13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem

Wartość strumienia magnetycznego zależy od trzech czynników: wartości indukcji pola magnetycznego, wielkości powierzchni, którą przecinają linie tego pola, oraz orientacji linii pola względem tej powierzchni. Zatem zmiana którejkolwiek z tych wielkości spowoduje zmianę strumienia magnetycznego. Dotychczas rozważaliśmy jedynie przypadki, w których zmiana strumienia następowała wskutek zmiany wartości indukcji pola magnetycznego. Obecnie rozpatrzymy pozostałe możliwości: zmianę wielkości powierzchni przenikanej przez linie pola magnetycznego oraz zmianę orientacji danej powierzchni względem tego pola.

Na Ilustracji 13.11 przedstawiono przykłady tego rodzaju zmian. W części (a) Ilustracji 13.11 strumień przenikający przez prostokątną ramkę wzrasta w miarę jej wnikania w obszar pola magnetycznego. W części (b) strumień przenikający obracającą się ramkę zmienia się wraz z kątem $\theta$.

Ilustracja 13.11 (a) Strumień magnetyczny zmienia się w miarę wnikania ramki w obszar pola magnetycznego. (b) Strumień magnetyczny zmienia się na skutek obrotu ramki w polu magnetycznym.

Warto zauważyć, że obserwowana przez nas przyczyna zmiany strumienia magnetycznego zależy od obranego układu odniesienia. Na przykład, będąc w spoczynku względem poruszających się ramek przedstawionych na Ilustracji 13.11, stwierdzilibyśmy, że zmiana strumienia magnetycznego następuje wskutek zmiany wartości indukcji pola. Wówczas w części (a) w naszym układzie współrzędnych pole przemieszcza się ze strony lewej na prawą, a w części (b) Ilustracji 13.11 – pole magnetyczne się obraca. Zmianę strumienia magnetycznego, przenikającego cewkę poruszającą się w określonym układzie współrzędnych, możemy często opisać w innym układzie współrzędnych, w którym wspomniana cewka spoczywa, a zmienia się indukcja pola magnetycznego. Złożoność problemów związanych z opisem w takim układzie wykracza jednak poza ramy niniejszego podręcznika. Takich trudności możemy uniknąć, pozostając zawsze w tak zwanym laboratoryjnym układzie współrzędnych (będącym w spoczynku względem pomieszczenia laboratorium), w którym zmiany strumienia magnetycznego zachodzą na skutek zmiany indukcji pola lub zmiany przenikanej przez to pole powierzchni.

Rozważmy obecnie przedstawiony na Ilustracji 13.12 układ, w którym przewodzący pręt, umieszczony na przewodzących szynach, zamyka obwód elektryczny z rezystorem $R$. Ponieważ pręt może poruszać się swobodnie w kierunku poziomym, pole powierzchni ograniczonej przez obwód $M⁣N⁣O⁣P$ zależy od położenia pręta i wynosi $lx$. Zauważmy teraz, że powierzchnia obwodu jest prostopadła do linii pola magnetycznego. Zatem, obliczając wartość strumienia magnetycznego przenikającego tę powierzchnię, całkę w Równaniu 13.1 możemy zastąpić iloczynem wartości indukcji magnetycznej i pola powierzchni obwodu. Otrzymamy wówczas

Ponieważ $B$ i $l$ są stałe, a wartość prędkości przewodzącego pręta $v=dx∕dt$, indukowaną SEM obliczymy, przekształcając prawo Faradaya (Równanie 13.2) do następującej postaci

Natężenie prądu indukowanego w obwodzie obliczymy, dzieląc SEM przez rezystancję w tym obwodzie

Kierunek zaindukowanej SEM jest oczywiście zgodny z regułą Lenza, o czym możemy się przekonać, analizując Ilustracja 13.12.

