać (znaleźć) taką powierzchnię Gaussa S S, na której wektor natężenia pola ma stałą wartość. Ponadto, gdy wektor E E jest równoległy do n ̂ n ̂ w każdym punkcie powierzchni, to E n ̂ = E E n ̂ =E (jeżeli E E oraz n ̂ n ̂ są antyrównoległe na całej powierzchni, to E n ̂ = E E n ̂ = E ). Prawo Gaussa upraszcza się wtedy do postaci

ΦE=SEn̂dS=ESdS=ES=qwewε0,ΦE=SEn̂dS=ESdS=ES=qwewε0, \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \prefop{\u{222F}}_S \d S = ES = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{,}
6.6

gdzie S S jest powierzchnią Gaussa. Zauważmy, że dla układów o takich symetriach obliczanie strumienia w wyniku całkowania przekształca się w obliczanie iloczynu natężenia pola elektrycznego i odpowiedniej powierzchni. Gdy mamy do czynienia z taką sytuacją, to prawo Gaussa przyjmuje postać równania algebraicznego, z którego można otrzymać natężenie pola elektrycznego jako

E=qwewε0S.E=qwewε0S. E = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0 S} \text{.}

Kierunek pola elektrycznego w punkcie PP P pola wynika z symetrii rozkładu ładunku i rodzaju tego ładunku. Dlatego prawo Gaussa może być wykorzystane do wyznaczenia E E . Poniżej podsumowanie kolejnych kroków postępowania:

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązania: prawo Gaussa

  1. Rozpoznaj rozkład natężenia pola elektrycznego od danego rozkładu ładunku. To ważny, pierwszy krok, który pozwoli wybrać właściwą powierzchnię Gaussa. Przykładowo ładunek punktowy ma symetrię sferyczną, a nieskończony ładunek liniowy ma symetrię cylindryczną.
  2. Wybierz powierzchnię Gaussa, która ma taką samą symetrię, jak rozkład ładunku, i zobacz, że przy takim wyborze łatwo wyznaczyć iloczyn E n ̂ E n ̂ na powierzchni Gaussa.
  3. Oblicz całkę SEn̂dSSEn̂dS \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S po powierzchni Gaussa, czyli oblicz strumień przez tę powierzchnię. Symetria powierzchni Gaussa pozwala wyłączyć czynnik E n ̂ E n ̂ przed całkę.
  4. Wyznacz ładunek otoczony powierzchnią Gaussa. Tak obliczamy wartość wyrażenia po prawej stronie równania opisującego prawo Gaussa. Często do wyliczenia wypadkowego ładunku otoczonego przez powierzchnię konieczne jest obliczenie całki.
  5. Oblicz natężenie pola elektrycznego od rozkładu ładunku. Natężenie pola może teraz być znalezione z wykorzystaniem wyników otrzymanych w 3 i 4 kroku.

Zasadniczo mamy trzy rodzaje symetrii, które pozwalają skorzystać z prawa Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego: rozkład ładunku o symetrii

  • sferycznej,
  • cylindrycznej,
  • płaszczyznowej.

Żeby wykorzystać tę symetrię, wykonujemy obliczenia w odpowiednim układzie współrzędnych postępując zgodnie z czterema podanymi krokami.

Rozkład ładunku o symetrii sferycznej

Rozkład ładunku ma symetrię sferyczną (ang. spherical symmetry), gdy gęstość ładunku zależy tylko od odległości od punktu w przestrzeni, a nie od kierunku. Mówiąc inaczej, jeżeli obrócimy układ, to nie zobaczymy zmiany. Na przykład, jeżeli kula o promieniu R R jest naładowana równomiernie ładunkiem o gęstości ρ 0 ρ 0 , to rozkład ładunku ma symetrię sferyczną – Ilustracja 6.21 (a). Z drugiej strony, gdy kula o promieniu R R jest naładowana tak, że gęstość ładunku w górnej połowie kuli wynosi ρ 1 ρ 1 , a w dolnej połowie jest równa ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 , wtedy układ nie ma symetrii sferycznej, ponieważ gęstość ładunku zależy od kierunku – Ilustracja 6.21 (b). Tak więc to nie kształt obiektu (ciała), ale raczej kształt rozkładu ładunku decyduje o tym, czy układ ma lub nie symetrię sferyczną.

Na Ilustracji 6.21 (c) pokazano kulę z czterema różnymi sferycznymi powłokami, każda ze swoją indywidualną gęstością ładunku. Chociaż gęstość ładunku w całej objętości nie jest jednorodna, to funkcja gęstości ładunku zależy tylko od odległości od środka, a nie od kierunku. Dlatego ten rozkład ładunku ma symetrię sferyczną.

Rysunek a pokazuje jednolicie pokolorowaną kulę oznaczoną ro 0. Układ oznaczony jest jako sferycznie symetryczny. Rysunek b pokazuje kulę, której półkula górna i dolna mają różne kolory. Górna oznaczona jest ro 1 a dolna ro 2. Układ oznaczony jest jako nie posiadający symetrii sferycznej. Rysunek c pokazuje kulę, podzieloną na wiele koncentrycznych sferycznych powłok różnie pokolorowanych. Układ oznaczony jest jako sferycznie symetryczny.
Ilustracja 6.21 Ilustracja układów o symetrii sferycznej i nieposiadających takiej symetrii. Rożne kolory oznaczają różne gęstości ładunku. Jeżeli ładunki są umieszczone na ciałach o sferycznej symetrii, to nie oznacza to tym samym, że rozkład ładunku ma taką symetrię. Z symetrią sferyczną mamy do czynienia tylko wtedy, gdy gęstość ładunku nie zależy od kierunku. Na rysunku (a) ładunki są rozmieszczone równomiernie w kuli. Na rysunku (b) gęstość ładunku w górnej połowie kuli jest inna niż ta w dolnej połowie kuli; dlatego, w sytuacji (b) układ nie ma symetrii sferycznej. Na rysunku (c) ładunki rozmieszczone są w sferycznych powłokach z różnymi gęstościami ładunku, co oznacza, że gęstość ładunku jest wyłącznie funkcją radialnej odległości od środka; dlatego układ ma symetrię sferyczną.

