Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 216.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać tzw. poprawkę Maxwella do prawa Ampere’a przez dodanie prądu przesunięcia;
  • zapisywać i stosować równania Maxwella w postaci całkowej;
  • wyjaśniać, jak symetria pomiędzy zmiennymi polami elektrycznymi i magnetycznymi tłumaczy przewidywania Maxwella odnośnie fal elektromagnetycznych;
  • opisywać, jak Hertz potwierdził przewidywania Maxwella co do istnienia fal elektromagnetycznych.

James Clerk Maxwell (1831–1879) był jednym z największych fizyków XIX wieku (Ilustracja 16.2). Pomimo swojej przedwczesnej śmierci znacząco przyczynił się do rozwoju kinetycznej teorii gazów, zrozumienia zjawiska widzenia kolorów czy natury pierścieni Saturna. Jednak jest on najbardziej znany ze względu na skonsolidowanie całej ówczesnej wiedzy o zjawiskach elektrycznych i magnetycznych. Dodając do niej również swoje pomysły i obserwacje, sformułował pełną i skończoną teorię zjawisk elektromagnetycznych, przedstawianą skrótowo w postaci równań Maxwella.

Fotografia Jamesa Clerka Maxwella.
Ilustracja 16.2 James Clerk Maxwell – XIX-wieczny fizyk, który opracował teorię wyjaśniającą powiązania pomiędzy elektrycznością i magnetyzmem, a także prawidłowo przewidział, że światło widzialne jest rodzajem fal elektromagnetycznych.

Poprawka Maxwella do praw elektryczności i magnetyzmu

Cztery podstawowe prawa elektryczności i magnetyzmu zostały odkryte eksperymentalnie dzięki pracom takich fizyków, jak: Ørsted, Coulomb, Gauss czy Faraday. Maxwell odnalazł w tych wcześniejszych pracach pewne logiczne nieścisłości i zidentyfikował problem w postaci niekompletności prawa Ampère’a.

Przypomnijmy sobie, że według prawa Ampère’a całka wektora indukcji magnetycznej wytworzonego przez prąd przepływający przez zamkniętą pętlę C C jest proporcjonalna do natężenia prądu i i przepływającego przez dowolną powierzchnię, której brzegiem jest ta pętla (mała litera oznacza, że wielkość zależna jest od czasu i t = i i t =i)

C B d l = μ 0 i . C B d l = μ 0 i .
16.1

Istnieje nieskończenie wiele powierzchni ograniczonych przez daną pętlę, a prawo Ampère’a według definicji z Równania 16.1 jest niezależne od wyboru powierzchni.

Rozpatrzmy sytuację z Ilustracji 16.3. Źródło siły elektromotorycznej zostaje podłączone do kondensatora składającego się z dwóch równoległych płytek metalowych w taki sposób, że w przewodzie pojawia się prąd, którego natężenie zależy od czasu. Zastosujmy prawo Ampère’a do pętli C C, przedstawionej na rysunku w chwili przed całkowitym naładowaniem kondensatora, a więc gdy i 0 i0. Natężenie prądu płynącego przez powierzchnię S 1 S 1 jest większe od zera, zaś przez powierzchnię S 2 S 2 równe zero

C B d l = μ 0 i dla  S 1 0 dla  S 2 . C B d l = μ 0 i dla  S 1 0 dla  S 2 . \oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{s} = \left{ \begin{matrix} \mu_0 i & \text{dla } S_1 \\ 0 & \text{dla } S_2 \text{.} \end{matrix} \right.

Jasne jest, że w takim sformułowaniu prawo Ampère’a nie działa. Nie jest to zaskoczeniem, gdyż prawo Ampère’a używane we wcześniejszych rozdziałach wymagało stałego przepływu ładunku. Tymczasem w naszym przykładzie natężenie prądu zmienia się w czasie i to niekoniecznie jednostajnie.

Rysunek przedstawia przewód połączony z płaszczyzną równolegle do płaszczyzny kondensatora. Prąd l przepływa przez niego ku dołowi. Przewód przechodzi również przez płaską powierzchnię cylindra na szczycie kondensatora. Powierzchnia oznaczona S1 i jej okrągła granica oznaczona jest C. Pokazana jest strzałka stycznie do C. Boki cylindra zwężają się ku dołowi i do wewnątrz. Powierzchnia oznaczona jest S2. Pokazane są linie pola oznaczone wektorem E między dwiema płytkami kondensatora, skierowane ku dołowi.
Ilustracja 16.3 Prądy płynące przez powierzchnię S 1 S 1 i przez powierzchnię S 2 S 2 nie są co do wartości równe, mimo że obie powierzchnie ograniczone są tą samą pętlą C C .

Jak można zatem zmodyfikować prawo Ampère’a, aby działało we wszystkich przypadkach? Maxwell zaproponował włączenie dodatkowego czynnika, nazywanego prądem przesunięcia, do rzeczywistego natężenia prądu i i

C B d l = μ 0 i + i p , C B d l = μ 0 i + i p ,
16.2

gdzie prąd przesunięcia zdefiniowany jest jako

i p = ε 0 d Φ E d t . i p = ε 0 d Φ E d t .
16.3

ε 0 ε 0 jest tutaj przenikalnością elektryczną próżni (ang. permittivity of free space), a Φ E Φ E jest strumieniem pola elektrycznego (ang. electric flux) zdefiniowanym jako

Φ E = powierzchnia  S E d S . Φ E = powierzchnia  S E d S .

Prąd przesunięcia (ang. displacement current) jest czynnikiem odpowiadającym prawdziwemu prądowi z prawa Ampère’a. Jest on jednak wytwarzany przez zmienne pole elektryczne. Składnik ten opisuje wytwarzanie pola magnetycznego przez zmienne pole elektryczne, jak w przypadku faktycznego przepływu prądu. Jednak prąd przesunięcia wytwarza pole magnetyczne nawet wtedy, gdy nie płynie żaden rzeczywisty prąd. Gdy uwzględni się ten dodatkowy składnik, prawo Ampère’a przybiera postać

C B d l = μ 0 i + ε 0 μ 0 d Φ E d t C B d l = μ 0 i + ε 0 μ 0 d Φ E d t
16.4

i jest ono niezależne od wyboru powierzchni S S, przez którą przepływa prąd.

Możemy teraz przeanalizować zmodyfikowane prawo Ampère’a, aby potwierdzić, że działa ono bez względu na to, czy wybrana jest powierzchnia S 1 S 1 , czy S 2 S 2 z Ilustracji 16.3. Pole elektryczne E E , odpowiadające strumieniowi Φ E Φ E w Równaniu 16.3, zlokalizowane jest pomiędzy okładkami kondensatora. Tym samym pole E E i prąd przesunięcia liczone dla powierzchni S 1 S 1 są równe zero, a Równanie 16.2 przyjmuje postać

C B d l = μ 0 i . C B d l = μ 0 i .
16.5

Należy teraz wykazać, że dla powierzchni S 2 S 2 , przez którą nie przepływa żaden rzeczywisty prąd, obecność prądu przesunięcia spowoduje otrzymanie tej samej wartości μ 0 i μ 0 i dla prawej strony prawa Ampère’a. Dla powierzchni S 2 S 2 , równanie wygląda jak poniżej

C B d l = μ 0 d d t ε 0 powierzchnia  S 2 E d S . C B d l = μ 0 d d t ε 0 powierzchnia  S 2 E d S . \oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{s} = \mu_0 \dd t (\epsilon_0 \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A}) \text{.}
16.6

Prawo Gaussa dla ładunków elektrycznych wymaga zastosowania powierzchni zamykającej pewną przestrzeń, przez co nie można go zastosować do samej tylko powierzchni S 1 S 1 ani samej tylko powierzchni S 2 S 2 . Jednak powierzchnia bryły utworzonej z połączenia powierzchni S 1 S 1 i S 2 S 2 z Ilustracji 16.3 jest zamknięta, co oznacza, że można do niej zastosować prawo Gaussa. Ponieważ pole elektryczne przenikające przez powierzchnię S 1 S 1 jest równe zero, strumień tego pola również będzie zerowy. Tym samym

