Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 27.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • definiować powierzchnie i linie ekwipotencjalne;
  • wyjaśniać związek między liniami ekwipotencjalnymi i liniami pola;
  • szkicować mapy rozkładu linii ekwipotencjalnych dla ładunku pojedynczego i układu dwóch ładunków;
  • opisywać potencjał wytwarzany wokół naładowanego przewodnika;
  • porównywać i rozumieć różnice między liniami ekwipotencjalnymi a poziomicami na mapach topograficznych.

Potrafisz już graficznie przedstawiać pole elektryczne za pomocą linii pola. Zupełnie analogicznie można rysować rozkład potencjału wokół ładunków źródłowych – przecież potencjał i natężenie pola są ze sobą związane. Spójrz na Ilustracja 7.30, na którym zaznaczono linie pola wychodzące od dodatniego ładunku źródłowego radialnie we wszystkich kierunkach. Linie pola zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą na ładunkach ujemnych. Czerwonymi strzałkami zaznaczono kierunki wektorów natężenia, natomiast krzywe kołowe, zaznaczone czarną linią, łączą punkty, w których potencjały są równe. Te krzywe na płaszczyźnie nazywamy liniami ewipotencjalnymi (ang. equipotential line), natomiast w przestrzeni trójwymiarowej mamy do czynienia z powierzchniami ekwipotencjalnymi (ang. equipotential surface). Innymi słowy, są to linie lub powierzchnie o stałym potencjale. W przypadku ładunku punktowego potencjał jest stały dla wszystkich punktów na wyimaginowanej sferze o stałym promieniu rr, otaczającej ładunek źródłowy. Jest tak, ponieważ potencjał ładunku punktowego zależy od odległości, jak V=kqrV=kqr, i ma stałą wartość dla dowolnego punktu o danej odległości rr od ładunku. W rzucie albo przekroju poprzecznym, a więc w ujęciu dwuwymiarowym, sfera ekwipotencjalna jest okręgiem, jak na Ilustracji 7.30. Możemy zauważyć, że skoro linie pola wychodzą radialnie od ładunku źródłowego, to przecinają one powierzchnie (linie) ekwipotencjalne pod kątem prostym.

Rysunek przedstawia ładunek Q oraz zwrócone radialnie na zewnątrz linie pola elektrycznego. 
Ilustracja 7.30 Izolowany ładunek punktowy Q Q  z zaznaczonymi na czerwono liniami pola i na czarno liniami ekwipotencjalnymi. Potencjał jest taki sam wszędzie wzdłuż linii ekwipotencjalnych, co oznacza, że praca wykonana przy przeniesieniu ładunku próbnego wzdłuż tych linii jest zerowa. Należy wykonać pracę, aby przenieść ładunek między liniami ekwipotencjalnymi. Linie stałego potencjału są zawsze prostopadle do linii pola. Trójwymiarowy obraz powierzchni ekwipotencjalnych znajdziesz w aplecie pod linkiem zamieszczonym poniżej.

Możemy podać następujący związek między liniami pola a liniami stałego potencjału, który jest prawdziwy dla dowolnego rozkładu ładunku. Linie ekwipotencjalne są zawsze prostopadłe do linii pola elektrycznego. Innymi słowy, linie pola przebijają powierzchnie stałego potencjału zawsze pod kątem prostym. Ponadto przemieszczenie ładunku wzdłuż linii ekwipotencjalnych nie wymaga żadnej pracy, bowiem ΔV=0VΔV=0V. Praca wynosi

W=ΔEp=qΔV=0J.W=ΔEp=qΔV=0J.

Wiemy, że praca jest równa 0J0J, jeśli wektor siły jest prostopadły do przemieszczenia. Z kolei wektor siły ma ten sam kierunek co wektor natężenia, więc ruch wzdłuż linii stałego potencjału musi być prostopadły do linii pola. Bardziej precyzyjnie możemy zapisać, że

W=Fd=qEd=qEdcosθ=0J.W=Fd=qEd=qEdcosθ=0J.

W tym równaniu symbole EE oraz FF oznaczają długości wektorów, odpowiednio natężenia i siły. Zarówno qq, jak i EE są niezerowe, także dd jest różne od zera. Zatem cosθcosθ musi się zerować, skoro praca wynosi zero. Oznacza to, że kąt θθ musi być równy 90°90°. Ruch wzdłuż linii ekwipotencjalnej zachodzi prostopadle do pola EE.