Jednym ze sposobów rozstrzygnięcia, czy mamy do czynienia z symetrią sferyczną, czy też nie, jest wyrażenie funkcji gęstości ładunku we współrzędnych sferycznych, ρ r θ ϕ ρ r θ ϕ . Jeżeli gęstość ładunku jest wyłącznie funkcją r r, czyli ρ = ρ r ρ= ρ r , to wtedy mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Jeżeli gęstość zależy od θ θ lub od ϕ ϕ, to możemy zmienić układ poprzez jego obrót; wtedy nie mamy do czynienia z symetrią sferyczną.

Następstwa symetrii

We wszystkich przypadkach, gdy mamy do czynienia z symetrią sferyczną, pole elektryczne musi być w każdym punkcie skierowane radialnie, ponieważ ładunek i pole elektryczne muszą być niezmiennicze ze względu na obrót. Dlatego stosując współrzędne sferyczne z początkiem układu w środku sferycznego rozkładu ładunku, możemy zapisać wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w punkcie PP znajdującym się w odległości r r od środka w postaci

E P = E P r r ̂ , E P = E P r r ̂ ,
6.7

gdzie r ̂ r ̂ jest wektorem jednostkowym (wersorem) skierowanym od początku układu do punktu pola PP. Składowa radialna E P E P natężenia pola elektrycznego może być dodatnia lub ujemna. Gdy E P > 0 E P >0, pole elektryczne w punkcie PP jest skierowane od początku układu, a kiedy E P < 0 E P <0, pole elektryczne w punkcie PP jest skierowane do początku układu.

Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia

Możemy teraz skorzystać z natężenia pola elektrycznego w tej postaci do wyznaczenia strumienia natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa. W przypadku symetrii sferycznej powierzchnia Gaussa jest zamkniętą sferyczną powierzchnią, której środek pokrywa się ze środkiem rozkładu ładunku. Dzięki temu wektor powierzchni, elementu powierzchni Gaussa, w każdym jej punkcie jest równoległy do kierunku natężenia pola elektrycznego w tym punkcie, gdyż oba są skierowane radialnie na zewnątrz (Ilustracja 6.22).

Rysunek przedstawia koło otaczające ładunek z centrum w O i promieniu R. Pokazany jest większy koncentryczny okrąg oznaczony linią przerywaną oznaczony jako powierzchnia Gaussa. Strzałka oznaczona jako r jest promieniem okręgu zewnętrznego. Strzałka oznaczona r z daszkiem pokazuje kierunek wzdłuż r. Mały element gdzie r dotyka powierzchni Gaussa jest wyróżniony i oznaczony P. Od tego miejsca znowu odchodzi strzałka skierowana na zewnątrz w tym samym kierunku co r. Oznacza ona wektor E z indeksem p. Inna strzałka z punktu P jest skierowana na zewnątrz w tym samym kierunku co wektor E z indeksem p i oznaczona jest jako delta wektor S.
Ilustracja 6.22 Wektor natężenia pola elektrycznego w każdym punkcie sferycznej powierzchni Gaussa dla sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku jest równoległy do wektora powierzchni w tym punkcie, co pozwala przedstawić strumień pola elektrycznego jako iloczyn natężenia pola elektrycznego i powierzchni. Zauważ, że promień R R rozkładu ładunku i promień r r powierzchni Gaussa są rożnymi wielkościami.

Wartość natężenia pola elektrycznego E E musi być taka sama w każdym punkcie sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z rozkładem ładunku. Dla sferycznej powierzchni o promieniu r r

ΦE=SEPn̂dS=EPSdS=EP4πr2.ΦE=SEPn̂dS=EPSdS=EP4πr2. \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E}_P \cdot \hat{n} \d S = E_P \prefop{\u{222F}}_S \d S = E_P \cdot 4\pi r^2 \text{.}

Stosowanie prawa Gaussa

Zgodnie z prawem Gaussa strumień przenikający zamkniętą powierzchnię jest równy całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez zamkniętą powierzchnię, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ε 0 ε 0 . Niech q wew q wew będzie całkowitym ładunkiem znajdującym się w odległości r r od początku układu, to jest w obszarze wewnątrz sferycznej powierzchni Gaussa o promieniu r r. Wówczas z prawa Gaussa otrzymujemy

E4πr2=qwewε0.E4πr2=qwewε0. E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.}

Dlatego pole elektryczne w punkcie PP znajdującym się w odległości r r od środka sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku ma następujące natężenie i zwrot

Er=14πε0qwewr2,Er=14πε0qwewr2, E \apply (r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{wew}}}{r^2} \text{,}
6.8

zwrot: radialnie od OO do PP lub od PP do OO.

Zwrot natężenia pola elektrycznego w punkcie PP zależy od tego, czy ładunek wewnątrz sfery jest dodatni, czy ujemny. Dla wypadkowego dodatniego ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa zwrot jest od OO do PP, a dla wypadkowego ujemnego ładunku zwrot jest od PP do OO. To wszystko, czego potrzebujemy w przypadku ładunku punktowego i, jak widać, powyższy wynik jest taki sam, jak dla ładunku punktowego. Jednak prawo Gaussa okazuje się rzeczywiście użyteczne w przypadku, gdy ładunki rozmieszczone są w skończonej objętości.

Obliczanie ładunku otoczonego przez powierzchnię

Bardziej interesującym przypadkiem jest ten, gdy mamy w danej objętości sferyczny rozkład ładunku i pytamy, jakie jest natężenie pola elektrycznego wewnątrz tego rozkładu ładunku. W tym przypadku ładunek uwzględniany w obliczeniach (otoczony powierzchnią Gaussa) zależy od odległości r r punktu pola w stosunku do promienia rozkładu ładunku R R, tak jak pokazano na Ilustracji 6.23.