powierzchnia  S 1 + S 2 E d S = powierzchnia  S 1 E d S + powierzchnia  S 2 E d S powierzchnia  S 1 + S 2 E d S = 0 + powierzchnia  S 2 E d S = powierzchnia  S 2 E d S . powierzchnia  S 1 + S 2 E d S = powierzchnia  S 1 E d S + powierzchnia  S 2 E d S powierzchnia  S 1 + S 2 E d S = 0 + powierzchnia  S 2 E d S = powierzchnia  S 2 E d S . \begin{multiline} \prefop{\u{222F}}_{\text{powierzchnia } S_1+S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} &= \iint_{\text{powierzchnia } S_1} \vec{E} \cdot \d \vec{A} + \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} \\ &= 0 + \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} = \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} \text{.} \end{multiline} powierzchnia  S 1 + S 2 E d S = powierzchnia  S 1 E d S + powierzchnia  S 2 E d S = 0 + powierzchnia  S 2 E d S = powierzchnia  S 2 E d S .

Dzięki temu możemy zamienić w Równaniu 16.5 całkę po powierzchni S 2 S 2 na całkę po zamkniętej powierzchni Gaussa S 1 + S 2 S 1 + S 2 , a następnie zastosować prawo Gaussa, aby otrzymać

C B d l = μ 0 d q d t = μ 0 i . C B d l = μ 0 d q d t = μ 0 i .
16.7

Widać więc, że zmodyfikowane prawo Ampère’a daje taki sam wynik dla powierzchni S 2 S 2 (dzięki poprawce od prądu przesunięcia) jak dla powierzchni S 1 S 1 (gdzie wynika on z oryginalnej postaci prawa).

Przykład 16.1

Prąd przesunięcia w ładującym się kondensatorze

Kondensator o płasko-równoległych okładkach i pojemności C C, którego okładki mają powierzchnię A A i oddalone są od siebie o odległość d d, podłączono do opornika R R i baterii o napięciu U 0 U 0 . Przepływ prądu rozpoczyna się w chwili t = 0 s t= 0 s .
  1. Znajdźmy prąd przesunięcia pomiędzy okładkami kondensatora w chwili t t.
  2. Na podstawie własności kondensatora znajdźmy prąd rzeczywisty i = d q d t i= d q d t i porównajmy rozwiązanie z oczekiwanym natężeniem prądu dla takiego obwodu RC.

Strategia rozwiązania

Należy wykorzystać równania do analizy obwodów RC (Obwody prądu zmiennego) oraz prawo Ampère’a z poprawką Maxwella.

Rozwiązanie

  1. Napięcie pomiędzy okładkami w czasie t t dane jest wzorem
    u C = q C = U 0 1 e t R C . u C = q C = U 0 1 e t R C .
    Umówmy się, że oś z z skierowana będzie od okładki dodatniej do okładki ujemnej. Wtedy składowa z z-owa pola elektrycznego pomiędzy okładkami w funkcji czasu będzie równa
    E z t = U 0 d 1 e t R C . E z t = U 0 d 1 e t R C .
    Oznacza to, że składowa z z-owa prądu przesunięcia i p i p pomiędzy okładkami wynosi
    i p = ε 0 A E z t t = ε 0 A U 0 d 1 R C e t R C = U 0 R e t R C , i p = ε 0 A E z t t = ε 0 A U 0 d 1 R C e t R C = U 0 R e t R C ,
    przy czym użyliśmy wzoru C = ε 0 A d C= ε 0 A d dla pojemności kondensatora.
  2. Z wyrażenia na u C u C otrzymujemy, że ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora wynosi
    q = C u C = C U 0 1 e t R C . q= C u C = C U 0 1 e t R C .
    Natężenie prądu płynącego przez kondensator po zamknięciu obwodu jest tym samym równe
    i = d q d t = U 0 R e t R C . i= d q d t = U 0 R e t R C .
    Ten prąd jest równy prądowi przesunięcia i p i p , obliczonemu w podpunkcie (a).

