Zadania trudniejsze

1. Nieskończenie mała ilość ciepła została odwracalnie dodana do układu. Poprzez połączenie pierwszej i drugiej zasady termodynamiki wykaż, że $dU=TdS-dW$;
2. Kiedy ciepło zostało dodane do gazu doskonałego, jego temperatura i objętość zmieniły się z odpowiednio $T_1$ i $V_1$ do $T_2$ i $V_2$. Udowodnij, że zmiana entropii $n$ moli gazu jest dana wzorem
   $$\Delta S=n{C}_{V}ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+nRln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\text{.}$$

Wykorzystując wynik z poprzedniego problemu, wykaż, że dla gazu doskonałego, który ulega procesowi adiabatycznemu, $T{V}^{\kappa -1}$ jest stałe.

Wykorzystując dwa poprzednie zadania, wykaż, że $\Delta S$ pomiędzy stanami 1 i 2 $n$ moli gazu doskonałego jest dana wzorem

Cylinder zawiera $500\mathrm{g}$ helu o ciśnieniu $120\mathrm{atm}$ i temperaturze $20\mathrm{°}\mathrm{C}$. Zawór przecieka i cały gaz powoli i izotermicznie ucieka do atmosfery. Użyj wyniku z poprzedniego zadania, aby ustalić powstałą zmianę entropii Wszechświata.

Silnik na benzynę o spalaniu wewnętrznym pracuje w cyklu składającym się z sześciu części. Cztery z nich obejmują między innymi tarcie, wymianę ciepła poprzez skończone ilości temperatury i przyspieszenie tłoka – cykl jest więc nieodwracalny. Jednak może być reprezentowany przez idealny, odwracalny cykl Otta, który przedstawiono poniżej. Zakładamy, że czynnikiem roboczym cyklu jest powietrze. Sześć kroków cyklu Otta (ang. Otto cycle) przebiega następująco:

• ($OA$) Izobaryczny wtrysk paliwa. Mieszanka paliwowo-powietrzna zostaje wstrzyknięta do komory spalania przy ciśnieniu atmosferycznym $p_0$, podczas gdy tłok zwiększa objętość cylindra od zera do $V_A$.
• ($AB$) Adiabatyczne sprężanie. Temperatura mieszanki wzrasta, podczas gdy tłok spręża ją adiabatycznie z objętości $V_A$ do $V_B$.
• ($BC$) Izochoryczne ogrzewanie. Mieszanka zostaje zapalona przez iskrę. Spalanie zachodzi tak szybko, że zasadniczo w tłoku nie odbywa się żaden ruch. Podczas tego procesu dostarczone ciepło $Q_1$ sprawia, że ciśnienie wzrasta od $p_B$ do $p_C$ przy stałej objętości $V_B\left(=V_C\right)$.
• ($CD$) Adiabatyczne rozprężanie. Gorące spaliny rozprężają się, naciskając na tłok oraz zwiększając objętość z $V_C$ do $V_D$. W tej części cyklu dostarczana jest największa moc do wału korbowego.
• ($DA$) Izochoryczny wydech. Kiedy zawór wydechowy się otworzy, część produktów spalania wylatuje z cylindra. Zasadniczo podczas tej części cyklu tłok się nie porusza, dlatego objętość pozostaje stała i równa $V_A\left(=V_D\right)$. Większość dostępnej energii jest tu tracona, co symbolizuje wylot ciepła $Q_2$.
• ($AO$) Izobaryczne sprężanie. Zawór wydechowy pozostaje otwarty, a sprężanie od $V_A$ całkowicie usuwa pozostałe produkty spalania.

1. Korzystając z ($OA$) $e=W∕Q_1$; ($AB$) $W=Q_1-Q_2$ oraz ($BC$) $Q_1=n{C}_V\left(T_C-T_B\right)$, $Q_2=n{C}_V\left(T_D-T_A\right)$, wykaż, że
   $$e=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}\text{.}$$
2. Wiedząc, że kroki ($AB$) i ($CD$) są adiabatyczne, wykaż, że
   $$e=1-\frac{1}{r^{\kappa -1}}\text{,}$$
   gdzie $r=V_A∕V_B$. Wielkość $r$ nazywamy stopniem sprężania silnika.
3. W praktyce $r$ jest utrzymywane na poziomie mniejszym niż około $7$. Dla większych wartości mieszanka paliwowo-powietrzna zostaje sprężona do temperatury tak wysokiej, że mieszanka samoczynnie (bez pomocy iskry) zapala się. Taki przedwczesny zapłon sprawia, że silnik „stuka” i traci moc. Wykaż, że dla $r=6$ i $\kappa =\mathrm{1,4}$ (wartość dla powietrza) sprawność $e=\mathrm{0,51}$. Ze względu na wiele nieodwracalnych procesów rzeczywiste silniki o spalaniu wewnętrznym mają sprawność znacznie niższą od idealnej. Typowa sprawność stuningowanego silnika wynosi od $25\mathrm{\%}$ do $30\mathrm{\%}$.
   

