Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 213.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • określać wartość siły elektromotorycznej, indukowanej w przewodzie poruszającym się ze stałą prędkością w polu magnetycznym;
  • analizować przykłady wykorzystania SEM indukowanej ruchem, np. działo szynowe i satelitę na uwięzi.

Wartość strumienia magnetycznego zależy od trzech czynników: wartości indukcji pola magnetycznego, wielkości powierzchni, którą przecinają linie tego pola, oraz orientacji linii pola względem tej powierzchni. Zatem zmiana którejkolwiek z tych wielkości spowoduje zmianę strumienia magnetycznego. Dotychczas rozważaliśmy jedynie przypadki, w których zmiana strumienia następowała wskutek zmiany wartości indukcji pola magnetycznego. Obecnie rozpatrzymy pozostałe możliwości: zmianę wielkości powierzchni przenikanej przez linie pola magnetycznego oraz zmianę orientacji danej powierzchni względem tego pola.

Na Ilustracji 13.11 przedstawiono przykłady tego rodzaju zmian. W części (a) Ilustracji 13.11 strumień przenikający przez prostokątną ramkę wzrasta w miarę jej wnikania w obszar pola magnetycznego. W części (b) strumień przenikający obracającą się ramkę zmienia się wraz z kątem θθ.

Część a rysunku przedstawia prostokątny obszar, w którym istnieje jednorodne pole o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny tegoż rysunku. Dłuższe boki obszaru pola są poziome. Prostokątna ramka, której dłuższe boki są poziome – jest równoległa do płaszczyzny rysunku. Niewielka część płaszczyzny ramki, w pobliżu jej lewego, krótszego boku – znajduje się w obszarze pola magnetycznego. Ramka porusza się w poziomie, ku lewej stronie rysunku, wnikając w obszar pola. Część b rysunku przedstawia kwadratową ramkę, obracającą się wokół jej pionowej osi symetrii. Ramka obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W geometrycznym środku płaszczyzny tejże ramki przyłożony jest wektor jednostkowy jej powierzchni n. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny ramki i zwrócony jest w prawo, ku dołowi rysunku. Płaszczyznę ramki przenikają poziome linie jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B. Pole to zwrócone jest ku prawej stronie rysunku. Jednostkowy wektor powierzchni ramki tworzy ostry kąt theta z kierunkiem linii sił pola.
Ilustracja 13.11 (a) Strumień magnetyczny zmienia się w miarę wnikania ramki w obszar pola magnetycznego. (b) Strumień magnetyczny zmienia się na skutek obrotu ramki w polu magnetycznym.

Warto zauważyć, że obserwowana przez nas przyczyna zmiany strumienia magnetycznego zależy od obranego układu odniesienia. Na przykład, będąc w spoczynku względem poruszających się ramek przedstawionych na Ilustracji 13.11, stwierdzilibyśmy, że zmiana strumienia magnetycznego następuje wskutek zmiany wartości indukcji pola. Wówczas w części (a) w naszym układzie współrzędnych pole przemieszcza się ze strony lewej na prawą, a w części (b) Ilustracji 13.11 – pole magnetyczne się obraca. Zmianę strumienia magnetycznego, przenikającego cewkę poruszającą się w określonym układzie współrzędnych, możemy często opisać w innym układzie współrzędnych, w którym wspomniana cewka spoczywa, a zmienia się indukcja pola magnetycznego. Złożoność problemów związanych z opisem w takim układzie wykracza jednak poza ramy niniejszego podręcznika. Takich trudności możemy uniknąć, pozostając zawsze w tak zwanym laboratoryjnym układzie współrzędnych (będącym w spoczynku względem pomieszczenia laboratorium), w którym zmiany strumienia magnetycznego zachodzą na skutek zmiany indukcji pola lub zmiany przenikanej przez to pole powierzchni.

