Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 25.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • czym jest ciągły rozkład ładunków źródłowych i jak to odnosi się do tezy o kwantowaniu ładunku (że ładunek może przyjmować tylko dyskretne wartości);
  • opisywać liniowe, powierzchniowe i objętościowe rozkłady ładunku;
  • obliczać natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ciągłego rozkładu ładunku różnych znaków.

Dotychczas mieliśmy do czynienia z dyskretnymi (ziarnistymi) rozkładami ładunku: tworzonymi przez pojedyncze punktowe cząstki. Inaczej jest, gdy mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku (ang. continuous charge distribution), gdzie przynajmniej jeden wymiar jest niezerowy. Jeżeli mamy do czynienia z rozkładem ciągłym ładunku, a nie dyskretnym, możemy uogólnić definicję pola elektrycznego. Po prostu dzielimy ładunek na nieskończenie małe (różniczkowe) elementy i każdy z nich traktujemy jak ładunek punktowy.

Zauważmy, że ze względu na to, że ładunek jest skwantowany, to naprawdę nie istnieje prawdziwie ciągły rozkład ładunku. Jednak w praktyce, ze względu na to, że całkowity ładunek wytwarzający pole elektryczne składa się z dużej liczby pojedynczych ładunków, możemy skutecznie pominąć ziarnistą naturę ładunku i rozpatrywać rozkład ładunku jako ciągły. To jest takie samo przybliżenie, jakie stosujemy, gdy rozpatrujemy wiadro z wodą, traktując ją jako ciągły płyn, a nie zbiór cząsteczek H2O.

Naszym pierwszym krokiem jest zdefiniowanie gęstości rozkładu ładunku wzdłuż linii na powierzchni lub w objętości, tak jak pokazano na Ilustracji 5.22.

Na rysunku a pokazany jest pręt jednorodnie naładowany z liniową gęstością ładunku lambda. Mały fragment pręta jest zaznaczony ciemniejszym kolorem i oznaczony d l. Na rysunku b pokazana jest płaszczyzna naładowana z powierzchniową gęstością ładunku sigma. Mały wycinek powierzchni jest zaznaczony ciemniejszym kolorem i oznaczony d S. Na rysunku c pokazana jest bryła naładowana z objętościową gęstością ładunku rho. Mały element objętości jest zaznaczony ciemniejszym kolorem i oznaczony d V. Na rysunku d pokazana jest płaszczyzna z dwoma wycinkami zaznaczonymi ciemniejszym kolorem i oznaczonymi d S 1 i d S 2. Pokazany jest też punkt P znajdujący się ponad powierzchnią. Cienką linią zaznaczono odległość pomiędzy zaznaczonymi wycinkami a punktem P. W punkcie P narysowane są wektory E 1 i E 2 skierowane w przeciwną stronę od zaznaczonych wycinków. Wypadkowy wektor E jest sumą E 1 i E 2. Jest skierowany w górę od płaszczyzny.
Ilustracja 5.22 Rozkład nieskończenie małych (różniczkowych) elementów ładunku dla (a) rozkładu liniowego ładunku, (b) naładowanej powierzchni oraz (c) ładunku objętościowego. Zauważmy, że (d) niektóre składowe całkowitego natężenia pola elektrycznego znoszą się, a pozostałe dają wypadkowe natężenie pola elektrycznego.

Definicje gęstości ładunkowych:

  • λ ≡ λ≡ ładunek na jednostkę długości (liniowa gęstość ładunku (ang. linear charge density)); jednostką jest kulomb na metr ( C ∕ m C∕m);
  • σ ≡ σ≡ ładunek na jednostkę powierzchni (powierzchniowa gęstość ładunku (ang. surface charge density)); jednostką jest kulomb na metr kwadratowy ( C ∕ m 2 C ∕ m 2 );
  • ρ ≡ ρ≡ ładunek na jednostkę objętości (objętościowa gęstość ładunku (ang. volume charge density)); jednostką jest kulomb na metr sześcienny ( C ∕ m 3 C ∕ m 3 ).

