William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

12.1 Prawo Biota-Savarta

16.

Prąd o natężeniu $10 A$ płynie przez przewód pokazany na rysunku. Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez zaznaczony na rysunku fragment przewodu o długości $0,5 mm$ mierzona

w punkcie $A$ ;
w punkcie $B$ ?

17.

Prąd o natężeniu $10 A$ płynie przez przewód w kształcie kwadratowej ramki o boku równym $20 cm$ . Każdy z wierzchołków ramki zwarty jest dodatkowym odcinkiem przewodu o długości $0,01 cm$ , jak pokazano na rysunku. Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku pętli.

18.

Wyznacz indukcję pola magnetycznego wytwarzanego w punkcie $P$ , jak na rysunku. Przez przewód płynie prąd o natężeniu $I$ .

19.

Załączony rysunek ukazuje przewód w kształcie pętli składającej się z dwóch koncentrycznych łuków okręgów oraz dwóch prostopadłych, ułożonych radialnie odcinków prostoliniowych. Wyznacz indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ .

20.

Znajdź indukcję pola magnetycznego w środku $C$ prostokątnej pętli przewodu przedstawionego na załączonym rysunku.

21.

Dwa długie przewody, z których jeden zaopatrzono w półkoliste wygięcie o promieniu $R$ , położone są jak na załączonym rysunku. Zakładając, że przez oba przewody płynie prąd o natężeniu $I$ , oblicz odległość ich prostoliniowych fragmentów, przy której indukcja pola magnetycznego w punkcie $P$ będzie zerowa. Rozstrzygnij, czy prąd w przewodzie prostoliniowym musi wówczas płynąć w górę, czy w dół rysunku.

12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem

22.

Typowa wartość natężenia prądu błyskawicy wynosi $10^{4} A$ . Oszacuj wartość indukcji pola magnetycznego w odległości $1 m$ od tej błyskawicy.

23.

Wartość indukcji pola magnetycznego w odległości $50 cm$ od długiego, cienkiego, prostoliniowego przewodu wynosi $8 µT$ . Jakie jest natężenie prądu płynącego przez przewód?

24.

Linia energetyczna rozpięta na wysokości $7 m$ nad ziemią przewodzi prąd o natężeniu $500 A$ . Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego linii mierzona na powierzchni gruntu dokładnie pod przewodami? Wynik porównaj z wartością indukcji pola magnetycznego Ziemi.

25.

Przez długi, prostoliniowy, poziomy przewód płynie ze strony lewej na prawą prąd o natężeniu $20 A$ . Zakładając, że przewód umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji równej $4 \cdot 10^{- 5} T$ , skierowanym pionowo w dół, wyznacz wypadkową indukcję pola w odległości $20 cm$ nad i pod przewodem.

26.

Przez dwa długie, równoległe przewody pokazane na załączonym rysunku płynie w tym samym kierunku prąd o różnych natężeniach. Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie $P$ , jeżeli $I_{1} = 10 A$ , a $I_{2} = 20 A$ ?

27.

Poniższy rysunek ukazuje dwa długie, prostoliniowe, wzajemnie równoległe, poziome przewody, odległe od siebie o $2 a$ . Przez oba przewody w tym samym kierunku płynie prąd o natężeniu $I$ . Jaka jest wartość i kierunek wektora indukcji pola magnetycznego

w punkcie $P_{1}$ ;
w punkcie $P_{2}$ ?

28.

Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania, zakładając przeciwny kierunek przepływu prądu w niższym przewodzie.

29.

Rozpatrz przestrzeń pomiędzy przewodami z poprzedniego zadania. W jakiej odległości od górnego przewodu wypadkowa wartość indukcji pola magnetycznego osiąga maksimum? Załóż, że prądy przepływają w przeciwnych kierunkach, a ich natężenia są jednakowe.

12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem

30.

Dane są dwa długie, prostoliniowe, równoległe przewody, odległe od siebie o $25 cm$ .

Wyznacz wartość siły magnetycznej, przypadającej na metr ich długości, zakładając, że przez oba przewody w tym samym kierunku płynie prąd o natężeniu $50 A$ ;
Czy przewody przyciągają się, czy odpychają?
Co się stanie, gdy prąd w tych przewodach popłynie w przeciwnych kierunkach?

31.

Dane są dwa długie, prostoliniowe, równoległe przewody – odległe od siebie o $10 cm$ . Przez pierwszy z nich płynie prąd o natężeniu $2 A$ , przez drugi – prąd o natężeniu $5 A$ .

Wyznacz wartość oraz kierunek siły przypadającej na jednostkę długości, jaką pierwszy przewód oddziałuje na drugi przewód;
Wyznacz wartość i kierunek siły, gdy prąd popłynie w tę samą stronę.

32.

Dwa długie, równoległe przewody zawieszono na linkach o długości $5 cm$ , jak pokazano na załączonym rysunku. Masa przypadająca na jednostkę ich długości wynosi $30 g ∕ m$ , a przez oba przewody – w przeciwnych kierunkach – płynie prąd o jednakowym natężeniu. Oblicz natężenia prądu, jeżeli kąty utworzone przez linki w punktach zawieszenia, mierzone względem pionu, wynoszą $6 °$ .

33.

Obwód elektryczny z prądem o natężeniu $I$ zawiera dwa długie, równoległe odcinki przewodów, w których prąd płynie w przeciwnych kierunkach. Znajdź pole magnetyczne w punkcie $P$ , odległym o $a$ od pierwszego przewodu i o $b$ od drugiego z nich – jak to wynika z rysunku.

34.

Przez nieskończony prostoliniowy przewód, przedstawiony na poniższym rysunku, przepływa prąd o natężeniu $I_{1}$ . W prostokątnej ramce, której dłuższe boki są równoległe do tego przewodu, płynie prąd o natężeniu $I_{2}$ . Określ wartość i kierunek siły działającej na ramkę – wywołanej polem magnetycznym przewodu.

12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem

35.

Indukcja pola magnetycznego w środku kołowej pętli, w której płynie prąd o natężeniu $6 A$ , wynosi $2 \cdot 10^{- 4} T$ . Oblicz promień pętli.

36.

Z ilu zwojów musi składać się płaska, kołowa cewka o promieniu $20 cm$ , aby przy zasilaniu jej prądem o natężeniu $0,85 A$ wartość indukcji pola magnetycznego w jej środku wynosiła $4 \cdot 10^{- 4} T$ ?

37.

Płaska, kołowa cewka składa się z 20 zwojów. Promień cewki wynosi $10 cm$ , a natężenie płynącego przez nią prądu jest równe $0,5 A$ . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w środku cewki.

38.

Przez kołową pętlę o promieniu $R$ płynie prąd o natężeniu $I$ . W którym punkcie osi pętli natężenie pola magnetycznego jest równe połowie wartości natężenia pola zmierzonej w środku osi?

39.

Dwie płaskie kołowe cewki – składające się z $N$ zwojów o promieniu $R$ – zostały zamontowane wzdłuż wspólnej osi w taki sposób, że są do siebie równoległe, a odległość między nimi wynosi $d$ . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie pośrodku tej osi, jeżeli przez każdą cewkę – w tym samym kierunku – płynie prąd o natężeniu $I$ .

40.

Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w środku którejkolwiek cewki z poprzedniego zadania.

12.5 Prawo Ampère’a

41.

Prąd o natężeniu $I$ płynie wokół prostokątnej ramki przedstawionej na załączonym rysunku. Oblicz wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ wzdłuż konturów $A$ , $B$ , $C$ oraz $D$ .

42.

Określ wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ w każdym z przypadków przedstawionych na załączonym rysunku.

43.

W cewce, której przekrój podłużny przedstawia załączony rysunek, płynie prąd o natężeniu $I$ . Cewka składa się z $N$ zwojów rozmieszczonych równomiernie na jej długości $l$ . Określ wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ w przypadkach konturów całkowania widocznych na rysunku.

44.

W nadprzewodzącym drucie o średnicy $0,25 cm$ płynie prąd o natężeniu $1000 A$ . Wyznacz indukcję pola magnetycznego w pobliżu tego drutu.

45.

W długim, prostoliniowym przewodzie o promieniu $R$ płynie prąd o natężeniu $I$ . Prąd jest równomiernie rozłożony w przekroju poprzecznym przewodu. W jakiej odległości od osi przewodu wartość indukcji pola magnetycznego będzie maksymalna?

46.

Załączony rysunek przedstawia przekrój poprzeczny długiego, wydrążonego, cylindrycznego przewodnika o promieniu wewnętrznym $r_{1} = 3 cm$ i promieniu zewnętrznym $r_{2} = 5 cm$ . Prąd o natężeniu $50 A$ , rozłożony równomiernie w przekroju poprzecznym przewodnika, płynie w stronę płaszczyzny rysunku. Oblicz indukcję pola magnetycznego w odległościach $r = 2 cm$ , $r = 4 cm$ oraz $r = 6 cm$ od osi przewodu.

47.

W długim, jednolitym, cylindrycznym przewodniku o promieniu $3 cm$ płynie prąd o natężeniu $50 A$ . Prąd rozłożony jest równomiernie w przekroju poprzecznym przewodnika. Narysuj wykres wartości indukcji pola magnetycznego w funkcji odległości radialnej $r$ od środka przewodnika.

48.

Poniższy rysunek przedstawia fragment długiego, cylindrycznego kabla koncentrycznego (ang. coaxial cable). Prąd o natężeniu $I$ wpływa do wewnętrznego przewodu kabla i wypływa jego zewnętrznym przewodem. Wyznacz indukcję pola magnetycznego w obszarach, w których

$r \leq r_1$ ;
$r_2 \geq r > r_1$ ;
$r_3 \geq r > r_2$ ;
$r > r_3$ .

12.6 Solenoidy i toroidy

49.

Liczba zwojów na metr długości solenoidu wynosi $2000$ . Zakładając, że w uzwojeniu solenoidu płynie prąd o natężeniu $5,2 A$ , oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w jego wnętrzu.

50.

Liczba zwojów solenoidu na centymetr jego długości wynosi 12. Jakie musi być natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu, aby w jego wnętrzu indukcja magnetyczna miała wartość $2 \cdot 10^{- 2} T$ ?

51.

Ile zwojów na centymetr długości należy nawinąć, aby tak wykonany solenoid wytwarzał w swoim wnętrzu pole magnetyczne o indukcji $2 \cdot 10^{- 3} T$ ? Przyjmij, że natężenie prądu w uzwojeniu wynosi $2 A$ .

52.

Solenoid pokazany na rysunku składa się z 500 zwojów, ma długość $40 cm$ i średnicę $3 cm$ . Zakładając, że w uzwojeniu solenoidu płynie prąd o natężeniu $4 A$ , wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie na jego osi, znajdującym się

w środku solenoidu;
w odległości $10 cm$ od jednego z jego końców;
w odległości $5 cm$ od jednego z jego końców.
Porównaj uzyskane wyniki z obliczeniami w przypadku solenoidu nieskończenie długiego.

53.

Wyznacz wartość indukcji magnetycznej w punkcie położonym na centralnej osi, na początku półnieskończonego solenoidu. Wskazówka: Przyjmij, że na początku solenoidu $x = 0$ , a w jego końcu $x \to \infty$ .

54.

Długość solenoidu wynosi $15 cm$ , a jego średnica $4 cm$ . Zakładając, że liczba zwojów solenoidu na metr długości wynosi $n$ , a natężenie płynącego w nim prądu jest równe $I$ , oszacuj błąd przybliżenia wartości indukcji w jego środku, określonego wzorem $B = μ_{0} n I$ .

55.

W solenoidzie, którego liczba zwojów na centymetr długości wynosi 25, płynie prąd o natężeniu $I$ . We wnętrzu solenoidu, prostopadle do jego osi, po okręgu o promieniu $2 cm$ porusza się elektron. Oblicz natężenie prądu $I$ , jeżeli prędkość elektronu wynosi $2 \cdot 10^{5} m ∕ s$ .

56.

W toroidzie o 250 zwojach płynie prąd o natężeniu $20 A$ . Wewnętrzny promień toroidu wynosi $8 cm$ , a jego zewnętrzny promień wynosi $9 cm$ . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego tego toroidu przy $r = 8,1 cm$ , $r = 8,5 cm$ i $r = 8,9 cm$ .

57.

Dany jest toroid o 500 zwojach i przekroju poprzecznym będącym kwadratem o boku $3 cm$ . Wewnętrzny promień toroidu wynosi $25 cm$ , a w jego uzwojeniu płynie prąd o natężeniu $2 A$ . Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku przekroju poprzecznego tego toroidu.

12.7 Magnetyzm materii

58.

Indukcja pola magnetycznego w rdzeniu wypełnionego powietrzem solenoidu wynosi $1,5 T$ . O ile zmaleje wartość tej indukcji po odpompowaniu powietrza z rdzenia przy niezmienionym natężeniu prądu w uzwojeniu solenoidu?

59.

Solenoid zawierający $n = 1000$ zwojów przypadających na metr długości, zasilany prądem o natężeniu $I = 5 A$ , wyposażony jest w ferromagnetyczny rdzeń. Jaka jest wartość podatności $χ$ materiału rdzenia, jeżeli indukcja magnetyczna $B$ we wnętrzu solenoidu wynosi $2 T$ ?

60.

Prąd o natężeniu $20 A$ płynie w solenoidzie zawierającym $2000$ zwojów na metr długości. Oblicz wartość indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu, jeżeli jego rdzeń

stanowi próżnia;
wypełniono ciekłym tlenem o temperaturze $90 K$ .

61.

Wartość dipolowego momentu magnetycznego atomu żelaza wynosi około $2,1 \cdot 10^{- 23} A m^{2}$ .

Oblicz maksymalną wartość magnetycznego momentu dipolowego domeny zawierającej $10^{19}$ atomów żelaza;
Jakie musi być natężenie prądu płynącego w pojedynczej kołowej pętli przewodu o średnicy $1 cm$ , aby wytworzyć moment dipolowy o takiej wartości?

62.

Załóżmy, że w toroidzie z rdzeniem stalowym, którego $χ = 4 \cdot 10^{3}$ , chcemy wytworzyć pole o indukcji magnetycznej równej $1,2 T$ . Średni promień toroidu wynosi $15 cm$ , a jego uzwojenie liczy 500 zwojów. Jakie jest wymagane natężenie prądu?

63.

Prąd o natężeniu $1,5 A$ płynie w uzwojeniu dużego, cienkiego solenoidu, nawiniętego z gęstością 200 zwojów na metr. Oblicz wartość indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu, jeżeli jest on wypełniony żelazem o $χ = 3 \cdot 10^{3}$ .

64.

Długość solenoidu z rdzeniem żelaznym wynosi $25 cm$ , a jego uzwojenie liczy 100 zwojów przewodu. Solenoid ten, zasilany prądem o natężeniu $10 A$ , wytwarza w swoim wnętrzu pole magnetyczne o wartości indukcji $2 T$ . Ile wynosi podatność magnetyczna żelaza przy takim natężeniu prądu? Czy indukcja magnetyczna wewnątrz rdzenia powróci do wartości $2 T$ , jeśli prąd zostanie wyłączony, a następnie osiągnie wartość równą $10 A$ ?