Rozważmy obecnie przedstawiony na Ilustracji 13.12 układ, w którym przewodzący pręt, umieszczony na przewodzących szynach, zamyka obwód elektryczny z rezystorem RR. Ponieważ pręt może poruszać się swobodnie w kierunku poziomym, pole powierzchni ograniczonej przez obwód MNOPMNOP M \sep N \sep O \sep P zależy od położenia pręta i wynosi lxlx. Zauważmy teraz, że powierzchnia obwodu jest prostopadła do linii pola magnetycznego. Zatem, obliczając wartość strumienia magnetycznego przenikającego tę powierzchnię, całkę w Równaniu 13.1 możemy zastąpić iloczynem wartości indukcji magnetycznej i pola powierzchni obwodu. Otrzymamy wówczas

ΦB=Blx.ΦB=Blx.
13.4

Ponieważ BB i ll są stałe, a wartość prędkości przewodzącego pręta v=dxdtv=dxdt, indukowaną SEM obliczymy, przekształcając prawo Faradaya (Równanie 13.2) do następującej postaci

ε=dΦBdt=Bldxdt=Blv.ε=dΦBdt=Bldxdt=Blv. \abs{\epsilon} = \abs{- \frac{\d \Phi_B}{\d t}} = Bl \frac{\d x}{\d t} = Blv \text{.}
13.5

Natężenie prądu indukowanego w obwodzie obliczymy, dzieląc SEM przez rezystancję w tym obwodzie

I=BlvR.I=BlvR.

Kierunek zaindukowanej SEM jest oczywiście zgodny z regułą Lenza, o czym możemy się przekonać, analizując Ilustracja 13.12.

Powyższe obliczenia wywołanej ruchem siły elektromotorycznej nie dotyczą wyłącznie pręta poruszającego się po przewodzących szynach. Obierając za punkt wyjścia iloczyn wektorowy F=qv×BF=qv×B \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}, możemy bowiem wykazać, że prawo ε=dΦBdtε=dΦBdt pozostaje prawdziwe w przypadku dowolnej zmiany strumienia wywołanej ruchem przewodnika. W podrozdziale Prawo Faradaya stwierdziliśmy z kolei, że SEM indukowana zmiennym w czasie strumieniem magnetycznym opisana jest zależnością identyczną do wymienionej powyżej – zwaną prawem Faradaya. Zatem prawo Faradaya dotyczy dowolnej zmiany strumienia – wywołanej albo zmianą wartości indukcji pola magnetycznego, albo ruchem, albo też kombinacją tych czynników.

Rysunek przedstawia prostokątny obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny rysunku. Dłuższe boki obszaru tegoż pola są poziome. W obszarze pola, w odległości l od siebie – umieszczone są poziome, przewodzące szyny. Lewe końce szyn, w punktach M i P – połączone są ze sobą przez rezystor R. Na szynach, w pewnej odległości od ich prawych końców – umieszczony jest przewodzący pręt. Pręt ten jest prostopadły do szyn i styka się z tymi szynami w punktach N i O. Odległość pręta od lewych końców szyn wynosi x. Pręt ten porusza się w poziomie, ku prawej stronie rysunku, z prędkością v, której wektor zaznaczony jest na rysunku. W środku długości pręta przyłożone są dwa poziome wektory: F z indeksem m oraz F z indeksem a. Wektor Fm zwrócony jest ku lewej części rysunku, a wektor Fa – ku prawej części rysunku. W obwodzie elektrycznym, utworzonym z ruchomego pręta, szyn oraz rezystora, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara – płynie prąd o natężeniu I.
Ilustracja 13.12 Przewodzący pręt porusza się w prawo ze stałą prędkością. Wywołana jego ruchem zmiana strumienia magnetycznego indukuje w obwodzie prąd elektryczny.

Rozważając zagadnienie z perspektywy zasady zachowania energii, zauważamy, że moc siły przyłożonej do pręta FaFa jest równa FavFav, a moc tracona w rezystorze wynosi I2RI2R. Ponieważ pręt porusza się ze stałą prędkością, to siła FaFa musi zrównoważyć siłę magnetyczną F=IlBF=IlB F = IlB działającą na pręt przewodzący prąd o natężeniu II. Moc wytwarzana w obwodzie wynosi więc

P=Fav=IlBv=BlvRlBv=l2B2v2R.P=Fav=IlBv=BlvRlBv=l2B2v2R.
13.6

Moc rozproszona wynosi z kolei

P=I2R=BlvR2R=l2B2v2R.P=I2R=BlvR2R=l2B2v2R.
13.7

Moc wytwarzana i moc tracona w układzie są równe, co oznacza spełnienie zasady zachowania energii.

