12.1 Prawo Biota-Savarta

Z lektury poprzednich rozdziałów wiemy już, że dowolne ciało obdarzone masą jest źródłem pola grawitacyjnego. Z polem tym oddziałuje z kolei każdy inny obiekt posiadający masę i umieszczony w zasięgu tego ciała. Analogiczną prawidłowość obserwujemy w przypadku pola elektrycznego wytwarzanego przez dowolny, nieruchomy ładunek elektryczny. Ponieważ poruszający się ładunek elektryczny, a więc prąd elektryczny, także oddziałuje z polem magnetycznym – możemy słusznie przypuszczać, że jest on również źródłem pola magnetycznego.

Prawo Biota-Savarta (ang. Biot-Savart law) jest w istocie równaniem umożliwiającym wyznaczenie wartości i kierunku wektora indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez przepływający prąd elektryczny. Jest to prawo empiryczne, nazwane na cześć dwóch uczonych, którzy sformułowali je, badając oddziaływanie pomiędzy prostoliniowym przewodem z prądem a magnesem trwałym. Zgodnie z nim w dowolnym punkcie $P$ (Ilustracja 12.2) wektor indukcji pola magnetycznego $d\overrightarrow{B}$, wytwarzanego przez element przewodu o długości $d\overrightarrow{l}$ przewodzącego prąd $I$, określony jest wzorem

Ilustracja 12.2 Element długości przewodnika $d\overrightarrow{l}$, przez który płynie prąd $I$, wytwarza w punkcie $P$ pole magnetyczne o indukcji $d\overrightarrow{B}$, określonej prawem Biota-Savarta.

Występująca w równaniu stała ${\mu }_0$ jest przenikalnością magnetyczną próżni (ang. permeability of free space). Jej wartość w układzie SI wynosi

Wektor $d\overrightarrow{l}$ określa nieskończenie mały element długości przewodu; kierunek tego wektora (przyjęty na Ilustracji 12.2 jako dodatni) jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu o natężeniu $I$. Symbol $r$ oznacza odległość elementu $d\overrightarrow{l}$ od punktu $P$, natomiast wektor jednostkowy $\hat{r}$ jest skierowany od elementu $d\overrightarrow{l}$ do tegoż punktu.

Kierunek wektora indukcji pola magnetycznego $d\overrightarrow{B}$ (prostopadły do płaszczyzny Ilustracji 12.2) wynika z własności iloczynu wektorowego $d\overrightarrow{l}\times \hat{r}$, przy czym jego zwrot określa reguła prawej dłoni. Wartość indukcji $d\overrightarrow{B}$ dana jest wyrażeniem

w którym $\theta$ jest kątem pomiędzy kierunkami wektorów $d\overrightarrow{l}$ i $\hat{r}$. Zauważmy, że gdy $\theta =0$, to z powyższego wzoru otrzymamy $d\overrightarrow{B}=0$. Oznacza to, że pole magnetyczne wytwarzane przez element prądu $Id\overrightarrow{l}$ nie zawiera składowej równoległej do wektora $d\overrightarrow{l}$. Pole magnetyczne wytworzone przez skończony przewód z prądem znajdziemy, całkując równanie wzdłuż jego długości. Otrzymamy w ten sposób często spotykaną postać prawa Biota-Savarta.

przy czym całkowanie w powyższym wzorze przebiega po długości przewodu. Zauważmy, że omawiana całka jest całką wektorową, a więc przyczynki do sumarycznego wektora indukcji pochodzące od poszczególnych elementów prądu mogą mieć różne kierunki. Oznacza to, że obliczenie całki we wzorze jest często trudne, nawet przy względnie nieskomplikowanej geometrii przewodu. W takim przypadku zaleca się następujące postępowanie:

Przykład 12.1

Obliczanie pól magnetycznych krótkich odcinków przewodów z prądem

Przez pionowy przewód przepływa prąd o natężeniu $2\mathrm{A}$. Oblicz indukcję pola magnetycznego wytwarzanego przez krótki wycinek tego przewodu o długości $1\mathrm{cm}$ w punkcie $P$ położonym w odległości $1\mathrm{m}$ od przewodu w kierunku osi $x$ układu współrzędnych (Ilustracja 12.3). Należy przyjąć, że pole wytwarzane przez pozostałą część przewodu zostało wyeliminowane dzięki zastosowaniu odpowiedniego ekranu magnetycznego.

Ilustracja 12.3 Przez krótki wycinek pionowego przewodu przepływa prąd o natężeniu $I$. Jaka jest indukcja pola magnetycznego w odległości $x$ od tego wycinka?

