Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 26.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać pole elektryczne w przewodniku w stanie równowagi;
  • opisywać pole elektryczne bezpośrednio przy powierzchni naładowanego przewodnika w stanie równowagi;
  • dlaczego w przypadku, gdy pole elektryczne nie spełnia dwóch pierwszych podanych warunków, przewodnik nie jest w stanie równowagi.

Dotychczas zajmowaliśmy się ładunkami rozmieszczonymi w pewnej objętości w izolatorze. Teraz zbadamy, co się wydarzy, gdy swobodne ładunki zostaną umieszczone na przewodniku. Zasadniczo w obecności (na ogół zewnętrznego) pola elektrycznego swobodne ładunki przemieszczają się aż do osiągnięcia stanu równowagi elektrostatycznej. Zarówno wygenerowany rozkład ładunku, jak i jego pole elektryczne mają wiele interesujących właściwości, które możemy poznać za pomocą prawa Gaussa oraz korzystając z koncepcji potencjału elektrycznego.

Znikanie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika

Jeżeli wewnątrz przewodnika obecne jest pole elektryczne, działa ono siłą na elektrony swobodne (ang. free electrons), które mogą swobodnie przemieszczać się w przewodniku. Elektrony te nazywane są również elektronami przewodnictwa. W rezultacie te swobodne elektrony doznają przyspieszenia. Przemieszczanie się ładunków w przewodniku oznacza jednak, że – wbrew przyjętej przez nas hipotezie – nie mamy do czynienia ze statycznym rozkładem ładunku. Dlatego gdy osiągnięty zostanie stan równowagi elektrostatycznej, ładunki są rozmieszczone tak, że pole elektryczne wewnątrz przewodnika znika.

Jeżeli umieścimy kawałek metalu w pobliżu dodatniego ładunku, to elektrony w metalu są przyciągane do tego zewnętrznego ładunku i przemieszczają się swobodnie w jego stronę. Obszar, do którego napływają elektrony, uzyskuje przewagę elektronów nad protonami w atomach, a obszar, z którego odpływają elektrony, ma więcej protonów niż elektronów. Zatem w metalu powstaje w pobliżu ładunku obszar naładowany ujemnie, a na przeciwległym końcu obszar naładowany dodatnio (Ilustracja 6.34). Jak widzieliśmy w poprzednim rozdziale, takie rozdzielenie ładunków elektrycznych o tej samej wartości lecz przeciwnych znakach, nazywamy polaryzacją (ang. polarization). Gdy usuniemy zewnętrzny ładunek, elektrony przemieszczą się z powrotem tak, że materiał stanie się neutralny.

Rysunek przedstawia kulę i ładunek dodatni q leżący w pewnej odległości od niej. Strona kuli zwrócona do q jest oznaczona A, a strona przeciwna B. Pokazane są znaki minus i plus na wewnętrznej powierzchni sfery odpowiednio po jej stronie A i B. Oznaczone są jako minus sigma A i plus sigma B.
Ilustracja 6.34 Polaryzacja metalowej kuli przez zewnętrzny ładunek punktowy + q + q . Bliższa ładunkowi zewnętrznemu strona kuli ma ładunek powierzchniowy przeciwny do ładunku na stronie odległej. Mówimy, że kula została spolaryzowana. Gdy usuniemy zewnętrzny ładunek, zniknie także polaryzacja metalu.

Z polaryzacją metalu mamy do czynienia tylko w obecności zewnętrznego pola elektrycznego. Można o niej myśleć w kategoriach pola elektrycznego. Zewnętrzny ładunek jest źródłem zewnętrznego pola elektrycznego. Gdy metal zostanie umieszczony w tym polu elektrycznym, elektrony i protony w metalu doświadczają działania sił elektrostatycznych spowodowanych tym zewnętrznym polem elektrycznym, ale tylko elektrony przewodnictwa mogą się swobodnie przemieszczać w metalu na makroskopowe odległości. Przemieszczanie się elektronów przewodnictwa prowadzi do polaryzacji, w wyniku której oprócz zewnętrznego pola elektrycznego powstaje wyindukowane pole elektryczne (Ilustracja 6.35). Wypadkowe natężenie pola elektrycznego jest sumą wektorową natężeń pól od ładunku + q +q i od powierzchniowych gęstości ładunku σ A σ A i + σ B + σ B . Oznacza to, że wypadkowe natężenie pola wewnątrz przewodnika jest różne od natężenia pola na zewnątrz przewodnika.

