12.6 Solenoidy i toroidy

Solenoidy

Solenoidem (ang. solenoid) nazywamy cewkę utworzoną poprzez nawinięcie długiego przewodu wzdłuż linii śrubowej. Solenoidy są powszechnie używane w badaniach eksperymentalnych, w których konieczne jest wykorzystywanie pola magnetycznego. Solenoid zasadniczo łatwo jest wykonać, a w pobliżu jego środka pole magnetyczne jest w dobrym przybliżeniu jednorodne, natomiast wartość indukcji tego pola – wprost proporcjonalna do natężenia płynącego w solenoidzie prądu.

Ilustracja 12.19 przedstawia solenoid składający się z $N$ zwojów nawiniętych ciasno na długości $L$. W przewodzie tworzącym solenoid płynie prąd o natężeniu $I$. Liczba zwojów solenoidu przypadająca na jego jednostkową długość wynosi $N∕L$ – stąd liczba zwojów małej długości $dy$ solenoidu to $N∕L\cdot dy$, a natężenie przepływającego przez nią prądu ma wartość

Obliczymy na wstępie indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ wskazanym na Ilustracji 12.19. Punkt ten leży na osi solenoidu, w środku jego długości. W tym celu podzielimy solenoid na cienkie warstwy o grubości $dy$, traktując każdą z nich jak pętlę z prądem. A zatem symbol $dI$ oznacza natężenie prądu płynącego w każdej warstwie. Indukcję pola magnetycznego $d\overrightarrow{B}$ wytwarzanego przez prąd o natężeniu $dI$ znajdziemy, wykorzystując Równanie 12.15 i Równanie 12.24. Napiszemy wówczas

(w powyższym równaniu zastąpiliśmy $dI$, stosując Równanie 12.24). Sumaryczną indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ określimy, całkując $d\overrightarrow{B}$ po całej długości solenoidu. Całkowanie będzie łatwiejsze, gdy zmienną niezależną $y$ zastąpimy kątem $\theta$. Posługując się Ilustracją 12.19, zauważmy, że

Ilustracja 12.19 (a) Solenoid jest długim przewodem, nawiniętym wzdłuż linii śrubowej. (b) Pole magnetyczne w punkcie $P$ na osi solenoidu jest wypadkowym polem, wytwarzanym przez wszystkie pętle z prądem.

Różniczkując obustronnie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

Podstawiając powyższą zależność do równania opisującego $d\overrightarrow{B}$, możemy napisać, że

Wyprowadzony wzór określa indukcję pola magnetycznego wzdłuż centralnej osi solenoidu o skończonej długości.

Szczególnym zainteresowaniem cieszy się jednak solenoid o nieskończonej długości, w przypadku którego $L⟶\infty$. W praktyce nieskończenie długim nazwiemy solenoid, którego długość jest znacznie większa od jego promienia ($L\gg R$). W tym przypadku ${\theta }_1=-\pi ∕2$ oraz ${\theta }_2=\pi ∕2$. Wówczas, na podstawie Równania 12.27, indukcja pola magnetycznego wzdłuż podłużnej osi solenoidu wynosi

lub

W powyższym wzorze $n$ oznacza liczbę zwojów solenoidu na jednostkę jego długości (gęstość uzwojenia). Kierunek wektora $\overrightarrow{B}$ określa reguła prawej dłoni: ułóż palce zgodnie z kierunkiem przepływu prądu, a kciuk wskaże kierunek pola magnetycznego wewnątrz solenoidu.

