Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • w jaki sposób prawo Ampère’a wiąże indukcję pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd elektryczny, z wartością natężenia tego prądu;
  • jak wykorzystać prawo Ampère’a do obliczenia indukcji pola magnetycznego cienkiego bądź grubego, długiego przewodu prostoliniowego.

Podstawową własnością statycznego pola magnetycznego jest to, że – w przeciwieństwie do pola elektrostatycznego – nie jest ono zachowawcze. Przypomnijmy: w polu zachowawczym praca wykonywana podczas przemieszczania cząstki nie zależy od toru, po którym cząstka się porusza, a jedynie od jej początkowego i końcowego położenia. Pola magnetycznego prawidłowość ta nie dotyczy; istnieje natomiast zależność między indukcją magnetyczną a natężeniem prądu, który to pole wytwarza. Zależność ta, wyrażona za pomocą całki krzywoliniowej wektora indukcji B B , znana jest jako prawo Ampère’a (ang. Ampère’s law). Co więcej, z prawa Ampere'a wynika wspomniane wcześniej prawo Biota-Savarta. Na poniższym przykładzie przedstawiamy zależność między nimi.

Ilustracja 12.14 przedstawia dowolną płaszczyznę prostopadłą do nieskończonego prostoliniowego przewodu, w którym – w kierunku od tej płaszczyzny – płynie prąd o natężeniu I I. Linie pola magnetycznego są koncentrycznymi okręgami, w środku których znajduje się przewód, i zwrócone są one w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na wstępie rozpatrzmy całkę B d l B d l , obliczaną wzdłuż zamkniętych konturów M M i N N. Zauważmy, że kontur M M obejmuje przewód z prądem, podczas gdy kontur N N tego przewodu nie obejmuje. Ponieważ linie pola magnetycznego są okręgami, iloczyn skalarny B d l B d l można zastąpić iloczynem wartości indukcji B B i długości rzutu I I na okrąg przechodzący przez element d l d l . Jeżeli promień tego szczególnego okręgu jest równy r r, długość rzutu wynosi r d θ r d θ . Możemy więc zapisać, że

B d l = B r d θ . B d l = B r d θ .
Rysunki A i B przedstawiają dowolnie wybraną płaszczyznę prostopadłą do nieskończoności, prosty przewód w którym prąd l jest skierowany poza płaszczyznę. Linie pola magnetycznego są okręgami skierowanymi przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara i skupione na przewodzie. Ścieżka natężenia M przedstawiona na rysunku A otacza przewód. Ścieżka natężenia N pokazana na rysunku B nie otacza przewodu.
Ilustracja 12.14 Prąd o natężeniu I I płynie w długim, prostoliniowym przewodzie, w kierunku od płaszczyzny rysunku. Całka d θ d θ wynosi 2 π 2 π w przypadku konturu M M ; w przypadku całkowania po konturze N N jej wartość wynosi zero.

Podstawiając za B B wyrażenie Równanie 12.9, otrzymujemy

B d l = μ 0 I 2 π r r d θ = μ 0 I 2 π d θ . B d l = μ 0 I 2 π r r d θ = μ 0 I 2 π d θ .
12.20

Zauważmy teraz, że całkowanie po konturze M M, który okrąża przewód z prądem, daje wynik: M d θ = 2 π M d θ = 2 π . Zatem

M B d l = μ 0 I . M B d l = μ 0 I .
12.21

Z kolei kontur N N przebiega zarówno przez dodatnie (zakreślane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), jak i ujemne (zakreślane zgodnie z ruchem wskazówek zegara) elementy d θ dθ – patrz Ilustracja 12.14. Ponieważ kontur ten jest zamknięty, N d θ = 0 N d θ =0. Oznacza to, że w przypadku konturu N N

N B d l = 0 . N B d l = 0 .
12.22

Prawo Ampère’a otrzymujemy, uogólniając powyższe wyniki.