Strategia rozwiązania

Indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ możemy wyznaczyć, wykorzystując prawo Biota-Savarta. Ponieważ długość rozpatrywanego pojedynczego wycinka przewodu jest bardzo mała w porównaniu z odległością $x$, operacji całkowania we wzorze Biota-Savarta można nie przeprowadzać, zastępując całkę równoważną jej sumą – w tym celu długość fragmentu $dl$ oznaczymy przez $\Delta l$. Zauważmy przy okazji, że jeżeli $\Delta l$ jest małe w stosunku do $x$, odległość dowolnego fragmentu rozpatrywanego wycinka od punktu $P$ jest w przybliżeniu taka sama. Kąt $\theta$ na Ilustracji 12.3 obliczymy, stosując definicję funkcji tangens. Indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ wyznaczymy, podstawiając do uzyskanego wyrażenia odpowiednie wartości liczbowe.

Rozwiązanie

Kąt pomiędzy wektorami $\Delta \overrightarrow{l}$ oraz $\hat{r}$ znajdujemy z zależności trygonometrycznych, przyjmując wartości odległości $l$ oraz $x$ takie jak w treści zadania

$$\theta =arc tg\left(\frac{1\mathrm{m}}{\mathrm{0,01}\mathrm{m}}\right)=\mathrm{89,4}°\text{.}$$

Wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie $P$, obliczona z prawa Biota-Savarta, wynosi więc

$$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\cdot \frac{I\Delta lsin\theta }{r^2}={10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}\cdot \frac{2\mathrm{A}\cdot \mathrm{0,01}\mathrm{m}\cdot sin\mathrm{89,4}°}{{\left(1\mathrm{m}\right)}^2}=2\cdot {10}^{-9}\mathrm{T}\text{.}$$

Na podstawie reguły prawej dłoni oraz prawa Biota-Savarta stwierdzamy, że wektor indukcji jest zwrócony w głąb rysunku, prostopadle do jego płaszczyzny.

Znaczenie

Opisane przybliżenie jest dobre, gdy długość fragmentu przewodu jest mała w porównaniu z jego odległością od punktu, w którym wyznaczamy pole. W przeciwnym wypadku należy wykorzystać całkową postać prawa Biota-Savarta, przy czym całkowanie musi przebiegać po całej długości rozpatrywanego fragmentu przewodu.

Przykład 12.2

Obliczanie pola magnetycznego przewodu w kształcie łuku okręgu

Przez przewód w kształcie łuku okręgu o promieniu $R$ i dowolnym kącie środkowym $\theta$ przepływa prąd o natężeniu $I$ (Ilustracja 12.4). Oblicz indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ znajdującym się w środku tego łuku.

Ilustracja 12.4 Przewód w kształcie łuku okręgu, przez który przepływa prąd o natężeniu $I$. Zaznaczono wektory: radialny $\overrightarrow{r}$ oraz $d\overrightarrow{l}$, związany z elementem przewodu.

Strategia rozwiązania

Indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ wyznaczymy, korzystając z prawa Biota-Savarta. Zauważmy, że kierunki wektorów: radialnego oraz związanego z elementem przewodu, są w dowolnym punkcie łuku prostopadłe, więc mnożenie wektorowe możemy łatwo zastąpić równoważnym mu w tym przypadku iloczynem wartości wektorów. Zauważmy także, że długość drogi pokonywanej wzdłuż łuku jest iloczynem wartości jego promienia i wartości kąta $\theta$ wyrażonej w radianach. Indukcję pola magnetycznego możemy teraz łatwo obliczyć, wyłączając odpowiednie stałe przed symbol całki.

Rozwiązanie

Najpierw przypomnijmy równanie wyrażające prawo Biota-Savarta

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{Id\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2}\text{.}$$

Całkując wzdłuż łuku, stwierdzamy, że wszystkie przyczynki do badanego pola mają w środku łuku ten sam kierunek: od rysunku, prostopadle do jego płaszczyzny – wystarczy więc obliczyć wartość wektora indukcji. Ponieważ wektory $\overrightarrow{r}$ oraz $d\overrightarrow{l}$ są prostopadłe, mnożenie wektorowe możemy łatwo zastąpić równoważnym mu iloczynem. Wówczas długość wektora $\overrightarrow{r}$ zastępujemy symbolem $R$. Wyrażając długość elementu łuku zależnością $dl=rd\theta$, otrzymujemy

$$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{Ird\theta }{R^2}\text{.}$$

Ponieważ natężenie prądu i promień łuku pozostają stałe wzdłuż całego przewodu, odpowiadające im symbole możemy wyłączyć przed symbol całki. Pozostaje więc jedynie całkowanie po kącie

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}\int d\theta \text{.}$$

Wartość kąta środkowego łuku zmienia się od 0 do $\theta$, zatem wynik całkowania ma postać

$$B=\frac{{\mu }_{0}I\theta }{4\pi R}\text{.}$$

Znaczenie

Jak wykazano w poprzednim rozdziale, kierunek wektora indukcji magnetycznej w punkcie $P$ wynika z reguły prawej dłoni. Jeżeli pole magnetyczne wytwarzane jest przez układ przewodu o kształcie łuku i innych przewodów, musimy oddzielnie wyznaczyć przyczynki do pola magnetycznego pochodzące od każdego ze składników układu, a odpowiadające im wektory – dodać. Należy przy tym zwracać uwagę na kierunek i zwrot każdego z wektorów.