William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne

33.

Pokaż, że indukcja pola magnetycznego w odległości $r$ od osi układu dwóch równoległych, okrągłych płytek, wytworzonego przez ładunek $q$ umieszczony na płytkach, wynosi: $B_{ind} = μ_{0} ∕ (2 π r) \cdot d q ∕ d t$ .

34.

Wyraź prąd przesunięcia dla kondensatora w funkcji pojemności tego kondensatora i szybkości zmiany napięcia na tym kondensatorze.

35.

Różnica potencjałów $u = U_{0} sin (ω t)$ jest utrzymywana pomiędzy dwiema okrągłymi okładkami kondensatora płaskiego o pojemności $C$ . Cienki przewód o oporze $R$ łączy środki obu okładek i pozwala ładunkowi „przeciekać” z jednej okładki na drugą w czasie ładowania kondensatora.

Znajdź wyrażenie na natężenie prądu „przecieku” $i_{rezystora}$ płynącego przez przewód. Użyj tego wyrażenia do znalezienia wyrażenia na natężenie prądu $i_{rzeczywiste}$ płynącego w przewodach podłączonych do kondensatora;
Znajdź wartość prądu przesunięcia w przestrzeni pomiędzy okładkami kondensatora i pojawiającego się na skutek zmieniającego się pola elektrycznego;
Porównaj $i_{rzeczywiste}$ z sumą prądu przesunięcia $i_{p}$ i prądu „przecieku” $i_{rezystora}$ i wyjaśnij, dlaczego zaobserwowana relacja ma sens fizyczny.

36.

Załóż, że kondensator płaski pokazany na rysunku zbiera ładunek na okładkach w tempie $0,01 C ∕ s$ . Ile wynosi natężenie wytworzonego pola magnetycznego w odległości $10 cm$ od osi tego kondensatora?

Rysunek przedstawia kondensator z dwiema okrągłymi płytkami równoległymi. Połączone są ze sobą drutem. Płynie w nim prąd. Punkt poniżej kondensatora jest podświetlony. Znajduje się 10 cm od środka płytek.

37.

Różnica potencjałów $i$ przyłożona pomiędzy okładkami kondensatora z poprzedniego zadania zwiększa się chwilowo w tempie $10^{7} V ∕ s$ . Ile wynosi natężenie prądu przesunięcia pomiędzy okładkami, jeśli są one oddalone od siebie o $1 cm$ i mają pole powierzchni równe $0,2 m^{2}$ ?

38.

Kondensator płaski ma okładki o polu powierzchni równym $A = 0,25 m^{2}$ i oddalone od siebie o $0,01 m$ . Ile musi być równa częstość kołowa $ω$ dla napięcia $u = U_{0} sin (ω t)$ przy $U_{0} = 100 V$ , by wytworzyć pomiędzy okładkami kondensatora prąd przesunięcia o amplitudzie równej $1 A$ ?

39.

Napięcie pomiędzy dwiema okładkami kondensatora płaskiego, o polu powierzchni $A = 800 {cm}^{2}$ i oddalonymi od siebie o $d = 2 mm$ , zmienia się sinusoidalnie, jak $u = 15 mV \cdot cos (150 t)$ , gdzie $t$ wyrażone jest w sekundach. Znajdź natężenie prądu przesunięcia pomiędzy tymi okładkami.

40.

Napięcie pomiędzy dwiema okładkami kondensatora płaskiego, o polu powierzchni $A$ i oddalonymi od siebie o $d$ , zmienia się z czasem $t$ , jak następuje: $u = a t^{2}$ , gdzie $a$ jest stałe. Znajdź natężenie prądu przesunięcia pomiędzy tymi okładkami.

16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne

41.

Jeśli Słońce nagle by zgasło, nie wiedzielibyśmy o tym, dopóki światło słoneczne nie przestałoby do nas docierać. Jak długo pozostalibyśmy w nieświadomości, przy założeniu, że Słońce znajduje się w odległości $1,496 \cdot 10^{11} m$ od Ziemi?