Rysunek a przedstawia, nakreślony linią przerywaną, okrąg S ze środkiem O i promieniem r oraz większe koncentryczne z nim koło o promieniu R. Mała strzałka jest skierowana na zewnątrz od S i oznaczona E z indeksem wewn. S jest oznaczona jako powierzchnia Gaussa dla wektora E ze znakiem wewn. Rysunek b pokazuje okrąg S z centrum w O i promieniem r oraz mniejsze współśrodkowe z nim koło o promieniu R. Mała strzałka jest skierowana na zewnątrz od S. Jest oznaczona jako wektor E z indeksem zewn. S oznacza powierzchnię Gaussa dla wektora E ze znakiem zewn.
Ilustracja 6.23 Sferyczny rozkład ładunku i powierzchnia Gaussa wykorzystywana do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego (a) wewnątrz oraz (b) na zewnątrz rozkładu ładunku.

Jeżeli punkt PP znajduje się na zewnątrz rozkładu ładunku, czyli gdy r R rR, wówczas powierzchnia Gaussa, na której leży punkt PP, otacza wszystkie ładunki w kuli. W tym przypadku q wew q wew jest równy całkowitemu ładunkowi kuli. Z drugiej strony, gdy punkt PP leży wewnątrz sferycznego rozkładu ładunku, czyli gdy r < R r<R, wtedy powierzchnia Gaussa otacza mniejszą kulę niż kula rozkładu ładunku. W tym przypadku q wew q wew jest mniejszy niż całkowity ładunek kuli. Nawiązując do Ilustracji 6.23, możemy zapisać q wew q wew jako

qwew=qwew,ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla r<R,qcał,całkowity ładunek, dla rR.qwew=qwew,ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla r<R,qcał,całkowity ładunek, dla rR. q_{\text{wew}} = \left{ \begin{matrix*}[l] q_{\text{wew}} \text{,} &\text{ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla } r < R \text{,} \\ q_{\text{cał}} \text{,} &\text{całkowity ładunek, dla } r \geq R \text{.} \end{matrix*} \right.

Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz rozkładu ładunku jest oznaczane jako E zew E zew , a natężenie pola elektrycznego wewnątrz rozkładu ładunku oznaczamy jako E wew E wew . Skupiając się nad dwoma kategoriami punktów pola, wewnątrz lub na zewnątrz rozkładu ładunku, możemy teraz wyrazić natężenie pola elektrycznego jako

Ewew=14πε0qwewr2,Ewew=14πε0qwewr2, E_{\text{wew}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{wew}}}{r^2} \text{,}
6.9
Ezew=14πε0qcałr2,Ezew=14πε0qcałr2, E_{\text{zew}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{cał}}}{r^2} \text{,}
6.10

Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego na zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku jest takie samo, jak dla ładunku punktowego umieszczonego w środku rozkładu, o wartości równej całkowitemu ładunkowi rozkładu sferycznego. Jest to istotne, gdyż ładunki nie znajdują się tylko w środku. Rozpatrzymy teraz szczególne przykłady sferycznych rozkładów ładunków, poczynając od przypadku jednorodnie naładowanej kuli.

Przykład 6.6

Jednorodnie naładowana kula

Kula o promieniu R R, taka jak pokazana na Ilustracji 6.23, ma jednorodną objętościową gęstość ładunku ρ 0 ρ 0 . Znajdziemy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz kuli i w punkcie wewnątrz kuli.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z prawa Gaussa do rozwiązania zadania, stosując taką strategię jak przy obliczaniu strumienia pola.

Rozwiązanie

Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa jest dany jako
qwew=Vρ0dV=ρ0VdV=ρ043πr3.qwew=Vρ0dV=ρ0VdV=ρ043πr3. q_{\text{wew}} = \iiint_V \rho_0 \d V = \rho_0 \iiint_V \d V = \rho_0 \cdot \frac43 \pi r^3 \text{.}

Możemy teraz napisać wyrażenie na natężenie pola elektrycznego dla punktu znajdującego się na zewnątrz kuli, oznaczone jako E zew E zew , oraz dla punktu wewnątrz kuli, oznaczone jako E wew E wew .

Ewew=qwew4πε0r2=ρ0r3ε0, ponieważ qwew=43πr2ρ0,Ewew=qwew4πε0r2=ρ0r3ε0, ponieważ qwew=43πr2ρ0, E_{\text{wew}} = \frac{q_{\text{wew}}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 r}{3 \epsilon_0} \text{, ponieważ } q_{\text{wew}} = \frac43 \pi r^2 \rho_0 \text{,}
Ezew=qcałk4πε0r2=ρ0R33ε0r2, ponieważ qcał=43πR3ρ0.Ezew=qcałk4πε0r2=ρ0R33ε0r2, ponieważ qcał=43πR3ρ0. E_{\text{zew}} = \frac{q_{\text{całk}}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 R^3}{3\epsilon_0 r^2} \text{, ponieważ } q_{\text{cał}} = \frac43 \pi R^3 \rho_0 \text{.}

Warto zauważyć, że natężenie pola elektrycznego rośnie wewnątrz materiału w miarę oddalania się od środka, ponieważ wraz ze wzrostem objętości rośnie ilość ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa. Konkretnie, wartość ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa rośnie proporcjonalnie do sześcianu promienia qwewr3qwewr3 q_{\text{wew}} \propto r^3, podczas gdy natężenie pola wytworzonego przez dowolny nieskończenie mały ładunek maleje proporcjonalnie do kwadratu promienia E 1 r 2 E 1 r 2 . Łącząc te dwa fakty ze sobą, otrzymujemy, że natężenie pola elektrycznego rośnie liniowo z promieniem. Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz kuli maleje w miarę oddalania się od ładunków, ponieważ ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa pozostaje niezmieniony, podczas gdy rośnie odległość. Ilustracja 6.24 pokazuje zmianę natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli.