Powyższe obliczenia wywołanej ruchem siły elektromotorycznej nie dotyczą wyłącznie pręta poruszającego się po przewodzących szynach. Obierając za punkt wyjścia iloczyn wektorowy $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, możemy bowiem wykazać, że prawo $\epsilon =-d{\mathrm{\Phi }}_B∕dt$ pozostaje prawdziwe w przypadku dowolnej zmiany strumienia wywołanej ruchem przewodnika. W podrozdziale Prawo Faradaya stwierdziliśmy z kolei, że SEM indukowana zmiennym w czasie strumieniem magnetycznym opisana jest zależnością identyczną do wymienionej powyżej – zwaną prawem Faradaya. Zatem prawo Faradaya dotyczy dowolnej zmiany strumienia – wywołanej albo zmianą wartości indukcji pola magnetycznego, albo ruchem, albo też kombinacją tych czynników.

Ilustracja 13.12 Przewodzący pręt porusza się w prawo ze stałą prędkością. Wywołana jego ruchem zmiana strumienia magnetycznego indukuje w obwodzie prąd elektryczny.

Rozważając zagadnienie z perspektywy zasady zachowania energii, zauważamy, że moc siły przyłożonej do pręta ${\overrightarrow{F}}_{\text{a}}$ jest równa $F_{\text{a}}v$, a moc tracona w rezystorze wynosi $I^{2}R$. Ponieważ pręt porusza się ze stałą prędkością, to siła $F_{\text{a}}$ musi zrównoważyć siłę magnetyczną $F=IlB$ działającą na pręt przewodzący prąd o natężeniu $I$. Moc wytwarzana w obwodzie wynosi więc

Moc rozproszona wynosi z kolei

Moc wytwarzana i moc tracona w układzie są równe, co oznacza spełnienie zasady zachowania energii.

Na opisanej powyżej zasadzie działa tzw. działo szynowe (ang. rail gun). Mianem tym określamy elektromagnetyczną wyrzutnię pocisków, której konstrukcję, podobną do układu z Ilustracji 13.12, przedstawia Ilustracja 13.13. Jak wynika z przedstawionego schematu, przewodzący pręt został zastąpiony przeznaczonym do wystrzelenia pociskiem (lub innym rodzajem amunicji). Zauważmy teraz, że dotychczas omawialiśmy SEM indukowaną ruchem. Jednak w przypadku działa szynowego spadek wartości strumienia w przestrzeni pomiędzy szynami wywołany jest szybkim wyłączaniem lub tłumieniem pola magnetycznego. Ów spadek strumienia indukuje prąd płynący w pręcie (zwanym zworą), do którego przytwierdzony jest pocisk. Przepływ prądu powoduje powstanie siły magnetycznej, która wypycha pręt ku przodowi działa. Działa szynowe nie są jednak szeroko stosowane w technice wojskowej. Przyczyną są wysokie koszty ich produkcji oraz wymagane duże natężenia prądów. Istotnie, by wytworzyć energię wystarczającą do skutecznej pracy działa jako broni, przez szyny powinien płynąć prąd o natężeniu bliskim miliona amperów!

Ilustracja 13.13 Prąd płynący w szynach wytwarza siłę magnetyczną wypychającą przewodzący pocisk.

Stosując prawo Faradaya, indukowaną ruchem siłę elektromotoryczną (ang. motionally induced EMF) możemy obliczyć nawet wtedy, gdy w polu magnetycznym nie występuje zamknięty obwód elektryczny. Musimy po prostu wyobrazić sobie pewną powierzchnię, której granice zawierają poruszający się przewodnik, obliczyć ${\mathrm{\Phi }}_B$, a następnie, na podstawie prawa Faradaya, wyznaczyć SEM. Na przykład, zgodnie z Ilustracją 13.14, poruszający się pręt może stanowić jeden z boków wyimaginowanego prostokąta przedstawionego na tymże rysunku za pomocą linii przerywanych. Ponieważ powierzchnia prostokąta równa jest $lx$, strumień magnetyczny ${\mathrm{\Phi }}_B=Blx$. Różniczkując przytoczone równanie obustronnie po czasie, otrzymujemy

Powyższe wyrażenie jest tożsame z wyprowadzonym wcześniej wzorem opisującym różnicę potencjałów pomiędzy końcami ruchomego pręta.

Ilustracja 13.14 Stosując wyimaginowany prostokąt, możemy wykorzystać prawo Faradaya do obliczenia wartości SEM indukowanej w poruszającym się pręcie.

Wartości sił elektromotorycznych wywołanych ruchem w ziemskim polu magnetycznym nie są zwykle bardzo duże. W przeciwnym razie bylibyśmy w stanie zarejestrować napięcie indukowane w metalowym pręcie (na przykład śrubokręcie) podczas jego zwyczajnego ruchu. Na przykład w rezultacie prostych obliczeń SEM indukowanej w pręcie o długości $1\mathrm{m}$, poruszającym się z szybkością $3\mathrm{m}∕\mathrm{s}$ prostopadle do ziemskiego pola magnetycznego, otrzymujemy

Powyższa niewielka wartość jest zgodna z wynikami licznych pomiarów. Istnieje jednak spektakularny wyjątek. W latach 1992 i 1996 prowadzono próby wykorzystania promu kosmicznego do wytwarzania znacznych sił elektromotorycznych. Wykorzystywano w tym celu satelitę, prowadzonego przez prom na przewodzącej uwięzi o długości $20\mathrm{km}$ – jak pokazano na Ilustracji 13.15. Przy prędkości orbitalnej w ziemskim polu magnetycznym otrzymywano wówczas SEM o wartości $5\mathrm{kV}$. Indukowana SEM mogłaby być użyta do przetworzenia części energii kinetycznej i potencjalnej promu na energię elektryczną, o ile możliwe byłoby utworzenie zamkniętego obwodu elektrycznego. Funkcję ścieżki powrotnego przepływu prądu zamykającej obwód pełniła stacjonarna jonosfera. Przypomnijmy, że jonosferę tworzy atmosfera ziemska – rozrzedzona i częściowo zjonizowana na wysokościach orbitalnych (jej przewodnictwo elektryczne jest skutkiem procesu jonizacji). Jonosfera pełni tutaj funkcję analogiczną do roli nieruchomych szyn i zwory (rezystora) z Ilustracji 13.13 – zamykających obwód elektryczny. Siła magnetyczna $F=IlBsin\theta$, będąca źródłem oporu stawianego prądowi płynącemu w kablu, wykonuje w tym eksperymencie pracę, która pomniejsza energię kinetyczną oraz potencjalną promu i umożliwia ich przemianę w energię elektryczną. Oba eksperymenty zakończyły się niepowodzeniem. W pierwszym z nich kabel zaplątał się i mógł zostać rozciągnięty zaledwie na odległość kilkuset metrów. W drugim kabel zerwał się tuż przed pełnym rozciągnięciem. Działanie satelity na uwięzi ilustruje Przykład 13.4.

Ilustracja 13.15 Wykorzystanie powodowanej ruchem siły elektromotorycznej jako źródła energii elektrycznej dla promów kosmicznych stało się zachętą do przeprowadzenia eksperymentu z satelitą na uwięzi. Przewidywano, że w uwięzi o długości $20\mathrm{km}$, poruszającej się z prędkością orbitalną w ziemskim polu magnetycznym, zaindukuje się SEM o wartości $5\mathrm{kV}$. Ścieżkę powrotnego przepływu prądu zamykającą obwód elektryczny miała tworzyć stacjonarna jonosfera.

Przykład 13.5

Metalowy pręt obracający się w polu magnetycznym

Część (a) Ilustracji 13.16 przedstawia metalowy pręt $OS$ obracający się w płaszczyźnie poziomej wokół punktu $O$. Pręt ślizga się wzdłuż przewodu w kształcie łuku okręgu $PST$, którego promień wynosi $r$. Układ znajduje się w stałym polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$, skierowanym od płaszczyzny rysunku.

1. Przyjąwszy, że pręt obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega$, wyznaczmy natężenie prądu $I$ w zamkniętej pętli $OPSO$. Przyjmijmy, że rezystor $R$ reprezentuje całkowitą rezystancję tej pętli.
2. Obliczmy pracę wykonaną w jednostce czasu do obrócenia pręta i wykażmy, że jest ona równa mocy traconej w rezystorze.

Ilustracja 13.16 (a) Koniec obracającego się w płaszczyźnie poziomej metalowego pręta ślizga się wzdłuż przewodu w kształcie łuku okręgu. (b) Kierunek prądu indukowanego w pręcie. (c) Siła magnetyczna działająca na infinitezymalny fragment prądu.

Strategia rozwiązania

Strumień magnetyczny równy jest iloczynowi wartości indukcji pola magnetycznego i pola powierzchni zakreślonego przez pręt $OS$ (część (a) Ilustracji 13.16) przy obrocie o kąt $\theta$ ($S=r^2\theta ∕2$). Obliczając SEM z prawa Faradaya, zauważmy, że wszystkie wielkości poza kątem $\theta$ nie zależą od czasu i że $\omega =d\theta ∕dt$. Pamiętajmy, że praca wykonana w jednostce czasu zależy od iloczynu momentu siły i prędkości kątowej. Moment siły wyznaczymy, określając siłę działającą na element pręta i obliczając całkę tej siły po całej jego długości.

Rozwiązanie

1. Z geometrii układu wynika, że pole powierzchni pętli $OPSO$ wynosi $S=r^2\theta ∕2$. Zatem strumień pola magnetycznego przenikającego pętlę określony jest wyrażeniem
   $${\mathrm{\Phi }}_B=BS=B\frac{r^2\theta }{2}\text{.}$$
   Obliczając pochodną po czasie i podstawiając $\omega =d\theta ∕dt$, otrzymujemy
   $$\left|\epsilon \right|=\left|-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\right|=B\frac{r^2\omega }{2}\text{.}$$
   Podzieliwszy powyższe wyrażenie przez rezystancję $R$, wyznaczymy natężenie indukowanego w niej prądu
   $$I=\frac{\left|\epsilon \right|}{R}=B\frac{r^2\omega }{2R}\text{.}$$
   Ze wzrostem kąta $\theta$ wzrasta strumień wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ przez powierzchnię pętli. Aby przeciwdziałać temu wzrostowi, pole magnetyczne wytworzone przez zaindukowany prąd w obszarze ograniczonym pętlą musi być zwrócone do płaszczyzny rysunku. Zatem, jak przedstawiono na Ilustracji 13.16 (b), prąd płynie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
2. Ruch obrotowy pręta wywołany jest działającym nań momentem siły. Ponieważ pręt obraca się ze stałą prędkością kątową, ów moment siły jest równy co do wartości i przeciwnie skierowany do momentu siły magnetycznej. Siła magnetyczna działa na prąd płynący w pręcie wskutek umieszczenia go w zewnętrznym polu magnetycznym. Wartość tej siły w odniesieniu do infinitezymalnego odcinka o długości $dx$, przedstawionego w części (c) Ilustracji 13.16, wynosi $dF=IBdx$. Wartość momentu siły magnetycznej działającego na ów odcinek opisuje zatem wyrażenie
   $$d{M}_B=xdF=IBxdx\text{.}$$
   Całkowity moment siły magnetycznej działający na pręt wynosi więc
   $$M_B=\underset{0}{\overset{r}{\int }}d{M}_B=IB\underset{0}{\overset{r}{\int }}xdx=\frac{1}{2}IB{r}^2\text{.}$$
   Moment siły obracający pręt jest równy co do wartości i przeciwnie skierowany do momentu siły $M_B$, a praca wykonana przy obrocie pręta o kąt $d\theta$ wynosi $Md\theta$. Zatem pracę wykonaną nad prętem w jednostce czasu opisuje wzór
   $$\frac{dW}{dt}=M\frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{2}IB{r}^2\cdot \frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{2}\cdot B\frac{r^2\omega }{2R}B{r}^2\cdot \omega =\frac{B^2{r}^4{\omega }^2}{4R}\text{.}$$
   Moc rozproszona w rezystorze wynosi z kolei $P=I^{2}R$, a więc
   $$P={\left(\frac{B{r}^2\omega }{2R}\right)}^{2}R=\frac{B^2{r}^4{\omega }^2}{4R}\text{.}$$
   Widzimy zatem, że
   $$P=\frac{dW}{dt}\text{.}$$
   Moc rozproszona w rezystorze jest więc równa pracy, jaką w jednostce czasu należy wykonać, aby obrócić pręt.

Znaczenie

Alternatywnym sposobem obliczenia wartości indukowanej SEM przy wykorzystaniu prawa Faradaya jest zastąpienie całkowania po czasie całkowaniem po zmiennej przestrzennej, przy czym wynik obliczeń nie ulega zmianie. W tym celu zauważmy, że bezwzględna wartość indukowanej ruchem SEM wynosi

$$\left|\epsilon \right|=\int Bvdl\text{.}$$

W powyższej całce prędkość $v$ można zastąpić iloczynem prędkości kątowej i promienia wodzącego. Zastępując elementarną długość pręta przez $dr$, otrzymujemy

$$\left|\epsilon \right|=B\underset{0}{\overset{l}{\int }}vdr=B\omega \underset{0}{\overset{l}{\int }}rdr=\frac{1}{2}B\omega l^2\text{,}$$

a więc wynik jest zgodny z uzyskanym uprzednio.

Przykład 13.6

Prostokątna cewka obracająca się w polu magnetycznym

Prostokątną cewkę o powierzchni $S$, składającą się z $N$ zwojów, umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}=B\hat{j}$, co przedstawia Ilustracja 13.17. Cewka obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega$ wokół osi $z$, przechodzącej przez jej środek. Wyprowadźmy wyrażenie opisujące SEM indukowaną w tej cewce.

Ilustracja 13.17 Prostokątna cewka obracająca się w jednorodnym polu magnetycznym.

Strategia rozwiązania

Zgodnie z rysunkiem kąt pomiędzy normalną do powierzchni cewki (wektor $\hat{n}$) a wektorem indukcji pola magnetycznego $\overrightarrow{B}$ wynosi $\theta$. Ponieważ wektor $\overrightarrow{B}$ rzutuje się na wektor jednostkowy powierzchni $\hat{n}$, iloczyn skalarny $\overrightarrow{B}\cdot \hat{n}$ można zastąpić składową wektora indukcji, zależną od cosinusa kąta $\theta$. Wartości indukcji magnetycznej i pole powierzchni pętli są stałe w czasie, co upraszcza i przyspiesza całkowanie. Indukowaną SEM oblicza się na podstawie prawa Faradaya.

Rozwiązanie

Gdy cewka ustawiona jest tak, że kąt pomiędzy wektorem normalnym $\hat{n}$ a wektorem indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ wynosi $\theta$, strumień magnetyczny przez pojedynczy zwój tej cewki wynosi

$${\mathrm{\Phi }}_B=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{B}\cdot \hat{n}dS=BScos\theta \text{.}$$

Na podstawie prawa Faradaya SEM indukowana w cewce równa jest

$$\epsilon =-N\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}=NBSsin\theta \cdot \frac{d\theta }{dt}\text{.}$$

Stałą w czasie prędkość kątową określa zależność $\omega =d\theta ∕dt$. Kąt $\theta$ zmienia się w czasie zgodnie z funkcją $\omega t$. Zmianę kąta można zatem zastąpić wyrażeniem $\omega dt$. W rezultacie indukowana SEM zmienia się sinusoidalnie w czasie zgodnie z zależnością

$$\epsilon ={\epsilon }_{0}sin\left(\omega t\right)\text{,}$$

w której ${\epsilon }_0=NBS\omega$.

Znaczenie

Jeżeli wartości indukcji magnetycznej bądź pole powierzchni pętli byłyby również zależne od czasu, symboli ich nie można byłoby wynieść przed symbol różniczkowania. Rezultat obliczeń byłby wówczas bardziej skomplikowany niż przedstawione powyżej rozwiązanie. Warto wspomnieć, że podany przykład ilustruje zasadę działania generatora elektrycznego. Wyczerpujące omówienie problemu zawiera rozdział Zastosowania praw Newtona.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.4

Poniższy rysunek przedstawia pręt o długości $l$, obracający się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara wokół osi przechodzącej przez punkt $O$. Obrót pręta wywołany jest momentem siły $m\overrightarrow{g}$. Założywszy, że pręt znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ oraz że jego prędkość kątowa wynosi $\omega$, oblicz SEM indukowaną pomiędzy jego końcami. Który z końców pręta ma wyższy potencjał?