William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wykorzystywać regułę Lenza do określania kierunku siły elektromotorycznej, indukowanej zmianą strumienia magnetycznego;
stosować prawo Faradaya oraz regułę Lenza do określania siły elektromotorycznej, indukowanej w cewce i w solenoidzie.

Kierunek prądu elektrycznego w przewodzącej pętli, wywołanego indukowaną siłą elektromotoryczną, wynika ze znaku SEM, przeciwnego do znaku pochodnej po czasie strumienia magnetycznego przecinającego pętlę. Kierunek tego prądu można jednak zwykle wyznaczyć w nieco prostszy sposób – stosując prawo zwane regułą Lenza (ang. Lenz’s law). Treść reguły Lenza, nazwanej na cześć jej odkrywcy, Heinricha Lenza (1804–1865), sformułujemy następująco:

Reguła Lenza

Kierunek indukowanej siły elektromotorycznej jest taki, że wywołany przez nią prąd zawsze przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która tę siłę generuje.

Należy zaznaczyć, że niezależnie od Lenza powyższe prawo sformułował także Faraday.

Regułę Lenza możemy również rozpatrywać, stosując zasadę zachowania energii. Jeżeli wsunięcie magnesu do cewki powoduje przepływ prądu, to oczywiste jest, że energia tego prądu musi pochodzić z określonego źródła. Zasada zachowania energii zostanie zatem spełniona, jeśli przyjąć, że indukowany prąd wytwarza własne pole magnetyczne, które przeciwdziała wzrostowi strumienia pola magnetycznego w cewce na skutek wprowadzania magnesu. Wówczas, wprowadzając magnes, wykonujemy pewną pracę nad układem, równą energii wytwarzanego prądu. Jeżeli pole magnetyczne cewki z prądem nie przeciwdziałałoby zmianie strumienia magnetycznego w cewce, wsuwanie magnesu generowałoby tenże prąd bez nakładu pracy. Wówczas potencjalna energia elektryczna w układzie powstawałaby znikąd, co jest sprzeczne z zasadą zachowania energii.

Aby wyznaczyć indukowaną siłę elektromotoryczną $ε$ , musimy na wstępie określić strumień magnetyczny $Φ_{B}$ , a następnie obliczyć jego pochodną po czasie $d Φ_{B} ∕ d t$ . Wartość siły elektromotorycznej będzie wówczas dana równaniem $ε = |d Φ_{B} ∕ d t|$ . Znak siły elektromotorycznej określimy na podstawie reguły Lenza. Powyższe postępowanie zilustrujemy podanymi poniżej przykładami, w których stosowany będzie następujący tok rozumowania.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: reguła Lenza

Aby wykorzystać regułę Lenza do wyznaczenia kierunków indukowanych pól magnetycznych, prądów i sił elektromotorycznych:

Wykonaj szkic rozpatrywanego układu – przedstaw na nim interesujące cię kierunki.
Określ kierunek wektora $\vec{B}$ indukcji magnetycznej pola przyłożonego do układu.
Ustal, czy strumień magnetyczny tego pola rośnie, czy maleje.
Wyznacz kierunek wektora $\vec{B}$ indukowanego pola magnetycznego. Pamiętaj, że indukowane pole magnetyczne dąży do wzmocnienia malejącego strumienia lub przeciwdziała wzmocnieniu strumienia rosnącego. Zatem, w zależności od charakteru zmiany strumienia magnetycznego, indukowane pole magnetyczne dodaje się lub odejmuje od pola przyłożonego do układu.
Korzystając z reguły prawej dłoni 2 (ang. right-hand rule-2, RHR-2) – patrz rozdział Siły i pola magnetyczne – wyznacz kierunek przepływu indukowanego prądu $I$ , który wytwarza indukowane pole magnetyczne o indukcji $\vec{B}$ .
Pamiętaj, że kierunek (lub znak) indukowanej SEM będzie wtedy zgodny z kierunkiem przepływu tego umownego prądu.