Dla liniowego, powierzchniowego i objętościowego rozkładu ładunku sumowanie w Równaniu 5.4 zastępujemy całką, a ładunek q i q i zastępujemy odpowiednio przez d q = λ ⁢ d l d q = λ ⁢ d l , σ ⁢ d S σ⁢ d S lub ρ ⁢ d V ρ⁢ d V

ładunek punktowy: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∑ i = 1 N q i r i 2 ⁢ , ładunek punktowy: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∑ i = 1 N q i r i 2 ⁢ , \text{ładunek punktowy: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r^2_i} \text{,}
5.8
liniowy rozkład ładunku: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ ⁢ , liniowy rozkład ładunku: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ ⁢ , \text{liniowy rozkład ładunku: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_{\text{po linii}} \frac{\lambda \d l}{r^2} \hat{r} \text{,}
5.9
powierzchniowy rozkład ładunku: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∬ po powierzchni σ ⁢ d S r 2 ⁢ r ̂ ⁢ , powierzchniowy rozkład ładunku: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∬ po powierzchni σ ⁢ d S r 2 ⁢ r ̂ ⁢ , \text{powierzchniowy rozkład ładunku: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{\text{po powierzchni}} \frac{\sigma \d S}{r^2} \hat{r} \text{,}
5.10
objętościowy rozkład ładunku: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∭ po objętości ρ ⁢ d V r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . objętościowy rozkład ładunku: ⁢ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∭ po objętości ρ ⁢ d V r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . \text{objętościowy rozkład ładunku: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iiint_{\text{po objętości}} \frac{\rho \d V}{r^2} \hat{r} \text{.}
5.11

Wzory całkowe przedstawiają uogólnioną postać wyrażenia na natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego. Uwzględniają one i zawierają w sobie zasadę superpozycji. Sztuka korzystania z tych wzorów polega zazwyczaj na uwzględnieniu poprawnych wyrażeń na d l dl, d S dS lub d V dV, w zależności od rozpatrywanego przypadku, wyrażonych poprzez zmienną r r, oraz właściwym sformułowaniu funkcji gęstości ładunku. Może być ona stała, może też zależeć od położenia.

Zapamiętaj dokładnie znaczenie zmiennej r r w tych równaniach: wyraża ona odległość pomiędzy nieskończenie małymi (różniczkowymi) elementami ładunku ( q i λ ⁢ d l σ ⁢ d S ρ ⁢ d V q i λ ⁢ d l σ ⁢ d S ρ ⁢ d V ) do określonego punktu P ⁢ x y z P⁢ x y z (punkt w przestrzeni, w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego). Nie należy jednak mylić tej zmiennej z wersorem r ̂ r ̂ ; korzystamy z niego i z zapisu wektorowego E → E → do łatwego zapisania trzech całek. To znaczy, że Równanie 5.9 można zapisać teraz w postaci

E x ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 x ⁢ , E y ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 y ⁢ , E z ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 z ⁢ . E x ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 x ⁢ , E y ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 y ⁢ , E z ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 z ⁢ .

Przykład 5.5

Pole elektryczne naładowanego pręta

Obliczmy natężenie pola elektrycznego w odległości z z od środka pręta o długości L L, który jest naładowany jednorodnie ładunkiem o liniowej gęstości λ λ.

