William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

11.6 Efekt Halla

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

czym jest efekt Halla;
porównywać ruchy nośników ładunku w materiale przewodzącym i wyjaśniać, jak mają się one do efektu Halla.

W 1879 r. Edwin Herbert Hall (1855–1938) opracował eksperyment pozwalający ustalić znak przeważających w danym materiale nośników ładunku. Z perspektywy historycznej był to pierwszy eksperyment umożliwiający zademonstrowanie faktu, że ładunek nośników w większości metali jest ujemny.

Materiały pomocnicze

Odwiedź tę stronę, aby uzyskać więcej informacji na temat efektu Halla.

Przeanalizujemy efekt Halla (ang. Hall effect), śledząc ruch elektronu swobodnego wzdłuż metalowej taśmy o szerokości $l$ w stałym polu magnetycznym (Ilustracja 11.17). Elektrony poruszają się z lewa na prawo tak, że siła magnetyczna, której działania doznają, dociska je do dolnej krawędzi taśmy, co skutkuje powstaniem pola elektrycznego $E$ zwróconego w dół. Koncentracja ładunku na obu krawędziach taśmy narasta do momentu, gdy siła elektryczna działająca na elektrony w danym kierunku zostanie zrównoważona przez siłę magnetyczną działającą na nie w kierunku przeciwnym. Równowaga zostaje osiągnięta, gdy

e E = e v_{d} B,

11.23

gdzie $e$ jest wartością ładunku elektronu, $v_{d}$ prędkością unoszenia elektronów, a $E$ natężeniem pola elektrycznego wytworzonego przez rozdzielone ładunki. W rezultacie rozwiązania tego równania na prędkość unoszenia otrzymujemy

v_{d} = \frac{E}{B} .

11.24

Ilustracja efektu Halla: w obydwu rysunkach prąd w taśmie jest z lewej a pole magnetyczne skierowane do wnętrza strony. Na rysunku a, ładunek ujemny porusza się na prawo z prędkością v ze znakiem d. Ładunki dodatnie gromadzą się na szczycie taśmy, ładunki ujemne na jej spodzie. Pole elektryczne E ze znakiem H skierowane jest w dół. Poruszający się ładunek doświadcza siły e E ze znakiem H skierowanej w górę i siły e v ze znakiem d B skierowanej w dół. Na rysunku b, ładunek dodatni porusza się w lewo z prędkością v ze znakiem d. Ładunki ujemne gromadzą się na górze taśmy, ładunki dodatnie u spodu. Pole elektryczne E ze znakiem H wskazuje do góry. Poruszający się ładunek doświadcza siły e E ze znakiem H skierowanej w górę i siły e v ze znakiem d B skierowanej w dół. — Ilustracja 11.17 W efekcie Halla różnica potencjałów pomiędzy górną a dolną krawędzią metalowej taśmy powstaje, gdy tory poruszających się ładunków uginane są przez pole magnetyczne. (a) Efekt Halla dla nośników ładunku ujemnego. (b) Efekt Halla dla nośników ładunku dodatniego.

Przypadek, w którym pola elektryczne i magnetyczne są wzajemnie prostopadłe, nazywamy przypadkiem skrzyżowanych pól. Jeżeli pola te wytwarzają równe i przeciwnie zwrócone siły działające na naładowaną cząstkę o prędkości umożliwiającej wyrównanie się tych sił, wówczas cząstki te są w stanie przemieszczać się przez cały aparat, nazywany rozdzielaczem prędkości (ang. velocity selector), bez ugięcia, tzn. wzdłuż linii prostej. Prędkość ta jest przedstawiona na Równaniu 11.25. Naładowana cząstka o każdej innej prędkości przesyłana przez ten sam obszar pól byłaby odchylana przez siłę magnetyczną lub siłę elektryczną.

Powróćmy do efektu Halla; jeżeli natężenie prądu w taśmie wynosi $I$ , to z rozdziału Prąd i rezystancja wiemy, że

I = n e v_{d} S,

11.25

gdzie $n$ jest liczbą nośników ładunku podzieloną przez objętość, $S$ polem powierzchni przekroju poprzecznego taśmy. Złożenie równań na $v_{d}$ oraz $I$ prowadzi do

I = n e \cdot \frac{E}{B} \cdot S .

11.26

Pole $E$ jest związane z różnicą potencjałów $U$ pomiędzy krawędziami taśmy podzieloną przez odległość

E = \frac{U}{l} .

11.27

Wielkość $U$ nazywamy napięciem Halla i mierzymy ją za pomocą woltomierza. Ostatecznie równania dla $I$ oraz $E$ prowadzą do

U = \frac{I B l}{n e S},

11.28

gdzie górna krawędź taśmy na Ilustracji 11.17 jest dodatnia względem dolnej krawędzi.

Możemy też złożyć Równanie 11.23 oraz Równanie 11.27, aby otrzymać wyrażenie na napięcie Halla w zależności od indukcji pola magnetycznego

U = B l v_{d} .

11.29

A co się stanie, gdy nośniki ładunku będą dodatnie, jak na Ilustracji 11.17? Dla natężenia prądu o tej samej wartości $I$ wartość $U$ jest nadal dana przez Równanie 11.28. Jednak górna krawędź jest teraz ujemna w stosunku do dolnej. Zatem mierząc znak $U$ , możemy określić znak większościowych nośników ładunku w metalu.

Pomiary napięcia Halla pokazują, że elektrony są dominującymi nośnikami ładunku w większości metali. Jednak w niektórych, takich jak wolfram i beryl, oraz w licznych półprzewodnikach ładunki większościowe są dodatnie. Okazuje się, że przewodzenie dodatnich ładunków wywołuje migracja brakujących elektronów z opuszczonych węzłów sieci (nazywanych dziurami) na jony. Przewodzenie dziur przeanalizujemy w dalszej części Fizyka fazy skondensowanej.

Efekt Halla można wykorzystać do pomiaru pola magnetycznego. Jeżeli materiał o znanej gęstości (koncentracji) nośników ładunku $n$ umieścimy w polu magnetycznym i zmierzymy napięcie $U$ , to indukcję pola będziemy mogli wyznaczyć z Równania 11.28. W laboratoriach badawczych, gdzie pola elektromagnesów wykorzystywanych do precyzyjnych pomiarów muszą być niezwykle trwałe, powszechnie korzysta się z sondy Halla jako części układu elektronicznego, która kontroluje pole.

Przykład 11.8

Rozdzielacz prędkości

Wiązka elektronów wpada do rozdzielacza prędkości ze skrzyżowanymi polami magnetycznym i elektrycznym odpowiednio o indukcji

2 mT

i natężeniu

6 \cdot 10^{3} N ∕ C

.

Jaką prędkość musi mieć wiązka elektronów, aby przechodziła przez obszar skrzyżowanych pól bez uginania trajektorii?
Jeżeli pole elektryczne jest wyłączone, to ile wynosi przyspieszenie wiązki elektronów?
Jaki jest promień okręgu, wzdłuż którego wiązka będzie się poruszała w tej sytuacji?

Strategia rozwiązania

Wiązka elektronów nie ulega ugięciu pod wpływem pól magnetycznego i elektrycznego, jeżeli odpowiadające im siły się równoważą. Na podstawie faktu równoważenia się sił obliczamy prędkość niezaburzonej wiązki. W przypadku nieobecności pola elektrycznego tylko siła magnetyczna występuje w równaniu Newtona, którego używamy do wyznaczenia przyspieszenia. Ostatecznie promień trajektorii wyznaczamy w oparciu o rozwiązanie równania Newtona z siłą magnetyczną opisujące ruch po okręgu.