Zastosujmy teraz regułę Lenza do układu przedstawionego na Ilustracji 13.7 (a). Na wstępie umówmy się, że stronę zamkniętej przewodzącej pętli, po której znajduje się zbliżający się do niej magnes sztabkowy, nazwiemy czołem (frontem) pętli. Wtedy przeciwną stronę pętli nazwiemy jej tyłem. W czasie ruchu bieguna północnego magnesu w kierunku pętli gęstość linii pola tego magnesu w kierunku od frontu do tyłu pętli rośnie. Oznacza to wzrost wartości strumienia magnetycznego przecinającego pętlę, co powoduje powstanie w pętli indukowanego prądu elektrycznego. Zgodnie z regułą Lenza kierunek tego indukowanego prądu musi być taki, aby jego własne pole magnetyczne przeciwdziałało zmianie strumienia magnetycznego wywołanej przybliżaniem się magnesu do pętli. Zatem zaindukowany prąd płynie tak, że linie pola magnetycznego skierowane są od tyłu do frontu pętli. Wykorzystując drugi wariant reguły prawej dłoni, skieruj wyprostowany kciuk przeciwnie do linii pola magnesu (kciuk zwrócony będzie wówczas w kierunku magnesu). Kierunek przepływu indukowanego prądu widziany od frontu pętli wskażą wówczas palce obejmujące pętlę; jest on przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Kierunek indukowanego prądu możemy także wyznaczyć, traktując pętlę jak elektromagnes, którego pole przeciwdziała przybliżaniu się bieguna północnego magnesu sztabkowego. Prąd w takim elektromagnesie musi płynąć jak na rysunku, ponieważ czoło pętli, położone bliżej magnesu, będzie wówczas jej biegunem północnym.

Części a oraz b rysunku przedstawiają widok, usytuowanej pionowo, kołowej pętli. W pobliżu pętli, z jej lewej strony, prostopadle do jej powierzchni – znajduje się mały magnes sztabkowy. Podłużna oś magnesu leży na osi pętli. W części a rysunku, magnes zwrócony jest biegunem północnym w stronę pętli i zbliża się do niej z prędkością v, której wektor zaznaczony jest na rysunku. Silnie rozbieżne linie sił pola magnetycznego o indukcji B, wychodzące z bieguna północnego tegoż magnesu – przenikają płaszczyznę pętli. W pętli, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara – płynie prąd o natężeniu I. W części b rysunku, magnes zwrócony jest biegunem południowym w stronę pętli i zbliża się do niej z prędkością v, której wektor zaznaczony jest na rysunku. Silnie rozbieżne linie sił pola magnetycznego o indukcji B, wchodzące do bieguna południowego tegoż magnesu – przenikają płaszczyznę pętli. W pętli, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara – płynie prąd o natężeniu I.

Ilustracja 13.7 Zmiana strumienia magnetycznego spowodowana zbliżaniem magnesu sztabkowego do przewodzącej pętli indukuje w niej prąd elektryczny. (a) Zbliżający się biegun północny indukuje prąd, którego kierunek widziany od strony magnesu jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. (b) Zbliżający się biegun południowy indukuje prąd płynący zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Na Ilustracji 13.7 (b) przedstawiono magnes zbliżający się biegunem południowym w kierunku przewodzącej pętli. W tym przypadku strumień pola magnesu przenikający pętlę także rośnie, ponieważ rośnie gęstość linii pola w kierunku od tyłu pętli do jej frontu. Aby przeciwdziałać temu wzrostowi, w pętli indukuje się prąd wytwarzający własne pole magnetyczne. Linie tego pola, przecinające powierzchnię pętli, zwrócone są w kierunku od jej frontu ku tyłowi. Prąd zaindukowany w pętli-elektromagnesie płynie w takim kierunku, że od strony zbliżającego się magnesu czoło pętli stanowi jej biegun południowy – odpychający biegun południowy tego magnesu. Stosując regułę prawej dłoni, należy zwrócić wyciągnięty kciuk w kierunku od magnesu sztabkowego. Palce dłoni obejmą wówczas pętlę zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to znaczy z kierunkiem indukowanego prądu.

