William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

89.

Pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi $x$ , a jego natężenie zmienia się według wzoru $E_{x} = 10 N ∕ C \cdot sin (20 x - 500 t)$ , $E_{y} = E_{z} = 0 N ∕ C$ gdzie $t$ wyrażone jest w nanosekundach, a $x$ w centymetrach. Znajdź wartość natężenia prądu przesunięcia wewnątrz okręgu o promieniu $3 cm$ na płaszczyźnie $x = 0 cm$ w chwili $t = 0 s$ .

90.

W kuchence mikrofalowej używa się fal elektromagnetycznych o częstotliwości $f = 2,45 \cdot 10^{9} Hz$ do podgrzewania jedzenia. Fale odbijają się od wewnętrznej ściany kuchenki i powstaje fala stojąca, której strzałki odpowiadają punktom o najwyższej temperaturze, w których – w pewnych produktach – pojawiają się widoczne wgłębienia. Zmierzona odległość pomiędzy tymi punktami wyniosła $6 cm$ . Stosując metodę użytą przez Heinricha Hertza, oblicz prędkość fali elektromagnetycznej.

Użyj Dodatku D do dwóch kolejnych zadań.

91.

Galileusz zaproponował metodę pomiaru prędkości światła, w której on sam i jego asystent, wyposażeni w źródła światła, oddalili się od siebie na znaną odległość. Początkowo oba źródła światła były zasłonięte. Następnie Galileusz miał odsłonić swoje źródło, a asystent swoje natychmiast, gdy zobaczy światło Galileusza. Wystarczyło jedynie wyznaczyć opóźnienie rejestracji sygnału dokonanej przez Galileusza. Jak daleko od Galileusza musiałby się znajdować asystent, aby opóźnienie to było równe czasowi reakcji człowieka, czyli około $0,25 s$ ?

92.

Udowodnij, że jednowymiarowe równanie falowe

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}

jest spełnione dla każdej funkcji postaci $f (x \pm v t)$ .

93.

Kuchenka mikrofalowa, nastawiona na pracę przy najwyższej mocy, podgrzewa $0,4 kg$ spaghetti o $45 ° C$ w czasie $120 s$ .

Jaka jest szybkość pochłaniania energii przez spaghetti, jeśli jego ciepło właściwe wynosi $3,76 \cdot 10^{3} J ∕ (kg ° C)$ ? Załóż, że spaghetti całkowicie pochłania promieniowanie;
Oblicz średnie natężenie mikrofal przy założeniu, że są absorbowane na powierzchni o kształcie koła o średnicy $20 cm$ ;
Ile wynosi amplituda natężenia pola elektrycznego w tej kuchence?
Ile wynosi amplituda natężenia pola magnetycznego w tej kuchence?

94.

Pewna kuchenka mikrofalowa emituje $1 kW$ mikrofal na powierzchnię o wymiarach $30 cm$ na $40 cm$ .

Jakie jest natężenie tych mikrofal wyrażone w $W ∕ m^{2}$ ?
Oblicz amplitudę natężenia pola elektrycznego $E_{0}$ dla tych fal;
Ile wynosi amplituda indukcji magnetycznej $B_{0}$ ?

95.

Promieniowanie elektromagnetyczne emitowane przez laser o mocy $5 W$ skupiono na powierzchni o polu równym $1 {mm}^{2}$ .

Jakie jest natężenie tego promieniowania wyrażone w $W ∕ m^{2}$ ?
Załóż, że w wiązce umieszczono ładunek elektryczny o wartości $2 nC$ . Jakiej maksymalnej siły elektrycznej doświadczy ten ładunek?
Jeśli ładunek ten będzie poruszał się z prędkością $400 m ∕ s$ , to jaka jest maksymalna wartość siły magnetycznej działającej na ten ładunek?

96.

200-zwojowa cewka o promieniu $30 cm$ jest używana jako antena dla fal radiowych FM o częstotliwości $100 MHz$ . Pole magnetyczne odbieranych fal elektromagnetycznych jest prostopadłe do cewki i ma amplitudę równą $10^{- 12} T$ .

Jaka moc jest przekazywana do cewki?
Jaka średnia SEM indukowana jest w cewce w czasie równym $1 ∕ 4$ cyklu?
Jeśli odbiornik radiowy ma indukcyjność równą $2,5 µH$ , to jaką musi mieć wartość pojemności, by rezonować przy częstotliwości $100 MHz$ ?

97.

Pewne źródło fal elektromagnetycznych emituje fale jednakowo w każdym kierunku, bez odbić i absorpcji.

Wykaż, że natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła;
Wykaż, że amplitudy natężeń pól elektrycznego i magnetycznego są odwrotnie proporcjonalne do odległości od źródła.

98.

Radiostacja nadaje sygnał o mocy $50 kW$ . Jakie będzie natężenie tego sygnału, jeśli zostanie on odebrany na planecie orbitującej wokół Proximy Centauri? Proxima Centauri jest najbliższą Słońcu inną gwiazdą i jest oddalona od niego o $\num{4,243}$ lata świetlne.

99.

Wektor Poyntinga opisuje przepływ energii w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozważ długi cylindryczny przewód o promieniu $r$ , przez który płynie prąd $I$ przy oporze $R$ i napięciu $U$ . Wyprowadź wzór na wartość wektora Poyntinga na powierzchni przewodu, korzystając z wyrażeń na pole elektryczne wzdłuż przewodu i pole magnetyczne dookoła niego. Wykaż też, że wektor ten opisuje przepływ energii do przewodu z pól go otaczających i odpowiada za grzanie oporowe przewodu.

100.

Natężenie promieniowania słonecznego padającego na Ziemię (czyli tzw. stała słoneczna) wynosi $1,37 kW ∕ m^{2}$ . Załóż, że padające światło jest całkowicie absorbowane (w rzeczywistości około $30 %$ padającego światła jest odbijane z powrotem w kosmos).

Oblicz całkowitą siłę, jaką promieniowanie słoneczne wywiera na Ziemię;
Porównaj siłę z podpunktu (a) z siłą grawitacji pomiędzy Słońcem a Ziemią. Masa Ziemi równa jest $5,972 \cdot 10^{24} kg$ .

101.

Jeśli pojazd LightSail zostałby wysłany z misją na Marsa, ile razy zmniejszyłaby się siła ciągu żagla słonecznego po dotarciu do Marsa?

102.

Astronauci programu Apollo zostawili na powierzchni Księżyca reflektor, od którego odbijana jest regularnie wiązka lasera. Na podstawie opóźnienia pomiędzy nadaniem sygnału a jego odbiorem mierzy się dokładnie odległość do Księżyca.

Jaka jest dokładność takiego pomiaru wyrażona w metrach, jeśli możemy zmierzyć opóźnienie z dokładnością $0,1 ns$ ?
Jaka jest to dokładność wyrażona w procentach zmierzonej odległości, jeśli odległość ta wynosi $384 400 km$ ?

103.

Radary wykorzystuje się do pomiarów odległości do różnych obiektów, używając pomiaru czasu pomiędzy nadaniem a odbiorem echa sygnału odbitego od obiektu.

Jak daleko znajduje się planeta Wenus, jeśli czas pomiędzy nadaniem sygnału a odbiorem echa wynosi $1000 s$ ?
Ile wynosi czas odbioru echa dla samochodu oddalonego o $75 m$ od nadajnika (popularny radar policyjny)?
Z jaką dokładnością (w nanosekundach) musi być mierzony czas do odbioru echa, jeśli odległość od samolotu oddalonego o $12 km$ mierzona jest z dokładnością $10 m$ ?

104.

Oblicz stosunek najwyższej do najniższej częstotliwości fal elektromagnetycznych, jakie może widzieć oko ludzkie. Załóż, że zakres widzialny zawarty jest pomiędzy $380 nm$ a $760 nm$ . (Dla porównania: taki stosunek dla fal dźwiękowych wykrywanych przez ludzkie ucho wynosi $1000$ ).

105.

Porównaj ze sobą długość fali radia AM nadającego na częstotliwości $1030 kHz$ z najniższym słyszalnym dla człowieka dźwiękiem (falą dźwiękową o częstotliwości $20 Hz$ ). Prędkość dźwięku w powietrzu o temperaturze $20 ° C$ wynosi około $343 m ∕ s$ .