Strategia rozwiązania

Ponieważ mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku, umownie dzielimy pręt na nieskończenie małe, różniczkowe elementy o długości d l dl, każdy z nich obdarzony nieskończenie małą, różniczkową porcją ładunku d q = λ ⁢ d l d q = λ ⁢ d l . Następnie obliczamy cząstkowe (różniczkowe) natężenie pola elektrycznego od dwóch symetrycznie rozmieszczonych elementów pręta, korzystając z symetrii układu dla uproszczenia obliczeń (Ilustracja 5.23). Wreszcie, całkujemy po długości pręta (naprawdę po połowie długości, jak to wyjaśniamy poniżej) różniczkowe wyrażenie na natężenie pola elektrycznego, aby otrzymać wyrażenie na całkowite natężenie pola elektrycznego.
Długi, cienki drut jest umieszczony na osi x. Drut ma długość L. Mały, pokolorowany, fragment drutu znajduje się w odległości x na prawo od środka drutu. Taki sam pokolorowany fragment drutu znajduje się na lewo od środka drutu w takiej samej odległości. Punkt P znajduje się w odległości z ponad środkiem drutu na osi z. Punkt P znajduje się w odległości r od każdego z zaznaczonych fragmentów drutu. W punkcie P są narysowane wektory d E 1 i d E 2. Wektor d E 1 jest skierowany na zewnątrz od zaznaczonego po lewej stronie fragmentu drutu, pod kątem theta w stosunku do osi z. Wektor d E 2 jest skierowany na zewnątrz od zaznaczonego po prawej stronie fragmentu drutu i tworzy taki sam kąt theta z osią z. Oba wektory d E mają tę samą długość.
Ilustracja 5.23 Jednorodnie naładowany kawałek pręta. Natężenie pola elektrycznego w punkcie P P może być wyznaczone według zasady superpozycji zastosowanej dla symetrycznie zlokalizowanych porcji ładunku i w wyniku operacji całkowania.

Rozwiązanie

Zanim przejdziemy do rozwiązania, zastanówmy się, jak wyobrażamy sobie pole elektryczne widziane z daleka? Ponieważ mamy do czynienia z prętem o skończonej długości, to z daleka naładowany pręt powinien być widziany jako ładunek punktowy. Sprawdzimy, czy wyrażenie, które otrzymamy, jest zgodne z naszymi przewidywaniami.

Natężenie pola elektrycznego dla liniowego rozkładu ładunku jest dane wyrażeniem

E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ ⁢ .

Z symetrii układu (nasz wybór dwóch identycznych różniczkowo małych fragmentów ładunku) wynika, że składowe poziome ( x x) natężenia pola elektrycznego znoszą się tak, że wypadkowe natężenie pola elektrycznego jest zwrócone w kierunku z z. Sprawdźmy to.

Całkowite natężenie pola elektrycznego E → ⁢ P E → ⁢ P jest sumą wektorową natężeń pól od każdych dwóch fragmentów ładunku (oznaczamy je E → 1 E → 1 i E → 2 E → 2 )

E → ⁢ P = E → 1 + E → 2 = E 1 ⁢ x ⁢ i ̂ + E 1 ⁢ z ⁢ k ̂ + E 2 ⁢ x ⁢ − i ̂ + E 2 ⁢ z ⁢ k ̂ ⁢ . E → ⁢ P = E → 1 + E → 2 = E 1 ⁢ x ⁢ i ̂ + E 1 ⁢ z ⁢ k ̂ + E 2 ⁢ x ⁢ − i ̂ + E 2 ⁢ z ⁢ k ̂ ⁢ .

Ponieważ oba fragmenty ładunku są identyczne i są równo odległe od punktu P P, w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, to E 1 ⁢ x = E 2 ⁢ x ⁢ E 1 ⁢ x = E 2 ⁢ x ⁢ i te składowe się znoszą. Pozostaje więc

E → ⁢ P = E 1 ⁢ z ⁢ k ̂ + E 2 ⁢ z ⁢ k ̂ = E 1 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ + E 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ . E → ⁢ P = E 1 ⁢ z ⁢ k ̂ + E 2 ⁢ z ⁢ k ̂ = E 1 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ + E 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ .

Te składowe też są równe, otrzymujemy więc

E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 λ ⁢ d l r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ + 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 λ ⁢ d l r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 2 ⁢ λ ⁢ d x r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ , E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 λ ⁢ d l r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ + 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 λ ⁢ d l r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 2 ⁢ λ ⁢ d x r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ , \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{\lambda \d l}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{\lambda \d l}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{2 \lambda \d x}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} \text{,} \end{multiline} E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 λ ⁢ d l r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ + 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 λ ⁢ d l r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 L ∕ 2 2 ⁢ λ ⁢ d x r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ ,

gdzie nasz różniczkowy, liniowy element d l dl jest w tym przykładzie równy d x dx, ponieważ całkujemy po liniowym rozkładzie ładunku wzdłuż osi x x. (Całkujemy w granicach od 0 0 do L ∕ 2 L∕2, a nie od − L ∕ 2 − L ∕ 2 do + L ∕ 2 + L ∕ 2 , ponieważ, obliczając wypadkowe natężenie pola, uwzględniliśmy pola od dwóch różniczkowych elementów ładunku d q dq. Gdybyśmy więc całkowali po całej długości, to otrzymalibyśmy wynik zawyżony dwukrotnie).