42.

Ile wynosi maksymalna wartość natężenia pola elektrycznego dla fali, dla której maksymalna wartość indukcji magnetycznej wynosi $5 \cdot 10^{- 4} T$ (czyli około 10 razy więcej niż ziemskie pole magnetyczne)?

43.

Pewna fala elektromagnetyczna ma częstotliwość równą $12 MHz$ . Ile wynosi długość tej fali w próżni?

44.

Jeśli pola magnetyczne i elektryczne oscylują sinusoidalnie z częstotliwością $f=\SI{1}{\giga\hertz}$ i w chwili $t = 0 s$ , $E = 0 V ∕ m$ i $B = 0 T$ , to dla chwil różnych od 0 wartości $E$ i $B$ zmieniają się w następujący sposób: $E = E_{0} sin (2 π f t)$ i $B = B_{0} sin (2 π f t)$ .

Kiedy wartości $E$ i $B$ ponownie wyniosą 0?
Kiedy $E$ i $B$ osiągną najmniejsze (najbardziej ujemne) wartości?
Ile wynosi okres drgań dla tych pól?

45.

Pole elektryczne pewnej fali elektromagnetycznej poruszającej się w próżni opisane jest równaniem $\vec{E} = 5 V ∕ m \cdot cos (k x - 6 \cdot 10^{9} s^{- 1} \cdot t + 0,4) \cdot \hat{j}$ , gdzie $k$ jest liczbą falową wyrażoną w radianach na metr, $x$ jest wyrażone w metrach, a $t$ w sekundach. Znajdź

amplitudę;
częstotliwość;
długość fali;
kierunek rozchodzenia się fali;
indukowane pole magnetyczne.

46.

Płaska fala elektromagnetyczna o częstotliwości $20 GHz$ porusza się w kierunku dodatnich wartości osi $y$ w taki sposób, że pole $E$ oscyluje w kierunku osi $z$ . Amplituda oscylacji pola elektrycznego wynosi $10 V ∕ m$ , a wartość natężenia tego pola w chwili $t = 0 s$ osiąga maksimum.

Zapisz równanie tej fali opisujące natężenie jej pola elektrycznego;
Znajdź równanie opisujące wyindukowane pole magnetyczne.

47.

Poniższe wyrażenia opisują falę elektromagnetyczną poruszającą się w kierunku dodatnich wartości osi $y$ : $\vec{E} = E_0 \cos(kx-\omega t) \cdot \hat{j} $ , $\vec{B} = B_0 \cos(kx-\omega t) \cdot \hat{k} $ . Fala ta biegnie wewnątrz szerokiej rury o kołowym przekroju poprzecznym o promieniu $R$ ; oś symetrii rury pokrywa się z osią $y$ . Znajdź wyrażenie na prąd przesunięcia wewnątrz tej rury.

16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne

48.

W słoneczny dzień pewien student wychodzi na dwór, trzymając soczewkę dwuwypukłą o promieniu $4 cm$ nad kartką papieru. Na papierze pojawia się jasna plamka o promieniu $1 cm$ (zamiast zwyczajowego punktowego ogniska). Jaki jest stosunek natężeń pola elektrycznego w jasnej plamce do pola nieskupionego światła słonecznego?

49.

Płaska fala elektromagnetyczna przemieszcza się w kierunku północnym. W pewnym momencie natężenie pola elektrycznego wynosi $6 V ∕ m$ , a jego wektor skierowany jest na wschód. Ile wynosi wartość indukcji magnetycznej i jaki jest zwrot jej wektora?

50.

Pole elektryczne fali elektromagnetycznej dane jest wyrażeniem $\vec{E} = \SI{6}{\milli\volt\per\metre} \cdot \sin[2\pi (\frac{x}{\SI{18}{\metre}} - \frac{t}{\SI{60}{\nano\second}})]\cdot \hat{j} \text{.} $ Zapisz wyrażenie opisujące pole magnetyczne tej fali i jej wektor Poyntinga.