Inny przykład obrazujący regułę Lenza przedstawiono na Ilustracji 13.8. W układzie tym otwarcie wyłącznika powoduje spadek natężenia prądu zasilającego solenoid, a więc spadek strumienia magnetycznego przenikającego jego zwoje. W konsekwencji w uzwojeniu solenoidu zostanie zaindukowana SEM, która musi przeciwdziałać wywołującej ją zmianie – zanikowi prądu. W rezultacie SEM, której biegunowość zaznaczono na rysunku, indukuje w obwodzie prąd. Kierunek tego prądu jest zgodny z kierunkiem prądu płynącego w układzie przed otwarciem wyłącznika. Ów indukowany prąd może wytworzyć łuk elektryczny, widoczny pomiędzy stykami wyłącznika podczas ich rozwierania.

Części a oraz b rysunku przedstawiają szeregowy obwód elektryczny, złożony ze źródła siły elektromotorycznej, cewki oraz wyłącznika. Dodatni biegun źródła SEM, poprzez wyłącznik – połączony jest z prawym końcem uzwojenia cewki. Ujemny biegun źródła SEM, połączony jest z lewym końcem uzwojenia cewki. W części a rysunku, wyłącznik jest zamknięty i w obwodzie, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara – płynie prąd o natężeniu I. W części b rysunku, wyłącznik zostaje otwarty, a w uzwojeniu cewki indukuje się siła elektromotoryczna. Lewy koniec uzwojenia cewki, oznaczony jest symbolem plus, prawy koniec cewki – symbolem minus. Część c rysunku przedstawia zdjęcie łuku elektrycznego, wyzwolonego pomiędzy dwoma ostrzami, rozsuniętymi na niewielką odległość.

Ilustracja 13.8 (a) Solenoid podłączony do źródła siły elektromotorycznej. (b) Otwarcie wyłącznika W przerywa przepływ prądu, powodując zaindukowanie się SEM w uzwojeniu solenoidu. (c) SEM indukowana w uzwojeniu cewki wytwarza różnicę potencjałów pomiędzy ostrzami prętów widocznych na zdjęciu. Różnica ta jest na tyle duża, że pomiędzy ostrzami powstaje łuk elektryczny.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.2

Określ kierunek prądu indukowanego w przedstawionej na poniższym rysunku pętli z drutu. Rozważ przypadki, gdy magnes

wnika w płaszczyznę pętli;
przechodzi przez tę płaszczyznę;
opuszcza ją.

Rysunek przedstawia trzy fazy ruchu niewielkiego magnesu sztabkowego względem pionowej, kołowej pętli. Magnes, zwrócony biegunem południowym w stronę pętli - zbliża się do płaszczyzny tejże pętli, z jej lewej strony. Magnes porusza się wzdłuż osi pętli. Na osi pętli, z lewej strony rysunku – widoczne jest oko obserwatora. W fazie a ruchu, biegun południowy magnesu wnika w płaszczyznę pętli. W fazie b ruchu – biegun północny magnesu opuszcza płaszczyznę pętli. W fazie c ruchu – biegun północny magnesu oddala się od płaszczyzny tejże pętli.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.3

Sprawdź kierunki indukowanych prądów zaznaczonych na Ilustracji 13.3.

Przykład 13.2

Kołowa cewka w zmiennym polu magnetycznym

Pole magnetyczne o indukcji

\vec{B}

, zwróconej od płaszczyzny (Ilustracja 13.9), skierowane jest prostopadle do powierzchni kołowej cewki o promieniu

r = 0,5 m

. Pole ma symetrię walcową względem środka cewki, przy czym wartość jego indukcji – malejącą wykładniczo z czasem

t

– opisuje równanie

B = 1,5 T \cdot e^{- 5 s^{- 1} t}

, w którym

B

wyrażone jest w teslach, a

t

w sekundach.