Rysunek przestawia wykres zależności E od r. Wykres początkowo przedstawia wznoszącą się linię prostą oznaczoną E proporcjonalne do r, a po osiągnięciu maksimum opada jako krzywa E proporcjonalna do 1 dzielone przez r do kwadratu. Maksimum odpowiada wartości R na osi x i wartość E z indeksem R na osi y.
Ilustracja 6.24 Natężenie pola elektrycznego nieprzewodzącej, jednorodnie naładowanej kuli rośnie wewnątrz kuli, osiągając maksimum na jej powierzchni: E R = ρ 0 R 3 ε 0 E R = ρ 0 R 3 ε 0 , a następnie maleje jak 1 r 2 1 r 2 . Pokazane jest pole elektryczne wytworzone przez sferyczny rozkład ładunku o jednorodnej gęstości ładunku i całkowitym ładunku Q Q w funkcji odległości od środka rozkładu ładunku.

Natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie PP jest skierowane radialnie na zewnątrz od środka, gdy ρ 0 ρ 0 jest dodatnia, i do wewnątrz (tzn. do środka), gdy ρ 0 ρ 0 jest ujemna. Natężenie pola elektrycznego w wybranych punktach przestrzeni jest pokazane na Ilustracji 6.25, dla współrzędnych sferycznych r r równych r = R 2 r= R 2 , r = R r=R i r = 2 R r= 2 R .

Rysunek przedstawia trzy koncentryczne okręgi. Najmniejszy z nich oznaczony linią przerywaną oznaczony jest r równe R przez 2. Środkowy jest oznaczony r równe R, a największy, oznaczony jest r równe 2R. Dla każdego okręgu pokazane są strzałki skierowane od środka na zewnątrz, prostopadle do okręgu, oznaczone jako wektor E. Strzałki na zewnętrznym okręgu są najmniejsze, a strzałki na środkowym okręgu są najdłuższe.
Ilustracja 6.25 Wektory natężenia pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli.

Znaczenie

Zauważmy, że wyrażenie na E zew E zew ma taką samą postać jak natężenie pola elektrycznego pojedynczego ładunku punktowego. Dlatego przy obliczaniu natężenia pola elektrycznego jednorodnego, sferycznego rozkładu ładunku możemy założyć, że cały ładunek jest skupiony w środku odpowiedniej powierzchni Gaussa.

Przykład 6.7

Niejednorodnie naładowana kula

Nieprzewodząca kula o promieniu R R jest naładowana z niejednorodną gęstością ładunku, która zmienia się wraz z odległością od środka zgodnie z zależnością
ρ r = a r n r R n 0 , ρ r = a r n r R n 0 ,

gdzie a a jest stałą. Przyjmujemy, że n 0 n0, aby gęstość ładunku nie była niezdefiniowana w r = 0 r=0. Znajdziemy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz i wewnątrz kuli.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z poprzedniego przykładu do obliczenia ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa wewnątrz i na zewnątrz kuli.

Rozwiązanie

Ponieważ dana funkcja gęstości ładunku zależy tylko od składowej radialnej, a nie od kierunku, mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Dlatego natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie jest opisane przez wyrażenia podane powyżej, a kierunek pola jest radialny. Potrzebujemy tylko wyznaczyć ładunek otoczony powierzchnią Gaussa q wew q wew , zależny od położenia punktu pola, w którym wyznaczamy natężenie.

Uwaga na temat oznaczeń: używamy r r do opisu położenia ładunków w rozkładzie ładunku oraz r r do opisu położenia punktów pola na powierzchni Gaussa. Literą R R oznaczamy promień rozkładu ładunku.

Ponieważ gęstość ładunku nie jest stałą, musimy scałkować funkcję gęstości ładunku po objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa. Dlatego formułujemy zagadnienie dla ładunków zawartych w sferycznej powłoce, pomiędzy r r i r + d r r + d r , jak pokazano na Ilustracji 6.26. Objętość zajmowana przez ładunki znajdujące się w powłoce o nieskończenie małej grubości jest równa iloczynowi powierzchni 4πr24πr2 4\pi (r')^2 i grubości d r d r . Mnożąc objętość przez gęstość ładunku w tym położeniu, która wynosi arnarn a(r')^n, otrzymujemy ładunek zawarty w powłoce

