12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem

Ponieważ prądy wytwarzają pola magnetyczne, dość silnie oddziałujące na poruszające się ładunki elektryczne, być może spodziewasz się, że między dwoma przewodami, przez które płynie prąd, działa siła o znacznej wartości. Zjawisko to zostało wykorzystane w definicji jednostki natężenia prądu – ampera. Być może zaskoczy cię, że siła ta ma związek z procesem wypalania się styków wielkich rozłączników podczas przerywania silnoprądowych obwodów elektrycznych.

Siłę magnetyczną działającą pomiędzy dwoma długimi, prostoliniowymi, równoległymi przewodami, odległymi od siebie o $r$, znajdziemy, wykorzystując wiadomości podane w poprzednich rozdziałach. Takie przewody przedstawiono na Ilustracji 12.9, ponadto zaznaczono płynące w nich prądy, pole magnetyczne wokół jednego z nich oraz siłę wytwarzaną przez to pole – oddziałującą na drugi z przewodów. Rozpatrzmy pole magnetyczne wytwarzane przez pierwszy przewód oraz siłę, z jaką oddziałuje on na drugi przewód, oznaczoną jako $F_{1⁣2}$. Indukcja pola magnetycznego, wytworzonego w odległości $r$ przez prąd o natężeniu $I_1$ wynosi

Ilustracja 12.9 (a) Pole magnetyczne wytwarzane przez długi, prostoliniowy przewód – zgodnie z drugim wariantem reguły prawej dłoni – jest prostopadłe do przewodu doń równoległego. (b) Widok z góry na parę przewodów równoległych, przedstawiający pole magnetyczne wytwarzane przez pierwszy przewód. Zwrot siły wskazuje na to, że przewody przyciągają się, jeżeli płyną w nich prądy w tym samym kierunku, natomiast w przypadku prądów płynących w przeciwnych kierunkach – przewody te będą się odpychały.

Pole magnetyczne pierwszego przewodu jest jednorodne i do niego prostopadłe. Zatem siłę ${\overrightarrow{F}}_{1⁣2}$, z którą pierwszy przewód oddziałuje na przewód drugi, o długości $l$, określa wzór $F=IlBsin\theta$ przy $sin\theta =1$

W analogiczny sposób prąd o natężeniu $I_2$, płynący w przewodzie drugim, staje się źródłem pola magnetycznego o indukcji $B_2$, działającego na przewód pierwszy. To z kolei generuje siłę ${\overrightarrow{F}}_{2⁣1}$ działającą na przewód pierwszy z racji przepływu prądu w przewodzie drugim (zwróć uwagę na zmianę kolejności indeksów dolnych w stosunku do poprzedniej sytuacji). Siła ta w przypadku zgodności kierunków prądów jest siłą przyciągającą w kierunku przewodu drugiego. Siły działające na oba przewody mają równe wartości, możemy więc wartość siły $F_{1⁣2}$ zastąpić symbolem $F$ (zauważmy, że ${\overrightarrow{F}}_{1⁣2}=-{\overrightarrow{F}}_{2⁣1}$). Ponieważ przewody są bardzo długie, wygodnie jest dalej rozważać wielkość $F∕l$, to jest wartość siły odniesioną do jednostkowej ich długości. Podstawiając wyrażenie na $B_1$ do powyższego równania, po przekształceniach otrzymujemy

Stosunek $F∕l$ oznacza, jak już wspomnieliśmy, wartość siły działającej pomiędzy równoległymi przewodami z prądem o natężeniu $I_1$ oraz $I_2$, odległymi o $l$, odniesioną do jednostkowej ich długości. Przewody przyciągają się, gdy prąd płynie w tym samym kierunku, a odpychają, gdy kierunki przepływu prądów są przeciwne.

Opisywana siła decyduje o tzw. efekcie skurczu magnetycznego (ang. pinch effect), obserwowanym w plazmie, np. w łuku elektrycznym. Siła magnetyczna występuje bowiem niezależnie od tego, czy ładunek elektryczny płynie w przewodzie, czy na przykład w gazie. Istotne jest jedynie, aby całkowita gęstość ładunku elektrycznego była równa zero; w przeciwnym przypadku magnetyczne przyciąganie ładunków zostanie zdominowane przez ich kulombowskie odpychanie. W przypadku łuku elektrycznego, w którym ładunki poruszają się po torach równoległych, siła magnetyczna dociska je do siebie tak, że kanał ich przepływu staje się wąski. W przypadku wielkich rozłączników, które znajdziesz w najbliższej rozdzielni energetycznej, skurcz magnetyczny może wywołać łuk elektryczny powstający przy otwieraniu obwodów przewodzących. Skutkuje to koncentracją, pomiędzy ich stykami, znacznego prądu, powodującego wypalenie w nich dziur, a nawet zapłon całych urządzeń.

Siła działająca pomiędzy przewodami z prądem elektrycznym leży u podstaw definicji jednostki jego natężenia – ampera (ang. ampere). Zauważmy, że w przypadku długich, równoległych przewodów odległych od siebie o $1\mathrm{m}$, z których każdy przewodzi prąd o natężeniu jednego ampera – wartość siły przypadającej na $1\mathrm{m}$ ich długości wynosi

Ponieważ wartość ${\mu }_0$ z definicji wynosi dokładnie $4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}$ i ponieważ $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}∕\left(\mathrm{A}\mathrm{m}\right)$, siła przypadająca na jeden metr długości ma wartość dokładnie $2\cdot {10}^{-7}\mathrm{N}∕\mathrm{m}$, co jest podstawą definicji ampera.