51.

Pewna radiostacja nadaje na częstotliwości nośnej $760 kHz$ . Maksymalna wartość indukcji magnetycznej tej fali w odbiorniku w pewnej odległości od nadajnika wynosi $2,15 \cdot 10^{- 11} T$ .

Ile wynosi w tym odbiorniku maksymalne natężenie pola elektrycznego tej fali?
Jaka jest długość tej fali?

52.

Żarnik wewnątrz przezroczystej żarówki emituje światło widzialne o mocy $5 W$ . Załóż, że żarówka ma postać kuli o promieniu $r_{0} = 3 cm$ i oblicz, jaka ilość energii pochodzącej od światła widzialnego znajduje się wewnątrz żarówki.

53.

W jakiej odległości natężenie światła emitowanego przez 100-watową żarówkę jest takie samo jak natężenie światła emitowanego przez 75-watową żarówkę w odległości $10 m$ ? Załóż, że obie żarówki mają tą samą sprawność konwersji energii elektrycznej w energię świetlną.

54.

Zwykła żarówka emituje jedynie $2,6 W$ mocy jako promieniowanie elektromagnetyczne. Ile będzie wynosić wartość skuteczna natężenia pola elektrycznego promieniowania emitowanego przez żarówkę w odległości $3 m$ od żarówki?

55.

150-watowa żarówka emituje $5 %$ pobieranej energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego. Ile będzie wynosiła średnia wartość wektora Poyntinga w odległości $10 m$ od tej żarówki?

56.

Mały laser helowo-neonowy emituje $2,5 mW$ mocy świetlnej. Jaka energia zawarta jest w promieniu światła o długości $1 m$ ?

57.

W najwyższych partiach ziemskiej atmosfery uśredniona po czasie wartość wektora Poyntinga związanego ze światłem słonecznym wynosi $1,4 kW ∕ m^{2}$ .

Ile wynoszą amplitudy natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej dla promieniowania o takim samym natężeniu?
Ile wynosi całkowita moc emitowana przez Słońce? Przyjmij, że Ziemia znajduje się $1,5 \cdot 10^{11} m$ od Słońca, a światło słoneczne złożone jest całkowicie z fal płaskich.

58.

Pole magnetyczne elektromagnetycznej fali płaskiej, rozchodzącej się w próżni wzdłuż osi $z$ , dane jest wyrażeniem $\vec{B} = B_{0} cos (k z + ω t) \hat{j}$ , gdzie $B_{0} = 5 \cdot 10^{- 10} T$ , a $k = 3,14 \cdot 10^{- 2} m^{- 1}$ .

Zapisz wyrażenie na natężenie pola elektrycznego związanego z tą falą;
Ile wynosi częstotliwość tej fali i jej długość?
Ile wynosi wartość uśrednionego wektora Poyntinga?

59.

Ile wynosi natężenie fali elektromagnetycznej, dla której amplituda natężenia pola elektrycznego to $125 V ∕ m$ ?

60.

Załóż, że laser helowo-neonowy, zwyczajowo używany przez studentów na zajęciach laboratoryjnych, emituje moc $0,5 mW$ .

Ile wyniesie natężenie światła w centrum plamki o średnicy $1 mm$ utworzonej przez taką wiązkę?
Znajdź amplitudę indukcji magnetycznej dla tej wiązki;
Znajdź amplitudę natężenia pola elektrycznego dla tej wiązki.

61.

Naziemny nadajnik radiowy w technologii AM emituje fale elektromagnetyczne o mocy $50 kW$ równomiernie we wszystkich kierunkach.

Zakładając, że wszystkie fale radiowe padające na ziemię są całkowicie absorbowane i że atmosfera i inne obiekty nie powodują rozpraszania energii fal, ile będzie wynosiło natężenie tych fal w odległości $30 km$ od nadajnika? (Wskazówka: Na górną półkulę przypada połowa mocy nadajnika);
Ile wynosi amplituda natężenia pola elektrycznego w tej odległości?

