William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

65.

Trzy długie, prostoliniowe, równoległe przewody zostały rozmieszczone jak na załączonym rysunku. W każdym z przewodów płynie prąd o natężeniu $20 A$ . Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie $P$ .

66.

Prąd o natężeniu $I$ płynie w przewodzie w kształcie kwadratowej ramki o boku $a$ . Oblicz indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ odległym o $z$ od środka kwadratu – jak na poniższym rysunku.

67.

Na załączonym rysunku przedstawiono długi, prostoliniowy przewód, w którym płynie prąd o natężeniu $10 A$ . Jaka siła działa na elektron poruszający się z szybkością $2 \cdot 10^{5} m ∕ s$ równolegle do przewodu w chwili, gdy odległość elektronu od jego osi wynosi $20 cm$ ? Opisz jakościowo późniejszy ruch tego elektronu.

68.

Rysunek przedstawia prąd płynący wzdłuż cienkiego, nieskończonego arkusza. Natężenie prądu przypadające na jednostkę długości arkusza i wyrażone w amperach na metr wynosi $j$ .

Udowodnij, stosując prawo Biota-Savarta, że po obu stronach arkusza $B = μ_{0} j ∕ 2$ . Jaki jest kierunek wektora $\vec{B}$ po każdej ze stron arkusza?
Wykorzystaj prawo Ampère’a do obliczenia tego pola.

69.

Wykorzystując wyniki poprzedniego zadania, oblicz indukcję pola magnetycznego pomiędzy, ponad i pod parą nieskończonych arkuszy, pokazanych na załączonym rysunku;
Powtórz obliczenia, zakładając, że kierunek prądu w dolnym arkuszu został odwrócony.

70.

Często zakłada się, że pole magnetyczne jest jednorodne w pewnym obszarze i zerowe poza nim. Wykaż, że przedstawiona na załączonym rysunku sytuacja, w której indukcja pola magnetycznego gwałtownie maleje do zera, nie jest w rzeczywistości możliwa. Wskazówka: Zastosuj prawo Ampère’a, wykorzystując kontur całkowania wskazany na rysunku.

71.

Określ związek pomiędzy procentową zmianą wartości indukcji pola magnetycznego mierzoną w poprzek tarczy toroidu a procentową zmianą odległości radialnej od osi tegoż toroidu.

72.

Wykaż, że w granicznym przypadku centralnego promienia toroidu, dążącego do nieskończoności, wyrażenie opisujące indukcję pola magnetycznego tego toroidu redukuje się do wzoru na indukcję magnetyczną nieskończonego solenoidu.

73.

Toroid, którego wewnętrzny promień wynosi $20 cm$ , a zewnętrzny równy jest $22 cm$ , został jednowarstwowo owinięty przewodem o średnicy $0,25 mm$ .

Ile zwojów liczy uzwojenie tegoż toroidu?
Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego w centrum toroidu, jeżeli w jego uzwojeniu płynie prąd o natężeniu $2 A$ ?

74.

Rozważ element przewodu $d \vec{l}$ , przyjmując, że $d \vec{l}$ , $I d \vec{l} = \vec{J} A d l = \vec{J} d v$ , gdzie $A$ oraz $d v$ oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego oraz objętość tego elementu. Wykorzystując podane związki, prawo Biota-Savarta oraz zależność $\vec{J} = n e \vec{v}$ , wykaż, że indukcja pola magnetycznego poruszającego się ładunku punktowego o wartości $q$ opisana jest wzorem $\vec{B} = μ_{0} ∕ (4 π) \cdot q \vec{v} \times \hat{r} ∕ r^{2}$ .

75.

Urządzeniem, służącym do wytwarzania pola magnetycznego o wysokiej jednorodności w ograniczonym obszarze przestrzeni są cewki Helmholtza. Jest to układ dwóch równoległych kołowych zwojnic o wspólnej osi przechodzącej przez ich środki. Cewki połączone są tak, że płyną w nich prądy o takim samym natężeniu $I$ . Każda z cewek o promieniu $R$ składa się z $N$ zwojów, przy czym $R$ jest także odległością między tymi cewkami.

Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie na osi $z$ , pokazanej na załączonym rysunku;
Wykaż, że $d B ∕ d z$ oraz $d^{2} B ∕ d z^{2}$ są równe zero w punkcie $z = 0$ (zerowanie się obu pochodnych oznacza, że w pobliżu $z = 0$ indukcja magnetyczna zmienia się jedynie nieznacznie).

76.

Ładunek o wartości $4 μ C$ został równomiernie rozłożony wokół pierścienia o średnicy $0,2 m$ , wykonanego z izolatora. Pierścień obraca się, wykonując $2 \cdot 10^{4} obr ∕ \min$ wokół osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny pierścienia. Oblicz indukcję pola magnetycznego w środku tego pierścienia.

77.

Cienki, nieprzewodzący dysk o promieniu $R$ może się swobodnie obracać wokół osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny dysku. Dysk naładowany jest jednorodnie ładunkiem o całkowitej wartości równej $q$ . Przyjmując, że dysk obraca się ze stałą prędkością kątową $ω$ , oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w jego środku.

78.

Rozważ dysk z poprzedniego zadania: oblicz wartość indukcji magnetycznej w punkcie na centralnej osi dysku położonym w odległości $y$ ponad jego płaszczyzną.

79.

Rozważając osiowe pole magnetyczne o indukcji $B_{v} = μ_{0} I R^{2} ∕ [2 {(y^{2} + R^{2})}^{3 ∕ 2}]$ , wytwarzane przez kołową pętlę przedstawioną poniżej,

oblicz całkę $\int_{- a}^{a} B_{y} d y$ . Wykaż także, że $lim_{a ⟶ \infty} \int_{- a}^{a} B_{y} d y = μ_{0} I$ ;
Czy można wywnioskować o wartości tej granicy bez obliczania wartości całki? Wskazówka: Przeanalizuj załączony rysunek.

80.

Gęstość prądu w długim, cylindrycznym przewodzie przedstawionym na poniższym rysunku zmienia się wraz z odległością $r$ od środka tego przewodu zgodnie z funkcją $J = c r$ , gdzie $c$ oznacza pewną stałą.

Jakie jest natężenie prądu płynącego w przewodzie?
Jaka jest indukcja pola magnetycznego, wytwarzanego przez ten prąd, jeżeli $r < R$ oraz gdy $r \geq R$ ?

81.

Długi, prosty, cylindryczny przewodnik zawiera cylindryczną wnękę, której oś znajduje się w odległości $a$ od osi przewodnika, jak pokazano na załączonym rysunku. Gęstość prądu w przewodniku opisana jest równaniem $\vec{J} = J_{0} \hat{k}$ , gdzie $J_{0}$ jest stałą, a $\hat{k}$ leży na osi tego przewodnika. Oblicz indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie $P$ wewnątrz wnęki. W tym celu należy dokonać superpozycji pola pełnego cylindrycznego przewodnika o promieniu $R_{1}$ , w którym płynie prąd o gęstości $\vec{J}$ , i pola pełnego cylindrycznego przewodnika o promieniu $R_{2}$ z prądem o gęstości $\vec{J}$ . Następnie należy wykorzystać fakt, że odpowiednie azymutalne wektory jednostkowe określone są wyrażeniami: ${\hat{θ}}_{1} = \hat{k} \times {\hat{r}}_{1}$ . Należy wykazać w ten sposób, że w dowolnym punkcie wnęki indukcja pola magnetycznego określona jest za pomocą stałej $\vec{B} = 1 ∕ 2 \cdot μ_{0} J_{0} \hat{k} \times \hat{a}$ . W podanym wzorze wektory $\vec{a} = {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}$ oraz ${\vec{r}}_{1} = r_{1} {\hat{r}}_{1}$ określają położenie punktu $P$ względem środka przewodnika, a wektor ${\vec{r}}_{2} = r_{2} {\hat{r}}_{2}$ – położenie tego punktu względem środka wnęki.

82.