Rozwiązanie

Prędkość niezaburzonej wiązki elektronów w skrzyżowanych polach obliczamy z Równania 11.24
$v_{d} = \frac{E}{B} = \frac{6 \cdot 10^{3} N ∕ C}{2 \cdot 10^{- 3} T} = 3 \cdot 10^{6} m ∕ s .$
Przyspieszenie obliczamy z wypadkowej sił pochodzących od pola magnetycznego, równej iloczynowi masy i przyspieszenia. Wartością przyspieszenia jest
$ma = qvB \implies a = \frac{qvB}{m} \text{,}$
$a = \frac{\SI{1,6e-19}{\coulomb} \cdot \SI{3e6}{\metre\per\second} \cdot \SI{2e-3}{\tesla}}{\SI{9,1e-31}{\kilo\gram}} = \SI{1,1e15}{\metre\per\second\squared} \text{.}$
Promień trajektorii uzyskujemy z przyrównania siły magnetycznej do siły dośrodkowej ruchu po okręgu (Równanie 11.24) jako
$r = \frac{m v}{q B} = \frac{9,1 \cdot 10^{- 31} kg \cdot 3 \cdot 10^{6} m ∕ s}{1,6 \cdot 10^{- 19} C \cdot 2 \cdot 10^{- 3} T} = 8,5 \cdot 10^{- 3} m .$

Znaczenie

Jeżeli prędkości elektronów w wiązce są większe lub mniejsze niż odpowiedź w części (a), to w wypadkowej sił wywieranych na te elektrony przeważa siła magnetyczna albo siła elektryczna. Dlatego przechodzą wyłącznie elektrony o tej szczególnej wartości prędkości.

Przykład 11.9

Napięcie Halla w płytce srebra

Ilustracja 11.18 ukazuje płytkę srebra o przekroju

1 cm

na

0,2 cm

. Przewodzi ona prąd

100 A

z lewej na prawą stronę w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji

1,5 T

. Założywszy gęstość elektronów w srebrze

n = 5,9 \cdot 10^{28} elektronów ∕ m^{3}

, obliczmy napięcie Halla pomiędzy krawędziami.

Pokazana jest srebrna listwa z prądem płynącym na prawo, polem magnetycznym skierowanym ku górze, ujemnymi ładunkami zgromadzonymi na bliższym nam krańcu i dodatnimi zgromadzonymi na dalszym. Wymiary listwy to 1,0 cm i 0,20 cm. — Ilustracja 11.18 Schemat wyznaczania napięcia Halla w płytce srebra umieszczonej w polu magnetycznym.

Strategia rozwiązania

Większość nośników ładunku stanowią elektrony, polaryzację napięcia Halla przedstawiamy na rysunku. Wartość napięcia Halla obliczamy przy użyciu Równania 11.28

U = \frac{I B l}{n e S} .

Rozwiązanie

Żeby obliczyć napięcie Halla, musimy znać wartości prądu płynącego przez materiał i indukcji magnetycznej oraz długość przewodnika i pole jego przekroju, a także liczbę nośników ładunku. Skoro wszystkie wielkości są dane, napięcie Halla obliczamy jako

U = \frac{I B l}{n e S} = \frac{100 A \cdot 1,5 T \cdot 10^{- 2} m}{5,9 \cdot 10^{38} elektronów ∕ m^{3} \cdot 1,6 \cdot 10^{- 19} C \cdot 2 \cdot 10^{- 5} m^{2}} = 7,9 \cdot 10^{- 6} V .

Znaczenie

Napięcie Halla jest bardzo małe i należy zachować ostrożność przy eksperymentach na wrażliwym sprzęcie, niezbędnym do tych pomiarów.

Sprawdź, czy rozumiesz 11.5

Sonda Halla składa się z miedzianej ( $n = 8,5 \cdot 10^{28} elektronów ∕ m^{3}$ ) taśmy o szerokości $2 cm$ i grubości $0,1 cm$ . Ile wynosi pole magnetyczne, gdy $I = 50 A$ , a napięcie Halla równe jest

$4 µV$ ;
$6 µV$ ?