William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

definiować pojęcie oporu równoważnego;
obliczać opór równoważny oporników połączonych szeregowo;
obliczać opór równoważny oporników połączonych równolegle.

W rozdziale Prąd i rezystancja opisaliśmy pojęcie oporu elektrycznego i wyjaśniliśmy podstawy konstrukcji opornika. Zasadniczo, opornik (rezystor) ogranicza przepływ ładunku w obwodzie i jest urządzeniem podlegającym prawu Ohma $U = RI$ . Większość układów składa się z więcej niż jednego opornika. Jeżeli kilka połączonych ze sobą oporników zostanie podłączonych do źródła SEM, to natężenie prądu w obwodzie będzie zależało od wartości oporu równoważnego (ang. equivalent resistance) obwodu elektrycznego.

Opór równoważny (rezystancja równoważna) układu oporników zależy zarówno od ich poszczególnych oporów, jak i sposobu ich połączenia. Najprostszymi układami połączenia kilku oporników są połączenie szeregowe i połączenie równoległe (Ilustracja 10.11). W obwodzie szeregowym (ang. series circuit) prąd elektryczny wypływający z pierwszego opornika wpływa do drugiego. W związku z tym przez każdy opornik przepływa prąd o takim samym natężeniu. W obwodzie równoległym (ang. parallel circuit) wszystkie wejścia oporników połączone są ze sobą, tak samo jak wszystkie wyjścia (po stronie przeciwnej do wejścia). W przypadku konfiguracji równoległej spadek potencjału na każdym z oporników jest taki sam, więc natężenie prądu płynącego przez każdy z nich może być inne i zależy od jego oporu. Suma natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki równa się natężeniu prądu, który wpływa do ich równoległego połączenia.

Ilustracja 10.11 (a) Gdy oporniki połączone są szeregowo, prąd o takim samym natężeniu płynie przez każdy z nich. (b) Gdy oporniki są połączone równolegle, napięcie na każdym z nich jest takie samo.

Oporniki połączone szeregowo

Mówimy, że oporniki połączone są szeregowo, gdy prąd przepływa przez nie po kolei. Spójrzmy na Ilustrację 10.12 przedstawiającą trzy oporniki połączone szeregowo. Między punktami $A$ i $B$ różnica potencjałów jest równa $U_{A⁣ B}$ . Ponieważ ładunki mogą przepływać tylko jedną ścieżką przewodzenia, przez każdy z oporników przepływa prąd o takim samym natężeniu. Opór równoważny zestawu oporników połączonych szeregowo równa się sumie algebraicznej wartości poszczególnych oporów.

Część a pokazuje oryginalny obwód z trzema opornikami połączonymi szeregowo ze źródłem napięcia i część b pokazującą równoważny obwód z równoważnym opornikiem połączonym ze źródłem napięcia.

Ilustracja 10.12 (a) Trzy oporniki połączone szeregowo i podłączone do źródła napięcia. (b) Wejściowy obwód został uproszczony do opornika równoważnego i źródła napięcia.

Na Ilustracji 10.12 prąd wychodzący ze źródła napięcia przepływa przez każdy z oporników, więc natężenie prądu przepływającego przez każdy z nich jest takie samo. Natężenie prądu płynącego przez układ zależy od napięcia źródła SEM i rezystancji przyłączonych oporników. Dla każdego opornika obserwowany spadek potencjałów między jego końcami jest równy stracie elektrycznej energii potencjalnej w czasie przepływu przez niego prądu. Zgodnie z prawem Ohma spadek potencjału $U$ na oporniku, przez który płynie prąd o natężeniu $I$ , oblicza się, stosując równanie $U = R I$ , gdzie natężenie prądu wyraża się w amperach ( $A$ ), a $R$ to opór wyrażony w omach ( $Ω$ ). Suma napięć źródła (wnoszącego różnicę potencjałów do obwodu) i spadków potencjału na poszczególnych opornikach liczona dla zamkniętego oczka (pętli) obwodu powinna być równa zero

\sum_{i = 1}^{N} U_{i} = 0 V .

Równanie to jest często określane jako drugie prawo Kirchhoffa. Bardziej szczegółowo omówimy je w dalszej części tego rozdziału. Na Ilustracji 10.12 suma spadków potencjału na każdym z oporników i napięcia źródła powinna być równa zero

\begin{matrix} U - U_{1} - U_{2} - U_{3} = 0 V, \\ U = U_{1} + U_{2} + U_{3}, \\ U = I R_{1} + I R_{2} + I R_{3}, \\ I = \frac{U}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = \frac{U}{R_{rw}} . \end{matrix}

Ponieważ natężenie prądu płynącego przez każdy z elementów jest takie samo, równość można uprościć do oporu równoważnego, który jest po prostu sumą oporów poszczególnych oporników.

Szeregowo można połączyć dowolną liczbę oporników. Jeżeli połączymy szeregowo $N$ oporników, to odpowiadający im równoważny opór wynosi

R_{rw} = R_{1} + R_{2} + R_{3} + \dots + R_{N - 1} + R_{N} = \sum_{i = 1}^{N} R_{i} .

10.2

Jedną z konsekwencji łączenia elementów w układzie szeregowym jest to, że gdy coś się dzieje z jednym, wpływa to na pozostałe. Na przykład, jeśli połączymy szeregowo kilka żarówek i jedna z nich się przepali, to wszystkie pozostałe również przestaną świecić.

Przykład 10.2

Opór równoważny, prąd i moc w szeregowych obwodach elektrycznych

Bateria o napięciu na biegunach

9 V

jest podłączona do obwodu elektrycznego składającego się z szeregowo połączonych czterech oporników o oporze

20 Ω

i jednego o oporze (rezystancji)

10 Ω

(Ilustracja 10.13). Załóż, że bateria ma znikomy opór wewnętrzny.

Oblicz równoważny opór obwodu.
Oblicz natężenie prądu płynącego przez każdy opornik.
Oblicz spadek potencjału na każdym oporniku.
Wyznacz całkowitą moc rozpraszaną przez oporniki i moc dostarczaną przez baterię.

Rysunek przedstawia cztery oporniki 20 Ω i jeden opornik 10 Ω połączone szeregowo z 9 V źródłem napięcia.

Ilustracja 10.13 Prosty obwód szeregowy z pięcioma opornikami

Strategia rozwiązania

W obwodzie szeregowym opór równoważny jest algebraiczną sumą poszczególnych oporów. Natężenie prądu płynącego przez układ możemy obliczyć z prawa Ohma i jest ono równe stosunkowi napięcia do oporu równoważnego. Spadek potencjału na oporniku możemy wyznaczyć za pomocą prawa Ohma. Moc rozpraszaną przez opornik możemy policzyć z zależności

P = I^{2} R

; aby wyznaczyć całkowitą moc rozproszoną przez wszystkie oporniki, należy zsumować moce rozproszone przez każdy z nich. Moc, z jaką energia jest dostarczana przez baterię (moc elektryczna baterii), obliczymy z wyrażenia

P = I ε

.

Rozwiązanie

Opór równoważny jest algebraiczną sumą poszczególnych oporów
$R_{rw} = R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4} + R_{5} = 20 Ω + 20 Ω + 20 Ω + 20 Ω + 10 Ω = 90 Ω .$
Natężenie prądu płynącego przez każdy z oporników połączonych szeregowo jest takie samo i równa się wartości przyłożonego napięcia podzielonej przez równoważny opór
$I = \frac{U}{R_{rw}} = \frac{9 V}{90 Ω} = 0,1 A .$
Spadek potencjału na każdym oporniku można znaleźć korzystając z prawa Ohma
$\begin{matrix} U_{1} = U_{2} = U_{3} = U_{4} = 0,1 A \cdot 20 Ω = 2 Ω, \\ U_{5} = 0,1 A \cdot 10 Ω = 1 V, \\ U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + U_{5} = 9 V . \end{matrix}$
Zauważmy, że suma spadków potencjału na każdym oporniku równa się napięciu na biegunach baterii.
Moc rozpraszana na oporniku wynosi $P = I^{2} R$ , a moc dostarczana przez baterię $P = I ε$
$\begin{matrix} P_{1} = P_{2} = P_{3} = P_{4} = {(0,1 A)}^{2} \cdot 20 Ω = 0,2 W, \\ P_{5} = {(0,1 A)}^{2} \cdot 10 Ω = 0,1 W, \\ P_{rozproszona} = 0,2 W + 0,2 W + 0,2 W + 0,2 W + 0,1 W = 0,9 W, \\ P_{źródła} = I ε = 0,1 A \cdot 9 V = 0,9 W . \end{matrix}$

Znaczenie

Istnieje kilka powodów, dla których będziemy używać wielu oporników zamiast jednego opornika równoważnego. Może opornik o wymaganej rezystancji nie jest dostępny albo musimy odprowadzić generowane ciepło lub chcemy zminimalizować koszt oporników. Każdy opornik może kosztować od kilku groszy do kilku złotych, ale po pomnożeniu przez tysiące sztuk oszczędności mogą okazać się znaczne.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.2

Niektóre sznury miniaturowych lampek choinkowych zbudowane są w sposób umożliwiający zwarcie, gdy przepali się jedna. Urządzenie, które powoduje zwarcie, nazywa się bocznikiem i pozwala na przepływ prądu w całym obwodzie. Zwarcie jest jak zastąpienie elementu kawałkiem drutu – pozwala na obejście uszkodzenia i dalsze działanie obwodu elektrycznego. Żarówki są zwykle zgrupowane w seriach po dziewięć. Jeśli zbyt wiele żarówek się wypali, bocznikowanie może nie zadziałać – obwód pozostanie otwarty. Co jest tego przyczyną?

Krótko podsumujmy podstawowe właściwości oporników połączonych szeregowo:

Szeregowo połączone opory dodają się, dając opór równoważny
$R_{rw} = R_{1} + R_{2} + R_{3} + \dots + R_{N - 1} + R_{N} = \sum_{i = 1}^{N} R_{i} .$
Przez każdy opornik przepływa prąd o takim samym natężeniu.
Na poszczególnych opornikach połączonych szeregowo napięcie nie jest równe napięciu źródła, które rozkłada się na wszystkie oporniki. Całkowity spadek potencjału dla układu połączonych szeregowo oporników równa się sumie spadków potencjału na każdym oporniku z osobna.

Oporniki połączone równolegle

Ilustracja 10.14 przedstawia oporniki połączone równolegle i podłączone do źródła napięcia. Z połączeniem równoległym mamy do czynienia wtedy, gdy obie strony wszystkich oporników połączone są wspólnym przewodem o nieznacznej rezystancji. Spadek potencjału na każdym z oporników jest jednakowy. Natężenie prądu płynącego przez każdy z oporników można obliczyć z prawa Ohma $I = U ∕ R$ , gdzie napięcie ma taką samą wartość na każdym oporniku. Przykładowo reflektory, radio i inne systemy samochodu są połączone równolegle, tak aby każdy wykorzystywał całe napięcie źródła i mógł działać całkowicie niezależnie. Tak samo jest z domową instalacją elektryczną.

Część a pokazuje oryginalny obwód z dwoma opornikami połączonymi równolegle ze źródłem napięcia, a część b przedstawia równoważny obwód z równoważnym opornikiem połączonym ze źródłem napięcia.

Ilustracja 10.14 (a) Dwa oporniki podłączone równolegle do źródła napięcia. (b) Obwód wejściowy został uproszczony do opornika równoważnego i źródła napięcia.

Natężenie prądu płynącego ze źródła napięcia z Ilustracji 10.14 zależy od napięcia źródła i oporu równoważnego obwodu elektrycznego. W tym przypadku prąd płynie od źródła napięcia i dociera do węzła, gdzie dzieli się, by przepłynąć przez oporniki $R_{1}$ i $R_{2}$ . Część ładunków wypływających z baterii przepływa przez opornik $R_{1}$ , a pozostałe przez opornik $R_{2}$ . Suma natężeń prądów wpływających do węzła musi być równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających

\sum I_{wpływające} = \sum I_{wypływające} .

Równanie to jest znane także jako pierwsze prawo Kirchhoffa i szczegółowo omówimy je w dalszej części rozdziału. Po zastosowaniu tej reguły do Ilustracji 10.14 otrzymujemy $I = I_{1} + I_{2}$ . W omawianym obwodzie elektrycznym możemy wyodrębnić dwa oczka (dwie pętle), co prowadzi nas do zależności: $U = I_{1} R_{1}$ oraz $I_{1} R_{1} = I_{2} R_{2}$ . Zauważmy, że spadek potencjału między miejscami połączenia równoległego oporników (węzłami) jest taki sam, a natężenia prądów się sumują

I = I_1 + I_2 = \frac{U_1}{R_1} + \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} = U (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}) = \frac{U}{R_{\text{rw}}} \text{,}

R_{\text{rw}} = (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})^{-1} \text{.}

Uogólniając powyższe dla dowolnej liczby $N$ oporników połączonych równolegle, opór równoważny $R_{rw}$ zależy od poszczególnych oporów w poniższy sposób

R_{rw} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + \dots + \frac{1}{R_{N - 1}} + \frac{1}{R_{N}})}^{- 1} = {(\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{R_{i}})}^{- 1} .

10.3

W wyniku równoległego połączenia oporników równoważny opór $R_{rw}$ jest mniejszy niż opór (rezystancja) każdego z nich. Gdy oporniki są połączone równolegle, ze źródła wypływa prąd o większym natężeniu, niż gdyby każdy z oporników był podłączony do źródła oddzielnie, więc opór całkowity jest mniejszy.

Przykład 10.3

Analiza równoległego obwodu elektrycznego

Trzy oporniki o oporach

R_{1} = 1 Ω

,

R_{2} = 2 Ω

i

R_{3} = 2 Ω

połączono równolegle. Układ podłączono do źródła o napięciu

U = 3 \si{\volt}

na biegunach.

Jaki jest opór równoważny?
Oblicz natężenie prądu dostarczanego przez źródło do obwodu równoległego.
Oblicz natężenia prądów przepływających przez poszczególne oporniki i udowodnij, że ich suma odpowiada natężeniu prądu wypływającego ze źródła.
Oblicz moc energii elektrycznej wydzielanej na każdym z oporników.
Oblicz moc energii elektrycznej dostarczanej przez źródło układowi i udowodnij, że jest równa sumie mocy energii rozpraszanych przez poszczególne oporniki.

Strategia rozwiązania

Równoważny opór układu oporników połączonych równolegle obliczamy z zależności
$R_{rw} = {(\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{R_{i}})}^{- 1} .$
Natężenie prądu dostarczanego przez źródło napięcia możemy obliczyć z prawa Ohma, podstawiając $R_{rw}$ w miejsce oporu: $I = U ∕ R_{rw}$ .
Natężenia prądów płynących przez poszczególne oporniki łatwo obliczymy z prawa Ohma ( $I_{i} = U_{i} ∕ R_{i}$ ), pamiętając, że napięcie na wszystkich opornikach jest takie samo. Całkowite natężenie prądu jest sumą natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki: $I = \sum_{i} I_{i}$ .
Moc energii rozpraszanej przez każdy z oporników można obliczyć przy użyciu jednego z równań wiążących ją z natężeniem prądu, napięciem i oporem, ponieważ wszystkie te wielkości są dobrze znane. Skorzystajmy z wyrażenia $P_{i} = U^{2} ∕ R_{i}$ , gdyż do każdego opornika przyłączono całe napięcie ze źródła.
Moc energii elektrycznej dostarczanej do układu także można obliczyć na kilka sposobów, np. ze wzoru $P = I U$ .

Rozwiązanie

Opór równoważny układu oporników połączonych równolegle liczymy z Równania 10.3. Po podstawieniu danych otrzymujemy
$R_{rw} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1} = {(\frac{1}{1 Ω} + \frac{1}{2 Ω} + \frac{1}{2 Ω})}^{- 1} = 0,5 Ω .$
Zgodnie z przewidywaniami otrzymana wartość jest mniejsza od najmniejszego oporu występującego w obwodzie.
Natężenie prądu dostarczanego przez źródło możemy obliczyć z prawa Ohma, podstawiwszy obliczony opór równoważny $R_{rw}$ w miejsce oporu całkowitego. Otrzymujemy
$I = \frac{U}{R_{rw}} = \frac{3 V}{0,5 Ω} = 6 A .$
Natężenie prądu $P_5 = (\SI{0,1}{\ampere})^2 \cdot \SI{10}{\ohm} = \SI{0,1}{\watt}$ ⁠dla poszczególnych urządzeń jest znacznie większe niż dla tych samych urządzeń połączonych szeregowo (patrz: poprzedni przykład). Układ elementów połączonych równolegle ma mniejszy opór równoważny niż układ oporników połączonych szeregowo.
Natężenia prądów przepływających przez poszczególne oporniki można łatwo obliczyć z prawa Ohma, ponieważ na każdym oporniku odkłada się napięcie ze źródła
$I_{1} = \frac{U}{R_{1}} = \frac{3 V}{1 Ω} = 3 A .$
Podobnie
$I_{2} = \frac{U}{R_{2}} = \frac{3 V}{2 Ω} = 1,5 A$
oraz
$I_{3} = \frac{U}{R_{3}} = \frac{3 V}{2 Ω} = 1,5 A .$
Całkowite natężenie prądu jest sumą natężeń poszczególnych prądów
$I_{1} + I_{2} + I_{3} = 6 A .$
Do obliczenia mocy energii rozpraszanej na poszczególnych opornikach użyjemy np. równania $P = U^{2} ∕ R$
$P_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} = \frac{{(3 V)}^{2}}{1 Ω} = 9 W .$
Podobnie
$P_{2} = \frac{U^{2}}{R_{2}} = \frac{{(3 V)}^{2}}{2 Ω} = 4,5 W$
oraz
$P_{3} = \frac{U^{2}}{R_{3}} = \frac{{(3 V)}^{2}}{2 Ω} = 4,5 W .$
Moc źródła także możemy policzyć na kilka sposobów, np. $P = I U$ . Po podstawieniu prądu całkowitego otrzymujemy
$P = I U = 6 A \cdot 3 V = 18 W .$

Znaczenie

Całkowita moc rozpraszania energii przez oporniki także wynosi

18 W

P_{1} + P_{2} + P_{3} = 9 W + 4,5 W + 4,5 W = 18 W .

Zauważmy, że moc rozpraszania energii (wydzielania energii cieplnej na oporze zewnętrznym) przez oporniki równa się mocy energii dostarczanej do układu przez źródło.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.3

Rozważmy układ trzech oporników połączonych szeregowo i podłączonych do źródła napięcia ( $U = 3 V$ ) – jak w poprzednim przykładzie. Czy opór równoważny układu szeregowego oporników byłby w stosunku do oporu tych trzech oporników w połączeniu równoległym większy, mniejszy czy może mu równy? Czy natężenie prądu płynącego przez obwód szeregowy będzie większe czy mniejsze od natężenia prądu dostarczanego przez identyczne źródło SEM przyłączone do obwodu z połączeniem równoległym, a może będzie mu równe? Jak się mają do siebie: moc rozpraszania energii przez oporniki połączone szeregowo i moc rozpraszania energii przez oporniki połączone równolegle?

Sprawdź, czy rozumiesz 10.4

W jaki sposób, korzystając z rzeki i dwóch wodospadów, można stworzyć model równoległego połączenia dwóch oporników? Kiedy ta analogia się nie sprawdza?

Krótko podsumujmy podstawowe właściwości oporników połączonych równolegle:

Równoważny opór obliczamy ze wzoru
$R_{rw} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + \dots + \frac{1}{R_{N - 1}} + \frac{1}{R_{N}})}^{- 1} = {(\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{R_{i}})}^{- 1}$
i jest on mniejszy niż każdy pojedynczy opór w układzie.
Spadek potencjału na końcach każdego opornika jest taki sam.
Natężenie prądu dopływającego do oporników połączonych równolegle dzieli się tak, że przez żaden nie przepływa całkowity prąd. Natężenie prądu dopływającego do oporników połączonych równolegle równa się sumie natężeń przepływającego przez nie prądu.

W rozdziale tym wprowadziliśmy opór równoważny oporników połączonych szeregowo i oporników połączonych równolegle. Przypomnijmy sobie, że w rozdziale Pojemność elektryczna wprowadziliśmy równoważną pojemność kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle. Obwody często zawierają jednocześnie kondensatory i oporniki. Tabela 10.1 podsumowuje równania stosowane do wyznaczania oporu równoważnego (rezystancji $r$ równoważnej) i pojemności równoważnej dla układów szeregowych i równoległych.

	Połączenie szeregowe	Połączenie równoległe
Równoważna pojemność	$\frac{1}{C_{rw}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \dots$	$C_{rw} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + \dots$
Równoważny opór	$R_{\text{rw}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$	$\frac{1}{R_{rw}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + \dots$

Tabela 10.1 Podsumowanie wyrażeń stosowanych do wyznaczania równoważnego oporu i równoważnej pojemności dla układów szeregowych i równoległych

Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych

Bardziej skomplikowane połączenia oporników są często tylko kombinacjami połączeń szeregowych i równoległych. Takie obwody elektryczne nie są rzadkością, zwłaszcza gdy istotną rolę odgrywa także rezystancja przewodów. W takim przypadku rezystancja przewodu traktowana jest jako połączona szeregowo z innymi opornikami połączonymi ze sobą równolegle.

Stosując metody przedstawione na Ilustracji 10.15, możemy uprościć zestawy połączeń szeregowych i równoległych do jednego opornika równoważnego. Poszczególne części obwodu elektrycznego traktujemy jako połączenia szeregowe lub równoległe i redukujemy do odpowiadających im równoważnych oporów aż do momentu, gdy pozostanie pojedynczy opór równoważący wszystkie pozostałe. Przedstawiony sposób jest raczej czasochłonny niż trudny. Opór równoważny, zastępujący wszystkie pozostałe, oznaczamy $R_{rw}$ .

Część a przedstawia obwód z czterema opornikami i źródłem napięcia. Terminal dodatni źródła napięcia równy 24 V jest połączony z opornikiem R ze znakiem 1 równym 7 Ω, który jest połączony z dwoma równoległymi odgałęzieniami. Pierwsza gałąź ma opornik R ze znakiem 2 i oporem równym 10 Ω, a druga gałąź ma opornik R ze znakiem 3 równym 6 Ω połączonym szeregowo z opornikiem R ze znakiem 4 równym 4 Ω. Części rysunku od b do e pokazują kroki prowadzące do uproszczenia obwodu do obwodu równoważnego z równoważnym opornikiem i źródłem napięcia.

Ilustracja 10.15 (a) Wejściowy układ oporników. (b) Krok 1: oporniki

R_{3}

i

R_{4}

połączone są szeregowo, a odpowiadający im opornik równoważny

R_{3⁣ 4} = 10 Ω

. (c) Krok 2: uproszczony obwód składający się z połączonych równolegle oporników

R_{2}

i

R_{3⁣ 4}

, którym odpowiada opornik równoważny

R_{2⁣ 3⁣ 4} = 5 Ω

. (d) Krok 3: uproszczony obwód składający się z połączonych szeregowo oporników

R_{1}

i

R_{2⁣ 3⁣ 4}

, dla których opornik równoważny

R_{1⁣ 2⁣ 3⁣ 4} = 12 Ω

jest szukanym oporem

R_{rw}

. (e) Obwód zredukowany składający się ze źródła napięcia o

U = 24 V

i opornika równoważnego

R_{rw} = 12 Ω

. Daje to prąd o natężeniu

I = 2 A

wypływający ze źródła.

Zacznijmy od obserwacji, że oporniki (rezystancje) $R_{3}$ i $R_{4}$ są połączone szeregowo. Możemy je zastąpić jednym opornikiem o odpowiednim oporze równoważnym. Dla ułatwienia wprowadźmy notację uwzględniającą numery oporników w postaci odpowiednich indeksów. Zgodnie z tą notacją opór równoważny oporników $R_{3}$ i $R_{4}$ oznaczymy $R_{3⁣ 4}$

R_{3⁣ 4} = R_{3} + R_{4} = 6 Ω + 4 Ω = 10 Ω .

Teraz obwód elektryczny upraszczamy do trzech oporników, jak to pokazuje Ilustracja 10.15 (c). Na uproszczonym schemacie widzimy, że teraz oporniki $R_{2}$ i $R_{3⁣ 4}$ tworzą układ równoległy. Możemy je zredukować do oporu równoważnego

R_{2⁣ 3⁣ 4} = {(\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3⁣ 4}})}^{- 1} = {(\frac{1}{10 Ω} + \frac{1}{10 Ω})}^{- 1} = 5 Ω .

Krok ten, czyli redukcję obwodu elektrycznego do dwóch oporników, przedstawia Ilustracja 10.15 (d). Teraz obwód składa się z dwóch oporników połączonych szeregowo. Ich równoważny opór jest jednocześnie oporem równoważnym całego obwodu

R_{rw} = R_{1⁣ 2⁣ 3⁣ 4} = R_{1} + R_{2⁣ 3⁣ 4} = 7 Ω + 5 Ω = 12 Ω .

Osiągnęliśmy główny cel analizy tego układu i obwód został uproszczony do pojedynczego opornika i jednego źródła napięcia.

Teraz możemy przeanalizować obwód elektryczny. Natężenie prądu dostarczanego przez źródło SEM wynosi $I = U ∕ R_{rw} = 24 V ∕ 12 Ω = 2 A$ . Prąd o takim natężeniu przepływa przez opornik $R_{1}$ , dlatego oznaczmy go jako $I_{1}$ . Spadek potencjału na oporniku $R_{1}$ obliczamy przy użyciu prawa Ohma

U_{1} = I_{1} R_{1} = 2 A \cdot 7 Ω = 14 V .

Spoglądając na Ilustracja 10.15 (c), widzimy, że daje to $24 V - 14 V = 10 V$ spadku potencjału na każdym z oporników $R_{2}$ i $R_{3⁣ 4}$ połączonych równolegle. Natężenie prądu płynącego przez opornik $R_{2}$ wyliczamy z prawa Ohma

I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = \frac{10 V}{10 Ω} = 1 A .

Oporniki $R_{3}$ i $R_{4}$ są połączone szeregowo, więc przepływający przez nie prąd ma takie samo natężenie

I_{3} = I_{4} = I - I_{2} = 2 A - 1 A = 1 A .

Z prawa Ohma możemy obliczyć spadek potencjału na pozostałych dwóch opornikach. Szukane wartości wynoszą: $U_{3} = I_{3} R_{3} = 6 V$ i $U_{4} = I_{4} R_{4} = 4 V$ . Pozostało nam obliczyć moc źródła SEM i moc wydzielaną na poszczególnych opornikach. Moc rozpraszania energii przez poszczególne oporniki wynosi

\begin{matrix} P_{1} = I_{1}^{2} R_{1} = {(2 A)}^{2} \cdot 7 Ω = 28 W, \\ P_{2} = I_{2}^{2} R_{2} = {(1 A)}^{2} \cdot 10 Ω = 10 W, \\ P_{3} = I_{3}^{2} R_{3} = {(1 A)}^{2} \cdot 6 Ω = 6 W, \\ P_{4} = I_{4}^{2} R_{4} = {(1 A)}^{2} \cdot 4 Ω = 4 W, \\ P_{rozproszona} = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} = 48 W . \end{matrix}

Całkowita energia jest stała w każdym procesie. W związku z tym moc dostarczania energii przez źródło SEM (moc elektryczna źródła) równa się $P_{źródła} = I U = 2 A \cdot 24 V = 48 W$ . Analiza mocy dostarczania energii do obwodu i mocy utraty energii na opornikach jest dobrym testem przeprowadzonych obliczeń; obie wartości powinny być równe.

Przykład 10.4

Łączenie ze sobą obwodów szeregowych i równoległych

Ilustracja 10.16 przedstawia oporniki połączone szeregowo i równolegle. Załóżmy, że opornik

R_{1}

oznacza rezystancję przewodu prowadzącego od źródła SEM do oporników

R_{2}

i

R_{3}

.

Oblicz równoważny opór obwodu.
Jaki jest spadek potencjału $U_{1}$ na oporniku $R_{1}$ ?
Wyznacz natężenie prądu $I_{2}$ płynącego przez opornik $R_{2}$ . Jaka moc jest rozpraszana przez opornik $R_{2}$ ?

Rysunek przedstawia obwód z trzema opornikami i źródłem napięcia. Terminal dodatni źródła o napięciu 12 V jest połączony z R ze znakiem 1 i oporem 1 Ω z lewym natężeniem l ze znakiem 1 połączonym równolegle z dwoma opornikami R ze znakiem 2 i oporem 6 Ω z dolnym l ze znakiem 2 i opornikiem R ze znakiem 3 wskazującym 13 Ω.

Ilustracja 10.16 Schemat przedstawia trzy oporniki podłączone do źródła SEM i połączone ze sobą w następujący sposób: oporniki

R_{2}

i

R_{3}

są połączone równolegle ze sobą i szeregowo z opornikiem

R_{1}

.

Strategia rozwiązania

Żeby obliczyć opór równoważny obwodu, najpierw musimy wyliczyć opór równoważny połączonych równolegle oporników $R_{2}$ i $R_{3}$ . Otrzymany opór zastępczy potraktujemy jako połączony szeregowo z opornikiem $R_{1}$ i obliczymy opór równoważny tego połączenia.
Natężenie prądu płynącego przez opornik $R_{1}$ liczymy z prawa Ohma. Równe jest ono natężeniu prądu wypływającego ze źródła SEM. Spadek potencjału $U_{2}$ na oporniku $R_{2}$ (reprezentującym opór przewodów łączących oporniki i źródło SEM) obliczamy z prawa Ohma.
Natężenie prądu płynącego przez opornik $R_{2}$ wyznaczamy z prawa Ohma, $I_{2} = U_{2} ∕ R_{2}$ . Napięcie na oporniku $R_{2}$ obliczamy z zależności $U_{2} = U - U_{1}$ .
Wykorzystując prawo Ohma ( $U_{2} = I_{2} R_{2}$ ), moc utraty energii na oporniku wyliczamy z zależności $P_{2} = I_{2}^{2} R_{2} = U_{2}^{2} ∕ R_{2}$ .

Rozwiązanie

W obliczeniu oporu równoważnego obwodu pomoże nam spostrzeżenie, że oporniki $R_{2}$ i $R_{3}$ są połączone równolegle ze sobą i szeregowo z opornikiem $R_{1}$ . Równoważny opór wynosi więc
$R_{rw} = R_{1} + {(\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1} = 1 Ω + {(\frac{1}{6 Ω} + \frac{1}{13 Ω})}^{- 1} = 5,1 Ω .$
Wyznaczona wartość oporu zastępczego mieści się pomiędzy wartością odpowiadającą szeregowemu połączeniu rozważanych oporników ( $20 Ω$ ) a wartością odpowiadającą ich połączeniu równoległemu ( $0,804 Ω$ ).
Natężenie prądu przepływającego przez opornik $R_{1}$ równa się natężeniu prądu dostarczanemu przez źródło SEM
$I_{1} = I = \frac{U}{R_{rw}} = \frac{12 V}{5,1 Ω} = 2,35 A .$
Spadek potencjału na $R_{1}$ wynosi
$U_{1} = I_{1} R_{1} = 2,35 A \cdot 1 Ω = 2,35 V .$
Spadek potencjału na opornikach $R_{2}$ i $R_{3}$ jest mniejszy od napięcia na biegunach źródła o $U_{1}$ . Gdy opór przewodów doprowadzających prąd jest zbyt duży, może mieć wpływ na działanie urządzeń reprezentowanych przez oporniki $R_{2}$ i $R_{3}$ .
Aby wyznaczyć natężenie prądu płynącego przez opornik $R_{2}$ , najpierw musimy obliczyć przyłożone do niego napięcie. Napięcie przyłożone do dwóch oporników połączonych równolegle jest identyczne
$U_{2} = U_{3} = U - U_{1} = 12 V - 2,35 V = 9,65 V .$
Teraz, korzystając z prawa Ohma, możemy obliczyć natężenie prądu $I_{2}$ przepływającego przez opornik $R_{2}$
$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = \frac{9,65 V}{6 Ω} = 1,61 A .$
Moc rozpraszana przez opornik $R_{2}$ wynosi
$P_{2} = I_{2}^{2} R_{2} = {(1,61 A)}^{2} \cdot 6 Ω = 15,5 W .$

Znaczenie

Analizę złożonych obwodów elektrycznych często można uprościć, redukując układ do źródła SEM i opornika równoważnego. Jednak nawet wtedy, gdy nie da się w ten sposób uprościć całego układu, zwykle wykonalne jest uproszczenie fragmentów, co znacznie ułatwia analizę całości.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.5

Przyjrzyj się obwodom elektrycznym w swoim domu. Podaj przynajmniej dwa przykłady obwodów, które w celu zwiększenia skuteczności działania zbudowano z kombinacji połączeń szeregowych i równoległych.

Praktyczne konsekwencje

Jedną z konsekwencji ostatniego przykładu jest to, że rezystancja przewodów zmniejsza natężenie prądu i moc elektryczną, z jaką energia jest dostarczana do opornika. Jeśli rezystancja przewodu jest stosunkowo duża, jak w zużytym (lub bardzo długim) przedłużaczu, to ta strata może być znacząca. Jeżeli prąd o dużym natężeniu przepływa przez przewód, to napięcie, które odkłada się na przewodzie ( $I R$ ), także może być znaczące i stać się zauważalne ze względu na ciepło wytwarzane w przewodzie.

Na przykład, jeśli wyjadając z lodówki, spowodujesz włączenie agregatu, to lampka w lodówce przygaśnie na chwilę. Podobnie możesz zauważyć, że oświetlenie w samochodzie przygasa w trakcie uruchomiania silnika (choć może to być także spowodowane oporem wewnętrznym samego akumulatora).

Wyjaśnienie powyższych przypadków nagłego wzrostu natężenia prądu przedstawia Ilustracja 10.17. Urządzenie reprezentowane przez opornik $R_{3}$ ma bardzo niską oporność, więc gdy jest włączane, płynie prąd o dużym natężeniu. Zwiększone natężenie prądu powoduje większy spadek potencjału ( $I R$ ) na przewodach reprezentowanych przez $R_{1}$ , co obniża napięcie na żarówce (zaznaczonej jako $R_{2}$ ), która wyraźnie gaśnie.

Ilustracja 10.17 Dlaczego światło przygasa, gdy silnik się włącza? Odpowiedź jest taka, że silnik pobiera prąd o dużym natężeniu, co powoduje znaczny spadek potencjału (

I R

) na przewodach, zmniejszając napięcie na żarówce.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: oporniki połączone szeregowo i równolegle

Narysuj czytelny schemat, opisując wszystkie oporniki i źródła SEM. Etap ten wymaga także wpisania danych do schematu układu.
Określ dokładnie, co musisz wyznaczyć w zadaniu (zdefiniuj niewiadome). Przyda się lista pisemna.
Ustal, czy oporniki połączone są szeregowo, równolegle, czy też ich połączenie jest kombinacją powyższych połączeń. Przeanalizuj schemat, aby dokonać oceny. Oporniki połączone są szeregowo, jeśli prąd o takim samym natężeniu przepływa przez nie kolejno.
Aby obliczyć niewiadome, skorzystaj z właściwości danego rodzaju połączenia. Inne równania dotyczą połączeń szeregowych, a inne równoległych.
Sprawdź, czy otrzymane wyniki mają sens.

Przykład 10.5

Łączenie obwodów szeregowych i równoległych

Dwa połączone szeregowo oporniki (

R_{1}

i

R_{2}

) zestawiono z dwoma równoległymi opornikami (

R_{3}

i

R_{4}

). Szeregowo-równoległy układ podłączono do baterii. Każdy z oporników ma opór

10 Ω

. Przewód łączący oporniki z baterią ma pomijalną rezystancję. Prąd o natężeniu

2 A

płynie przez opornik

R_{1}

. Ile wynosi napięcie na biegunach baterii?

Strategia rozwiązania

Aby znaleźć rozwiązanie, wykorzystaj schemat przedstawiony w opisanej powyżej strategii rozwiązywania problemów.

Rozwiązanie

Narysuj czytelny schemat obwodu (Ilustracja 10.18).

Ilustracja 10.18 Aby wyznaczyć wartość napięcia na biegunach źródła, najpierw musimy obliczyć opór równoważny obwodu.
Nie znamy napięcia na biegunach baterii. Aby je wyznaczyć, musimy obliczyć opór równoważny obwodu.
Z warunków zadania wiemy, że oporniki $R_{1}$ i $R_{2}$ są połączone szeregowo, a oporniki $R_{3}$ i $R_{4}$ równolegle. Równoważny opór odpowiadający równoległej konfiguracji oporników $R_{3}$ i $R_{4}$ jest połączony szeregowo z opornikami $R_{1}$ i $R_{2}$ .
Wartość SEM baterii możemy wyznaczyć, mnożąc natężenie prądu wypływającego z baterii przez opór równoważny obwodu. Natężenie prądu wypływającego z baterii jest równe natężeniu prądu przepływającego przez opornik $R_{1}$ i ma wartość $2 A$ . Redukując obwód, musimy wyliczyć jego opór równoważny. Aby uprościć obwód, najpierw weźmy pod uwagę dwa oporniki połączone równolegle. Równoważny opór wynosi
$R_{3⁣ 4} = {(\frac{1}{10 Ω} + \frac{1}{10 Ω})}^{- 1} = 5 Ω .$
To połączenie równoległe jest połączone szeregowo z pozostałymi dwoma opornikami, dając opór równoważny obwodu
$R_{rw} = R_{1} + R_{2} + R_{3⁣ 4} = 25 Ω .$
Napięcie na biegunach baterii wynosi więc
$U = I R_{rw} = 2 A \cdot 25 Ω = 50 V .$

Znaczenie

Jeśli analizujemy obwód zawierający połączenia szeregowe i równoległe, jak w powyższym przykładzie, możemy go uprościć przy użyciu schematu opisanego w powyższej strategii rozwiązywania problemów, z uwzględnieniem poszczególnych grup połączeń szeregowych i równoległych. Przy wyznaczaniu wartości

R_{rw}

dla połączenia równoległego odwrotności oporów należy obliczać uważnie. Dodatkowo jednostki i wyniki liczbowe muszą być sensowne. Na przykład równoważny opór połączenia szeregowego powinien być większy niż opór połączenia równoległego. Moc rozpraszania energii powinna być większa dla tych samych elementów połączonych równolegle niż dla połączonych szeregowo i tak dalej.

10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle

Oporniki połączone szeregowo

Opór równoważny, prąd i moc w szeregowych obwodach elektrycznych

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Oporniki połączone równolegle

Analiza równoległego obwodu elektrycznego

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych

Łączenie ze sobą obwodów szeregowych i równoległych

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Praktyczne konsekwencje

Strategia rozwiązywania zadań: oporniki połączone szeregowo i równolegle

Łączenie obwodów szeregowych i równoległych

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie