7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki

Rozkład ładunku w przewodnikach

W Przykładzie 7.19, w którym zastosowano ładunek punktowy, dowiedzieliśmy się, że powierzchnie ekwipotencjalne przyjmują formę sfer o środku umieszczonym w położeniu ładunku. Dowiedzieliśmy się też, że powierzchnia dowolnego przewodnika sama jest powierzchnią ekwipotencjalną, co doprowadziło nas do wniosku, że dowolną powierzchnię stałego potencjału wokół ładunku punktowego z rysunku w Przykładzie 7.19 możemy zamienić na metalową sferę o takim samym promieniu i środku w położeniu ładunku źródłowego. Natężenie pola i rozkład potencjału na zewnątrz tej metalowej sfery będą takie same jak przedtem. Dokładnie ten sam efekt miałoby zastąpienie powierzchni ekwipotencjalnej metalową kulą o odpowiednim promieniu. Cały ładunek elektryczny kuli metalowej gromadzi się na jej powierzchni, efektywnie mamy więc do czynienia ze sferą. Różnice jednak pojawią się wewnątrz przewodnika.

Ilustracja 7.38 Odizolowana przewodząca kula.

Aby lepiej zrozumieć to zagadnienie, rozważmy przypadek odizolowanej od otoczenia przewodzącej kuli o promieniu $R$ i ładunku $q$, jak na Ilustracji 7.38. Chcemy określić natężenie pola wewnątrz i na zewnątrz tej kuli. Zauważ, że skoro kula jest odizolowana od otoczenia (brak wpływu innych, zewnętrznych ładunków), to zarówno rozkład ładunku elektrycznego na powierzchni, jak i rozkład lini pola mają symetrię sferyczną. Możemy więc zapisać wektor pola elektrycznego w postaci $\overrightarrow{E}=E\left(r\right)\hat{r}$. Żeby obliczyć funkcję $E\left(r\right)$, skorzystamy z prawa Gaussa. W tym celu wybierzemy powierzchnię gaussowską $S$ o promieniu $r$, która jest sferą koncentryczną z naładowaną kulą. Ponieważ na powierzchni Gaussa $r$ jest stałe i prostopadłe do powierzchni, $\hat{n}=\hat{r}$ oraz

Przy $r<R$ cała powierzchnia gaussowska $S$ jest zamknięta wewnątrz przewodnika, więc na podstawie naszych wcześniejszych doświadczeń z prawem Gaussa możemy wnioskować, że $q_{\text{wew}}=0\mathrm{C}$, i z prawa Gaussa wynika, że $E\left(r\right)=0\mathrm{N}∕\mathrm{C}$. Takiego wyniku mogliśmy się spodziewać dla punktów wewnątrz przewodzącej kuli. Dla przypadków $r>R$ powierzchnia $S$ zamyka cały ładunek zgromadzony w kuli, więc $q_{\text{wew}}=q$. Na podstawie prawa Gaussa mamy wtedy

Ostatecznie natężenie pola naładowanej kuli możemy wyrazić jako

W obszarze $r\ge R$, czyli na zewnątrz kuli, natężenie pola wytworzonego przez ładunek $q$ zgromadzony na przewodzącej kuli o promieniu $R$ jest dokładnie takie, jak pole ładunku punktowego $q$ umieszczonego w środku kuli.

Chcemy teraz znaleźć potencjał kuli wewnątrz i na zewnątrz. Zauważmy, że potencjał na zewnątrz kuli ($r\ge R$) musi być taki jak ładunku punktowego $q$ umieszczonego w $r=0\mathrm{m}$, czyli

przez analogię podobieństwa do natężenia pola w tych dwóch sytuacjach.

Dla przypadku $r<R$ natężenie $E=0\mathrm{N}∕\mathrm{C}$, więc potencjał $V\left(r\right)$ musi mieć wartość stałą w tym obszarze. Zgodnie z powyższym równaniem $V\left(R\right)=q∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}R\right)$, więc

Pokażemy teraz, że dla dwóch przewodzących kul o promieniach $R_1$ i $R_2$ naładowanych ładunkiem o gęstościach powierzchniowych ${\sigma }_1$ i ${\sigma }_2$ oraz połączonych ze sobą cienkim przewodem, tak jak pokazano na Ilustracji 7.39, prawdziwa jest równość

Kule znajdują się od siebie w odległości na tyle dużej, że możemy je traktować jak izolowane i nie dochodzi do polaryzacji ładunku. Jedynym kontaktem ładunków kul z zewnętrznym układem jest przewód. Zwróć uwagę, że połączenie kul przewodem powoduje, że cały układ (obie kule + przewód) muszą mieć wspólny potencjał.