Prawo Ampère’a

W przypadku dowolnego zamkniętego konturu rozpiętego na płaszczyźnie przecinanej przez przewód z prądem o natężeniu I I

B d l = μ 0 I . B d l = μ 0 I .
12.23

W powyższym wzorze I I jest całkowitym natężeniem prądu, przecinającym dowolną otwartą powierzchnię S S ograniczoną konturem całkowania. W obliczeniach uwzględniamy zatem jedynie prąd obejmowany przez ten kontur.

W celu określenia znaku danego prądu I I układamy palce prawej dłoni wzdłuż konturu tak, aby wskazywały one kierunek całkowania (zob. Ilustracja 12.14). Jeśli prąd przecina powierzchnię S S w kierunku wskazanym przez wyciągnięty kciuk, przypisujemy mu znak „plus”. Gdy prąd płynie w kierunku przeciwnym, przypisujemy mu znak „minus”.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązania – stosowanie prawa Ampère’a

Aby obliczyć indukcję pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd płynący w przewodzie lub przewodach, wykonaj następujące kroki:

  1. Określ symetrię prądu w przewodzie lub przewodach. W przypadku jej braku zastosuj prawo Biota-Savarta.
  2. Na podstawie drugiego wariantu reguły prawej dłoni wyznacz kierunek pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód (przewody).
  3. Wybierz zamknięty kontur całkowania w taki sposób, aby w każdym jego punkcie wartość indukcji pola magnetycznego była stała bądź równa zero.
  4. Wyznacz wypadkowe natężenie prądu I wyp I wyp objętego konturem.
  5. Oblicz całkę krzywoliniową B d l B d l wzdłuż zamkniętego konturu.
  6. Przyrównaj całkę B d l B d l do iloczynu μ 0 I wyp μ 0 I wyp , a otrzymane równanie rozwiąż względem B B .

Przykład 12.6

Zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego przewodu z prądem

Zastosujemy prawo Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego wytwarzanego przez nieskończenie długi, cienki i prostoliniowy przewód, w którym płynie prąd o niezmiennym w czasie natężeniu I I (zob. Ilustracja 12.15).
Rysunek przedstawia nieskończenie długi, cienki, prosty przewód z prądem skierowanym na zewnątrz strony. Pokazane są możliwe składniki pola magnetycznego w tej płaszczyźnie, BR i BTheta, w dowolnie wyznaczonych punktach okręgu o promieniu r wychodzącego ze środka przewodu.
Ilustracja 12.15 Składowe, na które można rozłożyć wektor indukcji pola magnetycznego B B wytwarzanego przez prąd o natężeniu I I – płynący od płaszczyzny rysunku. Składowe radialne są równe zero w każdym punkcie linii pola, ponieważ wektor indukcji pola magnetycznego jest styczny do linii.

Strategia rozwiązania

Rozpatrzmy dowolną płaszczyznę prostopadłą do przewodu z prądem płynącym od płaszczyzny rysunku. Jak pokazano na Ilustracji 12.15, na płaszczyźnie, w dowolnym punkcie okręgu o promieniu r r, w którego środku znajduje się przewód, wektor indukcji pola magnetycznego można rozłożyć na składowe BrBr \vec{B}_r i BθBθ \vec{B}_{\theta}. Ponieważ pole magnetyczne ma symetrię walcową względem przewodu, wartości B r B r i B θ B θ są takie same w każdym punkcie okręgu. Z symetrii tego pola wynika również, że radialne linie pola – jeśli istnieją – muszą być zwrócone do przewodu lub od przewodu. W tym przypadku składowa radialna wektora indukcji jest równa zero, zatem również B r d l = 0 B r d l =0. Możemy więc zastosować do obliczeń prawo Ampère’a – obierając kontur całkowania w postaci okręgu, przedstawionego na Ilustracji 12.15.