Równania Maxwella

Z uwzględnieniem poprawki prądu przesunięcia równania Maxwella otrzymują formę

E d S = q ε 0  (Prawo Gaussa), E d S = q ε 0  (Prawo Gaussa), \prefop{\u{222F}} \vec{E} \cdot \d \vec{A} = \frac{q}{\epsilon_0} \text{ (Prawo Gaussa),}
16.8
B d S = 0  (Prawo Gaussa dla pola magnetycznego), B d S = 0  (Prawo Gaussa dla pola magnetycznego), \prefop{\u{222F}} \vec{E} \cdot \d \vec{A} = 0 \text{ (Prawo Gaussa dla pola magnetycznego),}
16.9
E d l = d Φ B d t  (Prawo Faradaya), E d l = d Φ B d t  (Prawo Faradaya),
16.10
B d l = μ 0 i + ε 0 μ 0 d Φ E d t  (Prawo Ampère’a-Maxwella). B d l = μ 0 i + ε 0 μ 0 d Φ E d t  (Prawo Ampère’a-Maxwella).
16.11

Kiedy wektory E E i B B zostaną wyliczone za pomocą powyższych czterech równań, wzór na siłę Lorentza (ang. Lorentz force equation) ma następującą postać

F = q E + q v × B . F = q E + q v × B .
16.12

Powyższe równanie pozwala na ustalenie, z jaką siłą pola te oddziałują na cząstkę o ładunku q q, poruszającą się z prędkością v v . Siła Lorentza uwzględnia oddziaływanie obu tych pól na poruszający się w nich ładunek. Zarówno siły magnetyczne, jak i elektryczne były już omawiane we wcześniejszych rozdziałach.

Równania Maxwella

  1. Prawo Gaussa

    Strumień pola elektrycznego przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest ładunkowi elektrycznemu q q zamkniętemu wewnątrz tej powierzchni. Prawo Gaussa (Równanie 16.8) opisuje związek pomiędzy ładunkiem elektrycznym a polem, które on wytwarza. Konsekwencją tego związku jest charakter linii pola elektrycznego, które biegną od cząstek dodatnio naładowanych i kończą się na cząstkach ujemnie naładowanych, a linie w każdym punkcie wskazują kierunek pola elektrycznego.

  2. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

    Strumień indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest zero (Równanie 16.9). Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że linie pola magnetycznego są ciągłe – nie mają początku ani końca. Każda linia pola magnetycznego „wchodząca” do obszaru ograniczonego zamkniętą powierzchnią musi również go „opuścić”. Do tej pory nie odkryto żadnych źródeł pola magnetycznego analogicznych do źródeł pola elektrycznego, czyli monopoli magnetycznych – punktów, w których linie pola magnetycznego kończyłyby się (lub zaczynały) (patrz Pola magnetyczne i ich linie).

  3. Prawo Faradaya

    Zmieniający się strumień indukcji magnetycznej indukuje siłę elektromotoryczną, a przez to pole elektryczne. Kierunek siły elektromotorycznej stara się zapobiec zmianom. Trzecie równanie Maxwella (Równanie 16.10) to sformułowanie prawa Faradaya, zawierające też regułę Lenza. Linie pola elektrycznego, indukowanego przez zmienne pole magnetyczne, mają kształt zamkniętych pętli, bez początku ani końca.

  4. Prawo Ampère’a-Maxwella

    Pola magnetyczne są generowane przez poruszające się ładunki lub przez zmieniający się strumień pola elektrycznego. To czwarte równanie Maxwella (Równanie 16.11) zawiera w sobie prawo Ampère’a i dodaje kolejne źródło pól magnetycznych – zmienne pola elektryczne.

Równania Maxwella wraz ze wzorem na siłę Lorentza tworzą komplet praw opisujących zjawiska elektryczne i magnetyczne. Symetria, jaką Maxwell wprowadził tymi sformułowaniami matematycznymi, może nie być widoczna na pierwszy rzut oka. Prawo Faradaya stwierdza, że zmienne pole magnetyczne jest źródłem dla pola elektrycznego. Prąd przesunięcia, wprowadzony przez Maxwella, wyjaśnia, że zmienne pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego. Równania opisujące efekty zmienności pól elektrycznych i magnetycznych różnią się jedynie tam, gdzie brak monopoli magnetycznych spowodował wyzerowanie się niektórych czynników. Ta symetria w konsekwencjach zmian w polach magnetycznym i elektrycznym okaże się niezbędna do wyjaśnienia natury fal elektromagnetycznych.