Nieskończenie długie przewody są jednak niepraktyczne, więc zamiast nich stosuje się tzw. wagę prądową, zaopatrzoną w cewki (zwojnice) oddalone od siebie o kilka centymetrów. Waga służy do pomiaru siły oddziaływania między cewkami; na podstawie jej wskazań określa się wartość natężenia prądu płynącego przez zwojnice. Powyższa idea stanowi jednocześnie podstawę metody pomiaru wartości ładunku elektrycznego, wyrażonego w kulombach (ang. coulomb). Istotnie, natężeniu prądu o wartości jednego ampera odpowiada przepływ ładunku o wartości jednego kulomba w czasie jednej sekundy: $1\mathrm{C}=1\mathrm{A}\mathrm{s}$. Warto zaznaczyć, że w przypadku pomiaru natężeń prądu i ładunków metoda wykorzystująca wyznaczanie siły oddziaływania pomiędzy przewodami należy do najdokładniejszych.

Przykład 12.4

Obliczanie sił działających na przewody

Na Ilustracji 12.10 przedstawiono dwa przewody z jednakowym prądem o natężeniu $5\mathrm{mA}$, płynącym od jego płaszczyzny. Pierwszy z nich umieszczono w punkcie o współrzędnych ($0\mathrm{cm}$, $3\mathrm{cm}$), a drugi w punkcie ($4\mathrm{cm}$, $0\mathrm{cm}$). Wyznacz siłę oddziaływania magnetycznego przewodu pierwszego na drugi i drugiego na pierwszy – przypadającą na jednostkę długości każdego z nich.

Ilustracja 12.10 Rozmieszczenie dwóch przewodów z prądem płynącym od płaszczyzny rysunku.

Strategia rozwiązania

Każdy z przewodów wytwarza własne pole magnetyczne i jednocześnie znajduje się w polu magnetycznym przewodu sąsiedniego. Odległość między przewodami, którą wykorzystamy do obliczenia siły przypadającej na jednostkę długości, jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta, w którego wierzchołkach znajdują się przewody. Ponieważ oba prądy płyną w tym samym kierunku, siły zwrócone są w kierunku każdego z przewodów wzdłuż przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

Odległość między przewodami znajdujemy, obliczając długość przeciwprostokątnej trójkąta

$$r=\sqrt{{\left(3\mathrm{cm}\right)}^2+{\left(4\mathrm{cm}\right)}^2}=5\mathrm{cm}\text{.}$$

Wartość siły przypadającej na jednostkę długości obliczymy, wykorzystując znane natężenia prądu w przewodach

$$\frac{F}{l}=\frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}\cdot {\left(5\cdot {10}^{-3}\mathrm{A}\right)}^2}{2\pi \cdot 5\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}}={10}^{-10}\mathrm{N}∕\mathrm{m}\text{.}$$

Siła ${\overrightarrow{F}}_{1⁣2}$, wytwarzana przez pierwszy przewód, działa przyciągająco na drugi. Do określenia jej orientacji w przestrzeni niezbędna jest znajomość poszczególnych składowych. Kąt zawarty pomiędzy przeciwprostokątną trójkąta a bokiem poziomym trójkąta wynosi

$$\theta =arc tg\left(\frac{3\mathrm{cm}}{4\mathrm{cm}}\right)=\mathrm{36,9}°\text{.}$$

Wektor jednostkowy siły ma więc postać

$$cos\mathrm{36,9}°\cdot \hat{i}-sin\mathrm{36,9}°\cdot \hat{j}=\mathrm{0,8}\hat{i}-\mathrm{0,6}\hat{j}\text{.}$$

Ostatecznie wektor siły, którą pierwszy przewód oddziałuje na drugi, odniesionej do jednostkowej długości, ma współrzędne

$$\frac{{\overrightarrow{F}}_{1⁣2}}{l}={10}^{-10}\mathrm{N}∕\mathrm{m}\cdot \left(\mathrm{0,8}\hat{i}-\mathrm{0,6}\hat{j}\right)=8\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}∕\mathrm{m}\cdot \hat{i}-6\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}∕\mathrm{m}\cdot \hat{j}\text{.}$$

Siła ${\overrightarrow{F}}_{2⁣1}$, którą drugi przewód działa na pierwszy, przypadająca na jednostkową długość, jest wektorem przeciwnym do wyznaczonego powyżej

$$\frac{{\overrightarrow{F}}_{2⁣1}}{l}=-8\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}∕\mathrm{m}\cdot \hat{i}+6\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}∕\mathrm{m}\cdot \hat{j}\text{.}$$

Znaczenie

Rozważane przewody wytwarzają pola magnetyczne o jednakowej wartości indukcji, przy czym w punktach, w których te przewody się znajdują, pola te skierowane są przeciwnie. Siły wzajemnego oddziaływania przewodów będą miały zawsze jednakową wartość i będą przeciwnie skierowane – niezależnie od tego, czy indukcje obu pól będą posiadały jednakowe, czy różne wartości (trzecia zasada dynamiki Newtona).