Rozwiązanie

Wzdłuż obranego konturu całkowania wektor B B jest stały i równoległy do elementu d l d l . Możemy więc zapisać, że
B d l = B θ d l = B θ 2 π r . B d l = B θ d l = B θ 2 π r .

Prawo Ampère’a redukuje się zatem do postaci

B θ 2 π r = μ 0 I . B θ 2 π r = μ 0 I .

Ostatecznie – ponieważ B θ B θ jest jedyną składową wektora indukcji B B – możemy w powyższym wyrażeniu pominąć indeks dolny, otrzymując

B = μ 0 I 2 π r . B= μ 0 I 2 π r .

Wynik ten zgadza się z uzyskanym wcześniej na podstawie prawa Biota-Savarta.

Znaczenie

Prawo Ampère’a sprawdza się, gdy znajdziemy taki kontur całkowania, wzdłuż którego wynik iloczynu skalarnego B d l B d l można łatwo uprościć, np. gdy kąt między wektorami jest stały (najlepiej równy 0 lub 90 stopni). Prawo to bez trudności zastosujemy w przypadku nieskończenie długiego przewodu, obierając kontur całkowania w kształcie okręgu obiegającego przewód. Stałą indukcję pola magnetycznego można wówczas wyłączyć przed symbol całki.

Przykład 12.7

Zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego przewodu z prądem

Ilustracja 12.16 przedstawia długi, prostoliniowy przewód o promieniu a a, przez którego przekrój poprzeczny płynie – równomiernie rozłożony – prąd o natężeniu I 0 I 0 . Znajdź indukcję pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz tego przewodu.
Rysunek A przedstawia długi prosty przewód o promieniu a z przechodzącym prądem l. Rysunek b pokazuje przekrój tego samego przewodu z pętlą Ampera o promieniu r.
Ilustracja 12.16 (a) Widok przewodu o promieniu a a , w którym płynie prąd o natężeniu I 0 I 0 . (b) Przekrój poprzeczny tego samego przewodu z zaznaczonym promieniem a a oraz konturem Ampère’a o promieniu r r .

Strategia rozwiązania

Ilustracja 12.16 przedstawia geometrię zagadnienia. Zauważmy jednak, że natężenie prądu objętego konturem całkowania zależy od tego, czy kontur ten znajduje się na zewnątrz, czy wewnątrz przewodu. W drugim przypadku kontur całkowania nie obejmuje całego przekroju poprzecznego przewodu, przez który płynie prąd.

Rozwiązanie

W przypadku dowolnego kołowego konturu o promieniu r r, współśrodkowego z przewodem
Bdl=Bdlcos0°=Bdl=B2πr.Bdl=Bdlcos0°=Bdl=B2πr. \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = \oint B \d l \cos \ang{0} = B \oint \d l = B \cdot 2\pi r \text{.}

Na podstawie prawa Ampère’a powyższa całka równa jest całkowitemu natężeniu prądu płynącego przez dowolną powierzchnię ograniczoną konturem całkowania.

Rozpatrzmy najpierw kołowy kontur całkowania, położony wewnątrz przewodu ( r a ra) – jak przedstawia część (a) Ilustracji 12.16. Stosując prawo Ampère’a, musimy wyznaczyć natężenie I I prądu płynącego przez powierzchnię przekroju poprzecznego przewodu ograniczoną konturem całkowania. Natężenie I I równe jest gęstości prądu J J pomnożonej przez wartość powierzchni przekroju poprzecznego przewodu wewnątrz konturu. Ponieważ prąd jest równomiernie rozłożony w przewodzie, jego gęstość wewnątrz konturu całkowania równa jest gęstości prądu w całym przekroju przewodu, wynoszącej I 0 π a 2 I 0 π a 2 . Tak więc natężenie prądu I I płynącego przez przekrój ograniczony konturem całkowania dane jest wzorem

I = π r 2 π a 2 I 0 = r 2 a 2 I 0 . I= π r 2 π a 2 I 0 = r 2 a 2 I 0 .

