William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

uzasadniać celowość graficznego przedstawienia pola elektrycznego;
opisywać związek pomiędzy graficznym przedstawieniem wektorów natężenia pola elektrycznego a liniami pola elektrycznego;
wyjaśniać zasady i sens fizyczny rysowania linii pola elektrycznego;
rysować linie pola elektrycznego dla dowolnego ładunku źródłowego.

Teraz, kiedy już umiemy obliczać natężenie pola elektrycznego, zajmiemy się zagadnieniem geometrii pola elektrycznego. Jak już wcześniej zaznaczyliśmy, nasz model przewiduje, że ładunek elektryczny (ładunek źródłowy) zmienia stan przestrzeni wokół siebie w taki sposób, że na umieszczony w tym obszarze inny ładunek elektryczny (ładunek próbny) działają siły elektryczne. Idea linii pola (ang. field lines) elektrycznego i graficznego ich przedstawienia pozwala na wizualizację zmiany stanu przestrzeni, a tym samym na graficzne przedstawienie pola elektrycznego. W tym podrozdziale chcemy nauczyć cię przedstawiać graficznie geometrię pola elektrycznego, zatem omówimy szczegółowo kroki i reguły niezbędne do wykonania dokładnych i użytecznych rysunków pola elektrycznego.

Trzeba pamiętać, że pola elektryczne wypełniają przestrzeń trójwymiarową. Chociaż w tym podręczniku umieszczonych jest kilka pseudotrójwymiarowych rysunków, to kilka z wykresów, które znajdziesz (zarówno w tym podrozdziale, jak i w następnych), to dwuwymiarowe rzuty lub przekroje. Pamiętajmy jednak, że mamy do czynienia z trójwymiarowym zjawiskiem.

Punktem wyjścia jest stwierdzenie, że pole elektryczne ładunku źródłowego działa siłą na ładunek próbny umieszczony w tym polu. Z definicji wektory natężenia pola elektrycznego są zwrócone w tym samym kierunku co wektory siły elektrycznej (umownie) działającej na dodatni ładunek próbny umieszczony w polu elektrycznym (Ilustracja 5.27).

Na rysunku pokazane jest, w postaci strzałek, pole elektryczne w wybranych punktach siatki. Na rysunku a, pole elektryczne pokazane jest na płaszczyźnie x, y, ze zmieniającymi się x i y w zakresie od -4 metrów do 4 metrów. Strzałki są skierowane na zewnątrz od początku układu, i są większe w pobliżu początku układu, malejąc w miarę oddalania się od niego. Na rysunku b, pokazane są wektory natężenia pola w trzech wymiarach. Ładunek jest umieszczony w środku i ponownie strzałki są największe w pobliżu początku układu malejąc wraz z oddalaniem się od niego.

Ilustracja 5.27 Pole elektryczne dodatniego ładunku punktowego. Pokazana jest duża liczba wektorów natężenia pola. Jak w przypadku wszystkich wektorów ich długość jest proporcjonalna do wartości pola w każdym punkcie. (a) Pole w dwóch wymiarach. (b) Pole w trzech wymiarach.

Narysowaliśmy wektory natężenia pola elektrycznego jednorodnie rozmieszczone wokół ładunku źródłowego. Ponieważ natężenie pola elektrycznego jest wektorem, to narysowane strzałki przedstawiają, w każdym punkcie przestrzeni, wartość i kierunek pola elektrycznego w danym punkcie. Jak zawsze długość strzałki odpowiada wartości natężenia pola w danym punkcie. Dla punktowego ładunku źródłowego długość wektora maleje z kwadratem odległości od ładunku źródłowego. Ponadto wektor natężenia pola jest skierowany radialnie na zewnątrz od ładunku źródłowego, ponieważ kierunek i zwrot natężenia pola elektrycznego są określone przez kierunek i zwrot siły, która działa na dodatni ładunek próbny. (Pamiętajmy, że pole elektryczne rozciąga się w trzech wymiarach, linie pola są również zwrócone od i do płaszczyzny rysunku).

Ten wykres jest poprawny, ale przestaje być użyteczny, gdy rozkład ładunków źródłowych staje się bardziej złożony. Przykładowo przeanalizujmy wykres przedstawiający wektory natężenia pola elektrycznego dipola (Ilustracja 5.28).

