12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem

W przewodzie w kształcie okrągłej pętli o promieniu $R$ leżącym na płaszczyźnie $x⁣z$ płynie prąd o natężeniu $I$ (zob. Ilustracja 12.11). Wyznacz pole magnetyczne tego prądu w dowolnym punkcie $P$ leżącym na osi pętli.

Ilustracja 12.11 Wyznaczanie pola magnetycznego w punkcie $P$ leżącym wzdłuż osi pętli z prądem.

W celu wyznaczenia pola magnetycznego możemy użyć prawa Biota-Savarta. Najpierw rozpatrzymy dowolne fragmenty przewodu położone po przeciwnych stronach pętli. W rezultacie – stosując rachunek wektorowy – wykażemy jakościowo, że kierunek wypadkowego pola magnetycznego tych fragmentów jest zgodny z kierunkiem osi przechodzącej przez środek pętli. Prawo Biota-Savarta zastosujemy do wyprowadzenia wyrażenia opisującego poszukiwane pole.

Niech punkt $P$ będzie odległy o $y$ od środka pętli. Stosując regułę prawej dłoni, stwierdzamy, że w punkcie $P$ przyczynek $d\overrightarrow{B}$ do indukcji pola magnetycznego – wytwarzany przez element prądu $Id\overrightarrow{l}$ – nachylony jest do osi $y$ pod kątem $\theta$, jak to wykazano na Ilustracji 12.11. Element $Id\overrightarrow{l}$ jest równoległy do osi $x$ układu współrzędnych, a wektor $\hat{r}$ leży na płaszczyźnie $y⁣z$ – oba wektory są zatem prostopadłe. Można w związku z tym przyjąć, że

ponieważ $r^2=y^2+R^2$.

Rozpatrzmy teraz przyczynek $d{\overrightarrow{B}}^{\prime }$, wytwarzany przez element prądu $Id{\overrightarrow{l}}^{\prime }$, położony na pętli – dokładnie naprzeciw elementu $Id\overrightarrow{l}$. Wartość przyczynku $d{\overrightarrow{B}}^{\prime }$ jest także dana Równaniem 12.13, ale wektor ten – nachylony również pod kątem $\theta$ – znajduje się tym razem pod osią $y$ układu współrzędnych. Składowe wektorów $d\overrightarrow{B}$ i $d{\overrightarrow{B}}^{\prime }$prostopadłe do osi $y$ znoszą się więc wzajemnie, a do obliczenia wypadkowego pola magnetycznego wystarczy jedynie uwzględnić ich składowe zgodne z kierunkiem osi $y$. Uogólniając, możemy przyjąć, że składowe przyczynków prostopadłe do osi pętli znoszą się parami. W punkcie $P$ mamy zatem

Zauważmy teraz, że w przypadku wszystkich elementów $Id\overrightarrow{l}$ rozpatrywanej pętli współrzędna $y$, promień $R$ oraz wartość funkcji $cos\theta$ pozostają stałe, przy czym

Podstawiając przytoczoną zależność do Równania 12.14, stwierdzamy, że poszukiwana indukcja pola magnetycznego w punkcie $P$ wynosi

(w obliczeniach wykorzystaliśmy, że $\int dl=2\pi R$). Jak stwierdziliśmy w poprzednim rozdziale, zamknięta pętla z prądem tworzy dipol magnetyczny o momencie magnetycznym (ang. magnetic moment) $\overrightarrow{\mu }=IA\hat{n}$. W rozpatrywanym przypadku $A=\pi R^2$ oraz $\hat{n}=\hat{j}$; powyższe wyrażenie możemy więc zapisać w postaci

Podstawiając w Równaniu 12.16 $y=0$, obliczamy indukcję pola magnetycznego w środku pętli

Na podstawie tego równania, w przypadku płaskiej cewki o $n$ zwojach przypadających na jednostkę długości, stwierdzamy że

Zauważmy teraz, że gdy $y\gg R$, Równanie 12.16 upraszcza się do postaci reprezentującej pole magnetyczne dipola

Obliczenie indukcji pola magnetycznego kołowej pętli z prądem w punktach nie leżących na jej osi wymaga przeprowadzenia dość skomplikowanych rachunków. Nie będziemy ich zatem tutaj przytaczać, przedstawiając jedynie stosowne wyniki. Kształt linii pola magnetycznego przedstawia Ilustracja 12.12. Zauważmy, że jedna z tych linii pokrywa się z osią pętli; jest to linia, którą właśnie wyznaczyliśmy. Zwróćmy też uwagę, że w pobliżu pętli pola są prawie kołowe – podobnie jak linie pola długiego, prostoliniowego przewodu.

Ilustracja 12.12 Szkic linii pola magnetycznego kołowej pętli z prądem.

Przykład 12.5

Pole magnetyczne pomiędzy dwiema pętlami

Przez każdą z dwóch kołowych pętli przepływa prąd o natężeniu $10\mathrm{mA}$, przy czym kierunki tego prądu są przeciwne, jak przedstawiono na Ilustracji 12.13. Promień pierwszej pętli $R=50\mathrm{cm}$, a promień drugiej $2R=100\mathrm{cm}$. Wyznacz wartość indukcji wypadkowego pola magnetycznego w punkcie $P$, jeżeli jest on odległy o $\mathrm{0,25}\mathrm{cm}$ od płaszczyzny pierwszej pętli i o $\mathrm{0,75}\mathrm{cm}$ od płaszczyzny drugiej z nich.

Ilustracja 12.13 Przez dwie pętle o różnych promieniach płynie w przeciwnych kierunkach prąd o tym samym natężeniu. Indukcja wypadkowego pola magnetycznego w punkcie $P$ jest zerowa.

Strategia rozwiązania

Indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ opisuje Równanie 12.15. Ponieważ prąd w cewkach płynie w przeciwnych kierunkach, wypadkowe pole magnetyczne będzie różnicą pól wytwarzanych przez każdą z nich. Poszukiwaną indukcję wyznaczymy, podstawiając do stosownego wzoru wartości określone w treści zadania.

Rozwiązanie

Wypadkową indukcję pola magnetycznego w zadanym punkcie wyznaczamy, wykorzystując Równanie 12.15. Do wyrażenia reprezentującego różnicę wartości indukcji magnetycznej podstawiamy następnie dane liczbowe występujące w zadaniu. W rezultacie możemy napisać, że

Znaczenie

Typowe cewki Helmholtza składają się z pętli o jednakowych promieniach, które zasilane są prądem płynącym w tym samym kierunku. W związku z tym w punkcie pośrodku odległości między cewkami otrzymuje się silne, jednorodne pole magnetyczne. Pole magnetyczne o rozkładzie wytwarzanym przez cewki Helmholtza stosuje się także w tzw. pułapkach (butelkach) magnetycznych, służących do czasowego utrzymywania – w zadanym obszarze – naładowanych cząstek, o czym mówimy szerzej w rozdziale Siły i pola magnetyczne.