62.

Przyjmijmy, że maksymalne bezpieczne dla człowieka natężenie mikrofal wynosi $1 W ∕ m^{2}$ .

Jaka odległość będzie bezpieczna dla człowieka, jeśli z radaru „wycieka” jednorodnie we wszystkich kierunkach $10 W$ mocy promieniowania mikrofalowego? Załóż, że nie występują żadne odbicia ani absorpcje;
Ile wynosi amplituda pola elektrycznego przy bezpiecznym natężeniu?

63.

Uniwersytecki talerz do komunikacji satelitarnej ma średnicę $2,5 m$ i służy do odbioru sygnału telewizyjnego o amplitudzie natężenia pola elektrycznego (dla pojedynczego kanału) równej $7,5 µV ∕ m$ (patrz niżej).

Ile wynosi natężenie tej fali?
Jaka jest moc odbierana przez tę antenę?
Jaką moc emituje satelita, jeśli nadaje sygnał jednorodnie na całej powierzchni $1,5 \cdot 10^{13} m^{2}$ (znaczna część Ameryki Północnej)?

Rysunek pokazujący fale uderzające w czaszę anteny.

64.

Do pewnych zastosowań konstruuje się lasery zdolne do wytworzenia impulsu świetlnego o małym czasie trwania, ale bardzo dużym natężeniu. Lasery takie nazywa się impulsowymi. Używa się ich między innymi do inicjowania reakcji fuzji jądrowej. Takie lasery są zdolne do produkcji impulsów o amplitudzie pola elektrycznego równej $10^{11} V ∕ m$ , trwających $1 ns$ .

Ile wynosi amplituda indukcji magnetycznej w takim impulsie?
Ile jest równe natężenie światła dla takiego impulsu?
Ile wynosi energia dostarczana przez taki impuls do obszaru o polu powierzchni $1 {mm}^{2}$ ?

16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego

65.

150-watowa żarówka emituje $5 %$ pobieranej energii w postaci fali elektromagnetycznej. Jakie ciśnienie wywiera promieniowanie na sferę o promieniu $10 m$ otaczającą żarówkę i absorbującą padające na nią promieniowanie?

66.

Jakie ciśnienie wywiera promieniowanie emitowane przez 100-watową żarówkę na powierzchnię zwierciadła oddalonego o $3 m$ od żarówki, jeśli żarówka emituje promieniowanie o mocy $2,6 W$ w postaci światła?

67.

Mikroskopijna kulista cząstka kurzu o promieniu $2 µm$ i masie $10 µg$ porusza się w przestrzeni kosmicznej ze stałą prędkością $30 cm ∕ s$ . Fala świetlna biegnąca w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu cząsteczki kurzu pada na nią i zostaje zaabsorbowana. Zakładając, że do chwili zatrzymania cząstka porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym w czasie $1 s$ , oblicz średnią wartość amplitudy pola elektrycznego tej fali.

68.

Styropianowa kulka o promieniu $2 mm$ i masie $20 µg$ ma być zawieszona w rurze próżniowej za sprawą ciśnienia promieniowania. Jakiego natężenia światła trzeba użyć, przy założeniu, że kulka całkowicie absorbuje padające światło?

69.

Przyjmij, że ${\vec{S}}_{śr}$ dla światła słonecznego dla punktu na powierzchni Ziemi jest równe $900 W ∕ m^{2}$ .

Ile wynosi średnia wartość siły pochodzącej od światła, działającej na latawiec powleczony materiałem odbijającym o powierzchni $0,75 m^{2}$ , jeśli światło pada na niego prostopadle?
Jak zmieni się rozwiązanie (a), jeśli powleczemy latawiec materiałem całkowicie absorbującym promieniowanie?

70.