Wektory natężenia pola elektrycznego od dwóch ładunków źródłowych. Ładunki źródłowe nie są pokazane. Natężenie pola elektrycznego jest zobrazowane za pomocą strzałek na wykresie x y. Zarówno x jak i y są wyrażone w metrach i zmieniają się w zakresie od -2 metrów do 4 metrów. W pobliżu początku układu strzałki są długie i skierowane na zewnątrz od niego. W pobliżu punktu o współrzędnych 2, 0 strzałki są długie i skierowane w stronę tego punktu. Strzałki stają się krótsze w miarę oddalania się od tego miejsca i są skierowane w różnych kierunkach.

Ilustracja 5.28 Pole elektryczne dipola. Nawet dla dwóch identycznych ładunków wykres natężenia pola elektrycznego staje się trudny do interpretacji.

Istnieje jednak bardziej użyteczny sposób przedstawienia tej samej informacji. Zamiast rysowania dużej liczby coraz to mniejszych wektorów, połączymy je razem, tworząc (rysując) ciągłe linie, jak to pokazano na Ilustracji 5.29.

Na rysunku, w części a, pokazane są linie pola elektrycznego wychodzące z dodatniego ładunku w postaci prostych strzałek narysowanych radialnie we wszystkich kierunkach względem ładunku. W części b, pokazana jest para ładunków, jeden dodatni, a drugi ujemny. Linie pola są przedstawione w postaci zakrzywionych strzałek. Strzałki zaczynają się na ładunku dodatnim (wychodzą z niego), zakrzywiają się i kończą na ładunku ujemnym. Zewnętrzne linie wychodzą poza obszar wykresu (rysunku) ale przebiegają analogicznie jak te widoczne na rysunku.

Ilustracja 5.29 (a) Wykres linii pola elektrycznego dodatniego ładunku punktowego. (b) Wykres linii pola elektrycznego dla dipola. Na obu rysunkach gęstość linii pola obrazuje natężenie pola elektrycznego. Wektory natężenia pola elektrycznego (niepokazane na rysunku) są styczne do linii pola w każdym punkcie.

Chociaż może tego nie widać na pierwszy rzut oka, to te wykresy linii pola zawierają tę samą informację, co wykresy wektorów natężenia pola elektrycznego. Po pierwsze, kierunek pola w każdym punkcie jest kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego. Innymi słowami, w dowolnym punkcie przestrzeni wektor natężenia pola elektrycznego jest styczny do linii pola w tym punkcie. Strzałka na linii pola pokazuje zwrot pola.

Jeżeli chodzi o wartość natężenia pola elektrycznego, to informuje o niej gęstość linii pola (ang. field line density), to jest liczba linii pola przechodzących przez mały przekrój powierzchni prostopadły do pola elektrycznego, liczona na jednostkę powierzchni. Ta gęstość linii odpowiada wartości natężenia pola elektrycznego dla tego przekroju. Oznacza to, że gdy linie pola są blisko siebie (tzn. gęstość linii jest większa), to natężenie pola elektrycznego ma dużą wartość w tym punkcie. Gdy linie znajdują się daleko od siebie, to natężenie pola elektrycznego jest małe. Ilustracja 5.30 obrazuje tę koncepcję.

Na rysunku pokazanych jest siedem linii pola elektrycznego, biegnących z z dołu po lewej stronie w górę po prawej stronie. Linie pola zbliżają się do siebie w górnej części rysunku. Zaznaczone są dwie kwadratowe powierzchnie prostopadłe do linii pola. Wszystkie linie pola przechodzą przez zaznaczone powierzchnie. Powierzchnia u góry jest mniejsza niż ta u dołu rysunku.

Ilustracja 5.30 Linie pola przechodzą przez wirtualne powierzchnie. Chociaż liczba linii przechodzących przez każdą z powierzchni jest taka sama, to ponieważ powierzchnie są różne, także gęstość linii jest różna, co oznacza różną wartość natężenia pola elektrycznego w tych miejscach.

Na Ilustracji 5.30 ta sama liczba linii pola przechodzi przez obie powierzchnie ( $S$ i $S^{'}$ ), ale powierzchnia $S$ jest większa od powierzchni $S^{'}$ . Dlatego gęstość linii pola (liczba linii na jednostkę powierzchni) jest większa w miejscu $S^{'}$ , wskazując na to, że pole elektryczne jest silniejsze w miejscu $S^{'}$ niż w $S$ . Zasady rysowania wykresów pola elektrycznego są następujące.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązania: rysowanie linii pola elektrycznego