dq=arn4πr2dr.dq=arn4πr2dr. \d q = a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' \text{.}
Rysunek przedstawia cztery koncentryczne okręgi. Zaczynając od najmniejszego ich promienie są oznaczone r prim, r prim plus d r prim, R i r. Okrąg zewnętrzny jest narysowany linią przerywaną i oznacza powierzchnię Gaussa.
Ilustracja 6.26 Sferycznie symetryczny układ z niejednorodnym rozkładem ładunku. W takich przypadkach potrzebujemy do opisu czterech promieni: R R jest promieniem rozkładu ładunku, r r jest promieniem powierzchni Gaussa, r r jest wewnętrznym promieniem sferycznej powłoki, r + d r r + d r jest zewnętrznym promieniem sferycznej powłoki. Ta sferyczna powłoka jest wykorzystywana do obliczenia ładunku zawartego w powierzchni Gaussa. Promień r r zmienia się w zakresie od 0 0 do r r dla pola w punkcie wewnątrz rozkładu ładunku i od 0 0 do R R dla pola w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku. Gdy r > R r > R , wtedy powierzchnia Gaussa obejmuje większą objętość niż rozkład ładunku, ale dodatkowa objętość nie ma wpływu na q wew q wew .
  1. Natężenie pola w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku. W tym przypadku powierzchnia Gaussa, na której leży punkt pola PP, ma promień r r większy niż promień R R rozkładu ładunku, r > R r>R. Dlatego cały ładunek rozkładu jest otoczony przez powierzchnię Gaussa. Zauważmy, że przestrzeń pomiędzy r = R r =R i r = r r =r nie zawiera ładunków i dlatego nie wnosi wkładu do całki po objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa
    qcał=0Rarn4πr2dr=4πan+3Rn+3.qcał=0Rarn4πr2dr=4πan+3Rn+3. q_{\text{cał}} = \int_0^R a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' = \frac{4\pi a}{n+3} R^{n+3} \text{.}
    Korzystając z ogólnego wyrażenia na E zew E zew , obliczamy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku
    E zew = a R n + 3 ε 0 n + 3 1 r 2 r ̂ , E zew = a R n + 3 ε 0 n + 3 1 r 2 r ̂ ,
    gdzie r ̂ r ̂ jest wersorem skierowanym od początku układu do punktu pola na powierzchni Gaussa.
  2. Natężenie pola w punkcie wewnątrz rozkładu ładunku. Powierzchnia Gaussa znajduje się teraz wewnątrz rozkładu ładunku, z rRrR r \leq R. Dlatego wyznaczając q wew q wew , bierzemy pod uwagę tylko te ładunki, które znajdują się w odległości nie większej niż r r od środka sferycznego rozkładu ładunku
    qwew=0rarn4πr2dr=4πan+3rn+3.qwew=0rarn4πr2dr=4πan+3rn+3. q_{\text{wew}} = \int_0^r a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' = \frac{4\pi a}{n+3} r^{n+3} \text{.}
    Korzystając z ogólnego wyrażenia na E wew E wew , obliczamy natężenie pola elektrycznego w punkcie znajdującym się w odległości r r od środka, wewnątrz rozkładu ładunku
    Ewew=aε0n+3rn+1r̂,Ewew=aε0n+3rn+1r̂,
    gdzie radialny wersor zawiera informację o kierunku pola.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.4

Upewnij się, że natężenie pola elektrycznego dla kuli sprowadza się do wartości pola dla ładunku punktowego.

Rozkład ładunku o symetrii cylindrycznej

Rozkład ładunku ma symetrię cylindryczną (ang. cylindrical symmetry), gdy gęstość ładunku zależy tylko od odległości r r od osi walca i nie zmienia się ani wzdłuż osi, ani w kierunku osi. Inaczej mówiąc, jeżeli układ zmienia się w wyniku obrotu wokół osi lub na skutek przesunięcia wzdłuż osi, to układ nie posiada symetrii cylindrycznej.

Na Ilustracji 6.27 pokazane są cztery sytuacje, w których ładunki są rozmieszczone w walcu. Jednorodna gęstość ładunku ρ 0 ρ 0 w nieskończenie długim, prostym drucie ma symetrię cylindryczną, tak jak nieskończenie długi walec z ładunkiem o stałej gęstości ρ 0 ρ 0 . Nieskończenie długi walec, który jest naładowany z różną gęstością ładunku wzdłuż swojej długości, na przykład z gęstością ładunku ρ 1 ρ 1 dla z > 0 z>0 i ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 dla z < 0 z<0, nie posiada użytecznej dla naszych obliczeń symetrii cylindrycznej. Podobnie jak walec, w którym gęstość ładunku zmienia się wraz kierunkiem i wynosi na przykład ρ 1 ρ 1 dla 0 θ < π 0 θ <π i ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 dla π θ < 2 π π θ < 2 π . Układ posiadający współosiowe, koncentryczne powłoki, z których każda charakteryzuje się inną jednorodną gęstością ładunku, jak na Ilustracji 6.27 (d), ma symetrię cylindryczną, jeżeli powłoki są nieskończenie długie. Wymóg nieskończonej długości wynika z tego, że dla skończenie długiego walca gęstość ładunku zmienia się wzdłuż jego osi. W rzeczywistych układach nie mamy do czynienia z nieskończonymi walcami; jednak zastosowanie przybliżenia w postaci nieskończenie długiego walca jest użyteczne, gdy analizowana przez nas odległość od walca jest znacząco mniejsza niż jego długość.

Rysunki przedstawiają cztery walce od a do d. Na rysunku a, podpisanym cylindrycznie symetryczny, walec jest pokolorowany jednorodnie i oznaczony ro zero. Na rysunku b, podpisanym brak symetrii cylindrycznej, górna i dolna połowa cylindra posiada inny kolor. Górna oznaczona jest ro 1, dolna ro 2. Na rysunku c, podpisanym brak symetrii cylindrycznej, lewa i prawa połowa cylindra jest pomalowana innym kolorem. Lewa jest oznaczona jako ro 1, prawa jako ro 2. Na rysunku d widać w przekroju wiele koncentrycznych sekcji walca. Rysunek jest podpisany cylindrycznie symetryczny.
Ilustracja 6.27 Aby określić, czy dany rozkład ładunku ma symetrię cylindryczną, popatrz na przekrój poprzeczny „nieskończenie długiego” walca. Jeżeli gęstość ładunku nie zależy od kąta biegunowego w przekroju poprzecznym i nie zmienia się wzdłuż osi walca, to mamy do czynienia z symetrią cylindryczną. (a) Gęstość ładunku w walcu jest stała; (b) górna połowa walca ma inną gęstość ładunku niż połowa dolna; (c) lewa połowa walca ma inną gęstość ładunku niż prawa; (d) ładunki są stałe w różnych cylindrycznych pierścieniach, ale gęstość nie zależy od kąta biegunowego. W przypadkach (a) i (d) mamy symetrię cylindryczną, podczas gdy dla (b) i (c) jej nie ma.

