Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 212.4 Pole magnetyczne pętli z prądem

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • objaśniać wykorzystanie prawa Biota-Savarta do wyznaczenia pola magnetycznego prądu płynącego w przewodzie o kształcie okrągłej pętli – w dowolnym punkcie PP leżącym wzdłuż jej osi;
  • wyznaczać pole magnetyczne prądu płynącego przez przewód o kształcie łuku okręgu.

W przewodzie w kształcie okrągłej pętli o promieniu R R leżącym na płaszczyźnie x z x z płynie prąd o natężeniu I I (zob. Ilustracja 12.11). Wyznacz pole magnetyczne tego prądu w dowolnym punkcie P P leżącym na osi pętli.

Rysunek przedstawia okrągłą pętlę o promieniu R przewodzącą prąd l i leżącą w płaszczyźnie xz. Punkt P jest umieszczony ponad środkiem pętli. Theta jest kątem utworzonym przez wektor z pętli do punktu P i płaszczyznę pętli. Jest równy kątowi utworzonemu przez wektor dB z punktu P i osi y.
Ilustracja 12.11 Wyznaczanie pola magnetycznego w punkcie P P leżącym wzdłuż osi pętli z prądem.

W celu wyznaczenia pola magnetycznego możemy użyć prawa Biota-Savarta. Najpierw rozpatrzymy dowolne fragmenty przewodu położone po przeciwnych stronach pętli. W rezultacie – stosując rachunek wektorowy – wykażemy jakościowo, że kierunek wypadkowego pola magnetycznego tych fragmentów jest zgodny z kierunkiem osi przechodzącej przez środek pętli. Prawo Biota-Savarta zastosujemy do wyprowadzenia wyrażenia opisującego poszukiwane pole.

Niech punkt P P będzie odległy o y y od środka pętli. Stosując regułę prawej dłoni, stwierdzamy, że w punkcie P P przyczynek d B d B do indukcji pola magnetycznego – wytwarzany przez element prądu I d l I d l – nachylony jest do osi y y pod kątem θ θ, jak to wykazano na Ilustracji 12.11. Element I d l I d l jest równoległy do osi x x układu współrzędnych, a wektor r ̂ r ̂ leży na płaszczyźnie y z y z – oba wektory są zatem prostopadłe. Można w związku z tym przyjąć, że

d B = μ 0 4 π I d l sin θ r 2 = μ 0 4 π I d l y 2 + R 2 , d B = μ 0 4 π I d l sin θ r 2 = μ 0 4 π I d l y 2 + R 2 ,
12.13

ponieważ r 2 = y 2 + R 2 r 2 = y 2 + R 2 .

Rozpatrzmy teraz przyczynek d B d B , wytwarzany przez element prądu I d l I d l , położony na pętli – dokładnie naprzeciw elementu I d l I d l . Wartość przyczynku d B d B jest także dana Równaniem 12.13, ale wektor ten – nachylony również pod kątem θ θ – znajduje się tym razem pod osią y y układu współrzędnych. Składowe wektorów d B d B i d B d B prostopadłe do osi y y znoszą się więc wzajemnie, a do obliczenia wypadkowego pola magnetycznego wystarczy jedynie uwzględnić ich składowe zgodne z kierunkiem osi y y. Uogólniając, możemy przyjąć, że składowe przyczynków prostopadłe do osi pętli znoszą się parami. W punkcie P P mamy zatem

B = d B cos θ j ̂ = μ 0 I 4 π cos θ d l y 2 + R 2 j ̂ . B = d B cos θ j ̂ = μ 0 I 4 π cos θ d l y 2 + R 2 j ̂ .
12.14

Zauważmy teraz, że w przypadku wszystkich elementów I d l I d l rozpatrywanej pętli współrzędna y y, promień R R oraz wartość funkcji cos θ cosθ pozostają stałe, przy czym

cos θ = R y 2 + R 2 . cos θ = R y 2 + R 2 .