Światło słoneczne docierające do powierzchni Ziemi ma natężenie około $1 kW ∕ m^{2}$ . Osoba opalająca się na plaży na leżaku ma skierowaną ku Słońcu powierzchnię ciała równą $0,8 m^{2}$ .

Jaka ilość energii dociera do ciała opalającej się osoby w ciągu sekundy?
Jakie ciśnienie wywierane jest na ciało przez światło słoneczne, jeśli promieniowanie jest całkowicie absorbowane?

71.

Sferyczna cząstka o masie $m$ i promieniu $R$ znajdująca się w przestrzeni kosmicznej absorbuje światło o natężeniu $I$ w czasie $t$ .

Jaką pracę wykonuje ciśnienie promieniowania nad tą cząstką, gdy przyspiesza ją ze stanu spoczynku, a światło jest całkowicie absorbowane?
Ile energii niesionej przez falę elektromagnetyczną jest absorbowane przez cząstkę w tym czasie?

16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego

72.

Ile atomów helu o promieniu równym około $31 pm$ należy umieścić obok siebie, by utworzył się łańcuch o długości pojedynczej fali światła niebieskiego, równej $470 nm$ ?

73.

Jeśli chcesz zaobserwować detale porównywalne z rozmiarami atomów (około $0,2 nm$ ) przy użyciu fal elektromagnetycznych, musisz zastosować fale o podobnej długości.

Jaka będzie częstotliwość takich fal?
Jaki to będzie rodzaj fal elektromagnetycznych?

74.

Znajdź zakres częstotliwości światła widzialnego, zakładając, że jego długości obejmują zakres od $380 nm$ do $760 nm$ .

75.

Oblicz zakres długości radiowych fal AM przy założeniu, że pasmo to zawiera się pomiędzy $540 kHz$ a $1600 kHz$ ;
Wykonaj identyczne obliczenia dla radiowych fal FM o zakresie częstotliwości od $88 MHz$ do $108 MHz$ .

76.

Radiostacja WWVB jest położna w Fort Collins, w stanie Kolorado, i obsługiwana jest przez Narodowy Instytut Standaryzacji i Technologii (NIST, National Institute of Standards and Technology). Nadaje ona sygnał synchronizacji czasu o częstotliwości $60 kHz$ , a zasięgiem pokrywa całe kontynentalne Stany Zjednoczone. Sygnał synchronizacji dostrajany jest przy użyciu zestawu zegarów atomowych z dokładnością do $10^{- 12} s$ i powtarzany dokładnie co minutę. Jest on używany przez różne urządzenia, jak np. zegary radiowe, które automatycznie się z nim synchronizują. Długofalowy sygnał radiostacji WWVB rozchodzi się blisko powierzchni Ziemi.

Oblicz długość fali nadawanej przez WWVB;
Oszacuj błąd spowodowany czasem rozchodzenia się sygnału przy synchronizacji zegarka radiowego w Norfolk w stanie Wirginia, oddalonym o $2527 km$ od WWVB.

77.

Zewnętrzny ruter WiFi nadaje sygnał o mocy $100 mW$ i zasięgu około $30 m$ . Ile musiałaby wynosić moc sygnału, aby zasięg zmniejszył się do $12 m$ , zakładając, że odbiornik sygnału pozostaje ten sam? Załóż, że sygnał nie napotyka żadnych przeszkód, a mikrofale emitowane w kierunku gruntu są przezeń absorbowane.

78.

Przedrostki „mega” ( $M$ ) i „kilo” ( $k$ ) w odniesieniu do wielkości informatycznych mówią o mnożnikach $2^{10}$ ( $1024$ ) zamiast zwyczajowego $1000$ dla „kilo” i $2^{20}$ ( $1024^{2}$ ) zamiast $1 000 000$ dla „mega”. Jeśli ruter WiFi ma transfer o szybkości $\SI{150}{\mega\bajt\per\second}$ , ile to jest bitów na sekundę w systemie dziesiętnym?

79.

