William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

definiować adiabatyczne rozszerzanie dla gazu doskonałego;
przedstawiać jakościową różnicę między rozszerzaniem adiabatycznym a izotermicznym.

Podczas adiabatycznego sprężania gazu doskonałego ( $Q = 0 J$ ) praca jest wykonywana na gazie i jego temperatura wzrasta. Z kolei podczas adiabatycznego rozprężania (ang. adiabatic expansion) to gaz wykonuje pracę i jego temperatura spada. Sprężania adiabatyczne (ang. adiabatic compression) w rzeczywistości występują w cylindrach samochodu, gdzie sprężanie mieszanki paliwowo-powietrznej zachodzi tak szybko, że mieszanka nie ma czasu na wymianę ciepła ze swoim otoczeniem. Podczas sprężania praca jest wykonywana na mieszance i dlatego jej temperatura znacznie wzrasta. Wzrost temperatury może być tak wielki, że może dojść do zapłonu nawet bez udziału iskry. Samoczynne zapłony źle wpływają na pracę silnika, powodując tzw. stukanie silnika. Ponieważ temperatura zapłonu rośnie wraz z liczbą oktanową benzyny, jeden ze sposobów obejścia powyższego problemu to używanie wysokooktanowego paliwa.

Inny interesujący proces adiabatyczny to rozprężanie swobodne gazu. Ilustracja 3.13 pokazuje dwukomorowy, izolowany termicznie zbiornik. Komory oddzielone są membraną, a w jednej z komór znajduje się gaz. Kiedy membrana zostanie przekłuta, gaz zacznie gwałtownie przechodzić do pustej komory zbiornika, gdzie będzie się swobodnie rozprężać. Ponieważ gaz rozpręża się „do próżni” ( $p = 0 Pa$ ), nie wykonuje pracy. Dodatkowo rozprężanie jest adiabatyczne, ponieważ zbiornik jest izolowany termicznie. Gdy $Q = 0 J$ i $W = 0 J$ , to według pierwszej zasady termodynamiki początkowa i końcowa energia wewnętrzna są takie same, czyli $Δ U = 0 J$ .

Rysunek po lewej stronie przedstawia początkowy stan równowagowy zbiornika z membraną dzielącą go na dwie komory. Zewnętrzne ściany są izolowane. Lewa komora jest wypełniona gazem, niebieskie kulki na rysunku symbolizują cząsteczki tego gazu. Prawa komora jest pusta. Rysunek po prawej stronie przedstawia końcowy stan równowagowy zbiornika. Membrana jest przedziurawiona. Obie komory zbiornika są wypełnione gazem. Kulki symbolizujące cząsteczki na drugim rysunku są bardziej rozproszone niż kulki na rysunku pierwszym. — Ilustracja 3.13 Po przekłuciu membrany gaz w lewej komorze rozpręża się.

Jeśli gaz jest doskonały, energia wewnętrzna zależy wyłącznie od temperatury. Dlatego też kiedy gaz doskonały rozpręża się swobodnie, jego temperatura się nie zmienia.

Kwazistatyczne rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego jest pokazane na Ilustracji 3.14, który przedstawia izolowany cylinder zawierający $1 mol$ gazu doskonałego. Gaz rozpręża się kwazistatycznie na skutek usuwania pojedynczych ziarenek piasku z góry tłoka. Kiedy gaz rozpręży się o $d V$ , zmiana jego temperatury wynosi $d T$ . Praca wykonywana przez gaz podczas rozprężania jest równa $d W = p d V$ , a $d Q = 0 J$ , ponieważ cylinder jest izolowany. Na podstawie Równania 3.9 zmiana energii wewnętrznej gazu wynosi $d U = C_{V} d T$ . Stosując pierwszą zasadę termodynamiki, otrzymujemy

C_{V} d T = 0 J - p d V = - p d V,

więc

d T = - \frac{p d V}{C_{V}} .

Rysunek przedstawia zbiornik. Jego ściany oraz podstawa są wypełnione grubą warstwą izolacyjną. Komora zbiornika jest domknięta od góry tłokiem. Wewnątrz komory znajduje się gaz. Na tłoku znajduje się sterta piasku. Nad stertą znajduje się dłoń z pęsetą, która usuwa ziarenka piasku. — Ilustracja 3.14 Kiedy pojedyncze ziarenka piasku są usuwane z tłoka, gaz rozpręża się adiabatycznie i kwazistatycznie w izolowanym zbiorniku.

Dla $\SI{1}{\mola}$ gazu doskonałego mamy

d (p V) = d (R T),

a więc

p d V + V d p = R d T

oraz

d T = \frac{p d V + V d p}{R} .

Mamy teraz dwa wzory na $d T$ . Po przyrównaniu ich otrzymujemy

C_{V} V d p + (C_{V} + R) p d V = 0 J .

Teraz podzielmy to równanie przez $p V$ i podstawmy $C_{p} = C_{V} + R$ . Zostaje nam wtedy

C_{V} \frac{d p}{p} + C_{p} \frac{d V}{V} = 0 J,

co przekształca się do

\frac{d p}{p} + κ \frac{d V}{V} = 0,

gdzie $κ$ to stosunek molowych pojemności cieplnych

κ = \frac{C_{p}}{C_{V}} .

3.11

Zatem

\int \frac{d p}{p} + κ \int \frac{d V}{V} = 0

i

ln p + κ ln V = const.

Ostatecznie, korzystając z $ln (A^{x}) = x ln A$ oraz $ln (A B) = ln A + ln B$ , możemy to zapisać jako

p V^{κ} = const.

3.12

To równanie musi być spełnione dla gazu doskonałego w kwazistatycznym procesie adiabatycznym. Przykładowo, jeśli gaz doskonały ulega kwazistatycznemu przejściu adiabatycznemu ze stanu o ciśnieniu $p_{1}$ i objętości $V_{1}$ do stanu o ciśnieniu $p_{2}$ i objętości $V_{2}$ musi być spełnione równanie $p_{1} V_{1}^{κ} = p_{2} V_{2}^{κ}$ .

Warunek z Równania 3.12 dla procesu adiabatycznego może być zapisany za pomocą innych par zmiennych termodynamicznych w wyniku połączenia ich z równaniem stanu gazu doskonałego. Otrzymamy wtedy

p^{1 - κ} T^{κ} = const

3.13

oraz

T V^{κ - 1} = const.

3.14

Odwracalne rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego jest pokazane na wykresie $p V$ na Ilustracji 3.15. Nachylenie krzywej w każdym punkcie wynosi

\frac{d p}{d V} = \frac{d}{d V} (\frac{const}{V^{κ}}) = - κ \frac{p}{V} .

Rysunek przedstawia wykres zależności ciśnienia p od objętości V. Na wykresie są zaznaczone dwie krzywe. Obie opadają monotonicznie i są wypukłe. Jedna z krzywych jest minimalnie wyżej i jest mocniej wygięta. Ta krzywa jest opisana jako “izotermiczne”. Druga krzywa jest opisana jako “adiabatyczne.” — Ilustracja 3.15 Kwazistatyczne rozprężanie adiabatyczne oraz izotermiczne gazu doskonałego.

Krzywa przerywana pokazana na wykresie $p V$ reprezentuje rozprężanie izotermiczne, w którym $T$ (a więc również $p V$ ) jest stałe. Nachylenie krzywej będzie przydatne podczas rozważania drugiej zasady termodynamiki w następnym rozdziale. To nachylenie wynosi

\frac{d p}{d V} = \frac{d}{d V} \frac{n R T}{V} = - \frac{p}{V} .

Krzywa izotermiczna nie opada tak gwałtownie jak krzywa adiabatyczna, ponieważ $κ > 1$ .

Przykład 3.7

Sprężanie gazu doskonałego w silniku samochodowym

Opary benzyny są wtłaczane do cylindra silnika samochodowego, gdy tłok jest w dolnym położeniu. Temperatura, ciśnienie i objętość powstałej mieszanki paliwowo-powietrznej wynoszą odpowiednio

20 ° C

,

10^{5} N ∕ m^{2}

i

240 {cm}^{3}

. Mieszanka jest następnie sprężana adiabatycznie do objętości

40 {cm}^{3}

. Zauważmy, że w rzeczywistości sprężanie w silniku samochodowym jest niekwazistatyczne, ale dla uproszczenia przyjmijmy, że proces ten zachodzi kwazistatycznie.

Ile wynosi ciśnienie i temperatura mieszanki po sprężeniu?
Ile pracy wykona mieszanka podczas sprężania?

Strategia rozwiązania

Z założenia, że rozważany proces jest kwazistatycznym sprężaniem adiabatycznym gazu doskonałego, mamy

p V^{κ} = const

oraz

p V = n R T

. Poszukiwana praca może być obliczona z

W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V

.

Rozwiązanie

Dla sprężania adiabatycznego mamy
$p_{2} = p_{1} {(\frac{V_{1}}{V_{2}})}^{κ},$
a więc po sprężeniu ciśnienie mieszanki będzie wynosić
$p_{2} = 10^{5} N ∕ m^{2} \cdot {(\frac{240 \cdot 10^{- 6} m^{3}}{40 \cdot 10^{- 6} m^{3}})}^{1,40} = 1,23 \cdot 10^{6} N ∕ m^{2} .$
Z równania stanu gazu doskonałego temperatura mieszanki po sprężeniu będzie wynosić
$T_{2} = \frac{p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}} T_{1} = \frac{1,23 \cdot 10^{6} N ∕ m^{2} \cdot 40 \cdot 10^{- 6} m^{3}}{10^{5} N ∕ m^{2} \cdot 240 \cdot 10^{- 6} m^{3}} \cdot 293 K = 600 K = 328 ° C .$
Praca wykonana przez mieszankę podczas sprężania wynosi
$W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V .$
Korzystając z warunku z Równania 3.12 dla procesu adiabatycznego, możemy zapisać: $p$ jako $K ∕ V^{κ}$ , gdzie $K = p_{1} V_{1}^{κ} = p_{2} V_{2}^{κ}$ . Dlatego praca jest równa
$\begin{multiline} W &= \int_{V_1}^{V_2} \d V = \frac{K}{1-\kappa}(\frac{1}{V^{\kappa-1}_{2}} - \frac{1}{V^{\kappa-1}_1}) = \frac{1}{1-\kappa}(\frac{p_2 V_2^{\kappa}}{V_2^{\kappa-1}} - \frac{p_1 V_1^{\kappa}}{V_1^{\kappa-1}}) \\ &= \frac{1}{1-\kappa}(p_2 V_2 - p_1 V_1) \\ &= \frac{1}{1-\num{1,4}}(\SI{1,23e6}{\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{40e-6}{\metre\cubed} - 10^5\si{\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{240e-6}{\metre\cubed}) \\ &= -\SI{63}{\joule} \text{.} \end{multiline}$

Znaczenie

Ujemna wartość wykonanej pracy wskazuje, że to tłok wykonuje pracę na mieszance paliwowo-powietrznej. Mieszanka będzie wykonywać pracę na tłoku w cyklu rozprężania.