16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne

Każdy, kto używał kiedykolwiek kuchenki mikrofalowej, wie, że fala elektromagnetyczna przenosi energię. Niekiedy jest to tak oczywiste, że nawet się nad tym nie zastanawiamy – jak w przypadku promieni słonecznych w gorący, lipcowy dzień. Czasami fala elektromagnetyczna przyjmuje bardziej subtelne formy – jak niewyczuwalna energia promieni gamma, które niszczą żywe komórki.

Fale elektromagnetyczne dostarczają energię przez pola – elektryczne i magnetyczne. Pola te mogą wytwarzać siły i poruszać ładunkami w układzie, a w ten sposób wykonywać w tym układzie pracę. Jednak fala elektromagnetyczna niesie w sobie energię bez względu na to, czy została ona pochłonięta, czy też nie. Po wytworzeniu fala unosi ze sobą energię ze źródła. Jeśli część energii zostanie gdzieś pochłonięta, natężenia oscylujących pól maleją, a pozostała energia przenoszona jest dalej.

Oczywistym jest, że im silniejsze są indukowane pola elektryczne i magnetyczne, tym większą pracę mogą one wykonać i tym większą energię niesie fala elektromagnetyczna. Dla takiej fali amplituda jest maksymalnym natężeniem pola elektrycznego lub magnetycznego (Ilustracja 16.10). Energia fali jest więc ściśle zależna od amplitudy.

Ilustracja 16.10 Energia niesiona przez falę zależna jest od amplitudy tej fali. Dla fal elektromagnetycznych dwukrotne zwiększenie wartości $E$ i $B$ powoduje czterokrotne zwiększenie gęstości energii $u$ i strumienia energii $uc$.

W przypadku fali płaskiej, biegnącej w kierunku dodatnich wartości osi $x$ z fazą dobraną tak, by maksymalne natężenie pola w początku układu współrzędnych przypadało na czas $t=0\mathrm{s}$, pola elektryczne i magnetyczne muszą podlegać zależnościom

Energia fali elektromagnetycznej w dowolnej chwili jest sumą energii pól elektrycznego i magnetycznego, a energia przypadająca na jednostkę objętości, nazywana też gęstością energii $u$, jest sumą gęstości energii pochodzących od pola elektrycznego i pola magnetycznego. Wyrażenia opisujące gęstość energii obu pól zostały wyprowadzone wcześniej ($u_E$ w Pojemność elektryczna i $u_B$ w Indukcyjność). Dodając te dwa wyrażenia, otrzymujemy

Równanie $E=cB={\left({\epsilon }_0{\mu }_0\right)}^{-1∕2}B$ pokazuje też, że gęstość energii pola magnetycznego $u_B$ i gęstość energii pola elektrycznego $u_E$ są sobie równe, mimo że zmienne pole elektryczne generuje słabe pole magnetyczne. Ta równość gęstości energii obu pól prowadzi do równania

Gęstość energii przemieszcza się wraz z przemieszczającymi się polami elektrycznym i magnetycznym.

Szybkość transportu energii możemy ustalić poprzez rozważenie małego odcinka czasu $\Delta t$. Jak pokazano na Ilustracji 16.11, energia w objętości cylindra o długości $c\Delta t$ i polu przekroju poprzecznego $A$ przenika przez płaszczyznę poprzeczną w czasie $\Delta t$.

Ilustracja 16.11 Energia $uAc\Delta t$ zawarta w polach elektrycznym i magnetycznym fali elektromagnetycznej, w objętości $Ac\Delta t$, przenika przez powierzchnię $A$ w czasie $\Delta t$.

Energia przenikająca przez powierzchnię $A$ w czasie $\Delta t$ wynosi

Energia przypadająca na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, przechodząca przez płaszczyznę prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali, nazywana gęstością strumienia energii (ang. energy flux) i zapisywana jako $S$, może zostać obliczona przez podzielenie energii przez pole powierzchni $A$ i czas $\Delta t$

W bardziej ogólnym ujęciu gęstość strumienia energii przez dowolną powierzchnię zależy też od orientacji tej powierzchni. Aby uwzględnić tę orientację, wprowadza się wektor $\overrightarrow{S}$, nazywany wektorem Poyntinga (ang. Poynting vector), zdefiniowany jako

Wynik mnożenia wektorowego wektorów $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ jest również wektorem o kierunku prostopadłym do obu mnożników. Aby potwierdzić, że kierunek ten jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się, a nie jemu przeciwny, wróćmy do Ilustracji 16.7. Zwróćmy uwagę, że reguła Lenza i prawo Faradaya powodują, że dla rosnącego w czasie pola magnetycznego pole elektryczne musi być silniejsze w $x$ niż w $x+\Delta x$. W tym punkcie i tej chwili natężenie pola elektrycznego maleje więc ze wzrostem $x$. Proporcjonalność pomiędzy wartościami wektorów $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ wymusza, by natężenie pola elektrycznego rosło w czasie wraz z wartością indukcji pola magnetycznego. Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy fala rozchodzi się w prawą stronę diagramu, co z kolei implikuje, że wektor wynikowy $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}∕{\mu }_0$ ma dokładnie ten sam kierunek i zwrot co kierunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej.