Na opisanej powyżej zasadzie działa tzw. działo szynowe (ang. rail gun). Mianem tym określamy elektromagnetyczną wyrzutnię pocisków, której konstrukcję, podobną do układu z Ilustracji 13.12, przedstawia Ilustracja 13.13. Jak wynika z przedstawionego schematu, przewodzący pręt został zastąpiony przeznaczonym do wystrzelenia pociskiem (lub innym rodzajem amunicji). Zauważmy teraz, że dotychczas omawialiśmy SEM indukowaną ruchem. Jednak w przypadku działa szynowego spadek wartości strumienia w przestrzeni pomiędzy szynami wywołany jest szybkim wyłączaniem lub tłumieniem pola magnetycznego. Ów spadek strumienia indukuje prąd płynący w pręcie (zwanym zworą), do którego przytwierdzony jest pocisk. Przepływ prądu powoduje powstanie siły magnetycznej, która wypycha pręt ku przodowi działa. Działa szynowe nie są jednak szeroko stosowane w technice wojskowej. Przyczyną są wysokie koszty ich produkcji oraz wymagane duże natężenia prądów. Istotnie, by wytworzyć energię wystarczającą do skutecznej pracy działa jako broni, przez szyny powinien płynąć prąd o natężeniu bliskim miliona amperów!

Rysunek przedstawia perspektywiczny szkic tak zwanego działa szynowego. Konstrukcja składa się z poziomych odcinków dwóch równoległych do siebie przewodzących szyn, wykonanych z grubych belek o smukłym przekroju prostokątnym. Belki te ustawione są na podłożu w pozycji stojącej, na swych krótszych bokach, w niewielkiej odległości od siebie. Pomiędzy belkami, w połowie ich długości – znajduje się zwora, łącząca elektrycznie obie szyny. Zwora ma kształt prostopadłościanu o wysokości równej wysokości szyn i szerokości równej odległości między tymi szynami. Grubość prostopadłościennej zwory jest niewielka w porównaniu do jej wysokości i szerokości. Do zwory przytwierdzony jest pocisk w formie walca, którego przednia część ma kształt zbliżony do stożka obrotowego. Przednia część pocisku zwrócona jest ku wylotowi działa po prawej stronie rysunku. Do początku widocznej po lewej stronie rysunku, bliższej obserwatora, prawej szyny – doprowadzony jest prąd elektryczny. Prąd płynie przez tę szynę, ku przodowi działa, przepływa przez umieszczoną między szynami zworę z pociskiem, a następnie, po przepłynięciu przez drugą z szyn ku lewej części rysunku – jest odprowadzany z jej początku, także widocznego po lewej stronie rysunku. Wokół części szyn, w których płynie prąd – widoczne są eliptyczne, zamknięte linie pola magnetycznego. Pole magnetyczne wokół prawej szyny, bliższej obserwatora – zwrócone jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pole magnetyczne wokół lewej szyny, zwrócone jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Na rysunku widoczne są także napisy o następujących treściach: „zwora wraz z pociskiem przyspieszane ku wylotowi działa siłą magnetyczną” – napis ten zaopatrzony jest w strzałkę, wskazującą pocisk oraz „pole magnetyczne oddziałuje z prądem płynącym w zworze, wytwarzając siłę magnetyczną” – napis ten zaopatrzony jest w strzałkę, wskazującą zworę działa.
Ilustracja 13.13 Prąd płynący w szynach wytwarza siłę magnetyczną wypychającą przewodzący pocisk.

Stosując prawo Faradaya, indukowaną ruchem siłę elektromotoryczną (ang. motionally induced EMF) możemy obliczyć nawet wtedy, gdy w polu magnetycznym nie występuje zamknięty obwód elektryczny. Musimy po prostu wyobrazić sobie pewną powierzchnię, której granice zawierają poruszający się przewodnik, obliczyć ΦBΦB, a następnie, na podstawie prawa Faradaya, wyznaczyć SEM. Na przykład, zgodnie z Ilustracją 13.14, poruszający się pręt może stanowić jeden z boków wyimaginowanego prostokąta przedstawionego na tymże rysunku za pomocą linii przerywanych. Ponieważ powierzchnia prostokąta równa jest lxlx, strumień magnetyczny ΦB=BlxΦB=Blx. Różniczkując przytoczone równanie obustronnie po czasie, otrzymujemy

dΦBdt=Bldxdt=Blv.dΦBdt=Bldxdt=Blv. \frac{\d \Phi_B}{\d t} = Bl \frac{\d x}{\d t} = Blv \text{.}
13.8

Powyższe wyrażenie jest tożsame z wyprowadzonym wcześniej wzorem opisującym różnicę potencjałów pomiędzy końcami ruchomego pręta.