Następstwa symetrii

We wszystkich przypadkach cylindrycznie symetrycznych pole elektryczne E P E P w dowolnie wybranym punkcie PP musi także posiadać symetrię cylindryczną

EP=EPrr̂,EP=EPrr̂, \vec{E}_P = E_P \apply (r) \hat{r} \text{,}

gdzie r r jest odległością od osi, a r ̂ r ̂ wersorem skierowanym prostopadle od osi (Ilustracja 6.28).

Pokazany jest cylinder narysowany linią przerywaną. Kolista część we wnętrzu cylindra,znajdująca się w środku jest wyróżniona. Promień koła w cylindrze jest oznaczony r. Punkt, w którym r dotyka cylindra oznaczony jest P. Strzałka r z daszkiem zaczynająca się w P skierowana jest na zewnątrz w tej samej linii co r.
Ilustracja 6.28 Natężenie pola elektrycznego w sytuacji symetrii cylindrycznej zależy tylko od odległości od osi cylindra. Pole elektryczne jest skierowane od osi na zewnątrz w przypadku ładunków dodatnich i do osi dla ładunków ujemnych.

Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia

Aby wykorzystać własności pola elektrycznego, wybieramy zamkniętą powierzchnię Gaussa w kształcie cylindra współosiowego z rozkładem ładunku. Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię o promieniu r r i wysokości L L jest łatwy do obliczenia, jeżeli podzielimy nasze zadanie na dwie części: (a) strumień natężenia pola przez podstawy cylindra i (b) strumień natężenia pola elektrycznego przez zakrzywioną powierzchnię boczną (Ilustracja 6.29).

Rysunek przedstawia cylinder o długości L. Linia prostopadła do osi x łączy oś z punktem P na powierzchni cylindra. Strzałka oznaczająca delta wektor S skierowana jest na zewnątrz od P w tym samym kierunku co linia. Inna strzałka oznaczająca wektor E z indeksem P wychodzi z końca tej strzałki wskazuje ten sam kierunek. Trzecia strzałka oznaczająca wektor delta S jest skierowana na zewnątrz od górnej podstawy cylindra i jest do niej prostopadła. Strzałka oznaczająca wektor E wychodzi od poczatku trzeciej strzałki i jest do niej prostopadła.
Ilustracja 6.29 Powierzchnia Gaussa w przypadku symetrii cylindrycznej. Pole elektryczne jest albo równoległe, albo prostopadłe do normalnej do elementarnego wycinka powierzchni Gaussa.

Pole elektryczne jest równoległe do cylindrycznych ścian bocznych i prostopadłe do płaskich powierzchni podstaw. Strumień przez część cylindryczną (czyli przez powierzchnię boczną walca SbSb S_{\text{b}}) wynosi

SbEn̂dS=ESbdS=E2πrL,SbEn̂dS=ESbdS=E2πrL, \iint_{S_{\text{b}}} \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \iint_{S_{\text{b}}} \d S = E \cdot 2\pi r L \text{,}

podczas gdy strumień przez płaskie podstawy jest równy zero, ponieważ En̂=0En̂=0 \vec{E} \cdot \hat{n} = 0. Tak więc strumień wynosi

SEn̂dS=E2πrL+0+0=2πrLE.SEn̂dS=E2πrL+0+0=2πrLE. \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \cdot 2\pi r L + 0 + 0 = 2\pi r L E \text{.}

Stosowanie prawa Gaussa

Zgodnie z prawem Gaussa strumień równa się ładunkowi znajdującemu się w objętości otoczonej przez powierzchnię Gaussa, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni. Gdy prowadzimy obliczenia dla walca (pręta) o długości L L, stwierdzamy, że q wew q wew występujący w prawie Gaussa jest wprost proporcjonalny do L L. Zapiszmy go jako ładunek przypadający na jednostkę długości ( λ wew λ wew ) razy długość L L

q wew = λ wew L . q wew = λ wew L .

Stąd, na podstawie prawa Gaussa, otrzymujemy dla cylindrycznie symetrycznego rozkładu ładunku następujące wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w odległości r r od osi

E r = λ wew 2 π ε 0 1 r . E r = λ wew 2 π ε 0 1 r .

Ładunek na jednostkę długości λ wew λ wew zależy od tego, czy punkt pola znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz rozkładu ładunku, tak jak to już widzieliśmy w przypadku rozkładu sferycznego.

Obliczanie ładunku otoczonego przez powierzchnię

Niech R R będzie promieniem walca, wewnątrz którego ładunki są rozłożone z zachowaniem symetrii cylindrycznej. Niech punkt pola PP znajduje się w odległości r r od osi (punkt pola PP znajduje się na ścianie powierzchni Gaussa). Gdy r > R r>R (to znaczy, gdy PP znajduje się na zewnątrz poza rozkładem ładunku), powierzchnia Gaussa zawiera cały ładunek walca o promieniu R R i długości L L. Gdy r < R r<R (PP znajduje się wewnątrz rozkładu ładunku), wtedy tylko ładunek wewnątrz walca o promieniu r r i długości L L jest otoczony powierzchnią Gaussa

λwewL=qwew,ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla r<R,qcał,całkowity ładunek, dla rR.λwewL=qwew,ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla r<R,qcał,całkowity ładunek, dla rR. \lambda_{\text{wew}} L = \left{ \begin{matrix*}[l] q_{\text{wew}} \text{,} &\text{ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla } r < R \text{,} \\ q_{\text{cał}} \text{,} &\text{całkowity ładunek, dla } r \geq R \text{.} \end{matrix*} \right.

Przykład 6.8

Jednorodnie naładowana cylindryczna powłoka

Bardzo długa, nieprzewodząca, cylindryczna powłoka o promieniu R R jest naładowana z jednorodną gęstością powierzchniową ładunku σ 0 σ 0 . Znajdźmy natężenie pola elektrycznego
  1. w punkcie na zewnątrz powłoki;
  2. w punkcie wewnątrz powłoki.