W elektrostatyce oraz fizyce przewodników panuje zasada, że linie pola wychodzą z przewodnika zawsze pod kątem prostym do jego powierzchni. W takim razie powierzchnia przewodnika w spoczynku jest powierzchnią ekwipotencjalną. Między dwoma punktami na powierzchni przewodnika nie może być różnicy potencjałów, w przeciwnym razie dochodziłoby do przepływu ładunku. Oczywiście rozważamy tutaj problem elektrostatyczny, gdy ładunki i przewodniki pozostają w spoczynku. Jedną z możliwości wykorzystania tej cechy przewodników jest to, że możemy nadać powierzchni przewodnika zerowy potencjał w wyniku podłączenia jej dobrym przewodem z ziemią – proces ten nazywamy uziemieniem (ang. grounding). Uziemienie może być bardzo przydatne jako zabezpieczenie elektryczne. Możemy przykładowo zawsze uziemić obudowę urządzenia elektrycznego, dzięki czemu mamy pewność, że nie zgromadzi się na niej nadmiarowy ładunek i obudowa pozostanie elektrycznie obojętna, a przez to bezpieczna dla człowieka.

Skoro powierzchnia przewodnika jest dobrą powierzchnią ekwipotencjalną, możemy zawsze wykorzystać przewodnik o odpowiedniej budowie jako jednej z powierzchni stałego potencjału dla dowolnego ładunku źródłowego. Przykładowo możemy zastąpić jedną ze sfer ekwipotencjalnych wokół ładunku punktowego na Ilustracji 7.30 metalową cienką sferą współśrodkową z ładunkiem. Pole elektryczne i potencjał na zewnątrz sfery pozostaną niezmienione, co tylko potwierdza równoważność cech sferycznego rozkładu ładunku oraz ładunku punktowego.

Na Ilustracji 7.31 widzisz linie pola i linie stałego potencjału wokół układu dwóch ładunków o tych samych wartościach, ale przeciwnych znakach, umieszczonych w pewnej odległości od siebie. Układ taki tworzy, jak wiesz, dipol elektryczny. Gdy znasz układ linii pola, łatwo narysujesz układ linii ekwipotencjalnych, bo te są zawsze prostopadłe do linii pola. Łatwo też stworzysz rysunek odwrotny – na podstawie układu linii czy powierzchni stałego potencjału, jak na Ilustracji 7.32 (a), linie pola dorysujesz jako prostopadłe w każdym punkcie, co widać na Ilustracji 7.32 (b).

Rysunek przedstawia dwa ładunki - dodatni i ujemny oraz linie pola elektrycznego od ładunku dodatniego do ujemnego. 
Ilustracja 7.31 Linie pola elektrycznego i linie ekwipotencjalne dla układu dwóch identycznych ładunków o przeciwnych znakach. Linie ekwipotencjalne można łatwo wyznaczyć, prowadząc je prostopadłe do linii pola. Zauważ, że potencjał jest najwyższy (najbardziej dodatni) tuż przy dodatnim ładunku, a najniższy (najbardziej ujemny) blisko ładunku ujemnego. Kształt powierzchni ekwipotencjalnych w trzech wymiarach możesz zobaczyć dzięki apletowi, do którego link zamieszczamy poniżej w tym podrozdziale.
Część a pokazuje ekwipotencjalne linie wokół dwóch ładunków a część b przedstawia dwa ładunki ujemne oraz ich linie pola elektrycznego. 
Ilustracja 7.32 (a) Taki rozkład linii ekwipotencjalnych można np. zmierzyć woltomierzem w laboratorium. (b) Odpowiadający temu układowi ładunków rozkład linii pola możesz znaleźć, rysując linie prostopadłe do linii ekwipotencjalnych w punktach przecięć. Zauważ, że otrzymany rozkład linii pola jest typowy dla układu dwóch ładunków jednoimiennych (np. ujemnych).

Aby móc jeszcze lepiej zrozumieć zagadnienie linii pola i powierzchni ekwipotencjalnych, rozpatrzymy teraz przypadek trójwymiarowy. [link] przedstawia mapę potencjału dwóch ładunków różnoimiennych zgromadzonych na małych przewodzących kulkach, a linie ciągłe na mapie oznaczają linie stałego potencjału. Widoczna na rysunku „górka” odpowiada ładunkowi dodatniemu, a potencjał w kształcie „lejka” ilustruje ładunek ujemny. Zerowy potencjał znajduje się w dużej odległości od ładunków. Widoczne na rysunku obcięcie wysokości potencjału dodatniego odpowiada rozmiarowi kulki.

Ilustracja pokazująca mapę potencjałów elektrycznych i linii ekwipotencjalnych dwóch ładunków - dodatniego i ujemnego. 
Ilustracja 7.33 Mapa rozkładu potencjału dwóch ładunków różnoimiennych zgromadzonych na przewodzących kulkach o małym promieniu. Potencjał jest ujemny w pobliżu ujemnie naładowanej kulki, a dodatni blisko kulki naładowanej dodatnio.

Dwuwymiarowy rozkład potencjału otrzymamy w wyniku przecięcia płaszczyzny przechodzącej przez oba ładunki, co widać na Ilustracji 7.34. Prosta równoodległa od każdego z ładunków odpowiada potencjałowi zerowemu, ponieważ przyczynki do potencjału wypadkowego, pochodzące od ujemnego ładunku, znoszą się z identycznymi co do wartości bezwzględnej przyczynkami od ładunku dodatniego. Linie ekwipotencjalne w płaszczyźnie przekroju poprzecznego tworzą zamknięte pętle, które niekoniecznie mają kształt okręgów. Pętle są nieco „rozciągnięte” w kierunku na zewnątrz ładunków, ponieważ odległości od dodatniego i ujemnego ładunku maleją w innym tempie w obszarach: pomiędzy ładunkami i na zewnątrz nich.

Schematyczny rysunek linii ekwipotencjalnych dla dwóch ładunków - dodatniego i ujemnego. Osie x i y na płaszczyźnie biegną od -4 do 4. 
Ilustracja 7.34 Przekrój poprzeczny trójwymiarowej mapy rozkładu potencjału pola dwóch ładunków przeciwnego znaku. Potencjał jest ujemny (kolor ciemnoniebieski) w pobliżu ujemnego ładunku oraz dodatni (kolor jasnoniebieski) blisko dodatniego.

Materiały pomocnicze

Kliknij na ten link, aby otworzyć aplet symulujący przebieg linii pola i powierzchni ekwipotencjalnych dla różnych układów ładunków. Na pewno dowiesz się wielu ciekawych rzeczy o cechach pola elektrycznego wytwarzanego przez różne układy ładunków.

Rozważymy teraz bardzo ważny przypadek układu ładunków utworzonego przez dwie równoległe płyty przewodzące, jak te pokazane na Ilustracji 7.35. Powierzchnie ekwipotencjalne w obszarze między płytami są do siebie równoległe i równomiernie rozłożone. Takie samo natężenie pola elektrycznego wytworzylibyśmy, gdyby jedną z płyt ustawić w położeniu wybranej powierzchni ekwipotencjalnej występującej między płytami.

Rysunek przedstawia dwie metalowe płytki i pole elektryczne pomiędzy nimi. Napięcie na lewej płytce wynosi 100V a na prawej 0V. Między płytkami są ekwipotencjalne linie o wartościach 75V, 50V i 25V. 
Ilustracja 7.35 Linie pola i linie ekwipotencjalne między dwoma naładowanymi płytami. Zauważ, że oba rodzaje linii przecinają się zawsze pod kątem prostym. Linie pola są prostopadłe do płyt metalowych, a linie stałego potencjału są do nich równoległe.

Rozważmy jeszcze raz układ równoległych płyt z Ilustracji 7.2. Linie stałego potencjału są także równoległe i równoodległe od siebie w obszarze między płytami. Przykładowe wartości potencjału wzdłuż tych linii pokazano także na Ilustracji 7.35. Podobny układ izolinii potencjału możemy narysować dla pola grawitacyjnego, np. w przypadku wzniesienia, jakie pokazano na Ilustracji 7.2. Jeżeli wzniesienie w każdą stronę miałoby stałe nachylenie (góra w kształcie stożka), to odległości między izoliniami potencjału grawitacyjnego byłyby również stałe. Przykład takich poziomic topograficznych pokazano na Ilustracji 7.36.