Podstawiając przytoczoną zależność do Równania 12.14, stwierdzamy, że poszukiwana indukcja pola magnetycznego w punkcie P P wynosi

B = μ 0 I R 4 π y 2 + R 2 3 2 d l j ̂ = μ 0 I R 2 2 y 2 + R 2 3 2 j ̂ B = μ 0 I R 4 π y 2 + R 2 3 2 d l j ̂ = μ 0 I R 2 2 y 2 + R 2 3 2 j ̂
12.15

(w obliczeniach wykorzystaliśmy, że d l = 2 π R d l = 2 π R ). Jak stwierdziliśmy w poprzednim rozdziale, zamknięta pętla z prądem tworzy dipol magnetyczny o momencie magnetycznym (ang. magnetic moment) μ = I A n ̂ μ = I A n ̂ . W rozpatrywanym przypadku A = π R 2 A= π R 2 oraz n ̂ = j ̂ n ̂ = j ̂ ; powyższe wyrażenie możemy więc zapisać w postaci

B = μ 0 μ 2 π y 2 + R 2 3 2 j ̂ . B = μ 0 μ 2 π y 2 + R 2 3 2 j ̂ . \vec{B} = \frac{\mu_0 \mu}{2\pi (y^2 + R^2)^{3/2}} \hat{j} \text{.}
12.16

Podstawiając w Równaniu 12.16 y = 0 y=0, obliczamy indukcję pola magnetycznego w środku pętli

B = μ 0 I 2 R j ̂ . B = μ 0 I 2 R j ̂ .
12.17

Na podstawie tego równania, w przypadku płaskiej cewki o n n zwojach przypadających na jednostkę długości, stwierdzamy że

B = μ 0 n 2 π R 3 μ . B = μ 0 n 2 π R 3 μ . \vec{B} = \frac{\mu_0 n}{2\pi R^3} \vec{\mu} \text{.}
12.18

Zauważmy teraz, że gdy y R yR, Równanie 12.16 upraszcza się do postaci reprezentującej pole magnetyczne dipola

B = μ 0 2 π y 3 μ . B = μ 0 2 π y 3 μ . \vec{B} = \frac{\mu_0}{2\pi y^3} \vec{\mu} \text{.}
12.19

Obliczenie indukcji pola magnetycznego kołowej pętli z prądem w punktach nie leżących na jej osi wymaga przeprowadzenia dość skomplikowanych rachunków. Nie będziemy ich zatem tutaj przytaczać, przedstawiając jedynie stosowne wyniki. Kształt linii pola magnetycznego przedstawia Ilustracja 12.12. Zauważmy, że jedna z tych linii pokrywa się z osią pętli; jest to linia, którą właśnie wyznaczyliśmy. Zwróćmy też uwagę, że w pobliżu pętli pola są prawie kołowe – podobnie jak linie pola długiego, prostoliniowego przewodu.

Rysunek przedstawia linie sił pola magnetycznego kołowej pętli z prądem. Jedna linia pola podąża po osi pętli. Bardzo blisko przewodu, linie pola są prawie kołowe, jakby były liniami długiego prostego przewodu.
Ilustracja 12.12 Szkic linii pola magnetycznego kołowej pętli z prądem.

Przykład 12.5

Pole magnetyczne pomiędzy dwiema pętlami

Przez każdą z dwóch kołowych pętli przepływa prąd o natężeniu 10 mA 10mA, przy czym kierunki tego prądu są przeciwne, jak przedstawiono na Ilustracji 12.13. Promień pierwszej pętli R = 50 cm R= 50 cm , a promień drugiej 2 R = 100 cm 2 R = 100 cm . Wyznacz wartość indukcji wypadkowego pola magnetycznego w punkcie P P, jeżeli jest on odległy o 0,25 cm 0,25cm od płaszczyzny pierwszej pętli i o 0,75 cm 0,75cm od płaszczyzny drugiej z nich.
Rysunek przedstawia dwie pętle o promieniach R i 2R z tym samym prądem ale płynącym w przeciwstawnych kierunkach. Punkt P jest umieszczony pomiędzy środkami obu pętli, w odległości 0,25 metra ze środka mniejszej pętli i 0,75 metra ze środka większej pętli.
Ilustracja 12.13 Przez dwie pętle o różnych promieniach płynie w przeciwnych kierunkach prąd o tym samym natężeniu. Indukcja wypadkowego pola magnetycznego w punkcie P P jest zerowa.