Późniejsze użycie teorii względności Einsteina do interpretacji pełnej i symetrycznej teorii Maxwella udowodniło, że siły elektryczne i magnetyczne to nie oddzielne siły, lecz są one przejawem tego samego oddziaływania – oddziaływania elektromagnetycznego. Oddziaływanie to i słabe oddziaływania jądrowe są podobnie ze sobą zunifikowane – jako oddziaływania elektrosłabe. Ta unifikacja sił była jedną z głównych motywacji dla prób połączenia wszystkich czterech podstawowych oddziaływań przyrody: grawitacyjnych, elektromagnetycznych, jądrowych silnych i jądrowych słabych w jedno oddziaływanie (patrz Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia).

Mechanizm rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

Aby dowieść, że postulowana przez Maxwella symetria jednoznacznie wskazuje na istnienie połączonych fal elektrycznych i magnetycznych rozchodzących się w przestrzeni, wyobraźmy sobie zmienne w czasie pole magnetyczne B 0 t B 0 t wytwarzane przez prąd zmienny o wysokiej częstotliwości, co pokazano na Ilustracji 16.4. Pole B 0 t B 0 t przedstawiono na nim za pomocą pojedynczej linii tego pola. Z prawa Faradaya wynika, że zmienne pole magnetyczne przepływające przez powierzchnię wytwarza zmienne w czasie pole elektryczne E 0 t E 0 t na granicy tej powierzchni. Źródło pola elektrycznego wytwarzanego jako konsekwencja prądu przesunięcia zachowuje się podobnie do źródła pola magnetycznego wytwarzanego jako skutek prawa Faradaya – wytwarza pole o liniach będących zamkniętymi pętlami. Jest to konsekwencja matematycznej symetrii występującej w równaniach opisujących indukowane pole elektryczne i indukowane pole magnetyczne. Na rysunku przedstawiono również pojedynczą linię pola E 0 t E 0 t . Wyindukowane zmienne pole E 0 t E 0 t wytwarza następnie pole magnetyczne B 1 t B 1 t zgodnie ze zmodyfikowanym prawem Ampère’a. To zmienne pole indukuje pole E 1 t E 1 t , które indukuje pole B 2 t B 2 t i tak dalej. Mamy zatem samopodtrzymujący się proces, który prowadzi do powstania zmiennego w czasie pola elektrycznego i magnetycznego w obszarach coraz to bardziej oddalonych od punktu początkowego. Proces ten może służyć jako wizualizacja mechanizmu rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w przestrzeni.

Rysunek przedstawia 3 wymiarowy schemat. Drut przewodzący prąd AC jest położony wzdłuż osi z. Okrąg oznaczony B0 otacza przewód i leży na płaszczyźnie xy. Inny okrąg, oznaczony E0 otacza B0. E0 leży na płaszczyźnie xz. Okrąg B1 przechodzi przez E0 i E1 przechodzi przez B1 tworząc rodzaj łańcucha. Okręgi B0, B1 i B2 są w płaszczyźnie xy, ze środkami wzdłuż osi x. Przeplecione są z okręgami E0, E1 i E2 w płaszczyźnie xz, których środki leżą na osi y.
Ilustracja 16.4 Rysunek przedstawia, w jaki sposób pola E E i B B rozchodzą się w przestrzeni.

W kolejnym podrozdziale przedstawimy matematycznie, jak równania Maxwella przewidują istnienie fal elektromagnetycznych, mogących poruszać się w przestrzeni bez obecności medium materialnego, i implikują równość prędkości tych fal z prędkością światła.

Jeszcze przed publikacją prac Maxwella wykonywano eksperymenty, które wskazywały, że światło wykazuje naturę falową, jednak natura fal świetlnych pozostawała nieznana. W 1801 roku Thomas Young (1773–1829) pokazał, że gdy promień świetlny zostanie podzielony i przepuszczony przez dwie wąskie szczeliny, a następnie ponownie połączony, na ekranie uformuje się pewien wzór złożony z na przemian jasnych i ciemnych prążków. Young tłumaczył to zachowanie, zakładając, że światło złożone jest z fal, które – po przejściu przez szczeliny – dodają się w pewnych punktach konstruktywnie, a w pewnych punktach destruktywnie (patrz Interferencja). Później Augustin Fresnel (1788–1827) przez drobiazgowe eksperymenty z wykorzystaniem interferencji i dyfrakcji światła, ugruntował przekonanie o falowej naturze światła, a ostatecznego dowodu dostarczył Léon Foucault (1819–1868), mierząc prędkość światła w różnych ośrodkach i wykazując, że – wbrew teorii korpuskularnej – jest w nich mniejsza niż w próżni. Zatem wiadomym było, że światło jest falą. Maxwell zaś przewidział istnienie fal elektromagnetycznych rozchodzących się z prędkością światła. Wnioski nasunęły się same: światło musi być formą promieniowania elektromagnetycznego. Jednakowoż równania Maxwella pokazywały także, że fale elektromagnetyczne mogą też mieć inne częstotliwości i długości, nie tylko te świetlne. Maxwell wykazał, że promieniowanie elektromagnetyczne o takich samych własnościach fizycznych jak światło widzialne powinno istnieć dla dowolnej częstotliwości. Sprawdzenie i potwierdzenie swoich przewidywań pozostawił innym.