Część a pokazuje zdjęcie z góry linii topograficznych Devil's Tower w stanie Wyoming, a w części b pokazany jest widok góry. 
Ilustracja 7.36 (a) Mapa topograficzna pokazuje układ poziomic w rzucie z góry. W przypadku wzniesienia Devil’s Tower w stanie Wyoming, przez Indian nazywanego także Górą Niedźwiedzią, rozkład poziomic jest prawie jednorodny, podobnie jak na Ilustracji 7.35. Sąsiednie poziomice są położone bardzo blisko siebie, co wskazuje, że nachylenie zboczy wzniesienia jest bardzo duże. (b) Zdjęcie lotnicze Devil’s Tower potwierdza, jak bardzo strome są zbocza góry. Zauważ, że płaski szczyt góry ma dokładnie taki kształt, jak najbardziej wewnętrzna izolinia na mapie topograficznej.

Przykład 7.19

Wyznaczanie linii stałego potencjału

Na Ilustracji 7.30 widzieliśmy rozkład linii ekwipotencjalnych wokół ładunku punktowego. Jak wyznaczyć położenia tych linii? Jeśli przykładowo umieścimy ładunek +10nC+10nC w centrum, to gdzie znajdują się linie stałego potencjału o wartościach
  1. 100V100V;
  2. 50V50V;
  3. 20V20V;
  4. 10V10V?

Strategia rozwiązania

Przyrównamy ogólny wzór na potencjał ładunku punktowego do konkretnej wartości potencjału i wyznaczymy odpowiadający jej promień okręgu.

Rozwiązanie

We wzorze V=kqrV=kqr przyjmiemy, że VV jest stałe. Jedyną zmienną jest teraz rr, które możemy obliczyć za pomocą przekształconego wzoru r=kqV=constr=kqV=const. Zatem powierzchnie stałego potencjału są sferami o środku w centrum ładunku. Promienie tych sfer są następujące
  1. r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C100V=0,9m;r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C100V=0,9m; r = \frac{kq}{V} = \frac{\SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot \SI{10e-9}{\coulomb}}{\SI{100}{\volt}} = \SI{0,9}{\metre} \text{;}
  2. r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C50V=1,8m;r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C50V=1,8m; r = \frac{kq}{V} = \frac{\SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot \SI{10e-9}{\coulomb}}{\SI{50}{\volt}} = \SI{1,8}{\metre} \text{;}
  3. r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C20V=4,5m;r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C20V=4,5m; r = \frac{kq}{V} = \frac{\SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot \SI{10e-9}{\coulomb}}{\SI{20}{\volt}} = \SI{4,5}{\metre} \text{;}
  4. r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C10V=9m.r=kqV=8,99109Nm2C21010-9C10V=9m. r = \frac{kq}{V} = \frac{\SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot \SI{10e-9}{\coulomb}}{\SI{10}{\volt}} = \SI{9}{\metre} \text{.}

Znaczenie

Powierzchnie ekwipotencjalne wokół ładunku punktowego są sferami o stałych promieniach, których wielkość ściśle zależy od wartości potencjałów.

Przykład 7.20

Różnica potencjałów między dwiema płytami

Dwie duże płyty przewodzące gromadzą ładunki o tych samych wartościach, ale przeciwnego znaku, jak pokazano na Ilustracji 7.37. Gęstość powierzchniowa ładunku σσ na każdej z płyt jest równa 6,81107Cm26,81107Cm2. Płyty ustawiono równolegle w odległości l=6,5mml=6,5mm od siebie.
  1. Jaka jest wartość natężenia pola elektrycznego w obszarze między płytami?
  2. Jaka różnica potencjałów występuje między płytami?
  3. W jakiej odległości od siebie są dwie linie ekwipotencjalne, których potencjały różnią się o 100V100V?
Rysunek przedstawia dwie równoległe płyty z ładunkami przeciwnymi - dodatnimi i ujemnymi oraz polem elektrycznym pomiędzy nimi. Odległość między płytkami wynosi l. 
Ilustracja 7.37 Pole elektryczne między dwiema metalowymi płytami. Linie pola wychodzą od dodatnio naładowanej płyty i wchodzą do płyty naładowanej ujemnie.