Możemy wykorzystać powyższy iloraz w dalszych rozważaniach, ponieważ w naszym zadaniu gęstość prądu J J jest stała na całej powierzchni przekroju poprzecznego przewodu. Zatem gęstość prądu w części przekroju przewodu objętej konturem całkowania jest równa gęstości prądu w jego całkowitym przekroju. Z prawa Ampère’a otrzymujemy

B 2 π r = μ 0 r 2 a 2 I 0 . B 2 π r = μ 0 r 2 a 2 I 0 .

Z podanego wzoru wynika, że wewnątrz przewodu wartość indukcji pola magnetycznego wynosi

B=μ0I02πra2, dla ra.B=μ0I02πra2, dla ra. B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi} \cdot \frac{r}{a^2} \text{, dla } r \leq a \text{.}

Na zewnątrz przewodu indukcję pola magnetycznego opisuje wyrażenie

B=μ0I02πr, dla r>a.B=μ0I02πr, dla r>a. B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r} \text{, dla } r > a \text{.}

Zauważmy, że wyrażenie to jest tożsame z zależnością, którą otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie, obliczając pole magnetyczne nieskończonego, cienkiego przewodu.

Wykres wartości indukcji pola magnetycznego w funkcji odległości od osi przewodu przedstawia Ilustracja 12.17.

Wykres przedstawia zmienność B wraz z r. B rośnie linearnie wraz z r aż do punktu a. Następnie zaczyna opadać proporcjonalnie do odwrotności r.
Ilustracja 12.17 Zależność od promienia wartości indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd o natężeniu I 0 I 0 , płynący w długim, prostoliniowym przewodzie o promieniu a a .

Znaczenie

Otrzymane wyniki wskazują, że wewnątrz grubego przewodu indukcja pola magnetycznego rośnie proporcjonalnie do odległości od środka jego przekroju poprzecznego. Indukcja przyjmuje wartości od zera do wartości B = μ 0 I 0 2 π r B= μ 0 I 0 2 π r , znanej z przypadku pola magnetycznego cienkiego przewodu. Na zewnątrz przewodu obserwujemy spadek wartości indukcji – niezależnie od tego, czy przewód jest gruby, czy cienki.

Podobny rezultat otrzymamy, stosując prawo Gaussa do obszaru o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego. Zauważmy jednak, że prawo Gaussa dotyczy jednorodnego rozkładu ładunku, a w omawianym przypadku prawo Ampère’a odnosi się do obszaru o jednorodnym rozkładzie gęstości prądu elektrycznego. W konsekwencji spadek wartości indukcji pola magnetycznego na zewnątrz grubego przewodu podobny jest do spadku natężenia pola elektrycznego na zewnątrz liniowo rozłożonego ładunku. Oba przypadki charakteryzują się bowiem tą samą geometrią i są niezależne od rozkładu ładunku lub prądu elektrycznego – o ile odpowiednie ładunki lub prądy znajdują się wewnątrz konturu całkowania.

Przykład 12.8

Wykorzystanie prawa Ampère’a z dowolnymi konturami całkowania

Zastosuj prawo Ampère’a do obliczenia całki w układach prądu i konturów całkowania przedstawionych na Ilustracji 12.18.
Rysunek A przedstawia cztery przewody przewodzące prądy dwóch amperów, pięciu amperów, trzech amperów i czterech amperów. Wszystkie cztery przewody znajdują się wewnątrz pętli. Pierwszy i drugi przewodzą prąd w dół przez pętlę. Trzeci i czwarty przewodzą prąd skierowany do góry przez pętlę. Rysunek B przedstawia trzy przewody przewodzące prąd pięciu amperów, dwóch amperów i trzech amperów. Pierwszy i trzeci są na zewnątrz pętli, drugi jest w jej środku. Pierwszy przewodzi prąd w górę przez pętlę. Drugi i trzeci przewodzą prąd w dół przez pętlę. Rysunek C przedstawia trzy przewody przewodzące prąd siedmiu amperów, pięciu amperów i trzech amperów. Wszystkie trzy przewody znajdują się wewnątrz pętli. Pierwszy i drugi przewodzą prąd w dół przez pętlę. Trzeci przewodzi prąd w górę przez pętlę.
Ilustracja 12.18 Układy prądu i kontury całkowania do Przykładu 12.8.