I tak otrzymaliśmy rozwiązanie. Jednak żeby obliczyć całkę, musimy wyeliminować wszystkie wielkości, które nie są dane. W tym przypadku zarówno r r, jak i θ θ zmieniają się, gdy całkujemy po rozkładzie ładunku, są to więc zmienne, które musimy wyeliminować. Możemy to zrobić w analogiczny sposób, jak to wykonaliśmy dla układu dwóch ładunków punktowych, zauważając, że

r = z 2 + x 2 1 ∕ 2 r= z 2 + x 2 1 ∕ 2

oraz

cos θ = z r = z z 2 + x 2 1 ∕ 2 ⁢ . cos θ = z r = z z 2 + x 2 1 ∕ 2 ⁢ .

Podstawiając, otrzymujemy

E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫0L∕22⁢λ⁢dxz2+x2⋅zz2+x21∕2⁢k̂E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫0L∕22⁢λ⁢zz2+x23∕2⁢dx⋅k̂E→⁡P=2⁢λ⁢z4⁢π⁢ε0⋅xz2⁢z2+x2⋅k̂,|0L∕2E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫0L∕22⁢λ⁢dxz2+x2⋅zz2+x21∕2⁢k̂E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫0L∕22⁢λ⁢zz2+x23∕2⁢dx⋅k̂E→⁡P=2⁢λ⁢z4⁢π⁢ε0⋅xz2⁢z2+x2⋅k̂,|0L∕2 \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{2 \lambda \d x}{z^2+x^2} \cdot \frac{z}{(z^2+x^2)^{1/2}} \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{2 \lambda z}{(z^2+x^2)^{3/2}} \d x \cdot \hat{k} \\ &= \frac{2 \lambda z}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{x}{z^2 \sqrt{z^2+x^2}} \cdot \hat{k} \mid_0^{L/2} \text{,} \end{multiline}E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫0L∕22⁢λ⁢dxz2+x2⋅zz2+x21∕2⁢k̂=14⁢π⁢ε0⁢∫0L∕22⁢λ⁢zz2+x23∕2⁢dx⋅k̂=2⁢λ⁢z4⁢π⁢ε0⋅xz2⁢z2+x2⋅k̂,|0L∕2

co upraszcza się do postaci

E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ L z ⁢ z 2 + L 2 4 ⁢ k ̂ ⁢ . E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ L z ⁢ z 2 + L 2 4 ⁢ k ̂ ⁢ .
5.12

Znaczenie

Zauważmy jeszcze raz, że wykorzystanie symetrii układu upraszcza zadanie. To bardzo częste podejście przy obliczaniu natężenia pola elektrycznego. Wyznaczenie natężenia pola elektrycznego od niesymetrycznego rozkładu ładunków wymaga obliczenia szeregu całek i może zaistnieć potrzeba przeprowadzenia obliczeń numerycznych za pomocą komputera.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.4

Jak zmieniłoby się podejście zaprezentowane powyżej w przypadku obliczania natężenia pola elektrycznego w punkcie znajdującym się w odległości z z powyżej jednego z końców pręta?

Przykład 5.6

Natężenie pola elektrycznego od nieskończenie długiego naładowanego drutu

Obliczmy natężenie pola elektrycznego w odległości z z powyżej nieskończenie długiego drutu naładowanego jednorodnie z gęstością liniową λ λ.

Strategia rozwiązania

To taki sam przypadek jak rozważany uprzednio, z tą różnicą, że granice całkowania wynoszą teraz od − ∞ −∞ do + ∞ +∞.

Rozwiązanie

Ponownie składowe poziome się znoszą, otrzymujemy więc
E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ − ∞ ∞ λ ⁢ d x r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ , E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ − ∞ ∞ λ ⁢ d x r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ ,

gdzie liniowy element różniczkowy d l dl jest równy d x dx, gdyż całkujemy po rozkładzie ładunków wzdłuż osi x x. Ponownie

cos θ = z r = z z 2 + x 2 1 ∕ 2 ⁢ . cos θ = z r = z z 2 + x 2 1 ∕ 2 ⁢ .