Rysunek przedstawia prostokątny obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny rysunku. Dłuższe boki obszaru tegoż pola są poziome. W obszarze pola, za pomocą linii przerywanych – zaznaczone są trzy boki umieszczonego poziomo prostokąta. Pionowy, krótszy bok tegoż prostokąta o długości l – znajduje się w niewielkiej odległości od lewej granicy obszaru pola magnetycznego. Długość górnego i dolnego boku prostokąta wynosi x. Prawe końce poziomych boków prostokąta zamknięte są prętem o długości, równej wysokości tegoż prostokąta. Pręt znajduje się w pobliżu prawej granicy obszaru pola magnetycznego. Pręt ten porusza się w poziomie, ku prawej stronie rysunku, z prędkością v, której wektor zaznaczony jest na rysunku.
Ilustracja 13.14 Stosując wyimaginowany prostokąt, możemy wykorzystać prawo Faradaya do obliczenia wartości SEM indukowanej w poruszającym się pręcie.

Wartości sił elektromotorycznych wywołanych ruchem w ziemskim polu magnetycznym nie są zwykle bardzo duże. W przeciwnym razie bylibyśmy w stanie zarejestrować napięcie indukowane w metalowym pręcie (na przykład śrubokręcie) podczas jego zwyczajnego ruchu. Na przykład w rezultacie prostych obliczeń SEM indukowanej w pręcie o długości 1m1m, poruszającym się z szybkością 3ms3ms prostopadle do ziemskiego pola magnetycznego, otrzymujemy

ε=Blv=5105T1m3ms=150µV.ε=Blv=5105T1m3ms=150µV.

Powyższa niewielka wartość jest zgodna z wynikami licznych pomiarów. Istnieje jednak spektakularny wyjątek. W latach 1992 i 1996 prowadzono próby wykorzystania promu kosmicznego do wytwarzania znacznych sił elektromotorycznych. Wykorzystywano w tym celu satelitę, prowadzonego przez prom na przewodzącej uwięzi o długości 20km20km – jak pokazano na Ilustracji 13.15. Przy prędkości orbitalnej w ziemskim polu magnetycznym otrzymywano wówczas SEM o wartości 5kV5kV. Indukowana SEM mogłaby być użyta do przetworzenia części energii kinetycznej i potencjalnej promu na energię elektryczną, o ile możliwe byłoby utworzenie zamkniętego obwodu elektrycznego. Funkcję ścieżki powrotnego przepływu prądu zamykającej obwód pełniła stacjonarna jonosfera. Przypomnijmy, że jonosferę tworzy atmosfera ziemska – rozrzedzona i częściowo zjonizowana na wysokościach orbitalnych (jej przewodnictwo elektryczne jest skutkiem procesu jonizacji). Jonosfera pełni tutaj funkcję analogiczną do roli nieruchomych szyn i zwory (rezystora) z Ilustracji 13.13 – zamykających obwód elektryczny. Siła magnetyczna F=IlBsinθF=IlBsinθ, będąca źródłem oporu stawianego prądowi płynącemu w kablu, wykonuje w tym eksperymencie pracę, która pomniejsza energię kinetyczną oraz potencjalną promu i umożliwia ich przemianę w energię elektryczną. Oba eksperymenty zakończyły się niepowodzeniem. W pierwszym z nich kabel zaplątał się i mógł zostać rozciągnięty zaledwie na odległość kilkuset metrów. W drugim kabel zerwał się tuż przed pełnym rozciągnięciem. Działanie satelity na uwięzi ilustruje Przykład 13.4.