Użytkownik dowiedział się, że jego ruter WiFi ma szybkość transmisji danych równą $\SI{75}{\mega\bajt\per\second}$ (megabitów na sekundę). Porównaj średni czas transmisji pojedynczego bitu danych z czasem potrzebnym na przesłanie sygnału do odbiornika przez odbicie sygnału od ściany znajdującej się $8 m$ za odbiornikiem.

80.

Idealna długość (odpowiadająca największej wydajności) anteny nadawczej o jednym końcu umieszczonym na ziemi jest równa ćwiartce długości nadawanej fali ( $λ ∕ 4$ ). Jeśli radiostacja wyposażona jest w taką antenę o wysokości $50 m$ , to jakie fale nadawane są z największą wydajnością? Czy jest to pasmo AM, czy FM?
Przedyskutuj podobieństwa pomiędzy tonem podstawowym kolumny powietrza zamkniętej z jednej strony a rezonansem prądów w antenie o długości $λ ∕ 4$ .

81.

Ile wynoszą długości fal

promieni X o częstotliwości $2 \cdot 10^{17} Hz$ ;
światła żółtego o częstotliwości $5,1 \cdot 10^{14} Hz$ ;
promieni γ o częstotliwości $10^{23} Hz$ ?

82.

Ile wynoszą $f$ , $ω$ i $k$ dla czerwonego światła o $λ = 660 nm$ ?

83.

Nadajnik radiowy emituje płaskie fale elektromagnetyczne, dla których amplituda natężenia pola elektrycznego w pewnym miejscu jest równa $1,55 \cdot 10^{- 3} V ∕ m$ . Ile wynosi amplituda indukcji pola magnetycznego, związanego z falami w tym miejscu? Jaka jest to wielkość w porównaniu z ziemskim polem magnetycznym?

84.

Dwie częstotliwości mikrofal zostały zatwierdzone do użycia w kuchenkach mikrofalowych: $915 MHz$ i $2450 MHz$ . Wyznacz długości mikrofal wytwarzanych przez te kuchenki;
Dla której z podanych częstotliwości odległości między punktami, w których umieszczona w kuchence żywność jest grzana, są mniejsze?

85.

W czasie swojej normalnej pracy ludzkie serce wytwarza maksymalną różnicę potencjałów $4 mV$ między punktami leżącymi wzdłuż klatki piersiowej, oddalonymi od siebie o $0,3 m$ , co powoduje wytworzenie się fali elektromagnetyczej o częstotliwości $1 Hz$ .

Ile wynosi amplituda natężenia pola elektrycznego wytworzonej fali?
Ile wynosi amplituda natężenia pola magnetycznego wytworzonej fali?
Jaka jest długość tej fali?

86.

Odległości kosmiczne są często wyrażane za pomocą lat świetlnych, czyli odległości, jaką przebywa światło w ciągu jednego roku.

Ile metrów ma 1 rok świetlny?
Ile wynosi odległość od najbliższej dużej galaktyki – Andromedy wyrażona w metrach, jeśli równa się ona $2,54 \cdot 10^{6}$ lat świetlnych?
Najbardziej oddalona z odkrytych galaktyk znajduje się w odległości $13,4 \cdot 10^{9}$ lat świetlnych od Ziemi. Ile to metrów?

87.

Pewna linia przesyłowa prądu o częstotliwości $60 Hz$ emituje fale elektromagnetyczne o amplitudzie pola elektrycznego równej $13 kV ∕ m$ .

Ile jest równa długość tej fali?
Jakiego rodzaju jest to promieniowanie elektromagnetyczne?
Ile wynosi amplituda natężenia pola magnetycznego dla tej fali?

88.

Jaka jest częstotliwość fali ultrafioletowej o długości $193 nm$ , używanej w laserowej chirurgii oka?
Zakładając, że dokładność, z jaką promieniowanie elektromagnetyczne może wypalać rogówkę, jest wprost proporcjonalna do długości fali, ile razy bardziej dokładne jest używane promieniowanie UV od światła o najkrótszej długości fali widzianej przez oko?