Podstawiając, otrzymujemy

E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫−∞∞2⁢λ⁢dxz2+x2⋅zz2+x21∕2⁢k̂E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫−∞∞2⁢λ⁢zz2+x23∕2⁢dx⋅k̂E→⁡P=2⁢λ⁢z4⁢π⁢ε0⋅xz2⁢z2+x2⋅k̂,|−∞∞E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫−∞∞2⁢λ⁢dxz2+x2⋅zz2+x21∕2⁢k̂E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫−∞∞2⁢λ⁢zz2+x23∕2⁢dx⋅k̂E→⁡P=2⁢λ⁢z4⁢π⁢ε0⋅xz2⁢z2+x2⋅k̂,|−∞∞ \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 \lambda \d x}{z^2+x^2} \cdot \frac{z}{(z^2+x^2)^{1/2}} \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 \lambda z}{(z^2+x^2)^{3/2}} \d x \cdot \hat{k} \\ &= \frac{2 \lambda z}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{x}{z^2 \sqrt{z^2+x^2}} \cdot \hat{k} \mid_{-\infty}^{\infty} \text{,} \end{multiline}E→⁡P=14⁢π⁢ε0⁢∫−∞∞2⁢λ⁢dxz2+x2⋅zz2+x21∕2⁢k̂=14⁢π⁢ε0⁢∫−∞∞2⁢λ⁢zz2+x23∕2⁢dx⋅k̂=2⁢λ⁢z4⁢π⁢ε0⋅xz2⁢z2+x2⋅k̂,|−∞∞

co upraszcza się do postaci

E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ λ z ⁢ k ̂ ⁢ . E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ λ z ⁢ k ̂ ⁢ .

Znaczenie

Nasze podejście do ciągłych rozkładów ładunków sprawdza się również w przypadku nieskończonych wymiarów tych rozkładów.

Zauważmy, że w przypadku liniowego rozkładu ładunku o skończonej długości, gdy z ≫ L z≫L, wyraz z 2 z 2 w mianowniku jest dużo większy od L L i Równanie 5.12 upraszcza się do postaci

E → ≈ 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ L z 2 ⁢ k ̂ ⁢ . E → ≈ 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ L z 2 ⁢ k ̂ ⁢ .

Jeżeli uwzględnimy, że λ ⁢ L = q λ ⁢ L =q jest całkowitym ładunkiem drutu, to otrzymujemy wyrażenie na natężenie pola elektrycznego od ładunku punktowego, czego oczekiwaliśmy.

Z kolei w granicy L ⟶ ∞ L⟶∞ otrzymujemy natężenie pola elektrycznego nieskończenie długiego, prostego drutu (ang. infinite straight wire), tj. drutu, którego długość jest znacznie większa od jego pozostałych wymiarów i która jest także znacznie większa od odległości do punktu, w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego

E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ λ z ⁢ k ̂ ⁢ . E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ λ z ⁢ k ̂ ⁢ .
5.13

Ciekawym następstwem nieskończonego rozmiaru drutu jest to, że nie otrzymujemy typowej zależności r -2 r -2 , do której jesteśmy przyzwyczajeni. Będzie to jeszcze ciekawsze w przypadku naładowanej nieskończonej płaszczyzny.

Przykład 5.7

Natężenie pola elektrycznego naładowanego pierścienia

Pierścień został jednorodnie naładowany z liniową gęstością ładunku λ λ, wyrażoną w jednostkach kulomb na metr (łuku). Obliczmy natężenie pola elektrycznego w punkcie na osi pierścienia.

Strategia rozwiązania

Posłużymy się tą samą metodą, jak w przypadku naładowanego drutu. Różnica polega na tym, że teraz mamy do czynienia z ładunkiem rozłożonym na pierścieniu. Dzielimy pierścień na nieskończenie małe elementy (fragmenty łuku) i stosujemy współrzędne biegunowe (Ilustracja 5.24).
Na rysunku pokazany jest pierścień o promieniu R znajdujący się na płaszczyźnie x, y w układzie współrzędnych x, y, z. Mały fragment pierścienia jest zaznaczony. Ten fragment znajduje się pod kątem theta od osi x, obejmuje kąt d theta i ma ładunek d q równy iloczynowi lambda i d theta. Punkt P znajduje się na osi z w odległości z od środka pierścienia. Odległość pomiędzy zaznaczonym fragmentem a punktem P jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy R do kwadratu i z do kwadratu.
Ilustracja 5.24 Układ i zmienne do obliczenia natężenia pola elektrycznego od naładowanego pierścienia.

Rozwiązanie

Natężenie pola elektrycznego naładowanego pierścienia jest dane ogólnym wyrażeniem
E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . E → ⁢ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ ⁢ .

Element łuku zawarty pomiędzy θ θ i θ + d θ θ+ d θ ma długość R ⁢ d θ R⁢ d θ , zatem posiada ładunek równy λ ⁢ R ⁢ d θ ⁢ . λ⁢R⁢ d θ ⁢ . Ten element znajduje się w odległości r = z 2 + R 2 r= z 2 + R 2 od punktu P P, a kąt wynosi cos ϕ = z ∕ z 2 + R 2 cos ϕ = z ∕ z 2 + R 2 , tak więc natężenie pola elektrycznego jest dane jako

E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 2 ⁢ π λ ⁢ R ⁢ d θ z 2 + R 2 ⋅ z z 2 + R 2 ⁢ z ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ R ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ ⋅ ∫ 0 2 ⁢ π d θ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ λ ⁢ R ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q cał ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ ⁢ . E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 2 ⁢ π λ ⁢ R ⁢ d θ z 2 + R 2 ⋅ z z 2 + R 2 ⁢ z ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ R ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ ⋅ ∫ 0 2 ⁢ π d θ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ λ ⁢ R ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q cał ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ ⁢ . \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\text{po linii}} \frac{\lambda \d l}{r^2} \hat{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2 \pi} \frac{\lambda R \d \theta}{z^2+R^2} \cdot \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} \hat{z} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{\lambda R z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{z} \cdot \int_0^{2 \pi} \d \theta = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2 \pi \lambda R z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{z} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{cał}} z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{z} \text{.} \end{multiline} E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ po linii λ ⁢ d l r 2 ⁢ r ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 2 ⁢ π λ ⁢ R ⁢ d θ z 2 + R 2 ⋅ z z 2 + R 2 ⁢ z ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ λ ⁢ R ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ ⋅ ∫ 0 2 ⁢ π d θ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ λ ⁢ R ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q cał ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ z ̂ ⁢ .

Znaczenie

Jak zwykle symetria układu upraszcza rozwiązanie, w tym przypadku dając prostą do obliczenia całkę. Ponadto gdy rozpatrzymy graniczny przypadek dla z ≫ R z≫R, to otrzymamy
E → ≈ 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q cał z 2 z ̂ ⁢ , E → ≈ 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ q cał z 2 z ̂ ⁢ ,

tak jak tego oczekiwaliśmy.

Przykład 5.8

Natężenie pola elektrycznego krążka

Obliczmy natężenie pola elektrycznego jednorodnie naładowanej, okrągłej, cienkiej płyty (krążka) o promieniu R R w odległości z z od środka płyty (Ilustracja 5.25).
Na rysunku pokazany jest krążek o promieniu R znajdujący się w płaszczyźnie x, y układu współrzędnych x, y, z. Środek krążka pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. Na rysunku zaznaczono współśrodkowy z krążkiem pierścień o promieniu r prim i dwoma zaznaczonymi małymi elementami (fragmentami) po przeciwnych stronach pierścienia, które posiadają ładunek d q, każdy. Interesujący nas punkt znajduje się na osi z w odległości z powyżej środka krążka. Odległość od obu zaznaczonych fragmentów do tego punktu wynosi r. Natężenia pola elektrycznego, d E, pochodzące od ładunków d q są zaznaczone jako strzałki zwrócone zgodnie z kierunkiem odpowiednich wektorów r. Wektory d E tworzą ką theta z osią z.
Ilustracja 5.25 Jednorodnie naładowany krążek. Tak jak w przypadku liniowego rozkładu ładunku natężenie pola elektrycznego powyżej środka krążka może być łatwo wyliczone ze względu na symetrię układu.