Obliczmy SEM indukowaną w cewce w chwilach: $t_{1} = 0 s$ , $t_{2} = 5 \cdot 10^{- 2} s$ oraz $t_{3} = 1 s$ .
Określmy natężenie prądu w cewce w wymienionych chwilach, przyjmując, że jej rezystancja wynosi $10 Ω$ .

Rysunek przedstawia kołowy obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to jest zwrócone od płaszczyzny rysunku. Wewnątrz obszaru pola, na płaszczyźnie rysunku – umieszczona jest kołowa pętla o promieniu r.

Ilustracja 13.9 Kołowa cewka w malejącym polu magnetycznym.

Strategia rozwiązania

Ponieważ pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny cewki, a wartość jego indukcji jest taka sama w dowolnym miejscu tej cewki, to iloczyn skalarny wektora indukcji

\vec{B}

oraz wektora jednostkowego powierzchni

\hat{n}

można zastąpić zwykłym iloczynem ich wartości. Indukcję magnetyczną można następnie wynieść przed symbol całki. Strumień magnetyczny będzie wówczas określony iloczynem wartości tej indukcji oraz pola powierzchni cewki. W celu wykorzystania prawa Faradaya do wyznaczenia wartości SEM musimy obliczyć pochodną z funkcji wykładniczej po czasie. Natężenie prądu określimy, stosując prawo Ohma.

Rozwiązanie

Ponieważ wektor $\vec{B}$ jest prostopadły do płaszczyzny cewki, strumień magnetyczny wyrażony jest wzorem
$\Phi_B = B\pi r^2 = \SI{1,5}{\tesla} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t} \cdot \pi \cdot (\SI{0,5}{\metre})^2 = \SI{1,2}{\weber} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t} \text{.}$
Na podstawie prawa Faradaya indukowana SEM wynosi
$\abs{\epsilon} = \abs{\frac{\d \Phi_B}{\d t}} = \abs{\dd{t} (\SI{1,2}{\weber} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t})} = \SI{6}{\volt} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t} \text{.}$
Ponieważ wektor $\vec{B}$ jest zwrócony od płaszczyzny rysunku, a wartość reprezentowanej nim indukcji magnetycznej maleje w czasie, to patrząc z góry na rysunek, stwierdzamy, że indukowany w cewce prąd musi płynąć w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Oznacza to, że wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez ten prąd jest także zwrócony od płaszczyzny rysunku. W chwilach $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ SEM zwrócona jest przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, a jej wartości wynoszą
$\epsilon \apply (t_1) = \SI{6}{\volt}, \epsilon \apply (t_2) = \SI{4,7}{\volt}, \epsilon \apply (t_3) = \SI{0,04}{\volt} \text{.}$
Odpowiadające powyższym wartościom natężenia prądu obliczymy, stosując prawo Ohma
$I \apply (t_1) = \frac{\epsilon \apply (t_1)}{R} =\frac{\SI{6}{\volt}}{\SI{10}{\ohm}} = \SI{0,6}{\ampere} \text{,}$

$I \apply (t_2) = \frac{\epsilon \apply (t_2)}{R} =\frac{\SI{4,7}{\volt}}{\SI{10}{\ohm}} = \SI{0,47}{\ampere} \text{,}$

$I \apply (t_3) = \frac{\epsilon \apply (t_3)}{R} =\frac{\SI{0,04}{\volt}}{\SI{10}{\ohm}} = \SI{4e-3}{\ampere} = \SI{4}{\milli\ampere} \text{.}$

Znaczenie

Siła elektromotoryczna wytwarzana jest przez zmieniający się w czasie strumień magnetyczny. Aby obliczyć indukowaną SEM, wystarczy wykorzystać pochodną po czasie funkcji opisującej zmianę tego strumienia.