Rysunek przedstawia prostokątny obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B z indeksem „ziemi” – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny rysunku. Krótsze boki obszaru tegoż pola są poziome. W obszarze pola, w pobliżu jego dolnej krawędzi – widoczna jest niewielka, zorientowana poziomo sylwetka promu kosmicznego. Dziób promu zwrócony jest ku prawej stronie rysunku. Nad sylwetką promu, w pobliżu górnej krawędzi obszaru pola magnetycznego – widoczna jest niewielka sylwetka satelity. Sylwetka satelity uzupełniona jest napisem o treści „satelita na uwięzi”. Odległość pomiędzy obiema sylwetkami wynosi l. Prom kosmiczny połączony jest z satelitą prostoliniowym, pionowym przewodem. W przewodzie tym, ku górze rysunku – płynie prąd o natężeniu I. W połowie długości przewodu przyłożony jest poziomy wektor prędkości v. Wektor ten zwrócony jest ku prawej stronie rysunku. Satelita połączony jest z promem za pomocą linii o kształcie łuku, zaopatrzonej strzałką, skierowaną ku dołowi rysunku. Linia ta uzupełniona jest napisem o treści: „Powrotna ścieżka prądu przez jonosferę”.
Ilustracja 13.15 Wykorzystanie powodowanej ruchem siły elektromotorycznej jako źródła energii elektrycznej dla promów kosmicznych stało się zachętą do przeprowadzenia eksperymentu z satelitą na uwięzi. Przewidywano, że w uwięzi o długości 20 km 20 km , poruszającej się z prędkością orbitalną w ziemskim polu magnetycznym, zaindukuje się SEM o wartości 5 kV 5 kV . Ścieżkę powrotnego przepływu prądu zamykającą obwód elektryczny miała tworzyć stacjonarna jonosfera.

Przykład 13.4

Obliczenie wartości SEM wywołanej ruchem obiektu na orbicie

Obliczmy SEM indukowaną w przewodniku o długości 20km20km, poruszającym się z prędkością orbitalną równą 7,8kms7,8kms prostopadle do ziemskiego pola magnetycznego o wartości indukcji 5105T5105T.

Strategia rozwiązania

Jest to doskonały przykład wykorzystania równania na wartość SEM indukowanej ruchem: ε=Blvε=Blv.

Rozwiązanie

Podstawiwszy powyższe dane do równania ε=Blvε=Blv, otrzymujemy
ε=Blv=5105T2104m7,8103ms=7,8103V.ε=Blv=5105T2104m7,8103ms=7,8103V.

Znaczenie

Powyższa wartość przekraczająca 5kV5kV jest napięciem możliwym do osiągnięcia w omawianym eksperymencie. W rzeczywistości jednak orbitalny ruch uwięzi nie odbywa się prostopadle do pola magnetycznego Ziemi. Wartość 7,8kV7,8kV jest maksymalną SEM, odpowiadającą kątowi θ=90°θ=90°, gdy sinθ=1sinθ=1.