Rysunek przedstawia kulę i ładunek q leżący w pewnej odległości poza nią. Strona kuli zwrócona do ładunku q jest oznaczona A, a strona przeciwna oznaczona jest B. Powierzchnie wewnętrzne kuli po stronie A i B oznaczone są odpowiednio minus sigma A i plus sigma B. Na kuli znajduje się punkt P. Dwie strzałki wychodzą z punktu P. Oznaczone są jako wektor E z indeksem A i wektor E z indeksem B. Linia przerywana przecina kąt utworzony przez dwie składowe P i q. Trzecia strzałka z początku układu w P wskazuje kierunek przeciwny do q. Oznaczona jest jako wektor E z indeksem q.
Ilustracja 6.35 W obecności zewnętrznego ładunku q q w metalu ładunki się rozdzielają. Pole elektryczne w każdym punkcie ma trzy składowe, od + q + q oraz od wyindukowanych ładunków σ A σ A i + σ B + σ B Zauważ, że rozkład ładunków w tym przypadku nie jest jednorodny.

Rozkład ładunków jest taki, że suma trzech składowych w każdym punkcie PP wewnątrz przewodnika jest równa

EP=Eq+EB+EA=0Vm.EP=Eq+EB+EA=0Vm.

Dzięki prawu Gaussa wiemy, że w stanie równowagi nie ma ładunków wewnątrz powierzchni Gaussa, która zawiera się całkowicie w objętości przewodnika. To znaczy, że q wew = 0 C q wew = 0 C , i dlatego

Ewyp=0Vm (w punktach wewnątrz przewodnika).Ewyp=0Vm (w punktach wewnątrz przewodnika).
6.13

Ładunki na przewodniku

Ciekawą właściwością przewodnika w równowadze statycznej jest fakt, że ładunek wprowadzony na przewodnik gromadzi się na jego zewnętrznej powierzchni, bez względu na to, gdzie został początkowo umieszczony. Na Ilustracji 6.36 pokazany jest układ, w którym zewnętrzny ładunek dodatni zostaje umieszczony we wnęce w metalu i następnie zostaje zetknięty z wewnętrzną powierzchnią. Początkowo wewnętrzna powierzchnia wnęki jest naładowana ujemnie, a zewnętrzna – dodatnio. Gdy dotykamy wewnętrznej powierzchni wnęki, wyindukowane ładunki zostają zneutralizowane, a zewnętrzna powierzchnia i cały metal uzyskują wypadkowy ładunek dodatni.

Rysunek po lewej stronie przedstawia zacienione kółko z wnęką. Pręt z kulką na końcu,jest umieszczony wewnątrz wnęki w taki sposób, że nie dotyka zacienionego obszaru. Kulka opatrzona jest znakiem dodatnim. Wokół wnęki są znaki ujemne. Zacieniowane kółko ma znaki dodatnie na zewnątrz. Narysowana jest strzałka skierowana od tego rysunku do rysunku po prawej stronie. Strzałka jest podpisana: dotknięcie wnętrza wnęki. Rysunek po prawej stronie jest podobny do rysunku po lewej stronie, z wyjątkiem tego że kulka dotyka krawędzi wnęki. Nie ma znaków ani na kulce ani wokół wneki. Strona zewnętrzna zacienionego kółka ma znaki dodatnie.
Ilustracja 6.36 Ładunki elektryczne w przewodniku przemieszczają się w stronę zewnętrznej powierzchni bez względu na to, gdzie zostały początkowo umieszczone.

Żeby zobaczyć, dlaczego tak się dzieje, zauważmy, że powierzchnia Gaussa na Ilustracji 6.37 (linia przerywana) ma kształt taki, jak rzeczywista powierzchnia przewodnika i jest umieszczona w nieskończenie małej odległości pod nią. Ponieważ E=0VmE=0Vm E = \SI{0}{\volt\per\metre} wszędzie w przewodniku,

SEn̂dS=0Vm.SEn̂dS=0Vm. \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \SI{0}{\volt\metre} \text{.}

Powierzchnia Gaussa leży tuż poniżej rzeczywistej powierzchni przewodnika, dlatego wewnątrz niej nie ma wypadkowego ładunku, co oznacza, że cały wprowadzony ładunek musi znajdować się na powierzchni przewodnika.