Strategia rozwiązania

Skorzystajmy z prawa Gaussa do rozwiązania zadania, stosując taką strategię jak uprzednio, osobno rozważając przypadki pola na zewnątrz i wewnątrz powłoki.

Rozwiązanie

  1. Natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz powłoki. Dla punktu na zewnątrz cylindrycznej powłoki wybieramy powierzchnię Gaussa jako powierzchnię cylindra o promieniu rRrR r \geq R i długości L L, jak pokazano na Ilustracji 6.30. Ładunek otoczony przez cylinder (powierzchnię) Gaussa jest równy ładunkowi znajdującemu się na cylindrycznej powłoce o długości L L. Stąd λ wew λ wew jest dana jako
    λ wew = σ 0 2 π R L L = 2 π R σ 0 . λ wew = σ 0 2 π R L L = 2 π R σ 0 .
    Na rysunku pokazane zostały dwa cylindry o wspólnej osi. Zewnętrzny ma długość L i jest krótszy od długości cylindra wewnętrznego. Linia prostopadła do osi łączy tę oś z punktem P na powierzchni zewnętrznego cylindra. Strzałka oznaczona r z daszkiem z początkiem w punkcie P jest skierowana na zewnątrz i zwrócona w tym samym kierunku co prosta. Kolejna strzałka oznaczona wektor E z indeksem zewn. wychodzi z końca poprzedniej strzałki i jest skierowana na zewnątrz w tym samym kierunku.
    Ilustracja 6.30 Powierzchnia Gaussa otaczająca cylindryczną powłokę.
    Stąd natężenie pola elektrycznego w punkcie PP na zewnątrz powłoki w odległości r r od osi wynosi
    E=2πRσ02πε01rr̂=Rσ0ε01rr̂,E=2πRσ02πε01rr̂=Rσ0ε01rr̂, \vec{E} = \frac{2\pi R \sigma_0}{2\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat{r} = \frac{R \sigma_0}{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r}\hat{r} \text{,}
    gdzie r ̂ r ̂ jest wersorem prostopadłym do osi i skierowanym na zewnątrz od niej, jak pokazano na rysunku. Pole elektryczne w punkcie PP jest zwrócone w kierunku zgodnym z r ̂ r ̂ pokazanym na Ilustracji 6.30, gdy σ 0 > 0 σ 0 >0, a w przeciwnym kierunku do r ̂ r ̂ , gdy σ 0 < 0 σ 0 <0.
  2. Natężenie pola elektrycznego w punkcie wewnątrz powłoki. Dla punktu wewnątrz cylindrycznej powłoki wybieramy powierzchnię Gaussa jako powierzchnię cylindra o promieniu r r mniejszym niż R R (Ilustracja 6.31). To oznacza, że wewnątrz powierzchni Gaussa nie znajdują się żadne ładunki
    λwew=0Cm.λwew=0Cm.
    Na rysunku pokazane zostały dwa cylindry o wspólnej osi. Wewnętrzny ma długość L, która jest mniejsza od długości zewnętrznego cylindra. Strzałka oznaczona E z indeksem wewn. wychodzi od punktu P na wewnętrznym cylindrze i jest skierowana na zewnątrz prostopadle do osi.
    Ilustracja 6.31 Powierzchnia Gaussa wewnątrz cylindrycznej powłoki.
    W rezultacie otrzymujemy równanie na natężenie pola elektrycznego EwewEwew \vec{E}_{\text{wew}} w punkcie, dla którego r r jest mniejsze niż R R naładowanej powłoki
    Ewew2πrL=0VmEwew=0Vm.Ewew2πrL=0VmEwew=0Vm. \vec{E}_{\text{wew}} \cdot 2\pi r L = \SI{0}{\volt\metre} \implies \vec{E}_{\text{wew}} = \SI{0}{\volt\per\metre} \text{.}

Znaczenie

Zauważmy, że wynik dla wnętrza powłoki jest taki, jakiego oczekiwaliśmy – brak ładunków oznacza zerowe pole elektryczne. Na zewnątrz powłoki wynik jest taki, jak dla jednorodnie naładowanego drutu.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.5

Cienki, prosty drut jest naładowany z jednorodną liniową gęstością ładunku λ 0 λ 0 . Znajdź natężenie pola elektrycznego w odległości d d od drutu, gdzie d d jest dużo mniejsze niż długość drutu.

Rozkład ładunku o symetrii płaszczyznowej

Z symetrią płaszczyznową (ang. planar symmetry) gęstości ładunku mamy do czynienia wówczas, gdy ładunki są równomiernie rozłożone na dużej, płaskiej powierzchni. W przypadku symetrii płaszczyznowej wszystkie punkty w płaszczyźnie równoległej do naładowanej płaszczyzny są równorzędne w odniesieniu do ładunków.

Następstwa symetrii

Przyjmijmy, że płaszczyzna rozkładu ładunku jest płaszczyzną x y x y i wyznaczmy natężenie pola elektrycznego w punkcie PP o współrzędnych x y z x y z . Ponieważ gęstość ładunku jest taka sama dla wszystkich współrzędnych x y x y w płaszczyźnie z = 0 z=0, to ze względu na symetrię natężenie pola elektrycznego w punkcie PP nie może zależeć od współrzędnych x x lub y y punktu PP, jak pokazano na Ilustracji 6.32. Dlatego natężenie pola elektrycznego w punkcie PP zależy tylko od odległości od płaszczyzny i ma zwrot albo w stronę płaszczyzny, albo od płaszczyzny. To oznacza, że natężenie pola elektrycznego w punkcie PP ma tylko niezerową składową z z

EP=EPzẑ,EP=EPzẑ,

gdzie z z jest odległością od płaszczyzny, a z ̂ z ̂ jest wersorem normalnym (prostopadłym) do płaszczyzny. Zauważmy, że w tym układzie E z = E z E z = E z , chociaż oczywiście mają przeciwne zwroty.