Obliczymy teraz wartość indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wewnątrz nieskończonego solenoidu. W tym celu wykorzystamy otrzymane powyżej wyniki oraz prawo Ampère’a. Rozpatrzmy zamknięty kontur przedstawiony na Ilustracji 12.20. Wzdłuż boku 1 indukcja pola $\overrightarrow{B}$ jest stała (pole jest jednorodne), a jej wektor równoległy do linii konturu. Natomiast dla pozostałych elementów konturu wektor indukcji $\overrightarrow{B}$ jest z kolei albo prostopadły do boków 2 i 4 konturu, albo równy zero. Boki 2 i 4 nie wnoszą zatem wkładu do całki krzywoliniowej w prawie Ampère’a (ze względu na wartość $cos\left(\pi ∕2\right)=cos\left(-\pi ∕2\right)=0$). Wzdłuż boku 3 wektor indukcji $\overrightarrow{B}=0$, gdyż pole magnetyczne na zewnątrz solenoidu nie istnieje. Otaczając solenoid dowolnym zamkniętym konturem, stwierdzimy, że prąd w odpowiadających sobie fragmentach uzwojenia solenoidu płynie w przeciwnych kierunkach. Wypadkowe natężenie prądu przepływającego wewnątrz takiego konturu jest zatem równe zero, co – na mocy prawa Ampère’a – oznacza zerową indukcję pola magnetycznego. W rezultacie bok 3 konturu także nie wnosi wkładu do rozpatrywanej całki krzywoliniowej. Możemy więc zapisać, że

Ilustracja 12.20 Kontur całkowania rozpatrywany przy zastosowaniu prawa Ampère’a do obliczenia indukcji pola magnetycznego nieskończonego solenoidu.

Ponieważ liczba zwojów solenoidu na jego jednostkową długość wynosi $n$, sumaryczne natężenie prądu przepływającego przez powierzchnię ograniczoną konturem jest równe $nlI$. W rezultacie z prawa Ampère’a otrzymujemy, że

a więc wewnątrz solenoidu

Otrzymany wynik jest zgodny z wyrażeniem wyprowadzonym wcześniej dla indukcji $B$ wzdłuż podłużnej osi solenoidu. Jednak w rozpatrywanym obecnie przypadku położenie boku 1 konturu całkowania jest dowolne, zatem powyższe równanie opisuje pole magnetyczne w każdym punkcie wewnątrz nieskończonego solenoidu.

Możemy teraz otoczyć konturem całkowania cały solenoid i zbadać przy pomocy prawa Ampère’a pole magnetyczne na zewnątrz zwojnicy. Taki kontur zawierać będzie prąd płynący w przeciwnych kierunkach – a więc wypadkowe natężenie prądu w jego wnętrzu będzie równe zero. Zgodnie z prawem Ampère’a zerowe natężenie prądu wewnątrz konturu oznacza zerową wartość indukcji pola magnetycznego. Wobec tego w punktach, których odległości od osi solenoidu są większe od jego promienia, pole magnetyczne nie istnieje.

Pacjent podlegający badaniu z wykorzystaniem obrazowania magnetycznym rezonansem jądrowym (ang. magnetic resonace imaging – MRI) zostaje położony na stole wsuwanym w środek dużego solenoidu, zdolnego do wytwarzania bardzo silnych pól magnetycznych (kilka tesli). Uzwojenia solenoidów wytwarzających tak wysokie pola wykonuje się z materiałów nadprzewodzących i zasila prądami o znacznym natężeniu. Wielkie pole magnetyczne używane jest do zmiany orientacji spinów protonów w ciele pacjenta. Czas, w którym spiny zostają uporządkowane polem bądź relaksują (powracają do pierwotnej orientacji), jest wielkością charakterystyczną dla różnych tkanek. Analizując ten czas, można się przekonać, czy struktura tkanek jest właściwa (Ilustracja 12.21).

Ilustracja 12.21 W urządzeniu do magnetycznego rezonansu jądrowego bardzo silne pole magnetyczne jest wytwarzane przez cylindryczny solenoid otaczający pacjenta. Źródło: Liz West

Toroidy

Toroid jest cewką w kształcie obwarzanka, utworzoną z jednego odcinka ciasno nawiniętego przewodu – jak przedstawiono w części (a) Ilustracji 12.22. Określmy wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz toroidu składającego się z $N$ zwojów, w którym płynie prąd o natężeniu $I$.