Doskonały cykl Diesla (ang. diesel cycle) przedstawiono poniżej. Cykl składa się z pięciu kroków. W tym przypadku podczas pierwszego kroku tylko powietrze zostaje wciągnięte do komory $OA$. Jest ono następnie sprężane adiabatycznie ze stanu $A$ do stanu $B$, a jego temperatura wzrasta tak bardzo, że kiedy paliwo zostanie dostarczone do cylindra podczas kroku $BC$, zapala się. Po zakończeniu spalania (stan $C$) następuje dalsze adiabatyczne rozprężanie $CD$. Ostatecznie zachodzi izochoryczny wylot, podczas którego ciśnienie spada od $p_D$ do $p_A$, po czym następuje dalszy wylot, aż tłok ściśnie komorę do zerowej objętości.

1. Stosując $W=Q_1-Q_2$, $Q_1=n{C}_p\left(T_C-T_B\right)$ oraz $Q_2=n{C}_V\left(T_D-T_A\right)$, wykaż, że
   $$e=\frac{W}{Q_1}=1-\frac{T_D-T_A}{\kappa \left(T_C-T_B\right)}\text{.}$$
2. Wiedząc, że procesy $A⟶B$ oraz $C⟶D$ są adiabatyczne, wykaż, że
   $$e=1-\frac{1}{\kappa }\cdot \frac{{\left(\frac{V_C}{V_D}\right)}^{\kappa }-{\left(\frac{V_B}{V_A}\right)}^{\kappa }}{\frac{V_C}{V_D}-\frac{V_B}{V_A}}\text{.}$$
3. Ze względu na to, że nie ma tu przedwczesnego zapłonu (komora nie zawiera paliwa podczas sprężania), stopień sprężania może być wyższy niż dla silników na benzynę. Zwykle $V_A∕V_B=15$ oraz $V_D∕V_C=5$. Dla tych wartości oraz dla $\kappa =\mathrm{1,4}$ wykaż, że sprawność osiąga wartość $e=\mathrm{0,56}$. W rzeczywistości dla silników Diesla sprawność wynosi od $30\mathrm{\%}$ do $35\mathrm{\%}$ w porównaniu do $25\mathrm{\%}$ do $30\mathrm{\%}$ dla silników na benzynę.
   

Rozważmy obieg Braytona-Joule’a dla gazu doskonałego przedstawiony na poniższym wykresie. Wyprowadź wzór na sprawność silnika pracującego w tym cyklu dla $P_1$, $P_2$ i $\kappa$.

Dwa mole gazowego azotu, z $\kappa =7∕5$ dla dwuatomowych gazów doskonałych, zajmują objętość ${10}^{-2}{\mathrm{m}}^3$ w izolowanym cylindrze o temperaturze $300\mathrm{K}$. Gaz zostaje adiabatycznie i odwracalnie sprężony do objętości $5\mathrm{l}$. Tłok cylindra zostaje następnie zablokowany, a izolacja cylindra usunięta. Cylinder przewodzący ciepło zostaje następnie umieszczony w rezerwuarze o temperaturze $300\mathrm{K}$. Gaz oddaje ciepło i powraca do temperatury $300\mathrm{K}$. Później gaz zostaje wolno rozprężony przy stałej temperaturze $300\mathrm{K}$, aż jego objętość osiągnie ${10}^{-2}{\mathrm{m}}^3$, a gaz wykona pełny cykl. Dla całego cyklu oblicz

1. pracę wykonaną przez gaz;
2. ciepło oddawane lub pobierane przez gaz;
3. zmianę energii wewnętrznej gazu;
4. zmianę entropii gazu.