Ilustracja 7.39 Dwie przewodzące kule połączone są cienkim przewodem.

Potencjał elektryczny naładowanej, przewodzącej i izolowanej kuli o promieniu $R$ tuż przy jej powierzchni wynosi, zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami

Po połączeniu kul przewodem dochodzi do wyrównania potencjałów na powierzchniach obu kul, zatem

czyli

Wielkość ładunku zgromadzonego na powierzchni przewodzącej kuli jest związana z gęstością powierzchniową ładunku relacją $q=\sigma \cdot 4\pi R^2$. Podstawiając tę ostatnią zależność w miejsce ładunków w poprzedniej równości, otrzymujemy

Co prawda, prosty modelowy układ dwóch kul połączonych cienkim przewodem nie może stanowić modelu przewodnika o dowolnej krzywiźnie, jednak daje pewne wyobrażenie o tym, jak gęstość ładunku może zmieniać się w zależności od kształtu powierzchni przewodnika. Na podstawie powyższego równania możemy stwierdzić, że jeśli promień krzywizny przewodnika jest duży (np. w punktach $B$ i $D$ na Ilustracji 7.40), to $\sigma$ oraz $E$ są małe, i odwrotnie.

Ładunki chętniej gromadzą się w miejscach, gdzie krzywizna powierzchni przewodnika jest bardzo duża, ładunkowa gęstość powierzchniowa osiąga dużą wartość. Widać to na Ilustracji 7.40, gdzie w punktach $A$ i $C$ przewodnik ma ostre krawędzie, przez co gromadzi się w ich okolicy duży ładunek powierzchniowy. Gęstość powierzchniowa ładunku jest zawsze większa w miejscach o małym promieniu krzywizny niż w miejscach, gdzie promień krzywizny jest duży.

Ilustracja 7.40 Rozkład ładunku na powierzchni przewodnika o nieregularnym kształcie. Większą gęstość ładunku obserwujemy w miejscach o małym promieniu krzywizny powierzchni.

Najbardziej powszechnym zastosowaniem tego efektu jest konstrukcja instalacji piorunochronu (ang. lighting rod), który jest zwykłym metalowym prętem lub cienkim drutem o dodatkowo zaostrzonym końcu, skierowanym w górę ponad najwyższy punkt na dachu. Drugi koniec drutu jest uziemiony. W wyniku polaryzacji ładunku podczas burzy na powierzchni Ziemi gromadzi się ładunek dodatni, a w chmurze burzowej obserwujemy ogromne ilości ładunku ujemnego. Gęstość ładunku na końcu piorunochronu jest bardzo duża. Gdy natężenie pola wytworzonego przez ten ładunek osiąga wartość ok. $3\cdot {10}^6\mathrm{N}∕\mathrm{C}$ (jak już wiesz, jest to wartość wytrzymałości elektrycznej (ang. dielectric strength) powietrza), jony cząsteczek w powietrzu ulegają przyspieszeniu do tak wysokich energii, że w trakcie zderzeń z innymi cząsteczkami powietrza jonizują je. Powstaje duża liczba elektronów, które przepływają przez instalację odgromową do powierzchni Ziemi, znacząco neutralizując dodatni ładunek zgromadzony przy powierzchni Ziemi. Dzięki temu natężenie pola nie wzrasta bardziej i nie osiąga krytycznej wartości, przy której mogłoby dojść do uderzenia pioruna w pobliżu naszego domu. W przeciwnym razie ładunek dodatni gromadziłby się dalej i natężenie pola wzrosłoby do takiej wartości, przy której doszłoby do „przebicia” i wyładowania atmosferycznego.

Pole elektryczne i linie stałego potencjału znajdują ważne zastosowanie w medycynie, przy badaniu pracy serca. Pod wpływem sygnałów elektrycznych serce utrzymuje swój rytm bicia. Przepływ sygnału elektrycznego powoduje, że komory kurczą się i rozkurczają w odpowiednim tempie. W trakcie ataku serca czy w chorobach, takich jak arytmia, przepływ tych sygnałów może być zaburzony. Używa się wówczas urządzeń takich jak defibrylator czy sztuczny rozrusznik serca do pobudzenia przepływu sygnałów elektrycznych i przywrócenia poprawnej akcji serca. Pomiary linii ekwipotencjalnych wokół serca, w obszarze klatki piersiowej, oraz osi elektrycznej serca służą monitorowaniu jego pracy. Za pomocą elektrokardiografu (EKG) dokonuje się pomiaru niewielkich sygnałów elektrycznych generowanych w trakcie pracy serca.