Strategia rozwiązania

Indukcję pola magnetycznego w punkcie P P opisuje Równanie 12.15. Ponieważ prąd w cewkach płynie w przeciwnych kierunkach, wypadkowe pole magnetyczne będzie różnicą pól wytwarzanych przez każdą z nich. Poszukiwaną indukcję wyznaczymy, podstawiając do stosownego wzoru wartości określone w treści zadania.

Rozwiązanie

Wypadkową indukcję pola magnetycznego w zadanym punkcie wyznaczamy, wykorzystując Równanie 12.15. Do wyrażenia reprezentującego różnicę wartości indukcji magnetycznej podstawiamy następnie dane liczbowe występujące w zadaniu. W rezultacie możemy napisać, że
B = μ 0 I R 1 2 2 y 1 2 + R 1 2 3 2 μ 0 I R 2 2 2 y 2 2 + R 2 2 3 2 B = 4 π 10 -7 T m A 0,01 A 0,5 m 2 2 0,25 m 2 + 0,5 m 2 3 2 4 π 10 -7 T m A 0,01 A 1 m 2 2 0,75 m 2 + 1 m 2 3 2 B = 5,77 10 -9 T , wektor zwrócony w prawo. B = μ 0 I R 1 2 2 y 1 2 + R 1 2 3 2 μ 0 I R 2 2 2 y 2 2 + R 2 2 3 2 B = 4 π 10 -7 T m A 0,01 A 0,5 m 2 2 0,25 m 2 + 0,5 m 2 3 2 4 π 10 -7 T m A 0,01 A 1 m 2 2 0,75 m 2 + 1 m 2 3 2 B = 5,77 10 -9 T , wektor zwrócony w prawo. \begin{multiline} B &= \frac{\mu_0 I R_1^2}{2(y_1^2 + R_1^2)^{3/2}} - \frac{\mu_0 I R_2^2}{2(y_2^2 + R_2^2)^{3/2}} \\ &= \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{0,01}{\ampere} \cdot (\SI{0,5}{\metre})^2}{2[(\SI{0,25}{\metre})^2 + (\SI{0,5}{\metre})^2]^{3/2}} - \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{0,01}{\ampere} \cdot (\SI{1}{\metre})^2}{2[(\SI{0,75}{\metre})^2 + (\SI{1}{\metre})^2]^{3/2}} \\ &= \SI{5,77e-9}{\tesla} \text{, wektor zwrócony w prawo.} \end{multiline} B = μ 0 I R 1 2 2 y 1 2 + R 1 2 3 2 μ 0 I R 2 2 2 y 2 2 + R 2 2 3 2 = 4 π 10 -7 T m A 0,01 A 0,5 m 2 2 0,25 m 2 + 0,5 m 2 3 2 4 π 10 -7 T m A 0,01 A 1 m 2 2 0,75 m 2 + 1 m 2 3 2 = 5,77 10 -9 T , wektor zwrócony w prawo.

Znaczenie

Typowe cewki Helmholtza składają się z pętli o jednakowych promieniach, które zasilane są prądem płynącym w tym samym kierunku. W związku z tym w punkcie pośrodku odległości między cewkami otrzymuje się silne, jednorodne pole magnetyczne. Pole magnetyczne o rozkładzie wytwarzanym przez cewki Helmholtza stosuje się także w tzw. pułapkach (butelkach) magnetycznych, służących do czasowego utrzymywania – w zadanym obszarze – naładowanych cząstek, o czym mówimy szerzej w rozdziale Siły i pola magnetyczne.

Sprawdź, czy rozumiesz 12.5

W jakiej odległości od punktu P P powinna znaleźć się pierwsza z pętli z poprzedniego zadania, aby wartość indukcji wypadkowego pola magnetycznego mierzona w tym punkcie była zerowa?

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.