Strategia rozwiązania

  1. Ponieważ płyty określono jako „duże”, a odległość między nimi nie jest tak duża, zastosujemy przybliżenie nieskończonej naładowanej płaszczyzny dla każdej z nich i skorzystamy z wyniku, jaki daje nam prawo Gaussa dla natężenia pola układu dwóch płaszczyzn naładowanych ładunkiem powierzchniowym przeciwnego znaku.
  2. Żeby obliczyć napięcie (różnicę potencjałów) między płytami, skorzystamy ze wzoru ΔVAB=ABEdlΔVAB=ABEdl.
  3. Ponieważ pole między płytami jest jednorodne, odległość między powierzchniami stałego potencjału różniącymi się o 100V100V obliczymy jako ułamek 100ΔVAB100ΔVAB odległości między płytami.

Rozwiązanie

  1. Wektor natężenia pola jest skierowany od płyty dodatnio naładowanej do płyty naładowanej ujemnie i ma wartość
    E=σε0=6,81107Cm28,851012C2Nm2=7,69104Vm.E=σε0=6,81107Cm28,851012C2Nm2=7,69104Vm.
  2. Do obliczenia ΔVΔV jako krzywą całkowania wybierzemy prostą biegnącą od płyty ujemnej do płyty dodatniej, a więc w kierunku przeciwnym do linii pola. Wektor przemieszczenia dldl i wektor pola EE w całce są przeciwnie zwrócone, więc Edl=EdlEdl=Edl. Różnica potencjałów między płytami jest więc równa
    ΔV=Edl=Edl=El=7,69104Vm6,5103m=500V.ΔV=Edl=Edl=El=7,69104Vm6,5103m=500V.
  3. Napięcie między płytami wynosi 500V500V, zatem odległość dwóch sąsiednich powierzchni o różnicy potencjałów 100V100V wynosi 1515 odległości między płytami, czyli 1,3mm1,3mm.

Znaczenie

Przeprowadziliśmy obliczenia numeryczne dla przypadku układu dwóch naładowanych płyt. Zauważ, że fakt, iż pole elektryczne między płytami jest jednorodne, znacznie upraszcza rachunki (np. całkowanie).

Sprawdź, czy rozumiesz 7.12

Jak wyglądają powierzchnie ekwipotencjalne wokół nieskończenie długiego naładowanego przewodu liniowego?

Rozkład ładunku w przewodnikach

W Przykładzie 7.19, w którym zastosowano ładunek punktowy, dowiedzieliśmy się, że powierzchnie ekwipotencjalne przyjmują formę sfer o środku umieszczonym w położeniu ładunku. Dowiedzieliśmy się też, że powierzchnia dowolnego przewodnika sama jest powierzchnią ekwipotencjalną, co doprowadziło nas do wniosku, że dowolną powierzchnię stałego potencjału wokół ładunku punktowego z rysunku w Przykładzie 7.19 możemy zamienić na metalową sferę o takim samym promieniu i środku w położeniu ładunku źródłowego. Natężenie pola i rozkład potencjału na zewnątrz tej metalowej sfery będą takie same jak przedtem. Dokładnie ten sam efekt miałoby zastąpienie powierzchni ekwipotencjalnej metalową kulą o odpowiednim promieniu. Cały ładunek elektryczny kuli metalowej gromadzi się na jej powierzchni, efektywnie mamy więc do czynienia ze sferą. Różnice jednak pojawią się wewnątrz przewodnika.

Rysunek przedstawia powierzchnię Gaussa o promieniu r dla dodatnio naładowanej kuli o promieniu R. 
Ilustracja 7.38 Odizolowana przewodząca kula.

Aby lepiej zrozumieć to zagadnienie, rozważmy przypadek odizolowanej od otoczenia przewodzącej kuli o promieniu RR i ładunku qq, jak na Ilustracji 7.38. Chcemy określić natężenie pola wewnątrz i na zewnątrz tej kuli. Zauważ, że skoro kula jest odizolowana od otoczenia (brak wpływu innych, zewnętrznych ładunków), to zarówno rozkład ładunku elektrycznego na powierzchni, jak i rozkład lini pola mają symetrię sferyczną. Możemy więc zapisać wektor pola elektrycznego w postaci E=Err̂E=Err̂. Żeby obliczyć funkcję ErEr, skorzystamy z prawa Gaussa. W tym celu wybierzemy powierzchnię gaussowską SS o promieniu rr, która jest sferą koncentryczną z naładowaną kulą. Ponieważ na powierzchni Gaussa rr jest stałe i prostopadłe do powierzchni, n̂=r̂n̂=r̂ oraz

SEn̂dS=ErSdS=Er4πr2.SEn̂dS=ErSdS=Er4πr2. \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E\apply (r) \prefop{\u{222F}}_S \d S = E \apply (r) \cdot 4\pi r^2 \text{.}

Przy r<Rr<R cała powierzchnia gaussowska SS jest zamknięta wewnątrz przewodnika, więc na podstawie naszych wcześniejszych doświadczeń z prawem Gaussa możemy wnioskować, że qwew=0Cqwew=0C, i z prawa Gaussa wynika, że Er=0NCEr=0NC. Takiego wyniku mogliśmy się spodziewać dla punktów wewnątrz przewodzącej kuli. Dla przypadków r>Rr>R powierzchnia SS zamyka cały ładunek zgromadzony w kuli, więc qwew=qqwew=q. Na podstawie prawa Gaussa mamy wtedy

Er4πr2=qε0.Er4πr2=qε0.

Ostatecznie natężenie pola naładowanej kuli możemy wyrazić jako

E=0Vm, dla r<R14πε0qr2r̂, dla rR.E=0Vm, dla r<R14πε0qr2r̂, dla rR. \vec{E} = \left{\begin{matrix} \SI{0}{\volt\per\metre}\text{,} &\text{ dla } r<R \\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \hat{r}\text{,} &\text{ dla } r\geq R \text{.} \end{matrix} \right\

W obszarze rRrR, czyli na zewnątrz kuli, natężenie pola wytworzonego przez ładunek qq zgromadzony na przewodzącej kuli o promieniu RR jest dokładnie takie, jak pole ładunku punktowego qq umieszczonego w środku kuli.

Chcemy teraz znaleźć potencjał kuli wewnątrz i na zewnątrz. Zauważmy, że potencjał na zewnątrz kuli (rRrR) musi być taki jak ładunku punktowego qq umieszczonego w r=0mr=0m, czyli

Vr=14πε0qr, jeżeli rR,Vr=14πε0qr, jeżeli rR, V \apply (r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{r} \text{, jeżeli } r \geq R \text{,}

przez analogię podobieństwa do natężenia pola w tych dwóch sytuacjach.

Dla przypadku r<Rr<R natężenie E=0NCE=0NC, więc potencjał VrVr musi mieć wartość stałą w tym obszarze. Zgodnie z powyższym równaniem VR=q4πε0RVR=q4πε0R, więc

Vr=14πε0qR, jeżeli r<R.Vr=14πε0qR, jeżeli r<R. V \apply (r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R} \text{, jeżeli } r < R \text{.}

Pokażemy teraz, że dla dwóch przewodzących kul o promieniach R1R1 i R2R2 naładowanych ładunkiem o gęstościach powierzchniowych σ1σ1 i σ2σ2 oraz połączonych ze sobą cienkim przewodem, tak jak pokazano na Ilustracji 7.39, prawdziwa jest równość

σ1R1=σ2R2.σ1R1=σ2R2.

Kule znajdują się od siebie w odległości na tyle dużej, że możemy je traktować jak izolowane i nie dochodzi do polaryzacji ładunku. Jedynym kontaktem ładunków kul z zewnętrznym układem jest przewód. Zwróć uwagę, że połączenie kul przewodem powoduje, że cały układ (obie kule + przewód) muszą mieć wspólny potencjał.

Rysunek przedstawia dodatnio naładowane kule o promieniach R z indeksem 1 i R z indeksem 2. Kule są oddalone od siebie i połączone przewodem. 
Ilustracja 7.39 Dwie przewodzące kule połączone są cienkim przewodem.

Potencjał elektryczny naładowanej, przewodzącej i izolowanej kuli o promieniu RR tuż przy jej powierzchni wynosi, zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami

V=14πε0qR.V=14πε0qR.

Po połączeniu kul przewodem dochodzi do wyrównania potencjałów na powierzchniach obu kul, zatem

14πε0q1R1=14πε0q2R2,14πε0q1R1=14πε0q2R2,

czyli

q1R1=q2R2.q1R1=q2R2.

Wielkość ładunku zgromadzonego na powierzchni przewodzącej kuli jest związana z gęstością powierzchniową ładunku relacją q=σ4πR2q=σ4πR2. Podstawiając tę ostatnią zależność w miejsce ładunków w poprzedniej równości, otrzymujemy

σ1R1=σ2R2.σ1R1=σ2R2.

