Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 27.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • podawać definicję natężenia pola na podstawie potencjału elektrycznego;
  • obliczać natężenie pola w określonym kierunku dla zadanej funkcji skalarnej potencjału elektrycznego;
  • obliczać pole elektryczne w całej przestrzeni na podstawie potencjału elektrycznego.

W poprzednim podrozdziale pokazaliśmy, jak na podstawie znajomości wektora natężenia pola elektrycznego obliczyć potencjał określonego układu ładunków, także tworzącego ciągły rozkład. Wykorzystaliśmy wtedy wzór całkowy. Jak się zapewne domyślasz, możliwy jest rachunek w drugą stronę ‒ obliczenie natężenia jako pochodnej potencjału. Uwagi wymaga jednak przejście od wielkości skalarnej do wektorowej. Najczęściej potrzebujemy wektora E E , żeby obliczyć siłę działającą na ładunek w danym polu. Jednak często łatwiej jest znaleźć potencjał niż natężenie, dlatego wygodnie byłoby znać metodę obliczania wektora natężenia pola E E na podstawie potencjału V V.

Wektor natężenia pola jest w ogólności, niezależnie od tego, czy pole jest jednorodne, czy nie, skierowany w stronę malejącego potencjału. Dzieje się tak dlatego, że siła działająca na ładunek próbny dodatni zwrócona jest zgodnie z liniami pola E E , czyli w stronę mniejszego potencjału V V. Co więcej, wartość wektora E E jest równa szybkości spadku potencjału V V wraz ze zmianą odległości. Widać to choćby na podstawie analizy wymiarowej natężenia (jednostką natężenia jest V m Vm). Im szybciej V V maleje wraz ze zmianą odległości, tym większe jest natężenie pola. Możemy więc podać następujące stwierdzenie.

Związek napięcia z natężeniem pola jednorodnego

Równanie opisujące zależność napięcia i natężenia pola jednorodnego możemy zapisać następująco

E = Δ V Δ s , E= Δ V Δ s ,

gdzie Δ s Δs jest odległością, na jakiej zachodzi zmiana potencjału Δ V ΔV. Znak minus we wzorze oznacza, że wektor natężenia jest skierowany w stronę malejącego potencjału. Mówimy, że natężenie pola jest gradientem potencjału.

Dla ciągłej funkcji potencjału wielkości Δ V ΔV i Δ s Δs stają się małymi przyrostami (różniczkami) i musimy zastosować rachunek różniczkowy w celu obliczenia natężenia pola. Na Ilustracji 7.27 pokazujemy, że jeśli Δ s Δs jest bardzo małe, natężenie pola jest zasadniczo stałe na tym odcinku i możemy to zapisać następująco

E = d V d s . E = d V d s . E = - \frac{\d V}{\d s} \text{.}
Rysunek przedstawia składowe wektora natężenia pola elektrycznego dla dwóch punktów A i B oddalonych od siebie na odległość delta s i mających różnicę potencjałów delta V.
Ilustracja 7.27 Składowa wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż przemieszeczenia Δ s Δ s jest równa E = Δ V Δ s E = Δ V Δ s . Zauważ, że gdy punkty A A i B B są blisko siebie, natężenie pola jest stałe na odcinku Δ s Δ s .

We wszystkich trzech kierunkach układu kartezjańskiego możemy zdefiniować składowe wektora natężenia pola jako odpowiednie pochodne

E x = V x , E y = V y , E z = V z . E x = V x , E y = V y , E z = V z . E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} \text{, } E_y = - \frac{\partial V}{\partial y} \text{, } E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} \text{.}
7.14

Użyliśmy tutaj zapisu z użyciem symbolu pochodnej cząstkowej . Do zapisania tych trzech równań w bardziej zwartej postaci możemy użyć operatora matematycznego gradientu (oznaczenie \vec{\nabla} lub „grad”). Postać tego operatora różniczkowego, który jest wektorem o trzech składowych, w zmiennych kartezjańskich jest następująca

= i ̂ x + j ̂ y + k ̂ z . = i ̂ x + j ̂ y + k ̂ z . \vec{x} = \hat{i}{\dd[\partial]{x}} + \hat{j}{\dd[\partial]{y}} + \hat{k}{\dd[\partial]{z}} \text{.}
7.15

Za pomocą tej notacji możemy zapisać jedno równanie na wektor natężenia pola obliczony na podstawie potencjału elektrycznego

E = V , E = V ,
7.16

a procedurę tę nazwiemy obliczaniem gradientu potencjału. Zwróć uwagę na niezbędny znak minus we wzorze przed gradientem.

Do matematycznego opisu układów o symetrii cylindrycznej lub sferycznej wygodnie jest używać postaci operatora gradientu w zmiennych cylindrycznych (walcowych)

= r ̂ r + φ ̂ 1 r φ + z ̂ z = r ̂ r + φ ̂ 1 r φ + z ̂ z \vec{x} = \hat{r}{\dd[\partial]{r}} + \hat{\varphi} \frac1r \cdot {\dd[\partial]{\varphi}} + \hat{z}{\dd[\partial]{z}}
7.17

lub sferycznych

= r ̂ r + θ ̂ 1 r θ + φ ̂ 1 r sin θ φ . = r ̂ r + θ ̂ 1 r θ + φ ̂ 1 r sin θ φ . \vec{x} = \hat{r}{\dd[\partial]{r}} + \hat{\theta} \frac1r \cdot {\dd[\partial]{\theta}} + \hat{\varphi} \frac{1}{r\sin \theta} \cdot {\dd[\partial]{\varphi}} \text{.}
7.18

Przykład 7.17

Natężenie pola wokół ładunku punktowego

Obliczmy natężenie pola pochodzącego od ładunku punktowego.

Strategia rozwiązania

Wiemy, że potencjał takiego układu dany jest wzorem V = k q r V= k q r i ma symetrię sferyczną. Dlatego w równaniu E = V E = V wygodnie będzie zastosować zmienne sferyczne.

Rozwiązanie

Wykonujemy obliczenia w zmiennych sferycznych
E = r ̂ r + θ ̂ 1 r θ + φ ̂ 1 r sin θ φ k q r E = k q r ̂ r 1 r + θ ̂ 1 r θ 1 r + φ ̂ 1 r sin θ φ 1 r . E = r ̂ r + θ ̂ 1 r θ + φ ̂ 1 r sin θ φ k q r E = k q r ̂ r 1 r + θ ̂ 1 r θ 1 r + φ ̂ 1 r sin θ φ 1 r . \begin{multiline} \vec{E} &= -[\hat{r} {\dd[\partial]{r}} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \cdot {\dd[\partial]{\theta}} + \hat{\varphi} \frac{1}{r \sin \theta} \cdot {\dd[\partial]{\varphi}}] k \frac{q}{r} \\ &= -kq [\hat{r} {\dd[\partial]{r}} (\frac{1}{r})+ \hat{\theta} \frac{1}{r} \cdot {\dd[\partial]{\theta}} (\frac{1}{r}) + \hat{\varphi} \frac{1}{r \sin \theta} \cdot {\dd[\partial]{\varphi}} (\frac{1}{r})] \text{.} \end{multiline} E = r ̂ r + θ ̂ 1 r θ + φ ̂ 1 r sin θ φ k q r = k q r ̂ r 1 r + θ ̂ 1 r θ 1 r + φ ̂ 1 r sin θ φ 1 r .

Po obliczeniu pochodnych otrzymujemy wynik

E = k q r ̂ -1 r 2 + θ ̂ 0 + φ ̂ 0 = k q r 2 r ̂ , E = k q r ̂ -1 r 2 + θ ̂ 0 + φ ̂ 0 = k q r 2 r ̂ , \vec{E} = - kq (\hat{r} \cdot \frac{-1}{r^2} + \hat{\theta} \cdot 0 + \hat{\varphi} \cdot 0) = k \frac{q}{r^2} \hat{r} \text{,}

którego się spodziewaliśmy.

Znaczenie

Powyższym rachunkiem potwierdziliśmy znany nam z poprzednich rozdziałów wynik. Dodatkowo pokazaliśmy, że wektor E E jest rzeczywiście skierowany w stronę malejącego potencjału (kierunek zgodny z wektorem wodzącym zaczepionym w środku ładunku źródłowego), co zobrazowano na Ilustracji 7.28. Wykorzystaliśmy postać operatora gradientu w zmiennych sferycznych, jednak, jak łatwo zauważyć, tylko różniczkowanie po zmiennej radialnej „przetrwało” różniczkowanie. Potencjał zależy tylko od r r, dlatego możemy go potraktować jak funkcję jednej zmiennej i natężenie obliczać jako pochodną po r r (oczywiście ze znakiem minus).
Rysunek przedstawia ładunek Q i wychodzące radialnie z Q wektory pola elektrycznego.
Ilustracja 7.28 Wektory natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek dodatni, pokazane dla trzech odległości od ładunku źródłowego.

Przykład 7.18

Natężenie pola naładowanego pierścienia

Użyjmy wzoru na potencjał znalezionego w Przykładzie 7.8, aby obliczyć natężenie pola wytworzonego przez naładowany jednorodnie pierścień w punkcie na osi pierścienia (Ilustracja 7.29).
Rysunek przedstawia naładowany pierścień umieszczony na płaszczyźnie xy z centrum w środku układu. Punkt P jest umieszczony na osi z poza środkiem układu.
Ilustracja 7.29 Obliczamy wektor natężenia pola elektrycznego pierścienia naładowanego jednorodnie.

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że wektor natężenia pola wytwarzanego przez każdy mały fragment pierścienia będzie miał dwie składowe: wzdłuż osi z z oraz prostopadle do niej. Dwa punkty po przeciwnych stronach pierścienia dadzą natężenie, którego prostopadłe składowe się znoszą. Nasz problem jest więc jednowymiarowy. Wystarczy zatem użyć równania E z = V z E z = V z i wyrażenia na potencjał V = k q cał z 2 + R 2 V= k q cał z 2 + R 2 , przedstawionego w poprzednim podrozdziale.

Rozwiązanie

Obliczając pochodną potencjału po z z, otrzymujemy
E z = z k q cał z 2 + R 2 = k q cał z z 2 + R 2 3 2 . E z = z k q cał z 2 + R 2 = k q cał z z 2 + R 2 3 2 . E_z = - \dd[\partial]{z}\frac{kq_{\text{cał}}}{\sqrt{z^2+R^2}} = k \frac{q_{\text{cał}} z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \text{.}

Znaczenie

Tym razem także uzyskaliśmy wynik zgodny z naszymi oczekiwaniami – obliczone tutaj natężenie pola wytworzonego przez jednorodnie naładowany pierścień jest takie samo jak obliczone w poprzednich rozdziałach. Ponadto okazuje się, że symetria niektórych układów ładunku pozwala na uproszczenie pełnego gradientu i obliczenie tylko jednej jego składowej.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.11

Jakiego układu współrzędnych użyłbyś do obliczenia natężenia pola wytworzonego przez dipol, używając gradientu potencjału?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.