Pomiędzy dwoma końcami magnesu w kształcie podkowy pole magnetyczne jest jednorodne, jak pokazano na rysunku. Linie pola magnetycznego zakrzywiają się jednak w miarę oddalania się od krawędzi magnesu. Wykaż za pomocą prawa Ampère’a, że linie pola muszą się zakrzywiać oraz że wskutek tego zakrzywienia pole magnetyczne słabnie.

83.

Wykaż, że wartości indukcji pola magnetycznego cienkiego przewodu oraz pętli z prądem w nieskończonej od nich odległości zerują się.

84.

W obszarze, w którym występuje stałe pole magnetyczne o równoległych liniach, zaznaczonych na rysunku ciągłymi strzałkami, określono kontur Ampère’a, przedstawiony linią przerywaną. Oblicz iloczyn $\vec{B} \cdot d \vec{l}$ na każdym z boków tego konturu, a następnie wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ po pełnym konturze. Czy możliwe jest znalezienie konturu Ampère’a, przy którym obliczenia byłyby łatwiejsze? Czy otrzymane w obu przypadkach wyniki będą ze sobą zgodne?

85.

W bardzo długim, cienkim, cylindrycznym przewodzie o promieniu $R$ płynie prąd o gęstości $J$ . Gęstość prądu w przekroju poprzecznym przewodu nie jest stała i w punkcie odległym o $r$ od jego środka jest określona wzorem $J = J_{0} \cdot r ∕ R$ , w którym $J_{0}$ jest stałą. Znajdź wartość indukcji magnetycznej pola

w punkcie na zewnątrz przewodu;
w punkcie wewnątrz przewodu.

Zapisz odpowiedź, używając natężenia prądu $I$ płynącego w przewodzie.

86.

W bardzo długim, cylindrycznym przewodzie o promieniu $a$ wykonano okrągły otwór o promieniu $b$ . Środek otworu jest odległy o $d$ od środka przewodu. W przewodzie, w kierunku od płaszczyzny rysunku, płynie jednorodny prąd o natężeniu $I$ . Oblicz wartość indukcji magnetycznej

w punkcie na krawędzi otworu położonym najbliżej środka grubego przewodu;
w dowolnym punkcie wewnątrz otworu;
w dowolnym punkcie na zewnątrz przewodu.

87.

Pole magnetyczne wewnątrz torusa. Rozpatrz torus o kwadratowym przekroju poprzecznym, którego wewnętrzny promień wynosi $a$ , natomiast zewnętrzny równy jest $b$ . Na torusie nawinięto równomiernie $N$ zwojów izolowanego cienkiego przewodu, który podłączono do akumulatora wytwarzającego w uzwojeniu prąd o natężeniu $I$ . Zakładając, że prąd na górnej i dolnej powierzchni toroidu ma kierunek radialny oraz że prąd na jego wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni bocznej płynie w kierunku pionowym, wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz toroidu w funkcji odległości radialnej $r$ od jego osi.

88.

Dane są dwie długie, koncentryczne rury miedziane. Wewnętrzny promień rury wewnętrznej wynosi $a$ , natomiast zewnętrzny równy jest $b$ . Promienie wewnętrzny i zewnętrzny rury zewnętrznej wynoszą odpowiednio $c$ i $d$ . Długość każdej z rur wynosi $L$ . Rury podłączono do akumulatora o napięciu $U$ , a następnie odłączono od niego. Po odłączeniu akumulatora obie rury wprawiono w ruch obrotowy w tym samym kierunku, wokół ich wspólnej osi, nadając im prędkość kątową o wartości $ω$ radianów na sekundę. Znajdź indukcję pola magnetycznego

w punkcie wewnątrz przestrzeni ograniczonej rurą wewnętrzną, gdy $r \leq a$ ;
w punkcie pomiędzy rurami, to znaczy gdy $b < r < c$ ;
w punkcie na zewnątrz rur, jeżeli $r \geq d$ .

$Q = U C$ , $C = 2 π ε_{0} L ∕ [ln (c ∕ b)]$ .