Przykład 13.5

Metalowy pręt obracający się w polu magnetycznym

Część (a) Ilustracji 13.16 przedstawia metalowy pręt OSOS obracający się w płaszczyźnie poziomej wokół punktu OO. Pręt ślizga się wzdłuż przewodu w kształcie łuku okręgu PSTPST, którego promień wynosi rr. Układ znajduje się w stałym polu magnetycznym o indukcji BB, skierowanym od płaszczyzny rysunku.
  1. Przyjąwszy, że pręt obraca się ze stałą prędkością kątową ωω, wyznaczmy natężenie prądu II w zamkniętej pętli OPSOOPSO. Przyjmijmy, że rezystor RR reprezentuje całkowitą rezystancję tej pętli.
  2. Obliczmy pracę wykonaną w jednostce czasu do obrócenia pręta i wykażmy, że jest ona równa mocy traconej w rezystorze.
Części od a do c rysunku przedstawiają prostokątny obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest od płaszczyzny rysunku. Krótsze boki obszaru tegoż pola są poziome. W części a rysunku, w obszarze pola magnetycznego, znajduje się, leżący w płaszczyźnie rysunku – obwód elektryczny. Początek tegoż obwodu znajduje się w punkcie O, usytuowanym w pobliżu lewego górnego wierzchołka obszaru. Do punktu O podłączony jest rezystor R. Symbol graficzny tego rezystora narysowany jest w pionie, w pobliżu lewej granicy obszaru pola magnetycznego. Do dolnego końca rezystora R, w punkcie P – podłączony jest przewód w kształcie jednej czwartej łuku okręgu. Łuk ten biegnie ku prawej stronie rysunku. Promień tego łuku wynosi r, a jego środek znajduje się w punkcie O. Nigdzie niepodłączony koniec przewodu w kształcie łuku oznaczony jest T. W punkcie O, do którego podłączony jest rezystor – znajduje się oś obrotu przewodzącego, prostoliniowego pręta o długości nieco większej od promienia łuku. Pręt odchylony jest w prawo i tworzy z pionowym symbolem rezystora ostry kąt theta. Swobodny koniec pręta styka się z przewodem w kształcie łuku w punkcie S. Kierunek ruchu pręta wskazuje łukowa strzałka zwrócona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W części b rysunku, w obszarze pola magnetycznego, znajduje się, leżący w płaszczyźnie rysunku – obwód elektryczny. Początek tegoż obwodu znajduje się w punkcie O, usytuowanym w pobliżu lewego górnego wierzchołka obszaru. Do punktu O podłączony jest rezystor R. Symbol graficzny tego rezystora narysowany jest w pionie, w pobliżu lewej granicy obszaru pola magnetycznego. Do dolnego końca rezystora R, w punkcie P – podłączony jest przewód w kształcie jednej czwartej łuku okręgu. Łuk ten biegnie ku prawej stronie rysunku. Środek łuku znajduje się w punkcie O. Nigdzie niepodłączony koniec przewodu w kształcie łuku oznaczony jest T. W punkcie O, do którego podłączony jest rezystor – znajduje się oś obrotu przewodzącego, prostoliniowego pręta o długości nieco większej od promienia łuku. Pręt odchylony jest w prawo i tworzy z pionowym symbolem rezystora kąt ostry. Swobodny koniec pręta styka się z przewodem w kształcie łuku w punkcie S. Kierunek ruchu pręta wskazuje łukowa strzałka zwrócona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Na rysunku zaznaczono kierunek prądu o natężeniu I, płynącego w następującym obwodzie: oś obrotu pręta, pręt, fragment łukowego przewodu pomiędzy punktem S jego styku z prętem a końcem pionowego rezystora R, rezystor, punkt O. Prąd płynie zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Część c rysunku przedstawia pręt, którego oś obrotu znajduje się w punkcie O, usytuowanym w pobliżu lewego górnego wierzchołka obszaru pola magnetycznego. Pręt odchylony jest w prawo i tworzy z pionem kąt ostry. Kierunek ruchu pręta wskazuje łukowa strzałka, zwrócona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W pręcie, w kierunku od jego osi obrotu – płynie prąd o natężeniu I. W odległości x od osi obrotu tegoż pręta – wyróżniony jest jego odcinek o grubości dx. Do plasterka pręta, prostopadle do tegoż pręta – przyłożony jest wektor siły, oznaczonej dF z indeksem m. Wektor ten zwrócony jest w kierunku lewego, dolnego rogu rysunku.
Ilustracja 13.16 (a) Koniec obracającego się w płaszczyźnie poziomej metalowego pręta ślizga się wzdłuż przewodu w kształcie łuku okręgu. (b) Kierunek prądu indukowanego w pręcie. (c) Siła magnetyczna działająca na infinitezymalny fragment prądu.

Strategia rozwiązania

Strumień magnetyczny równy jest iloczynowi wartości indukcji pola magnetycznego i pola powierzchni zakreślonego przez pręt OSOS (część (a) Ilustracji 13.16) przy obrocie o kąt θθ (S=r2θ2S=r2θ2). Obliczając SEM z prawa Faradaya, zauważmy, że wszystkie wielkości poza kątem θθ nie zależą od czasu i że ω=dθdtω=dθdt. Pamiętajmy, że praca wykonana w jednostce czasu zależy od iloczynu momentu siły i prędkości kątowej. Moment siły wyznaczymy, określając siłę działającą na element pręta i obliczając całkę tej siły po całej jego długości.

