Cel dydaktyczny
- definiować adiabatyczne rozszerzanie dla gazu doskonałego;
- przedstawiać jakościową różnicę między rozszerzaniem adiabatycznym a izotermicznym.
Podczas adiabatycznego sprężania gazu doskonałego (Q=0J) praca jest wykonywana na gazie i jego temperatura wzrasta. Z kolei podczas adiabatycznego rozprężania (ang. adiabatic expansion) to gaz wykonuje pracę i jego temperatura spada. Sprężania adiabatyczne (ang. adiabatic compression) w rzeczywistości występują w cylindrach samochodu, gdzie sprężanie mieszanki paliwowo-powietrznej zachodzi tak szybko, że mieszanka nie ma czasu na wymianę ciepła ze swoim otoczeniem. Podczas sprężania praca jest wykonywana na mieszance i dlatego jej temperatura znacznie wzrasta. Wzrost temperatury może być tak wielki, że może dojść do zapłonu nawet bez udziału iskry. Samoczynne zapłony źle wpływają na pracę silnika, powodując tzw. stukanie silnika. Ponieważ temperatura zapłonu rośnie wraz z liczbą oktanową benzyny, jeden ze sposobów obejścia powyższego problemu to używanie wysokooktanowego paliwa.
Inny interesujący proces adiabatyczny to rozprężanie swobodne gazu. Ilustracja 3.13 pokazuje dwukomorowy, izolowany termicznie zbiornik. Komory oddzielone są membraną, a w jednej z komór znajduje się gaz. Kiedy membrana zostanie przekłuta, gaz zacznie gwałtownie przechodzić do pustej komory zbiornika, gdzie będzie się swobodnie rozprężać. Ponieważ gaz rozpręża się „do próżni” (p=0Pa), nie wykonuje pracy. Dodatkowo rozprężanie jest adiabatyczne, ponieważ zbiornik jest izolowany termicznie. Gdy Q=0J i W=0J, to według pierwszej zasady termodynamiki początkowa i końcowa energia wewnętrzna są takie same, czyli ΔU=0J.
Jeśli gaz jest doskonały, energia wewnętrzna zależy wyłącznie od temperatury. Dlatego też kiedy gaz doskonały rozpręża się swobodnie, jego temperatura się nie zmienia.
Kwazistatyczne rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego jest pokazane na Ilustracji 3.14, który przedstawia izolowany cylinder zawierający 1mol gazu doskonałego. Gaz rozpręża się kwazistatycznie na skutek usuwania pojedynczych ziarenek piasku z góry tłoka. Kiedy gaz rozpręży się o dV, zmiana jego temperatury wynosi dT. Praca wykonywana przez gaz podczas rozprężania jest równa dW=pdV, a dQ=0J, ponieważ cylinder jest izolowany. Na podstawie Równania 3.9 zmiana energii wewnętrznej gazu wynosi dU=CVdT. Stosując pierwszą zasadę termodynamiki, otrzymujemy
więc
Dla 1mola gazu doskonałego mamy
a więc
oraz
Mamy teraz dwa wzory na dT. Po przyrównaniu ich otrzymujemy
Teraz podzielmy to równanie przez pV i podstawmy Cp=CV+R. Zostaje nam wtedy
co przekształca się do
gdzie κ to stosunek molowych pojemności cieplnych
Zatem
i
Ostatecznie, korzystając z ln(Ax)=xlnA oraz ln(AB)=lnA+lnB, możemy to zapisać jako
To równanie musi być spełnione dla gazu doskonałego w kwazistatycznym procesie adiabatycznym. Przykładowo, jeśli gaz doskonały ulega kwazistatycznemu przejściu adiabatycznemu ze stanu o ciśnieniu p1 i objętości V1 do stanu o ciśnieniu p2 i objętości V2 musi być spełnione równanie p1Vκ1=p2Vκ2.
Warunek z Równania 3.12 dla procesu adiabatycznego może być zapisany za pomocą innych par zmiennych termodynamicznych w wyniku połączenia ich z równaniem stanu gazu doskonałego. Otrzymamy wtedy
oraz
Odwracalne rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego jest pokazane na wykresie pV na Ilustracji 3.15. Nachylenie krzywej w każdym punkcie wynosi
Krzywa przerywana pokazana na wykresie pV reprezentuje rozprężanie izotermiczne, w którym T (a więc również pV) jest stałe. Nachylenie krzywej będzie przydatne podczas rozważania drugiej zasady termodynamiki w następnym rozdziale. To nachylenie wynosi
Krzywa izotermiczna nie opada tak gwałtownie jak krzywa adiabatyczna, ponieważ κ>1.
Przykład 3.7
Sprężanie gazu doskonałego w silniku samochodowym
Opary benzyny są wtłaczane do cylindra silnika samochodowego, gdy tłok jest w dolnym położeniu. Temperatura, ciśnienie i objętość powstałej mieszanki paliwowo-powietrznej wynoszą odpowiednio 20°C, 105N∕m2 i 240cm3. Mieszanka jest następnie sprężana adiabatycznie do objętości 40cm3. Zauważmy, że w rzeczywistości sprężanie w silniku samochodowym jest niekwazistatyczne, ale dla uproszczenia przyjmijmy, że proces ten zachodzi kwazistatycznie.- Ile wynosi ciśnienie i temperatura mieszanki po sprężeniu?
- Ile pracy wykona mieszanka podczas sprężania?
Strategia rozwiązania
Z założenia, że rozważany proces jest kwazistatycznym sprężaniem adiabatycznym gazu doskonałego, mamy pVκ=const oraz pV=nRT. Poszukiwana praca może być obliczona z W=V2∫V1pdV.Rozwiązanie
- Dla sprężania adiabatycznego mamyp2=p1(V1V2)κ,a więc po sprężeniu ciśnienie mieszanki będzie wynosićp2=105N∕m2⋅(240⋅10−6m340⋅10−6m3)1,40=1,23⋅106N∕m2.Z równania stanu gazu doskonałego temperatura mieszanki po sprężeniu będzie wynosićT2=p2V2p1V1T1=1,23⋅106N∕m2⋅40⋅10−6m3105N∕m2⋅240⋅10−6m3⋅293K=600K=328°C.
- Praca wykonana przez mieszankę podczas sprężania wynosiW=V2∫V1pdV.Korzystając z warunku z Równania 3.12 dla procesu adiabatycznego, możemy zapisać: p jako K∕Vκ, gdzie K=p1Vκ1=p2Vκ2. Dlatego praca jest równaW=V2∫V1KVκdV=K1−κ(1Vκ−12−1Vκ−11)=11−κ(p2Vκ2Vκ−12−p1Vκ1Vκ−11)W=11−κ(p2V2−p1V1)W=11−1,4(1,23⋅106N∕m2⋅40⋅10-6m3−105N∕m2⋅240⋅10-6m3)W=−63J.