6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej

Znikanie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika

Jeżeli wewnątrz przewodnika obecne jest pole elektryczne, działa ono siłą na elektrony swobodne (ang. free electrons), które mogą swobodnie przemieszczać się w przewodniku. Elektrony te nazywane są również elektronami przewodnictwa. W rezultacie te swobodne elektrony doznają przyspieszenia. Przemieszczanie się ładunków w przewodniku oznacza jednak, że – wbrew przyjętej przez nas hipotezie – nie mamy do czynienia ze statycznym rozkładem ładunku. Dlatego gdy osiągnięty zostanie stan równowagi elektrostatycznej, ładunki są rozmieszczone tak, że pole elektryczne wewnątrz przewodnika znika.

Jeżeli umieścimy kawałek metalu w pobliżu dodatniego ładunku, to elektrony w metalu są przyciągane do tego zewnętrznego ładunku i przemieszczają się swobodnie w jego stronę. Obszar, do którego napływają elektrony, uzyskuje przewagę elektronów nad protonami w atomach, a obszar, z którego odpływają elektrony, ma więcej protonów niż elektronów. Zatem w metalu powstaje w pobliżu ładunku obszar naładowany ujemnie, a na przeciwległym końcu obszar naładowany dodatnio (Ilustracja 6.34). Jak widzieliśmy w poprzednim rozdziale, takie rozdzielenie ładunków elektrycznych o tej samej wartości lecz przeciwnych znakach, nazywamy polaryzacją (ang. polarization). Gdy usuniemy zewnętrzny ładunek, elektrony przemieszczą się z powrotem tak, że materiał stanie się neutralny.

Ilustracja 6.34 Polaryzacja metalowej kuli przez zewnętrzny ładunek punktowy $+q$. Bliższa ładunkowi zewnętrznemu strona kuli ma ładunek powierzchniowy przeciwny do ładunku na stronie odległej. Mówimy, że kula została spolaryzowana. Gdy usuniemy zewnętrzny ładunek, zniknie także polaryzacja metalu.

Z polaryzacją metalu mamy do czynienia tylko w obecności zewnętrznego pola elektrycznego. Można o niej myśleć w kategoriach pola elektrycznego. Zewnętrzny ładunek jest źródłem zewnętrznego pola elektrycznego. Gdy metal zostanie umieszczony w tym polu elektrycznym, elektrony i protony w metalu doświadczają działania sił elektrostatycznych spowodowanych tym zewnętrznym polem elektrycznym, ale tylko elektrony przewodnictwa mogą się swobodnie przemieszczać w metalu na makroskopowe odległości. Przemieszczanie się elektronów przewodnictwa prowadzi do polaryzacji, w wyniku której oprócz zewnętrznego pola elektrycznego powstaje wyindukowane pole elektryczne (Ilustracja 6.35). Wypadkowe natężenie pola elektrycznego jest sumą wektorową natężeń pól od ładunku $+q$ i od powierzchniowych gęstości ładunku $-{\sigma }_A$ i $+{\sigma }_B$. Oznacza to, że wypadkowe natężenie pola wewnątrz przewodnika jest różne od natężenia pola na zewnątrz przewodnika.

Ilustracja 6.35 W obecności zewnętrznego ładunku $q$ w metalu ładunki się rozdzielają. Pole elektryczne w każdym punkcie ma trzy składowe, od $+q$ oraz od wyindukowanych ładunków $-{\sigma }_A$ i $+{\sigma }_B$ Zauważ, że rozkład ładunków w tym przypadku nie jest jednorodny.

Rozkład ładunków jest taki, że suma trzech składowych w każdym punkcie $P$ wewnątrz przewodnika jest równa

Dzięki prawu Gaussa wiemy, że w stanie równowagi nie ma ładunków wewnątrz powierzchni Gaussa, która zawiera się całkowicie w objętości przewodnika. To znaczy, że $q_{\text{wew}}=0\mathrm{C}$, i dlatego

Ładunki na przewodniku

Ciekawą właściwością przewodnika w równowadze statycznej jest fakt, że ładunek wprowadzony na przewodnik gromadzi się na jego zewnętrznej powierzchni, bez względu na to, gdzie został początkowo umieszczony. Na Ilustracji 6.36 pokazany jest układ, w którym zewnętrzny ładunek dodatni zostaje umieszczony we wnęce w metalu i następnie zostaje zetknięty z wewnętrzną powierzchnią. Początkowo wewnętrzna powierzchnia wnęki jest naładowana ujemnie, a zewnętrzna – dodatnio. Gdy dotykamy wewnętrznej powierzchni wnęki, wyindukowane ładunki zostają zneutralizowane, a zewnętrzna powierzchnia i cały metal uzyskują wypadkowy ładunek dodatni.

Ilustracja 6.36 Ładunki elektryczne w przewodniku przemieszczają się w stronę zewnętrznej powierzchni bez względu na to, gdzie zostały początkowo umieszczone.

Żeby zobaczyć, dlaczego tak się dzieje, zauważmy, że powierzchnia Gaussa na Ilustracji 6.37 (linia przerywana) ma kształt taki, jak rzeczywista powierzchnia przewodnika i jest umieszczona w nieskończenie małej odległości pod nią. Ponieważ $E=0\mathrm{V}∕\mathrm{m}$ wszędzie w przewodniku,

Powierzchnia Gaussa leży tuż poniżej rzeczywistej powierzchni przewodnika, dlatego wewnątrz niej nie ma wypadkowego ładunku, co oznacza, że cały wprowadzony ładunek musi znajdować się na powierzchni przewodnika.

Ilustracja 6.37 Linia przerywana przedstawia powierzchnię Gaussa, która znajduje się tuż pod rzeczywistą powierzchnią przewodnika.

Ta szczególna właściwość przewodników stanowi podstawę do nadzwyczaj dokładnej metody opracowanej przez Plimptona i Lawtona w 1936 r. celem sprawdzenia prawa Gaussa i zarazem prawa Coulomba. Szkic ich aparatury pomiarowej jest pokazany na Ilustracji 6.38. Dwie sferyczne powłoki są połączone ze sobą za pomocą elektrometru E, przyrządu, który potrafi wykryć bardzo małą ilość ładunku przepływającego z jednej powłoki do drugiej. Kiedy przełącznik S jest przestawiony na lewo, bateria B ładuje zewnętrzną powlokę. Czy ładunek przepłynie przez elektrometr do wewnętrznej powłoki?

Nie. Gdyby tak się stało, oznaczałoby to naruszenie prawa Gaussa. Plimpton i Lawton nie zarejestrowali żadnego przepływu w zakresie czułości ich elektrometru i wysunęli wniosek, że gdyby zapisać radialną zależność w prawie Coulomba jako $1∕r^{2+\delta }$, $\delta$ byłaby mniejsza niż $2\cdot {10}^{-9}$ ¹. W bardziej współczesnych pomiarach otrzymano $\delta$ mniejszą niż $3\cdot {10}^{-16}$ ², wielkość tak małą, że słuszność prawa Coulomba wydaje się bezsporna.

Ilustracja 6.38 Szkic aparatury pomiarowej użytej przez Plimptona i Lawtona. Jakikolwiek przepływ ładunku pomiędzy sferami jest rejestrowany przez elektrometr E.

Pole elektryczne na powierzchni przewodnika

Jeżeli pole elektryczne ma składową równoległą do powierzchni przewodnika, swobodne ładunki na powierzchni będą się przemieszczać, co jest sytuacją sprzeczną z założeniem o elektrostatycznej równowadze. Zatem pole elektryczne jest zawsze prostopadłe do powierzchni przewodnika.

W dowolnym punkcie tuż powyżej powierzchni przewodnika powierzchniowa gęstość ładunku $\delta$ i natężenie pola elektrycznego $E$ są powiązane zależnością

Żeby to sprawdzić, rozważ nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie cylindra, który otacza punkt na powierzchni przewodnika, tak jak na Ilustracji 6.39. Jedna z podstaw cylindra znajduje się wewnątrz powierzchni, a druga na zewnątrz. Wysokość i powierzchnia przekroju poprzecznego wynoszą odpowiednio $\delta$ i $\Delta S$. Bok cylindra jest prostopadły do powierzchni przewodnika, a jego podstawy są równoległe do tej powierzchni. Ponieważ cylinder jest nieskończenie mały, gęstość ładunku $\sigma$ jest w zasadzie stała na otoczonej powierzchni, zatem całkowity ładunek wewnątrz cylindrycznej powierzchni Gaussa jest równy $\sigma \Delta S$. Natężenie pola elektrycznego $E$ jest prostopadłe do powierzchni przewodnika na zewnątrz przewodnika i znika wewnątrz niego, w przeciwnym wypadku ładunki doznawałyby przyspieszenia i nie byłyby w stanie równowagi. Dlatego strumień pola elektrycznego przenika tylko przez zewnętrzną podstawę powierzchni Gaussa i może być zapisany jako $E\Delta S$, ponieważ z założenia cylinder jest wystarczająco mały, aby przyjąć, że $E$ jest stałe na całej tej powierzchni. Z prawa Gaussa

Zatem

Ilustracja 6.39 Nieskończenie mała, cylindryczna powierzchnia Gaussa otacza punkt $P$, znajdujący się na powierzchni przewodnika. Wektor natężenia pola $\overrightarrow{E}$ jest prostopadły do powierzchni przewodnika i skierowany na zewnątrz, zaś wewnątrz przewodnika natężenie pola wynosi zero.

Przykład 6.9

Natężenie pola elektrycznego przewodzącej płyty

Nieskończona, przewodząca płyta, pokazana na Ilustracji 6.40, ma jednorodną powierzchniową gęstość ładunku $\sigma$. Zastosujemy prawo Gaussa do znalezienia natężenia pola elektrycznego na zewnątrz płyty. Porównamy ten wynik z otrzymanym poprzednio z bezpośrednich obliczeń.

Ilustracja 6.40 Widok z boku na nieskończoną, przewodzącą płytę i cylindryczną powierzchnię Gaussa o powierzchni podstawy równej $S$.

Strategia rozwiązania

W tym przypadku wybieramy cylindryczną powierzchnię Gaussa, której widok z boku jest pokazany.

Rozwiązanie

Obliczenia strumienia są podobne do tych dla nieskończonej naładowanej płaszczyzny z poprzedniego rozdziału z tą zasadniczą różnicą, że lewa podstawa powierzchni Gaussa znajduje się wewnątrz przewodnika, gdzie $\overrightarrow{E}=0\mathrm{V}∕\mathrm{m}$, tak że całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa jest równy $ES$, a nie $2ES$. Wtedy z prawa Gaussa

$$ES=\frac{\sigma S}{{\epsilon }_0}$$

i natężenie pola elektrycznego na zewnątrz płyty wynosi

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\text{.}$$

Znaczenie

Ten wynik jest zgodny z otrzymanym w poprzedniej części i zgodny z podaną powyżej zasadą.

Przykład 6.10

Natężenie pola elektrycznego pomiędzy dwoma przeciwnie naładowanymi, równoległymi płytami

Dwie duże, przewodzące płyty posiadają równe, ale przeciwne ładunki o powierzchniowej gęstości ładunku $\sigma$ równej $\mathrm{6,81}\cdot {10}^{-7}\mathrm{C}∕{\mathrm{m}}^2$, jak pokazano na Ilustracji 6.41. Odległość między płytami wynosi $l=\mathrm{6,5}\mathrm{mm}$. Jakie jest natężenie pola elektrycznego pomiędzy płytami?

Ilustracja 6.41 Pole elektryczne pomiędzy przeciwnie naładowanymi, równoległymi płytami. Ładunek próbny jest wprowadzony w pobliżu płyty dodatniej.

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego na powierzchni płyty zależy tylko od ładunku na tej płycie. Zatem skorzystamy z wyrażenia $E=\sigma ∕{\epsilon }_0$ dla podanych wartości.

Rozwiązanie

Pole elektryczne jest skierowane od dodatniej do ujemnej płyty, jak pokazano na rysunku, i jego natężenie wynosi

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{\mathrm{6,81}\cdot {10}^{-7}\mathrm{C}∕{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}{\mathrm{C}}^2∕\left(\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\right)}=\mathrm{7,69}\cdot {10}^4\mathrm{N}∕\mathrm{C}\text{.}$$

Znaczenie

Stosowanie tego wzoru nie ogranicza się tylko do płyty. Ponadto układ dwóch płyt będzie istotny w dalszej części rozważań w tym rozdziale.

Przykład 6.11

Przewodząca kula

Izolowana przewodząca kula (Ilustracja 6.42) ma promień $R$ i ładunek $q$. Jakie jest natężenie pola elektrycznego wewnątrz oraz na zewnątrz kuli?

Ilustracja 6.42 Izolowana, przewodząca kula.

Strategia rozwiązania

Kula jest izolowana, tak że powierzchniowy rozkład ładunku i pole elektryczne od tego ładunku mają symetrię sferyczną. Dlatego możemy zapisać natężenie pola w postaci $\overrightarrow{E}=E\left(r\right)\hat{r}$. Aby obliczyć $E\left(r\right)$, stosujemy prawo Gaussa dla zamkniętej sferycznej powierzchni $S$ o promieniu $r$, która jest współśrodkowa z przewodzącą kulą.