Strategia rozwiązania

Natężenie pola elektrycznego od powierzchniowego rozkładu ładunku jest dane przez
E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∬ po powierzchni σ ⁢ d S r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∬ po powierzchni σ ⁢ d S r 2 ⁢ r ̂ ⁢ . \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{\text{po powierzchni}} \frac{\sigma \d S}{r^2} \hat{r} \text{.}

Aby rozwiązać to zadanie, dzielimy powierzchnię na różniczkowe symetryczne paski, które odpowiadają kształtowi (symetrii) powierzchni, w tym przypadku są to pierścienie, tak jak pokazane na rysunku. I znów ze względu na symetrię składowe poziome znoszą się i natężenie pola elektrycznego jest zwrócone pionowo w kierunku ( k ̂ k ̂ ). Składową pionową natężenia pola elektrycznego otrzymujemy w wyniku mnożenia przez cos θ cosθ, tak więc

E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∬ po powierzchni σ ⁢ d S r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ . E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∬ po powierzchni σ ⁢ d S r 2 ⁢ cos θ ⋅ k ̂ ⁢ . \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{\text{po powierzchni}} \frac{\sigma \d S}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} \text{.}

Tak jak uprzednio musimy wyrazić niewiadome wielkości pod całką w postaci danych. W tym przypadku

d S = 2 ⁢ π ⁢ r ′ ⁢ d r ′ ⁢ , d S = 2 ⁢ π ⁢ r ′ ⁢ d r ′ ⁢ , \d S = 2\pi r' \d r' \text{,}
r 2 = r ′ 2 + z 2 ⁢ , r 2 = r ′ 2 + z 2 ⁢ , r^2 = (r')^2 + z^2 \text{,}
cos θ = z r ′ 2 + z 2 ⁢ . cos θ = z r ′ 2 + z 2 ⁢ . \cos \theta = \frac{z}{\sqrt{(r')^2 + z^2}} \text{.}

(Zwróćmy uwagę na dwa rożne symbole r r występujące w zadaniu; r r to odległość od różniczkowego elementu pierścienia do punktu P P, w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, podczas gdy r ′ r ′ oznacza odległość od środka krążka do różniczkowego elementu pierścienia).

Rozwiązanie

Uwzględniwszy powyższe zależności, otrzymujemy
E → ⁡ P = E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 R σ ⋅ 2 ⁢ π ⁢ r ′ ⁢ d r ′ ⋅ z r ′ 2 + z 2 3 ∕ 2 ⋅ k ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ σ ⁢ z ⋅ 1 z − 1 R 2 + z 2 ⁢ k ̂ E → ⁡ P = E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 R σ ⋅ 2 ⁢ π ⁢ r ′ ⁢ d r ′ ⋅ z r ′ 2 + z 2 3 ∕ 2 ⋅ k ̂ E → ⁡ P = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ σ ⁢ z ⋅ 1 z − 1 R 2 + z 2 ⁢ k ̂ \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \vec{E} \apply(z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^R \frac{\sigma \cdot 2 \pi r' \d r' \cdot z}{[(r')^2+z^2]^{3/2}} \cdot \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot 2 \pi \sigma z \cdot (\frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}) \hat{k} \end{multiline} E → ⁡ P = E → ⁡ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ 0 R σ ⋅ 2 ⁢ π ⁢ r ′ ⁢ d r ′ ⋅ z r ′ 2 + z 2 3 ∕ 2 ⋅ k ̂ = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ σ ⁢ z ⋅ 1 z − 1 R 2 + z 2 ⁢ k ̂

lub prościej

E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ σ − 2 ⁢ π ⁢ σ ⁢ z R 2 + z 2 k ̂ ⁢ . E → ⁢ z = 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ 2 ⁢ π ⁢ σ − 2 ⁢ π ⁢ σ ⁢ z R 2 + z 2 k ̂ ⁢ .
5.14

Znaczenie

Ponownie można pokazać (za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora), że dla z ≫ R z≫R wyrażenie sprowadza się do
E → ⁢ z ≈ 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ σ ⁢ π ⁢ R 2 z 2 k ̂ ⁢ , E → ⁢ z ≈ 1 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ σ ⁢ π ⁢ R 2 z 2 k ̂ ⁢ ,

co jest wyrażeniem na natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego Q = σ ⁢ π ⁢ R 2 ⁢ . Q= σ ⁢ π ⁢ R 2 ⁢ .