Co prawda, prosty modelowy układ dwóch kul połączonych cienkim przewodem nie może stanowić modelu przewodnika o dowolnej krzywiźnie, jednak daje pewne wyobrażenie o tym, jak gęstość ładunku może zmieniać się w zależności od kształtu powierzchni przewodnika. Na podstawie powyższego równania możemy stwierdzić, że jeśli promień krzywizny przewodnika jest duży (np. w punktach BB i DD na Ilustracji 7.40), to σσ oraz EE są małe, i odwrotnie.

Ładunki chętniej gromadzą się w miejscach, gdzie krzywizna powierzchni przewodnika jest bardzo duża, ładunkowa gęstość powierzchniowa osiąga dużą wartość. Widać to na Ilustracji 7.40, gdzie w punktach AA i CC przewodnik ma ostre krawędzie, przez co gromadzi się w ich okolicy duży ładunek powierzchniowy. Gęstość powierzchniowa ładunku jest zawsze większa w miejscach o małym promieniu krzywizny niż w miejscach, gdzie promień krzywizny jest duży.

Rysunek przedstawia gęstości ładunku elektrycznego na różnych obszarach powierzchni przewodnika o nieregularnym kształcie. 
Ilustracja 7.40 Rozkład ładunku na powierzchni przewodnika o nieregularnym kształcie. Większą gęstość ładunku obserwujemy w miejscach o małym promieniu krzywizny powierzchni.

Najbardziej powszechnym zastosowaniem tego efektu jest konstrukcja instalacji piorunochronu (ang. lighting rod), który jest zwykłym metalowym prętem lub cienkim drutem o dodatkowo zaostrzonym końcu, skierowanym w górę ponad najwyższy punkt na dachu. Drugi koniec drutu jest uziemiony. W wyniku polaryzacji ładunku podczas burzy na powierzchni Ziemi gromadzi się ładunek dodatni, a w chmurze burzowej obserwujemy ogromne ilości ładunku ujemnego. Gęstość ładunku na końcu piorunochronu jest bardzo duża. Gdy natężenie pola wytworzonego przez ten ładunek osiąga wartość ok. 3106NC3106NC (jak już wiesz, jest to wartość wytrzymałości elektrycznej (ang. dielectric strength) powietrza), jony cząsteczek w powietrzu ulegają przyspieszeniu do tak wysokich energii, że w trakcie zderzeń z innymi cząsteczkami powietrza jonizują je. Powstaje duża liczba elektronów, które przepływają przez instalację odgromową do powierzchni Ziemi, znacząco neutralizując dodatni ładunek zgromadzony przy powierzchni Ziemi. Dzięki temu natężenie pola nie wzrasta bardziej i nie osiąga krytycznej wartości, przy której mogłoby dojść do uderzenia pioruna w pobliżu naszego domu. W przeciwnym razie ładunek dodatni gromadziłby się dalej i natężenie pola wzrosłoby do takiej wartości, przy której doszłoby do „przebicia” i wyładowania atmosferycznego.

Pole elektryczne i linie stałego potencjału znajdują ważne zastosowanie w medycynie, przy badaniu pracy serca. Pod wpływem sygnałów elektrycznych serce utrzymuje swój rytm bicia. Przepływ sygnału elektrycznego powoduje, że komory kurczą się i rozkurczają w odpowiednim tempie. W trakcie ataku serca czy w chorobach, takich jak arytmia, przepływ tych sygnałów może być zaburzony. Używa się wówczas urządzeń takich jak defibrylator czy sztuczny rozrusznik serca do pobudzenia przepływu sygnałów elektrycznych i przywrócenia poprawnej akcji serca. Pomiary linii ekwipotencjalnych wokół serca, w obszarze klatki piersiowej, oraz osi elektrycznej serca służą monitorowaniu jego pracy. Za pomocą elektrokardiografu (EKG) dokonuje się pomiaru niewielkich sygnałów elektrycznych generowanych w trakcie pracy serca.

Materiały pomocnicze

W tym aplecie możesz bawić się różnymi układami ładunków i symulować pole elektryczne, by lepiej poznać pojęcia natężenia pola, linii pola, napięcia, linii ekwipotencjalnych i wiele innych.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.