Linie pola elektrycznego mają swój początek w ładunkach dodatnich lub biegną z nieskończoności, kończąc się na ładunkach ujemnych lub biegną do nieskończoności.
Liczba linii wychodzących z ładunku lub wchodzących do ładunku jest proporcjonalna do wartości tego ładunku. Z ładunku $2 q$ będzie wychodzić dwa razy więcej linii niż z ładunku $q$ .
W każdym punkcie przestrzeni wektor natężenia pola elektrycznego jest styczny do linii pola elektrycznego w tym punkcie.
Gęstość linii pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni jest proporcjonalna do (i dlatego odzwierciedla) wartości natężenia pola elektrycznego w tym punkcie.
Linie pola elektrycznego nigdy się nie przecinają. Ponieważ linie pola elektrycznego pokazują kierunek pola w danym punkcie, to gdyby dwie linie przecinały się w tym punkcie, oznaczałoby to, że mamy do czynienia z polem elektrycznym skierowanym w dwie różne strony w jednym punkcie. To z kolei oznaczałoby, że (wypadkowa) siła działająca na ładunek próbny umieszczony w tym punkcie jest skierowana w różne strony. Ponieważ jest to z oczywistych powodów niemożliwe, to linie pola elektrycznego nie mogą się przecinać.

Zawsze pamiętajmy, że rysowanie linii pola elektrycznego to wygodny sposób przedstawienia graficznego pola elektrycznego; same linie pola nie są wielkościami fizycznymi. Chociaż na podstawie linii pola można wywnioskować kierunek i natężenie pola elektrycznego, to czasami ich wykresy mogą być mylące. Na przykład linie reprezentujące pole elektryczne są z konieczności rysowane jako indywidualne, oddzielne linie, chociaż pole elektryczne istnieje w każdym punkcie przestrzeni.

Na Ilustracji 5.31 pokazane są linie pola dla trzech układów ładunków punktowych. Ponieważ ładunki w części (a) i (b) mają takie same wartości, to ta sama liczba linii wychodzi z każdego i wchodzi do każdego ładunku. Natomiast w części (c) narysowano trzy razy więcej linii wychodzących z ładunku $+ 3 q$ niż wchodzących do ładunku $- q$ . Linie pola, które nie kończą się na ładunku $- q$ , biegną z układu ładunków do nieskończoności.

Na rysunku są pokazane trzy pary ładunków i ich linie pola. W każdej parze ładunek po lewej stronie jest dodatni. W części a rysunku, ładunek po lewej stronie jest ujemny. Linie pola są przedstawione jako zakrzywione strzałki zaczynające się na ładunku dodatnim po lewej stronie, a kończące na ładunku ujemnym po stronie prawej. Linie pomiędzy ładunkami mają dużą gęstość. W części b rysunku, ładunek po prawej stronie jest dodatni. Linie pola są przedstawione jako zakrzywione strzałki zaczynające się na każdym ładunku dodatnim i rozbiegające się na zewnątrz. Linie pomiędzy ładunkami mają mniejszą gęstość i w środku pomiędzy ładunkami znajduje się obszar bez linii pola. W części c rysunku, ładunek po prawej stronie jest ujemny. Linie pola wychodzą z ładunku dodatniego. Część linii, których początki są najbliżej ładunku ujemnego, zakrzywiają się w jego stronę i kończą na nim. Linie, których początki leżą dalej od ładunku ujemnego zakrzywiają się w jego stronę ale następnie rozbiegają sie na zewnątrz. Na rysunku, na prawo od pary ładunków znajduje obszar o bardzo małej gęstości linii.

Ilustracja 5.31 Trzy typowe wykresy linii pola elektrycznego. (a) Dipol. (b) Dwa identyczne ładunki. (c) Dwa ładunki o przeciwnych znakach i różnych wartościach. Czy potrafisz na podstawie wykresu powiedzieć, który ładunek jest największy?

Zdolność sporządzania dokładnych wykresów pola elektrycznego jest ważną, użyteczną umiejętnością; pozwala w łatwy sposób oszacować, przewidzieć i w konsekwencji obliczyć natężenie pola elektrycznego ładunku źródłowego. Najłatwiej rozwijać tę umiejętność, korzystając z oprogramowania, które pozwala na definiowanie konfiguracji ładunków źródłowych, a potem wykreśla pole elektryczne. Zachęcamy do poszukania w Internecie takich programów komputerowych. Jeżeli wam to się uda, to spróbujcie wykonać kilka symulacji, aby poznać istotę konstruowania wykresów pola elektrycznego. Potem poćwiczcie rysowanie takich wykresów i sprawdźcie swoje wyniki z tymi otrzymanymi z programu komputerowego.

Materiały pomocnicze

Jednym z programów jest program rysujący linie pola elektrycznego „Ładunki i pola” dostępny na stronie PhET.

5.6 Linie pola elektrycznego

Strategia rozwiązania: rysowanie linii pola elektrycznego