Rysunek przedstawia nieregularny kształt. Linia przerywana jest narysowana od wewnątrz wzdłuż krawędzi kształtu.
Ilustracja 6.37 Linia przerywana przedstawia powierzchnię Gaussa, która znajduje się tuż pod rzeczywistą powierzchnią przewodnika.

Ta szczególna właściwość przewodników stanowi podstawę do nadzwyczaj dokładnej metody opracowanej przez Plimptona i Lawtona w 1936 r. celem sprawdzenia prawa Gaussa i zarazem prawa Coulomba. Szkic ich aparatury pomiarowej jest pokazany na Ilustracji 6.38. Dwie sferyczne powłoki są połączone ze sobą za pomocą elektrometru E, przyrządu, który potrafi wykryć bardzo małą ilość ładunku przepływającego z jednej powłoki do drugiej. Kiedy przełącznik S jest przestawiony na lewo, bateria B ładuje zewnętrzną powlokę. Czy ładunek przepłynie przez elektrometr do wewnętrznej powłoki?

Nie. Gdyby tak się stało, oznaczałoby to naruszenie prawa Gaussa. Plimpton i Lawton nie zarejestrowali żadnego przepływu w zakresie czułości ich elektrometru i wysunęli wniosek, że gdyby zapisać radialną zależność w prawie Coulomba jako 1 r 2 + δ 1 r 2 + δ , δ δ byłaby mniejsza niż 2 10 -9 2 10 -9 1. W bardziej współczesnych pomiarach otrzymano δ δ mniejszą niż 3 10 -16 3 10 -16 2, wielkość tak małą, że słuszność prawa Coulomba wydaje się bezsporna.

Na rysunku pokazany jest okrąg oznaczony E przedstawiający elektrometr. Jest on otoczony przez dwa koncentryczne okręgi ze szczelinami. Są one oznaczone jako dwie koncentryczne sfery przewodzące. Dwa zaciski E są połączone, po jednym do każdego okręgu. Zewnętrzny okrąg jest podłączony do przełącznika S, który przełącza się między dwoma zaciskami baterii. Jest też pochylone u góry zwierciadło do obserwacji elektrometru. Osoba patrzy na lustro przez celownik. Linia z celownika odbija się od lustra i biegnie do E.
Ilustracja 6.38 Szkic aparatury pomiarowej użytej przez Plimptona i Lawtona. Jakikolwiek przepływ ładunku pomiędzy sferami jest rejestrowany przez elektrometr E.

Pole elektryczne na powierzchni przewodnika

Jeżeli pole elektryczne ma składową równoległą do powierzchni przewodnika, swobodne ładunki na powierzchni będą się przemieszczać, co jest sytuacją sprzeczną z założeniem o elektrostatycznej równowadze. Zatem pole elektryczne jest zawsze prostopadłe do powierzchni przewodnika.

W dowolnym punkcie tuż powyżej powierzchni przewodnika powierzchniowa gęstość ładunku δ δ i natężenie pola elektrycznego E E są powiązane zależnością

E = σ ε 0 . E= σ ε 0 .
6.14

Żeby to sprawdzić, rozważ nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie cylindra, który otacza punkt na powierzchni przewodnika, tak jak na Ilustracji 6.39. Jedna z podstaw cylindra znajduje się wewnątrz powierzchni, a druga na zewnątrz. Wysokość i powierzchnia przekroju poprzecznego wynoszą odpowiednio δ δ i ΔSΔS. Bok cylindra jest prostopadły do powierzchni przewodnika, a jego podstawy są równoległe do tej powierzchni. Ponieważ cylinder jest nieskończenie mały, gęstość ładunku σ σ jest w zasadzie stała na otoczonej powierzchni, zatem całkowity ładunek wewnątrz cylindrycznej powierzchni Gaussa jest równy σΔSσΔS. Natężenie pola elektrycznego E E jest prostopadłe do powierzchni przewodnika na zewnątrz przewodnika i znika wewnątrz niego, w przeciwnym wypadku ładunki doznawałyby przyspieszenia i nie byłyby w stanie równowagi. Dlatego strumień pola elektrycznego przenika tylko przez zewnętrzną podstawę powierzchni Gaussa i może być zapisany jako EΔSEΔS, ponieważ z założenia cylinder jest wystarczająco mały, aby przyjąć, że E E jest stałe na całej tej powierzchni. Z prawa Gaussa

EΔS=σΔSε0.EΔS=σΔSε0.

Zatem

E = σ ε 0 . E= σ ε 0 .
Na rysunku pokazano powierzchnię oznaczoną sigma, która ma na sobie znaki dodatnie. Punkt P na powierzchni znajduje się w środku cylindra. Strzałka oznaczona jako wektor E biegnie wzdłuż osi cylindra i wyłania się z niego przez górna podstawę. Górna podstawa cylindra oznaczona jest jako delta S, a powierzchnia dolna oznaczona jest wektorem E równym zero. Obie są równoległe do powierzchni sigma.
Ilustracja 6.39 Nieskończenie mała, cylindryczna powierzchnia Gaussa otacza punkt P P , znajdujący się na powierzchni przewodnika. Wektor natężenia pola E E jest prostopadły do powierzchni przewodnika i skierowany na zewnątrz, zaś wewnątrz przewodnika natężenie pola wynosi zero.

Przykład 6.9

Natężenie pola elektrycznego przewodzącej płyty

Nieskończona, przewodząca płyta, pokazana na Ilustracji 6.40, ma jednorodną powierzchniową gęstość ładunku σ σ. Zastosujemy prawo Gaussa do znalezienia natężenia pola elektrycznego na zewnątrz płyty. Porównamy ten wynik z otrzymanym poprzednio z bezpośrednich obliczeń.
Zacieniowany pasek oznaczony E równe zero ma na sobie znaki plus na obydwu powierzchniach wewnętrznych. Pokazany jest prostokąt S po prawej stronie paska w ten sposób, że zawiera on dwa znaki plus. Dwie strzałki skierowane są prostopadle do długości paska i wskazują na prawo. Oznaczone są jako wektor E.
Ilustracja 6.40 Widok z boku na nieskończoną, przewodzącą płytę i cylindryczną powierzchnię Gaussa o powierzchni podstawy równej S S .

Strategia rozwiązania

W tym przypadku wybieramy cylindryczną powierzchnię Gaussa, której widok z boku jest pokazany.

Rozwiązanie

Obliczenia strumienia są podobne do tych dla nieskończonej naładowanej płaszczyzny z poprzedniego rozdziału z tą zasadniczą różnicą, że lewa podstawa powierzchni Gaussa znajduje się wewnątrz przewodnika, gdzie E=0VmE=0Vm, tak że całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa jest równy E S ES, a nie 2 E S 2ES. Wtedy z prawa Gaussa
E S = σ S ε 0 E S = σ S ε 0

i natężenie pola elektrycznego na zewnątrz płyty wynosi

E = σ ε 0 . E= σ ε 0 .

Znaczenie

Ten wynik jest zgodny z otrzymanym w poprzedniej części i zgodny z podaną powyżej zasadą.

Przykład 6.10

Natężenie pola elektrycznego pomiędzy dwoma przeciwnie naładowanymi, równoległymi płytami

Dwie duże, przewodzące płyty posiadają równe, ale przeciwne ładunki o powierzchniowej gęstości ładunku σ σ równej 6,81 10 -7 C m 2 6,81 10 -7 C m 2 , jak pokazano na Ilustracji 6.41. Odległość między płytami wynosi l=6,5mml=6,5mm. Jakie jest natężenie pola elektrycznego pomiędzy płytami?
Na rysunku pokazane są dwie równoległe płytki oddalone od siebie o l. Lewa ma znaki dodatnie wewnątrz przy prawej powierzchni. Prawa płytka ma znaki ujemne wewnątrz przy swojej lewej powierzchni. Strzałki z lewej płytki do prawej są oznaczone wektorem E. Miedzy płytkami znajduje się ładunek dodatni ze strzałką wskazującą na prawo.
Ilustracja 6.41 Pole elektryczne pomiędzy przeciwnie naładowanymi, równoległymi płytami. Ładunek próbny jest wprowadzony w pobliżu płyty dodatniej.

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego na powierzchni płyty zależy tylko od ładunku na tej płycie. Zatem skorzystamy z wyrażenia E = σ ε 0 E= σ ε 0 dla podanych wartości.

Rozwiązanie

Pole elektryczne jest skierowane od dodatniej do ujemnej płyty, jak pokazano na rysunku, i jego natężenie wynosi
E=σε0=6,8110-7Cm28,8510-12C2Nm2=7,69104NC.E=σε0=6,8110-7Cm28,8510-12C2Nm2=7,69104NC.

Znaczenie

Stosowanie tego wzoru nie ogranicza się tylko do płyty. Ponadto układ dwóch płyt będzie istotny w dalszej części rozważań w tym rozdziale.

Przykład 6.11

Przewodząca kula

Izolowana przewodząca kula (Ilustracja 6.42) ma promień R R i ładunek q q. Jakie jest natężenie pola elektrycznego wewnątrz oraz na zewnątrz kuli?
Na rysunku pokazane są dwa koncentryczne okręgi. Mniejszy o promieniu R ma znaki plus po wewnętrznej stronie. Linią przerywaną zaznaczony jest większy okrąg o promieniu r oznaczony S, który jest powierzchnią Gaussa.
Ilustracja 6.42 Izolowana, przewodząca kula.

Strategia rozwiązania

Kula jest izolowana, tak że powierzchniowy rozkład ładunku i pole elektryczne od tego ładunku mają symetrię sferyczną. Dlatego możemy zapisać natężenie pola w postaci E = E r r ̂ E = E r r ̂ . Aby obliczyć E r E r , stosujemy prawo Gaussa dla zamkniętej sferycznej powierzchni S S o promieniu r r, która jest współśrodkowa z przewodzącą kulą.

Rozwiązanie

Ponieważ r r jest stały i n ̂ = r ̂ n ̂ = r ̂ na sferze,
SEn̂dS=ErSdS=Er4πr2.SEn̂dS=ErSdS=Er4πr2. \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \apply (r) \prefop{\u{222F}}_S \d S = E\apply (r) \cdot 4\pi r^2 \text{.}

Dla r < R r<R, S S znajduje się wewnątrz przewodnika, więc q wew = 0 C q wew = 0 C i z prawa Gaussa otrzymujemy

Er=0Vm,Er=0Vm, E \apply (r) = \SI{0}{\volt\per\metre} \text{,}

jak oczekiwaliśmy dla wnętrza przewodnika. Gdy rRrR r \geq R, S S otacza przewodnik, więc q wew = q q wew =q. Z prawa Gaussa otrzymujemy

Er4πr2=qε0.Er4πr2=qε0. E \apply (r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \text{.}

Natężenie pola elektrycznego kuli może być więc zapisane jako

E=0Vm,dla r<R,14πε0qr2r̂,dla rR.E=0Vm,dla r<R,14πε0qr2r̂,dla rR. \vec{E} = \left{ \begin{matrix*}[l] \SI{0}{\volt\per\metre}\text{,} &\text{dla } r<R \text{,} \\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \hat{r}\text{,} &\text{dla } r \geq R \text{.} \end{matrix*} \right.

Znaczenie

Zauważmy, że w obszarze r R rR natężenie pola elektrycznego od ładunku q q rozmieszczonego na izolowanej, przewodzącej kuli o promieniu R R jest takie samo jak natężenie pola ładunku punktowego q q umieszczonego w środku kuli. Różnica pomiędzy naładowanym metalem a ładunkiem punktowym pojawia się tylko w punktach wewnątrz przewodnika. Dla ładunku punktowego umieszczonego w środku kuli jest niezerowe w punktach przestrzeni zajmowanej przez kulę, ale w przypadku przewodnika z takim samym ładunkiem natężenie pola elektrycznego jest równe zero w tych punktach (Ilustracja 6.43). Natomiast nie ma różnicy na zewnątrz w punktach przestrzeni rRrR r \geq R i możemy bez konsekwencji zastąpić izolowany, naładowany, kulisty przewodnik ładunkiem punktowym umieszczonym w jego środku.
Na rysunku pokazany jest okrąg oznaczony, równym zero, wektorem E z indeksem wewn. Pokazane są strzałki rozchodzące się radialnie na zewnątrz okręgu. Oznaczone są jako wektor E ze znakiem zewn.
Ilustracja 6.43 Natężenie pola elektrycznego dodatnio naładowanej, metalowej kuli. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz jest równe zero, a natężenie pola elektrycznego na zewnątrz jest takie samo jak natężenie pola elektrycznego punktowego ładunku umieszczonego w środku, chociaż ładunek w kuli metalowej znajduje się na powierzchni.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.6

Jak zmieniłby się układ pokazany powyżej, gdyby na zewnątrz kuli umieszczono naładowane obiekty?

Jeśli ładunek + q +q umieścimy wewnątrz wnęki w przewodniku to ładunki w przewodniku zostaną rozsunięte i ładunek q q zgromadzi się na wewnętrznej powierzchni, a ładunek + q +q na powierzchni zewnętrznej przewodnika (Ilustracja 6.44 (a)). W przypadku tego samego przewodnika z ładunkiem + q +q umieszczonym na zewnątrz nie obserwujemy nadmiarowego ładunku na wewnętrznej powierzchni przewodnika; zarówno dodatnie, jak i ujemne, wyindukowane ładunki znajdują się na powierzchni zewnętrznej – Ilustracja 6.44 (b).

Rysunek a przedstawia metalową kulę z wnęką wewnątrz niej. Kula jest oznaczona wektorem E równym zero. Znaki plus rozmieszczone są wokół kuli. Wnęka ma dookoła znaki minus. Ładunek dodatni q znajduje się wewnątrz wnęki. Rysunek b pokazuje tę samą metalową kulę z wnęką. Kula oznaczona jest wektorem E równym zero. We wnęce nie ma ładunków. Ładunek dodatni plus q znajduje się poza kulą. Kula po stronie ładunku q ma znaki minus. Strona przeciwna ma znaki plus.
Ilustracja 6.44 (a) Ładunek wewnątrz wnęki w metalu. Rozkład ładunków na zewnętrznej powierzchni nie zależy od tego, jak rozmieszczone są ładunki na wewnętrznej powierzchni, ponieważ natężenie pola E E \vec{E} ⁠wewnątrz metalu jest równe zero. Wielkość ładunku na zewnętrznej powierzchni zależy natomiast od wielkości ładunku wewnątrz. (b) Ładunek umieszczony na zewnątrz przewodnika z wnęką – we wnęce nie ma ładunku. Polaryzacja ładunków przewodnika ma miejsce na powierzchni.

Przewodnik ma dwie wnęki. Wewnątrz jednej znajduje się ładunek + q a + q a , a wewnątrz drugiej ładunek q b q b , polaryzacja przewodnika prowadzi do pojawienia się ładunku q a q a na wewnętrznej powierzchni jednej wnęki i ładunku + q b + q b na wewnętrznej powierzchni drugiej wnęki oraz ładunków q a q b q a q b na zewnętrznej powierzchni (Ilustracja 6.45). Ładunki na powierzchniach mogą nie być rozłożone równomiernie; ich rozkład zależy od geometrii układu. Jedyna zasada, która obowiązuje, to ta, że gdy zostanie osiągnięty stan równowagi, rozkład ładunku w przewodniku jest taki, że natężenie pola elektrycznego ładunku w przewodniku znosi się z natężeniem pola elektrycznego od zewnętrznych ładunków we wszystkich punktach przestrzeni wewnątrz przewodnika.

Rysunek pokazuje spłaszczoną kulę, oznaczoną E równe zero. Wewnątrz kuli są dwie wnęki. Na zewnątrz powierzchni spłaszczonej kuli nie ma żadnych ładunków. Lewa wnęka ma ładunek ujemny q wewnątrz. Lewa powierzchnia tej wnęki ma na wiele znaków plus a prawa powierzchnia wnęki jeden znak plus. Wnęka prawa posiada ładunek dodatni q wewnątrz, po prawej stronie. Prawa powierzchnia wnęki ma wiele znaków minus, a lewa ma jeden znak minus.
Ilustracja 6.45 Ładunki wyindukowane przez dwa równe i przeciwne ładunki w dwóch oddzielnych wnękach znajdujących się w przewodniku. Jeżeli wypadkowy ładunek wnęki jest niezerowy, to na zewnętrznej powierzchni gromadzi się ładunek równy temu wypadkowemu ładunkowi.

Przypisy

  • 1S. Plimpton and W. Lawton. 1936. „A Very Accurate Test of Coulomb’s Law of Force between Charges.” Physical Review 50, No. 11: 1066, doi:10.1103/PhysRev.50.1066.
  • 2E. Williams, J. Faller, and H. Hill. 1971. „New Experimental Test of Coulomb’s Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass.” Physical Review Letters 26, No. 12: 721, doi:10.1103/PhysRevLett.26.721.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.