Strategia rozwiązania

Prawo Ampère’a stanowi, że B d l = μ 0 I B d l = μ 0 I , gdzie I I jest całkowitym natężeniem prądu przepływającego przez zamknięty kontur. Najszybszym sposobem określenia wartości całki jest obliczenie iloczynu μ 0 I μ 0 I poprzez ustalenie wypadkowego natężenia prądu przepływającego przez kontur całkowania. Znaki każdego prądu określimy, układając prawą dłoń wzdłuż konturu tak, aby palce wskazywały kierunek całkowania. Prąd będziemy uważali za dodatni, jeżeli będzie on przepływał w kierunku wskazanym przez wyciągnięty kciuk.
  1. Suma natężeń prądu przepływającego przez kontur ku dołowi ( 2 A + 5 A 2 A + 5 A ) równa się sumie natężeń prądu przepływającego przez kontur ku górze ( 3 A + 4 A 3 A + 4 A ). Wypadkowe natężenie prądu jest zatem równe zero, a więc
    Bdl=0Tm.Bdl=0Tm. \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = \SI{0}{\tesla\metre} \text{.}
  2. Jedynym prądem, który musimy wziąć pod uwagę, jest ten o natężeniu 2 A 2A, ponieważ jest to jedyny prąd przepływający przez kontur całkowania. Prąd ten przepływa ku dołowi, a więc na podstawie reguły prawej dłoni przypisujemy mu dodatnią wartość (znak plus). Otrzymujemy zatem
    Bdl=4π10-7TmA2A=2,5110-6Tm.Bdl=4π10-7TmA2A=2,5110-6Tm. \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{2}{\ampere} = \SI{2,51e-6}{\tesla\metre} \text{.}
  3. Na podstawie reguły prawej dłoni stwierdzamy, że kierunki prądu przepływającego przez kontur ku dołowi są dodatnie. Suma natężeń prądu płynącego ku dołowi wynosi 7 A + 5 A = 12 A 7 A + 5 A = 12 A , a natężenie prądu płynącego ku górze wynosi 3 A 3A. W rezultacie całkowite natężenie prądu wynosi 9 A 9A, a tym samym
    Bdl=4π10-7TmA9A=5,6510-6Tm.Bdl=4π10-7TmA9A=5,6510-6Tm. \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{9}{\ampere} = \SI{5,65e-6}{\tesla\metre} \text{.}

Znaczenie

Jeżeli przewody z prądem skręcimy ze sobą tak, że natężenia prądu płynącego do danego konturu całkowania będą równe natężeniom prądu wypływającego z tego konturu – wypadkowe natężenie tychże prądów będzie zerowe. Wokół przewodów nie powstanie zatem pole magnetyczne. Z tego względu przewody tworzące kabel elektryczny położone są blisko siebie. Wówczas prąd płynący do podłączonego urządzenia i z niego wypływający znoszą się i wypadkowe natężenie wewnątrz konturu Ampère’a rozpiętego wokół tych przewodów jest zerowe. W związku z powyższym przewody z prądem w tymże kablu nie będą wytwarzały rozproszonego (zakłócającego) pola magnetycznego.

Sprawdź, czy rozumiesz 12.6

Rozważ zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia indukcji pola magnetycznego prostoliniowego przewodu o skończonej długości oraz kołowej pętli z prądem. Dlaczego prawo Ampère’a jest w tych przypadkach bezużyteczne?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.