Rozwiązanie

Ponieważ $r$ jest stały i $\hat{n}=\hat{r}$ na sferze,

$$\underset{S}{∯}\overrightarrow{E}\cdot \hat{n}dS=E\left(r\right)\underset{S}{∯}dS=E\left(r\right)\cdot 4\pi r^2\text{.}$$

Dla $r<R$, $S$ znajduje się wewnątrz przewodnika, więc $q_{\text{wew}}=0\mathrm{C}$ i z prawa Gaussa otrzymujemy

$$E\left(r\right)=0\mathrm{V}∕\mathrm{m}\text{,}$$

jak oczekiwaliśmy dla wnętrza przewodnika. Gdy $r\ge R$, $S$ otacza przewodnik, więc $q_{\text{wew}}=q$. Z prawa Gaussa otrzymujemy

$$E\left(r\right)\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}\text{.}$$

Natężenie pola elektrycznego kuli może być więc zapisane jako

Znaczenie

Zauważmy, że w obszarze $r\ge R$ natężenie pola elektrycznego od ładunku $q$ rozmieszczonego na izolowanej, przewodzącej kuli o promieniu $R$ jest takie samo jak natężenie pola ładunku punktowego $q$ umieszczonego w środku kuli. Różnica pomiędzy naładowanym metalem a ładunkiem punktowym pojawia się tylko w punktach wewnątrz przewodnika. Dla ładunku punktowego umieszczonego w środku kuli jest niezerowe w punktach przestrzeni zajmowanej przez kulę, ale w przypadku przewodnika z takim samym ładunkiem natężenie pola elektrycznego jest równe zero w tych punktach (Ilustracja 6.43). Natomiast nie ma różnicy na zewnątrz w punktach przestrzeni $r\ge R$ i możemy bez konsekwencji zastąpić izolowany, naładowany, kulisty przewodnik ładunkiem punktowym umieszczonym w jego środku.

Ilustracja 6.43 Natężenie pola elektrycznego dodatnio naładowanej, metalowej kuli. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz jest równe zero, a natężenie pola elektrycznego na zewnątrz jest takie samo jak natężenie pola elektrycznego punktowego ładunku umieszczonego w środku, chociaż ładunek w kuli metalowej znajduje się na powierzchni.

Jeśli ładunek $+q$ umieścimy wewnątrz wnęki w przewodniku to ładunki w przewodniku zostaną rozsunięte i ładunek $-q$ zgromadzi się na wewnętrznej powierzchni, a ładunek $+q$ na powierzchni zewnętrznej przewodnika (Ilustracja 6.44 (a)). W przypadku tego samego przewodnika z ładunkiem $+q$ umieszczonym na zewnątrz nie obserwujemy nadmiarowego ładunku na wewnętrznej powierzchni przewodnika; zarówno dodatnie, jak i ujemne, wyindukowane ładunki znajdują się na powierzchni zewnętrznej – Ilustracja 6.44 (b).

Ilustracja 6.44 (a) Ładunek wewnątrz wnęki w metalu. Rozkład ładunków na zewnętrznej powierzchni nie zależy od tego, jak rozmieszczone są ładunki na wewnętrznej powierzchni, ponieważ natężenie pola $\overrightarrow{E}$ ⁠wewnątrz metalu jest równe zero. Wielkość ładunku na zewnętrznej powierzchni zależy natomiast od wielkości ładunku wewnątrz. (b) Ładunek umieszczony na zewnątrz przewodnika z wnęką – we wnęce nie ma ładunku. Polaryzacja ładunków przewodnika ma miejsce na powierzchni.

Przewodnik ma dwie wnęki. Wewnątrz jednej znajduje się ładunek $+q_a$, a wewnątrz drugiej ładunek $-q_b$, polaryzacja przewodnika prowadzi do pojawienia się ładunku $-q_a$ na wewnętrznej powierzchni jednej wnęki i ładunku $+q_b$ na wewnętrznej powierzchni drugiej wnęki oraz ładunków $q_a-q_b$ na zewnętrznej powierzchni (Ilustracja 6.45). Ładunki na powierzchniach mogą nie być rozłożone równomiernie; ich rozkład zależy od geometrii układu. Jedyna zasada, która obowiązuje, to ta, że gdy zostanie osiągnięty stan równowagi, rozkład ładunku w przewodniku jest taki, że natężenie pola elektrycznego ładunku w przewodniku znosi się z natężeniem pola elektrycznego od zewnętrznych ładunków we wszystkich punktach przestrzeni wewnątrz przewodnika.

Ilustracja 6.45 Ładunki wyindukowane przez dwa równe i przeciwne ładunki w dwóch oddzielnych wnękach znajdujących się w przewodniku. Jeżeli wypadkowy ładunek wnęki jest niezerowy, to na zewnętrznej powierzchni gromadzi się ładunek równy temu wypadkowemu ładunkowi.