12.5 Prawo Ampère’a

Zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego przewodu z prądem

Zastosujemy prawo Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego wytwarzanego przez nieskończenie długi, cienki i prostoliniowy przewód, w którym płynie prąd o niezmiennym w czasie natężeniu $I$ (zob. Ilustracja 12.15).

Strategia rozwiązania

Rozpatrzmy dowolną płaszczyznę prostopadłą do przewodu z prądem płynącym od płaszczyzny rysunku. Jak pokazano na Ilustracji 12.15, na płaszczyźnie, w dowolnym punkcie okręgu o promieniu $r$, w którego środku znajduje się przewód, wektor indukcji pola magnetycznego można rozłożyć na składowe ${\overrightarrow{B}}_r$ i ${\overrightarrow{B}}_{\theta }$. Ponieważ pole magnetyczne ma symetrię walcową względem przewodu, wartości $B_r$ i $B_{\theta }$ są takie same w każdym punkcie okręgu. Z symetrii tego pola wynika również, że radialne linie pola – jeśli istnieją – muszą być zwrócone do przewodu lub od przewodu. W tym przypadku składowa radialna wektora indukcji jest równa zero, zatem również ${\overrightarrow{B}}_r\cdot d\overrightarrow{l}=0$. Możemy więc zastosować do obliczeń prawo Ampère’a – obierając kontur całkowania w postaci okręgu, przedstawionego na Ilustracji 12.15.

Rozwiązanie

Wzdłuż obranego konturu całkowania wektor $\overrightarrow{B}$ jest stały i równoległy do elementu $d\overrightarrow{l}$. Możemy więc zapisać, że

Prawo Ampère’a redukuje się zatem do postaci

Ostatecznie – ponieważ $B_{\theta }$ jest jedyną składową wektora indukcji $\overrightarrow{B}$ – możemy w powyższym wyrażeniu pominąć indeks dolny, otrzymując

Wynik ten zgadza się z uzyskanym wcześniej na podstawie prawa Biota-Savarta.

Znaczenie

Prawo Ampère’a sprawdza się, gdy znajdziemy taki kontur całkowania, wzdłuż którego wynik iloczynu skalarnego $\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}$ można łatwo uprościć, np. gdy kąt między wektorami jest stały (najlepiej równy 0 lub 90 stopni). Prawo to bez trudności zastosujemy w przypadku nieskończenie długiego przewodu, obierając kontur całkowania w kształcie okręgu obiegającego przewód. Stałą indukcję pola magnetycznego można wówczas wyłączyć przed symbol całki.

Zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego przewodu z prądem

Ilustracja 12.16 przedstawia długi, prostoliniowy przewód o promieniu $a$, przez którego przekrój poprzeczny płynie – równomiernie rozłożony – prąd o natężeniu $I_0$. Znajdź indukcję pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz tego przewodu.

Strategia rozwiązania

Ilustracja 12.16 przedstawia geometrię zagadnienia. Zauważmy jednak, że natężenie prądu objętego konturem całkowania zależy od tego, czy kontur ten znajduje się na zewnątrz, czy wewnątrz przewodu. W drugim przypadku kontur całkowania nie obejmuje całego przekroju poprzecznego przewodu, przez który płynie prąd.

Rozwiązanie

W przypadku dowolnego kołowego konturu o promieniu $r$, współśrodkowego z przewodem

Na podstawie prawa Ampère’a powyższa całka równa jest całkowitemu natężeniu prądu płynącego przez dowolną powierzchnię ograniczoną konturem całkowania.

Rozpatrzmy najpierw kołowy kontur całkowania, położony wewnątrz przewodu ($r\le a$) – jak przedstawia część (a) Ilustracji 12.16. Stosując prawo Ampère’a, musimy wyznaczyć natężenie $I$ prądu płynącego przez powierzchnię przekroju poprzecznego przewodu ograniczoną konturem całkowania. Natężenie $I$ równe jest gęstości prądu $J$ pomnożonej przez wartość powierzchni przekroju poprzecznego przewodu wewnątrz konturu. Ponieważ prąd jest równomiernie rozłożony w przewodzie, jego gęstość wewnątrz konturu całkowania równa jest gęstości prądu w całym przekroju przewodu, wynoszącej $I_0∕\pi a^2$. Tak więc natężenie prądu $I$ płynącego przez przekrój ograniczony konturem całkowania dane jest wzorem

Możemy wykorzystać powyższy iloraz w dalszych rozważaniach, ponieważ w naszym zadaniu gęstość prądu $J$ jest stała na całej powierzchni przekroju poprzecznego przewodu. Zatem gęstość prądu w części przekroju przewodu objętej konturem całkowania jest równa gęstości prądu w jego całkowitym przekroju. Z prawa Ampère’a otrzymujemy

Z podanego wzoru wynika, że wewnątrz przewodu wartość indukcji pola magnetycznego wynosi

Na zewnątrz przewodu indukcję pola magnetycznego opisuje wyrażenie

Zauważmy, że wyrażenie to jest tożsame z zależnością, którą otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie, obliczając pole magnetyczne nieskończonego, cienkiego przewodu.

Wykres wartości indukcji pola magnetycznego w funkcji odległości od osi przewodu przedstawia Ilustracja 12.17.

Znaczenie

Otrzymane wyniki wskazują, że wewnątrz grubego przewodu indukcja pola magnetycznego rośnie proporcjonalnie do odległości od środka jego przekroju poprzecznego. Indukcja przyjmuje wartości od zera do wartości $B={\mu }_0{I}_0∕\left(2\pi r\right)$, znanej z przypadku pola magnetycznego cienkiego przewodu. Na zewnątrz przewodu obserwujemy spadek wartości indukcji – niezależnie od tego, czy przewód jest gruby, czy cienki.

Podobny rezultat otrzymamy, stosując prawo Gaussa do obszaru o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego. Zauważmy jednak, że prawo Gaussa dotyczy jednorodnego rozkładu ładunku, a w omawianym przypadku prawo Ampère’a odnosi się do obszaru o jednorodnym rozkładzie gęstości prądu elektrycznego. W konsekwencji spadek wartości indukcji pola magnetycznego na zewnątrz grubego przewodu podobny jest do spadku natężenia pola elektrycznego na zewnątrz liniowo rozłożonego ładunku. Oba przypadki charakteryzują się bowiem tą samą geometrią i są niezależne od rozkładu ładunku lub prądu elektrycznego – o ile odpowiednie ładunki lub prądy znajdują się wewnątrz konturu całkowania.

Wykorzystanie prawa Ampère’a z dowolnymi konturami całkowania

Zastosuj prawo Ampère’a do obliczenia całki w układach prądu i konturów całkowania przedstawionych na Ilustracji 12.18.

Strategia rozwiązania

Prawo Ampère’a stanowi, że $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_{0}I$, gdzie $I$ jest całkowitym natężeniem prądu przepływającego przez zamknięty kontur. Najszybszym sposobem określenia wartości całki jest obliczenie iloczynu ${\mu }_{0}I$ poprzez ustalenie wypadkowego natężenia prądu przepływającego przez kontur całkowania. Znaki każdego prądu określimy, układając prawą dłoń wzdłuż konturu tak, aby palce wskazywały kierunek całkowania. Prąd będziemy uważali za dodatni, jeżeli będzie on przepływał w kierunku wskazanym przez wyciągnięty kciuk.

1. Suma natężeń prądu przepływającego przez kontur ku dołowi ($2\mathrm{A}+5\mathrm{A}$) równa się sumie natężeń prądu przepływającego przez kontur ku górze ($3\mathrm{A}+4\mathrm{A}$). Wypadkowe natężenie prądu jest zatem równe zero, a więc
   $$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=0\mathrm{T}\mathrm{m}\text{.}$$
2. Jedynym prądem, który musimy wziąć pod uwagę, jest ten o natężeniu $2\mathrm{A}$, ponieważ jest to jedyny prąd przepływający przez kontur całkowania. Prąd ten przepływa ku dołowi, a więc na podstawie reguły prawej dłoni przypisujemy mu dodatnią wartość (znak plus). Otrzymujemy zatem
   $$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}\cdot 2\mathrm{A}=\mathrm{2,51}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}\text{.}$$
3. Na podstawie reguły prawej dłoni stwierdzamy, że kierunki prądu przepływającego przez kontur ku dołowi są dodatnie. Suma natężeń prądu płynącego ku dołowi wynosi $7\mathrm{A}+5\mathrm{A}=12\mathrm{A}$, a natężenie prądu płynącego ku górze wynosi $-3\mathrm{A}$. W rezultacie całkowite natężenie prądu wynosi $9\mathrm{A}$, a tym samym
   $$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}\cdot 9\mathrm{A}=\mathrm{5,65}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}\text{.}$$

Znaczenie

Jeżeli przewody z prądem skręcimy ze sobą tak, że natężenia prądu płynącego do danego konturu całkowania będą równe natężeniom prądu wypływającego z tego konturu – wypadkowe natężenie tychże prądów będzie zerowe. Wokół przewodów nie powstanie zatem pole magnetyczne. Z tego względu przewody tworzące kabel elektryczny położone są blisko siebie. Wówczas prąd płynący do podłączonego urządzenia i z niego wypływający znoszą się i wypadkowe natężenie wewnątrz konturu Ampère’a rozpiętego wokół tych przewodów jest zerowe. W związku z powyższym przewody z prądem w tymże kablu nie będą wytwarzały rozproszonego (zakłócającego) pola magnetycznego.