Gęstość strumienia energii jest zależny od czasu, co można zobaczyć przez podstawienie $u$ z Równania 16.23 do Równania 16.27

Ponieważ częstotliwość światła widzialnego jest bardzo wysoka, rzędu ${10}^{14}\mathrm{Hz}$, gęstość strumienia energii dla światła widzialnego przenikający dowolną powierzchnię jest szybkozmienną funkcją czasu. Przez to niemal wszystkie urządzenia pomiarowe, włączając w to ludzkie oczy, są w stanie wykryć jedynie wartość uśrednioną po czasie. Taka średnia wartość gęstości strumienia energii to natężenie $I$ energii elektromagnetycznej i jest ona równoważna mocy przypadającej na jednostkę powierzchni. Można ją wyliczyć przez uśrednienie funkcji cosinus w Równaniu 16.29 po jednym pełnym cyklu

Możemy albo obliczyć wartość powyższej całki, albo zauważyć, że sinus i cosinus różnią się jedynie przesunięciem w fazie, przez co średnia po pojedynczej oscylacji dla ${cos}^{2}x$ będzie taka sama jak dla ${sin}^{2}x$. Wtedy otrzymujemy

gdzie nawiasy ostre $\langle \text{⋯}\rangle$ oznaczają operację uśredniania po czasie. Zatem natężenie światła, biegnącego z prędkością $c$ przez próżnię, będzie wynosić

Jest ono wyrażone przez amplitudę natężenia pola elektrycznego $E_0$. Przekształcenia algebraiczne dają też zależność

gdzie $B_0$ jest amplitudą indukcji magnetycznej. Pomocne jest jeszcze jedno wyrażenie na $I_{\text{śr}}$, przedstawione przy pomocy parametrów zarówno pola $E$, jak i pola $B$. Podstawiając dane z zależności $E_0=c{B}_0$ do poprzedniego równania, otrzymujemy

Możemy używać któregokolwiek z trzech powyższych wzorów zależnie od tego, który jest w danej chwili wygodniejszy, ponieważ są to tak naprawdę trzy wersje tej samej własności: energia fali jest zależna od kwadratu amplitudy. Ponadto, ponieważ równania te oparte są na założeniu, że fale elektromagnetyczne są falami sinusoidalnymi, to maksymalne natężenie jest dwukrotnie większe niż natężenie średnie $I_0=2I$.

Przykład 16.4

Pola żarówki

Żarówka emituje światło o mocy $5\mathrm{W}$. Ile wynosi średnie natężenie pola elektrycznego, a ile wartość indukcji magnetycznej tego światła w odległości $3\mathrm{m}$ od żarówki?

Strategia rozwiązania

Do obliczenia natężenia światła załóżmy, że żarówka emituje światło o mocy $P$ izotropowo do wnętrza sfery o promieniu $3\mathrm{m}$. Z natężenia światła możemy następnie wyliczyć amplitudę natężenia pola elektrycznego.

Rozwiązanie

Moc emitowana w postaci światła wynosi

$$\begin{array}{c}I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{c{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}\text{,}\\ E_0=\sqrt{2\frac{P}{4\pi r^{2}c{\epsilon }_0}}=\sqrt{2\frac{5\mathrm{W}}{4\pi \cdot {\left(3\mathrm{m}\right)}^2\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\cdot \mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}{\mathrm{C}}^2∕\left(\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\right)}}=\mathrm{5,77}\mathrm{V}∕\mathrm{m}\text{,}\\ B_0=\frac{E_0}{c}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^{-8}\mathrm{T}\text{.}\end{array}$$

Znaczenie

Natężenie $I$ maleje jak kwadrat odległości, jeśli promieniowanie jest emitowane jednakowo we wszystkich kierunkach.

Przykład 16.5

Zasięg radia

Nadajnik radiowy o mocy $60\mathrm{kW}$ na Ziemi wysyła sygnały do satelity odległego o $100\mathrm{km}$ (Ilustracja 16.12). Jeśli moc nadajnika wzrosłaby do $90\mathrm{kW}$, to w jakiej odległości od źródła sygnał będzie generował pole o tej samej amplitudzie natężenia energii, zakładając, że sygnał wysyłany będzie w tym samym kierunku co poprzednio?

Ilustracja 16.12 W przestrzeni trójwymiarowej sygnał wysyłany przez źródło rozprzestrzenia się wewnątrz kąta bryłowego.

Strategia rozwiązania

Pole powierzchni, na którym rozpraszana jest moc sygnału kierunkowego, zwiększa się z kwadratem odległości, jak pokazano na Ilustracji 16.12. Powiększymy moc ($90\mathrm{kW}$/$60\mathrm{kW}$) razy, wartość pola powierzchni zwiększymy w podobny sposób, by zachować stosunek $I=P∕A=c{\epsilon }_0{E}_0^2∕2$. Następnie użyjemy proporcji pomiędzy powierzchnią $A$ na rysunku a odległością podniesioną do kwadratu, by znaleźć odległość, dla której powierzchnia jest taka sama jak wyliczona wcześniej.

Rozwiązanie

Korzystając z proporcjonalności pola powierzchni do kwadratu odległości i przekształcając równanie, otrzymamy

$$\begin{array}{c}\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{A_2}{A_1}=\frac{90\mathrm{W}}{60\mathrm{W}}\text{,}\\ r_2=\sqrt{\frac{90}{60}}\cdot 100\mathrm{km}=122\mathrm{km}\text{.}\end{array}$$

Znaczenie

Zasięg nadajnika radiowego to maksymalna odległość pomiędzy nadajnikiem i odbiornikiem, która jeszcze pozwala na prawidłowy przebieg komunikacji. W przypadku braku zakłóceń, takich jak odbicia od przeszkód, natężenie podlega prawu odwrotnych kwadratów. Oznacza to, że podwojenie zasięgu wymaga czterokrotnego zwiększenia mocy nadajnika.