Sprawdź, czy rozumiesz 16.1

Jeśli do zacisków rozładowanego kondensatora przyłożona i włączona zostanie siła elektromotoryczna, to kiedy wyindukowane przez prąd przesunięcia pole magnetyczne będzie miało najwyższą wartość?

Obserwacje Hertza

Niemiecki fizyk Heinrich Hertz (1857–1894) był pierwszą osobą, która wygenerowała i była w stanie wykryć pewien konkretny rodzaj fal elektromagnetycznych w warunkach laboratoryjnych. Począwszy od roku 1887 przeprowadził on serię eksperymentów, które nie tylko potwierdziły istnienie fal elektromagnetycznych, lecz także dowiodły, że rozchodzą się one z prędkością światła.

Hertz używał zmiennoprądowego obwodu RLC (opornik-cewka-kondensator), który rezonuje dla znanej częstotliwości f 0 = 1 2 π L C f 0 = 1 2 π L C , podłączonego do drucianej pętli, jak pokazano na Ilustracji 16.5. Wysokie napięcie wyindukowane na szczelinie iskrownika powodowało wytworzenie się iskry, będącej widocznym dowodem przepływu prądu w obwodzie, i umożliwiało generację fal elektromagnetycznych.

Po drugiej stronie swojego laboratorium Hertz umieścił drugą pętlę, połączoną z kolejnym obwodem RLC, który mógł być dostrajany (tak samo jak radioodbiornik) do tej samej częstotliwości rezonansowej co pierwszy obwód i tym samym służyć jako odbiornik fal elektromagnetycznych. Ta pętla również posiadała przerwę, w której wytwarzały się iskry, będące dowodem, że obwód odbiera fale elektromagnetyczne.

Rysunek przedstawia obwód z lewej z R, L i C połączonych szeregowo do AC źródła napięcia. Rezonuje on jako f ze znakiem 0 równym u góry 1 przez 2 pi pierwiastek z LC. Induktor w obwodzie tworzy pierwotną cewkę transformatora. Druga cewka jest połączona z pętlą oznaczoną jako pętla 1 nadajnika. W obrębie pętli jest szczelina nazwana na rysunku szczeliną iskrową. W pewnej odległości w prawo znajduje się druga pętla oznaczona jako pętla 2 odbiorcza. Słowa napisane w jej środku oznaczają indukowane iskry. Jest ona połączona z pudełkiem oznaczającym tuner.
Ilustracja 16.5 Schemat aparatury wykorzystywanej przez Hertza w 1887 roku do generacji i detekcji fal elektromagnetycznych.

Hertz badał też odbicie, załamanie i obrazy interferencyjne wygenerowanych przez siebie fal elektromagnetycznych, jeszcze mocniej potwierdzające falową naturę tego zjawiska. Na podstawie obrazów interferencyjnych był w stanie wyznaczyć długość fal i obliczyć prędkość ich rozchodzenia się, używając wzoru v = f λ v= f λ , gdzie v v oznacza prędkość rozchodzenia się, f f jest częstotliwością fali, a λ λ jej długością. Hertz mógł przez to niepodważalnie dowieść, że fale elektromagnetyczne poruszają się z prędkością światła. W układzie SI ku jego pamięci nazwano jego imieniem jednostkę częstotliwości – herc ( 1 Hz 1Hz to 1 cykl na sekundę).

Sprawdź, czy rozumiesz 16.2

Czy samo pole elektryczne mogłoby rozchodzić się przez próżnię jako fala bez obecności pola magnetycznego? Wyjaśnij swoją odpowiedź.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.