Rozwiązanie

  1. Z geometrii układu wynika, że pole powierzchni pętli OPSOOPSO wynosi S=r2θ2S=r2θ2. Zatem strumień pola magnetycznego przenikającego pętlę określony jest wyrażeniem
    ΦB=BS=Br2θ2.ΦB=BS=Br2θ2.
    Obliczając pochodną po czasie i podstawiając ω=dθdtω=dθdt, otrzymujemy
    ε=dΦBdt=Br2ω2.ε=dΦBdt=Br2ω2. \abs{\epsilon} = \abs{-\frac{\d \Phi_B}{\d t}} = B \frac{r^2 \omega}{2} \text{.}
    Podzieliwszy powyższe wyrażenie przez rezystancję RR, wyznaczymy natężenie indukowanego w niej prądu
    I=εR=Br2ω2R.I=εR=Br2ω2R. I = \frac{\abs{\epsilon}}{R} = B \frac{r^2 \omega}{2R} \text{.}
    Ze wzrostem kąta θθ wzrasta strumień wektora indukcji magnetycznej BB przez powierzchnię pętli. Aby przeciwdziałać temu wzrostowi, pole magnetyczne wytworzone przez zaindukowany prąd w obszarze ograniczonym pętlą musi być zwrócone do płaszczyzny rysunku. Zatem, jak przedstawiono na Ilustracji 13.16 (b), prąd płynie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
  2. Ruch obrotowy pręta wywołany jest działającym nań momentem siły. Ponieważ pręt obraca się ze stałą prędkością kątową, ów moment siły jest równy co do wartości i przeciwnie skierowany do momentu siły magnetycznej. Siła magnetyczna działa na prąd płynący w pręcie wskutek umieszczenia go w zewnętrznym polu magnetycznym. Wartość tej siły w odniesieniu do infinitezymalnego odcinka o długości dxdx, przedstawionego w części (c) Ilustracji 13.16, wynosi dF=IBdxdF=IBdx \d F = IB \d x. Wartość momentu siły magnetycznej działającego na ów odcinek opisuje zatem wyrażenie
    dMB=xdF=IBxdx.dMB=xdF=IBxdx. \d M_B = x \d F = IBx \d x \text{.}
    Całkowity moment siły magnetycznej działający na pręt wynosi więc
    MB=0rdMB=IB0rxdx=12IBr2.MB=0rdMB=IB0rxdx=12IBr2. M_B = \int_0^r \d M_B = IB \int_0^r x \d x = \frac{1}{2} IBr^2 \text{.}
    Moment siły obracający pręt jest równy co do wartości i przeciwnie skierowany do momentu siły MBMB M_B, a praca wykonana przy obrocie pręta o kąt dθdθ wynosi MdθMdθ. Zatem pracę wykonaną nad prętem w jednostce czasu opisuje wzór
    dWdt=Mdθdt=12IBr2dθdt=12Br2ω2RBr2ω=B2r4ω24R.dWdt=Mdθdt=12IBr2dθdt=12Br2ω2RBr2ω=B2r4ω24R. \frac{\d W}{\d t} = M \frac{\d \theta}{\d t} = \frac{1}{2} IBr^2 \cdot \frac{\d \theta}{\d t} = \frac{1}{2} \cdot B\frac{r^2\omega}{2R} Br^2 \cdot \omega = \frac{B^2r^4\omega^2}{4R} \text{.}
    Moc rozproszona w rezystorze wynosi z kolei P=I2RP=I2R, a więc
    P=Br2ω2R2R=B2r4ω24R.P=Br2ω2R2R=B2r4ω24R.
    Widzimy zatem, że
    P=dWdt.P=dWdt. P = \frac{\d W}{\d t} \text{.}
    Moc rozproszona w rezystorze jest więc równa pracy, jaką w jednostce czasu należy wykonać, aby obrócić pręt.

Znaczenie

Alternatywnym sposobem obliczenia wartości indukowanej SEM przy wykorzystaniu prawa Faradaya jest zastąpienie całkowania po czasie całkowaniem po zmiennej przestrzennej, przy czym wynik obliczeń nie ulega zmianie. W tym celu zauważmy, że bezwzględna wartość indukowanej ruchem SEM wynosi
ε=Bvdl.ε=Bvdl.

W powyższej całce prędkość vv można zastąpić iloczynem prędkości kątowej i promienia wodzącego. Zastępując elementarną długość pręta przez drdr, otrzymujemy

ε=B0lvdr=Bω0lrdr=12Bωl2,ε=B0lvdr=Bω0lrdr=12Bωl2, \abs{\epsilon} = B \int_0^l v \d r = B\omega \int_0^l r \d r = \frac{1}{2} B \omega l^2 \text{,}

a więc wynik jest zgodny z uzyskanym uprzednio.

Przykład 13.6

Prostokątna cewka obracająca się w polu magnetycznym

Prostokątną cewkę o powierzchni SS, składającą się z NN zwojów, umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B=BĵB=Bĵ, co przedstawia Ilustracja 13.17. Cewka obraca się ze stałą prędkością kątową ωω wokół osi zz, przechodzącej przez jej środek. Wyprowadźmy wyrażenie opisujące SEM indukowaną w tej cewce.
Rysunek przedstawia perspektywiczny widok kilkuzwojowej cewki w kształcie prostokątnej ramki. Dłuższe boki ramki są pionowe. Ramka obraca się wokół swej pionowej osi symetrii, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Oś obrotu ramki jest jednocześnie osią „zet” prawoskrętnego układu współrzędnych, którego początek znajduje się w geometrycznym środku tejże ramki. W środku ramki przyłożony jest jednostkowy wektor n jej powierzchni. Wektor ten jest prostopadły do powierzchni ramki i jest zwrócony w prawo, nieznacznie od płaszczyzny rysunku. W środku ramki przyłożony jest wektor indukcji pola magnetycznego B. Wektor ten leży na dodatniej półosi y układu współrzędnych i jest zwrócony ku prawej stronie rysunku. Wektor jednostkowy n oraz wektor indukcji B tworzą ostry kąt teta, skierowany od wektora B.
Ilustracja 13.17 Prostokątna cewka obracająca się w jednorodnym polu magnetycznym.

Strategia rozwiązania

Zgodnie z rysunkiem kąt pomiędzy normalną do powierzchni cewki (wektor n̂n̂) a wektorem indukcji pola magnetycznego BB wynosi θθ. Ponieważ wektor BB rzutuje się na wektor jednostkowy powierzchni n̂n̂, iloczyn skalarny Bn̂Bn̂ można zastąpić składową wektora indukcji, zależną od cosinusa kąta θθ. Wartości indukcji magnetycznej i pole powierzchni pętli są stałe w czasie, co upraszcza i przyspiesza całkowanie. Indukowaną SEM oblicza się na podstawie prawa Faradaya.

Rozwiązanie

Gdy cewka ustawiona jest tak, że kąt pomiędzy wektorem normalnym n̂n̂ a wektorem indukcji magnetycznej BB wynosi θθ, strumień magnetyczny przez pojedynczy zwój tej cewki wynosi
ΦB=SBn̂dS=BScosθ.ΦB=SBn̂dS=BScosθ. \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot \hat{n} \d S = BS \cos \theta \text{.}

Na podstawie prawa Faradaya SEM indukowana w cewce równa jest

ε=NdΦBdt=NBSsinθdθdt.ε=NdΦBdt=NBSsinθdθdt. \epsilon = - N \frac{\d \Phi_B}{\d t} = NBS \sin \theta \cdot \frac{\d \theta}{\d t} \text{.}

Stałą w czasie prędkość kątową określa zależność ω=dθdtω=dθdt. Kąt θθ zmienia się w czasie zgodnie z funkcją ωtωt. Zmianę kąta można zatem zastąpić wyrażeniem ωdtωdt. W rezultacie indukowana SEM zmienia się sinusoidalnie w czasie zgodnie z zależnością

ε=ε0sinωt,ε=ε0sinωt,

w której ε0=NBSωε0=NBSω.

Znaczenie

Jeżeli wartości indukcji magnetycznej bądź pole powierzchni pętli byłyby również zależne od czasu, symboli ich nie można byłoby wynieść przed symbol różniczkowania. Rezultat obliczeń byłby wówczas bardziej skomplikowany niż przedstawione powyżej rozwiązanie. Warto wspomnieć, że podany przykład ilustruje zasadę działania generatora elektrycznego. Wyczerpujące omówienie problemu zawiera rozdział Zastosowania praw Newtona.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.4

Poniższy rysunek przedstawia pręt o długości ll, obracający się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara wokół osi przechodzącej przez punkt OO. Obrót pręta wywołany jest momentem siły mgmg. Założywszy, że pręt znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji BB oraz że jego prędkość kątowa wynosi ωω, oblicz SEM indukowaną pomiędzy jego końcami. Który z końców pręta ma wyższy potencjał?

Rysunek przedstawia kwadratowy obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny rysunku. W obszarze tego pola, umieszczony jest ukośnie prostoliniowy pręt, który może się obracać wokół punktu O. Punkt O znajduje się w górnym końcu tegoż pręta. Dolny koniec pręta oznaczony jest S. Pręt odchylony jest w lewo, a kierunek jego ruchu wskazuje łukowa strzałka, zwrócona zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W środku długości pręta, przyłożony jest pionowy wektor, oznaczony iloczynem mg. Wektor ten zwrócony jest ku dołowi rysunku.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.5

Pręt o długości 10cm10cm porusza się z szybkością 10ms10ms, prostopadle do pola magnetycznego o indukcji 1,5T1,5T. Oblicz różnicę potencjałów pomiędzy końcami tego pręta.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.