Sprawdź, czy rozumiesz 5.5

Jak wyglądałby ten graniczny przypadek dla jednorodnie naładowanego prostokąta zamiast krążka?

Gdy R ⟶ ∞ R⟶∞, Równanie 5.14 redukuje się do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego nieskończonej, naładowanej płaszczyzny (ang. infinite plane), tj. płaskiej płyty, której wymiary poprzeczne są dużo większe od jej grubości, a także dużo większe od odległości do miejsca, gdzie obliczamy natężenie pola elektrycznego

E → = σ 2 ⁢ ε 0 k ̂ ⁢ . E → = σ 2 ⁢ ε 0 k ̂ ⁢ .
5.15

Zauważmy, że to natężenie pola jest stałe. To jest niespodziewany wynik będący następstwem nieskończonego rozmiaru płaszczyzny, ale tym wynikiem będziemy się jeszcze wielokrotnie posługiwać. Żeby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, wyobraźmy sobie, że znajdujemy się ponad tą nieskończoną płaszczyzną. Czy jej wygląd zmienia się wraz ze zmianą wysokości, z jakiej ją obserwujemy? Nie, ciągle widzimy płaszczyznę ciągnącą się do nieskończoności bez względu na to, jak bardzo jesteśmy od niej oddaleni. Ważne jest, aby pamiętać, że Równanie 5.15 ma taką postać, ponieważ znajdujemy się powyżej płaszczyzny. Gdybyśmy się znajdowali poniżej, to natężenie pola elektrycznego byłoby zwrócone w kierunku − k ̂ − k ̂ .

Przykład 5.9

Natężenie pola elektrycznego dwóch nieskończonych płaszczyzn

Wyznaczmy natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez dwie nieskończone płaszczyzny jednorodnie naładowane ładunkami równymi, ale o przeciwnych znakach (Ilustracja 5.26).
Rysunek przedstawia dwie pionowe, równoległe płaszczyzny A i B oddalone od siebie o d. Płaszczyzna A jest naładowana dodatnio a płaszczyzna B ujemnie. Wektory natężenia pola elektrycznego pomiędzy płaszczyznami są równoległe do siebie.
Ilustracja 5.26 Dwie naładowane nieskończone płaszczyzny. Zwróćmy uwagę na kierunek wektorów natężenia pola elektrycznego.

Strategia rozwiązania

Znamy już natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez pojedynczą nieskończoną płaszczyznę, możemy więc, korzystając z zasady superpozycji, wyznaczyć natężenie pola elektrycznego od dwóch płaszczyzn.

Rozwiązanie

Pole elektryczne jest zwrócone od dodatnio naładowanej płaszczyzny do ujemnie naładowanej płaszczyzny. Ponieważ gęstości powierzchniowe σ σ są równe i o przeciwnych znakach, to natężenia pola elektrycznego w obszarach na zewnątrz, poza płaszczyznami, się znoszą.

Natomiast w obszarze pomiędzy płaszczyznami natężenia pól dodają się, dając

E → = σ ε 0 i ̂ ⁢ . E → = σ ε 0 i ̂ ⁢ .

Wersor i ̂ i ̂ występuje we wzorze, bo na rysunku natężenie pola elektrycznego jest skierowane do + x +x.

Znaczenie

Układy, które można w przybliżeniu traktować jako dwie nieskończone płaszczyzny, są praktycznym źródłem jednorodnego pola elektrycznego.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.6

Jakie byłoby pole elektryczne wytworzone przez dwie dodatnio naładowane płaszczyzny o jednakowej gęstości powierzchniowej ładunku?

PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.