Na rysunku pokazano płaszczyznę. Punkty q 1 i q 2 leżą na płaszczyźnie, w równej odległości od jej środka. Linie łączą te punkty z punktem P powyżej płaszczyzny. Strzałki oznaczone wektor E1 i wektor E2 zaczepione są w punkcie P i zwrócone są w kierunkach przeciwnych względem linii łączących P odpowiednio z q1 i q2. Trzecia strzałka wychodząca z P dzieli na pół kąt utworzony przez pierwsze dwie strzałki. Jest ona oznaczona jako wektor E z indeksem wypadk.
Ilustracja 6.32 Składowe natężenia pola elektrycznego równoległe do naładowanej płaszczyzny, pochodzące od dwóch ładunków umieszczonych symetrycznie względem punktu P P znoszą się. Dlatego pole elektryczne w każdym punkcie jest skierowane pionowo względem naładowanej płaszczyzny. Dla każdego punktu P P i ładunku q 1 q 1 zawsze możemy znaleźć ładunek q 2 q 2 , który da ten efekt.

Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia

W tym przypadku wygodnie jest wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie pudełka, gdyż pole elektryczne jest zwrócone tylko w jednym kierunku. Aby pudełko (powierzchnia) Gaussa było położone symetrycznie względem naładowanej płaszczyzny, umieszczamy je tak, aby leżało po obu jej stronach, ze ścianką, na której znajduje się punkt PP, ustawioną równolegle do niej. Na Ilustracji 6.33 zaznaczono (zacieniowano) ścianki I i II powierzchni Gaussa (pudełka), które są równoległe do nieskończonej płaszczyzny. Są to jedyne powierzchnie, które wnoszą niezerowy wkład do strumienia, ponieważ natężenie pola elektrycznego i wektory powierzchni dla pozostałych ścianek są prostopadłe do siebie.

Rysunek przedstawia prostopadłościan i płaszczyznę przechodzącą przez jego środek. Górna i dolna powierzchnia prostopadłościanu są równoległe do płaszczyzny i oznaczone jako bok 1 i odpowiednio bok 2. Strzałka oznaczona jako wektor E z indeksem P wychodzi w górę z punktu P na środku górnej powierzchni i jest prostopadła do tej powierzchni. Inna strzałka oznaczona jako delta wektor S jest również skierowana w górę od górnej powierzchni. Dwie strzałki oznaczone wektorem E i delta wektor S skierowane są w dół wychodząc z powierzchni dolnej. Strzałka delta wektor S na prawej powierzchni wskazuje kierunek na zewnątrz i jest prostopadła do tej powierzchni. Inna strzałka wychodząca z tego samego punktu oznaczona jest wektor E jest skierowana do góry.
Ilustracja 6.33 Cienka, naładowana płaszczyzna i pudełko (powierzchnia) Gaussa wybrane do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego w punkcie pola P P . Normalna do każdej ze ścianek pudełka jest skierowana z wnętrza pudełka na zewnątrz. Dla dwóch ścianek pudełka natężenie pola elektrycznego jest równoległe do wektorów powierzchni, a dla pozostałych czterech ścianek natężenie pola elektrycznego jest prostopadłe do wektorów powierzchni.

Niech S S oznacza powierzchnię zaznaczonych ścianek po obu stronach płaszczyzny, a E P E P natężenie pola elektrycznego w punkcie PP. Ponieważ ścianki I i II są w tej samej odległości od płaszczyzny, natężenie pola elektrycznego ma taką samą wartość w punktach na tych powierzchniach, chociaż jest w tych punktach, na przeciwległych ściankach, zwrócone w przeciwnych kierunkach

Ez=EP.Ez=EP.

Jeżeli ładunek na płaszczyźnie jest dodatni, wtedy zwroty pola elektrycznego i wektorów powierzchni są takie jak na Ilustracji 6.33. Dlatego strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię pudełka opisujemy jako

ΦE=SEPn̂dS=EPS+EPS+0+0+0+0=2EPS,ΦE=SEPn̂dS=EPS+EPS+0+0+0+0=2EPS, \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E}_P \cdot \hat{n} \d S = E_P S + E_P S + 0 + 0 + 0 + 0 = 2E_P S \text{,}
6.11

gdzie zero to wartość strumienia przez pozostałe ścianki pudełka. Zauważmy, że gdy ładunek płaszczyzny jest ujemny, zwroty pola elektrycznego i wektorów powierzchni ścianek I i II są skierowane przeciwnie i otrzymujemy ujemny strumień. Zgodnie z prawem Gaussa strumień równa się q wew ε 0 q wew ε 0 . Widzimy na Ilustracji 6.33, że ładunki wewnątrz objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa znajdują się na powierzchni S S płaszczyzny x y x y . Dlatego

q wew = σ 0 S . q wew = σ 0 S .
6.12

Korzystając z równań na strumień i ładunek otoczony powierzchnią Gaussa, możemy natychmiast na podstawie prawa Gaussa wyznaczyć w punkcie na wysokości z z natężenie pola elektrycznego od jednorodnie naładowanej płaszczyzny x y x y

E P = σ 0 2 ε 0 n ̂ . E P = σ 0 2 ε 0 n ̂ .

Zwrot pola zależy od znaku ładunku na płaszczyźnie i od ścianki, na której znajduje się punkt pola PP. Zauważmy, że powyżej płaszczyzny n ̂ = + z ̂ n ̂ = + z ̂ , podczas gdy poniżej płaszczyzny n ̂ = z ̂ n ̂ = z ̂ .

Zastanawiające jest to, że natężenie pola elektrycznego nie zależy od odległości od płaszczyzn – to wynik przyjętego założenia, że płaszczyzna jest nieskończona. W praktyce, ten wynik jest dobrym przybliżeniem dla płaszczyzn o skończonych wymiarach w pobliżu ich środka.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.