Ilustracja 12.22 (a) Toroid jest ciasno nawiniętą cewką w kształcie obwarzanka. (b) Toroid nawinięty luźno nie ma symetrii walcowej. (c) Symetria ciasno nawiniętego toroidu jest z dobrym przybliżeniem symetrią walcową. (d) Ciasno nawinięta cewka toroidalna oraz kilka konturów całkowania obranych w celu zastosowania prawa Ampère’a.

Nasze rozważania rozpoczniemy, zakładając cylindryczną symetrię toroidu wokół jego osi $O{O}^{\prime }$. W rzeczywistości założenie to nie jest w pełni słuszne, na co wskazuje część (b) Ilustracji 12.22. Wynika z niej bowiem, że rozmieszczenie zwojów toroidalnej cewki względem punktów (na przykład $P_1$, $P_2$ i $P_3$) dowolnie obranych na kołowym konturze o środku na osi $O{O}^{\prime }$ nie jest jednakowe. Opisana niejednorodność traci jednak znaczenie, gdy toroid jest ciasno nawinięty, co przedstawia część (c) Ilustracji 12.22. Symetria takiego toroidu jest wówczas z dobrym przybliżeniem cylindryczna.

Z uwagi na cylindryczną symetrię pole magnetyczne w każdym punkcie dowolnego kołowego konturu o środku na osi $O{O}^{\prime }$ musi być do niego styczne, a wartość jego indukcji – stała. W związku z tym w przypadku każdego z konturów $D_1$, $D_2$ i $D_3$, przedstawionych w części (d) Ilustracji 12.22, możemy napisać, że

Prawo Ampère’a wiąże powyższą całkę z wypadkowym natężeniem prądu przepływającego przez dowolną powierzchnię ograniczoną konturem całkowania. W przypadku konturów leżących poza toroidem przez odpowiednie powierzchnie nie płynie żaden prąd (kontur $D_1$) bądź wybrany prąd, płynący w jednym kierunku, jest całkowicie kompensowany przez prąd płynący w kierunku przeciwnym (kontur $D_3$). W związku z tym wypadkowe natężenie prądu płynącego przez powierzchnie ograniczone tymi konturami jest zerowe, czyli

stąd

Wyprowadzając powyższą równość, założyliśmy, że poszczególne zwoje toroidu mają kształt kołowych pętli. Jednak uzwojenie rzeczywistego toroidu jest bardziej linią śrubową niż zespołem kołowych przewodów. W rezultacie poza toroidem stwierdzamy obecność niewielkiego pola magnetycznego.

Rozpatrując kontur całkowania leżący wewnątrz toroidu (kontur $D_2$), zauważamy, że prąd płynący w uzwojeniu przecina ograniczoną tym konturem powierzchnię $N$ razy, dając wypadkową wartość jego natężenia równą $NI$. Z prawa Ampère’a wynika wówczas, że

stąd

W przypadku uzwojenia przedstawionego na Ilustracji 12.22 kierunek wektora indukcji magnetycznej jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Odwrócenie kierunku przepływu prądu w uzwojeniu spowoduje uzyskanie przeciwnego zwrotu wektora indukcji pola.

Pole magnetyczne wewnątrz toroidu nie jest jednorodne, gdyż wartość jego indukcji zmienia się zgodnie z funkcją $1∕r$, gdzie $r$ jest odległością od osi $O{O}^{\prime }$. Zmiana ta jest jednak pomijalnie mała, o ile centralny promień $R$ (równy wartości średniej promieni: wewnętrznego i zewnętrznego) jest znacznie większy niż promień przekroju poprzecznego $r$ uzwojenia toroidu. Wartość indukcji magnetycznej można wówczas obliczyć na podstawie wzoru, podstawiając $R=r$.