Przykład 13.3

Zmienne pole magnetyczne wewnątrz solenoidu

Natężenie prądu płynącego przez uzwojenie solenoidu, zawierające

n = 2000

zwojów na metr jego długości, zmienia się z szybkością

d I ∕ d t = 3 A ∕ s

(wiadomości dotyczące solenoidów znajdują się w Źródła pola magnetycznego). Długość solenoidu wynosi

50 cm

, a średnica jego przekroju poprzecznego jest równa

3 cm

. Małą cewkę składającą się z

N = 20

zwojów, ciasno zwiniętych w koło o średnicy

1 cm

, umieszczono w centrum solenoidu w taki sposób, że płaszczyzna cewki jest prostopadła do jego podłużnej osi. Wyznaczmy SEM indukowaną w cewce. Przyjmijmy, że w przypadku tak umiejscowionej cewki solenoid można uważać za nieskończony.

Strategia rozwiązania

Pole magnetyczne w centrum solenoidu jest jednorodne, a wartość jego indukcji

B = μ_{0} n I

. Ponieważ linie pola magnetycznego są równoległe do podłużnej osi solenoidu, to strumień przenikający małą cewkę jest maksymalny. Zatem strumień magnetyczny przenikający cewkę jest iloczynem wartości indukcji pola magnetycznego solenoidu i pola powierzchni cewki. Prawo Faradaya zawiera pochodną po czasie strumienia magnetycznego. Obliczając tę pochodną, należy zauważyć, że jedyną wielkością zależną od czasu jest natężenie prądu – symbole pozostałych wielkości można wynieść przed operator różniczkowania. Ostateczną wartość SEM indukowanej w cewce otrzymamy po uwzględnieniu liczby zwojów cewki.

Rozwiązanie

Ponieważ wartość indukcji magnetycznej solenoidu

B = μ_{0} n I

, to strumień magnetyczny przecinający każdy ze zwojów małej cewki wynosi

Φ_{B} = μ_{0} n I \cdot \frac{π d^{2}}{4},

gdzie $d$ jest średnicą cewki. Na podstawie prawa Faradaya SEM indukowana w cewce jest równa

\begin{multiline} \abs{\epsilon} &= \abs{N \frac{\d \Phi_B}{\d t}} = \abs{N \mu_0 n \cdot \frac{nd^2}{4} \cdot \frac{\d I}{\d t}} \\ &= 20 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{2000}{\per\metre} \cdot \frac{\pi \cdot (\SI{0,01}{\metre})^2}{4} \cdot \SI{3}{\ampere\per\second} = \SI{1,2e-5}{\volt} \text{.} \end{multiline}

Znaczenie

Włączenie prądu zasilającego pionowy solenoid, przedstawiony na Ilustracji 13.10, powoduje wzrost jego strumienia magnetycznego i powstanie w metalowym pierścieniu siły elektromotorycznej. Zaindukowana SEM przeciwdziała zmianie strumienia – w rezultacie pierścień zostaje wystrzelony pionowo w górę.

Zdjęcie przedstawia cienki metalowy pierścień, wyrzucony ponad pionowy, smukły solenoid.

Ilustracja 13.10 Skaczący pierścień. Włączenie prądu zasilającego pionowy solenoid powoduje zaindukowanie się w metalowym pierścieniu prądu elektrycznego. Narastające pole magnetyczne solenoidu powoduje wyrzucenie pierścienia z solenoidu.

Materiały pomocnicze

Odwiedź stronę, aby obejrzeć demonstrację skaczącego pierścienia przygotowaną przez Instytut Technologiczny w Massachusetts (Massachusetts Institute of Technology, MIT).

13.2 Reguła Lenza

Strategia rozwiązywania zadań: reguła Lenza

Kołowa cewka w zmiennym polu magnetycznym

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Zmienne pole magnetyczne wewnątrz solenoidu

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie