Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 27.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • podawać definicję natężenia pola na podstawie potencjału elektrycznego;
  • obliczać natężenie pola w określonym kierunku dla zadanej funkcji skalarnej potencjału elektrycznego;
  • obliczać pole elektryczne w całej przestrzeni na podstawie potencjału elektrycznego.

W poprzednim podrozdziale pokazaliśmy, jak na podstawie znajomości wektora natężenia pola elektrycznego obliczyć potencjał określonego układu ładunków, także tworzącego ciągły rozkład. Wykorzystaliśmy wtedy wzór całkowy. Jak się zapewne domyślasz, możliwy jest rachunek w drugą stronę ‒ obliczenie natężenia jako pochodnej potencjału. Uwagi wymaga jednak przejście od wielkości skalarnej do wektorowej. Najczęściej potrzebujemy wektora E → E → , żeby obliczyć siłę działającą na ładunek w danym polu. Jednak często łatwiej jest znaleźć potencjał niż natężenie, dlatego wygodnie byłoby znać metodę obliczania wektora natężenia pola E → E → na podstawie potencjału V V.

Wektor natężenia pola jest w ogólności, niezależnie od tego, czy pole jest jednorodne, czy nie, skierowany w stronę malejącego potencjału. Dzieje się tak dlatego, że siła działająca na ładunek próbny dodatni zwrócona jest zgodnie z liniami pola E → E → , czyli w stronę mniejszego potencjału V V. Co więcej, wartość wektora E → E → jest równa szybkości spadku potencjału V V wraz ze zmianą odległości. Widać to choćby na podstawie analizy wymiarowej natężenia (jednostką natężenia jest V ∕ m V∕m). Im szybciej V V maleje wraz ze zmianą odległości, tym większe jest natężenie pola. Możemy więc podać następujące stwierdzenie.

Związek napięcia z natężeniem pola jednorodnego

Równanie opisujące zależność napięcia i natężenia pola jednorodnego możemy zapisać następująco

E = − Δ V Δ s ⁢ , E= − Δ V Δ s ⁢ ,

gdzie Δ s Δs jest odległością, na jakiej zachodzi zmiana potencjału Δ V ΔV. Znak minus we wzorze oznacza, że wektor natężenia jest skierowany w stronę malejącego potencjału. Mówimy, że natężenie pola jest gradientem potencjału.

Dla ciągłej funkcji potencjału wielkości Δ V ΔV i Δ s Δs stają się małymi przyrostami (różniczkami) i musimy zastosować rachunek różniczkowy w celu obliczenia natężenia pola. Na Ilustracji 7.27 pokazujemy, że jeśli Δ s Δs jest bardzo małe, natężenie pola jest zasadniczo stałe na tym odcinku i możemy to zapisać następująco

E = − d V d s ⁢ . E = − d V d s ⁢ . E = - \frac{\d V}{\d s} \text{.}
Ilustracja 7.27 Składowa wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż przemieszeczenia Δ s Δs jest równa E = − Δ V ∕ Δ s E= − Δ V ∕ Δ s . Zauważ, że gdy punkty A A i B B są blisko siebie, natężenie pola jest stałe na odcinku Δ s Δs.

We wszystkich trzech kierunkach układu kartezjańskiego możemy zdefiniować składowe wektora natężenia pola jako odpowiednie pochodne

E x = − ∂ V ∂ x ⁢ , ⁢ E y = − ∂ V ∂ y ⁢ , ⁢ E z = − ∂ V ∂ z ⁢ . E x = − ∂ V ∂ x ⁢ , ⁢ E y = − ∂ V ∂ y ⁢ , ⁢ E z = − ∂ V ∂ z ⁢ . E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} \text{, } E_y = - \frac{\partial V}{\partial y} \text{, } E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} \text{.}
7.14

Użyliśmy tutaj zapisu z użyciem symbolu pochodnej cząstkowej ∂ ∂. Do zapisania tych trzech równań w bardziej zwartej postaci możemy użyć operatora matematycznego gradientu (oznaczenie ∇ → ∇ → \vec{\nabla} lub „grad”). Postać tego operatora różniczkowego, który jest wektorem o trzech składowych, w zmiennych kartezjańskich jest następująca

∇ → = i ̂ ⁢ ∂ ∂ x + j ̂ ⁢ ∂ ∂ y + k ̂ ⁢ ∂ ∂ z ⁢ . ∇ → = i ̂ ⁢ ∂ ∂ x + j ̂ ⁢ ∂ ∂ y + k ̂ ⁢ ∂ ∂ z ⁢ . \vec{x} = \hat{i}{\dd[\partial]{x}} + \hat{j}{\dd[\partial]{y}} + \hat{k}{\dd[\partial]{z}} \text{.}
7.15

Za pomocą tej notacji możemy zapisać jedno równanie na wektor natężenia pola obliczony na podstawie potencjału elektrycznego

E → = − ∇ → ⁢ V ⁢ , E → = − ∇ → ⁢ V ⁢ ,
7.16

a procedurę tę nazwiemy obliczaniem gradientu potencjału. Zwróć uwagę na niezbędny znak minus we wzorze przed gradientem.

Do matematycznego opisu układów o symetrii cylindrycznej lub sferycznej wygodnie jest używać postaci operatora gradientu w zmiennych cylindrycznych (walcowych)

∇ → = r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + φ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ φ + z ̂ ⁢ ∂ ∂ z ∇ → = r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + φ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ φ + z ̂ ⁢ ∂ ∂ z \vec{x} = \hat{r}{\dd[\partial]{r}} + \hat{\varphi} \frac1r \cdot {\dd[\partial]{\varphi}} + \hat{z}{\dd[\partial]{z}}
7.17

lub sferycznych

∇ → = r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ . ∇ → = r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ . \vec{x} = \hat{r}{\dd[\partial]{r}} + \hat{\theta} \frac1r \cdot {\dd[\partial]{\theta}} + \hat{\varphi} \frac{1}{r\sin \theta} \cdot {\dd[\partial]{\varphi}} \text{.}
7.18

Przykład 7.17

Natężenie pola wokół ładunku punktowego

Obliczmy natężenie pola pochodzącego od ładunku punktowego.

Strategia rozwiązania

Wiemy, że potencjał takiego układu dany jest wzorem V = k ⁢ q ∕ r V= k ⁢ q ∕ r i ma symetrię sferyczną. Dlatego w równaniu E → = − ∇ → ⁢ V E → = − ∇ → ⁢ V wygodnie będzie zastosować zmienne sferyczne.

Rozwiązanie

Wykonujemy obliczenia w zmiennych sferycznych
E → = − r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ k ⁢ q r E → = − k ⁢ q ⁢ r ̂ ⁢ ∂ ∂ r ⁢ 1 r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ ⁢ 1 r + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ 1 r ⁢ . E → = − r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ k ⁢ q r E → = − k ⁢ q ⁢ r ̂ ⁢ ∂ ∂ r ⁢ 1 r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ ⁢ 1 r + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ 1 r ⁢ . \begin{multiline} \vec{E} &= -[\hat{r} {\dd[\partial]{r}} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \cdot {\dd[\partial]{\theta}} + \hat{\varphi} \frac{1}{r \sin \theta} \cdot {\dd[\partial]{\varphi}}] k \frac{q}{r} \\ &= -kq [\hat{r} {\dd[\partial]{r}} (\frac{1}{r})+ \hat{\theta} \frac{1}{r} \cdot {\dd[\partial]{\theta}} (\frac{1}{r}) + \hat{\varphi} \frac{1}{r \sin \theta} \cdot {\dd[\partial]{\varphi}} (\frac{1}{r})] \text{.} \end{multiline} E → = − r ̂ ⁢ ∂ ∂ r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ k ⁢ q r = − k ⁢ q ⁢ r ̂ ⁢ ∂ ∂ r ⁢ 1 r + θ ̂ ⁢ 1 r ⋅ ∂ ∂ θ ⁢ 1 r + φ ̂ ⁢ 1 r ⁢ sin θ ⋅ ∂ ∂ φ ⁢ 1 r ⁢ .

Po obliczeniu pochodnych otrzymujemy wynik

E → = − k ⁢ q ⁢ r ̂ ⋅ -1 r 2 + θ ̂ ⋅ 0 + φ ̂ ⋅ 0 = k ⁢ q r 2 ⁢ r ̂ ⁢ , E → = − k ⁢ q ⁢ r ̂ ⋅ -1 r 2 + θ ̂ ⋅ 0 + φ ̂ ⋅ 0 = k ⁢ q r 2 ⁢ r ̂ ⁢ , \vec{E} = - kq (\hat{r} \cdot \frac{-1}{r^2} + \hat{\theta} \cdot 0 + \hat{\varphi} \cdot 0) = k \frac{q}{r^2} \hat{r} \text{,}

którego się spodziewaliśmy.

Znaczenie

Powyższym rachunkiem potwierdziliśmy znany nam z poprzednich rozdziałów wynik. Dodatkowo pokazaliśmy, że wektor E → E → jest rzeczywiście skierowany w stronę malejącego potencjału (kierunek zgodny z wektorem wodzącym zaczepionym w środku ładunku źródłowego), co zobrazowano na Ilustracji 7.28. Wykorzystaliśmy postać operatora gradientu w zmiennych sferycznych, jednak, jak łatwo zauważyć, tylko różniczkowanie po zmiennej radialnej „przetrwało” różniczkowanie. Potencjał zależy tylko od r r, dlatego możemy go potraktować jak funkcję jednej zmiennej i natężenie obliczać jako pochodną po r r (oczywiście ze znakiem minus).
Ilustracja 7.28 Wektory natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek dodatni, pokazane dla trzech odległości od ładunku źródłowego.

Przykład 7.18

Natężenie pola naładowanego pierścienia

Użyjmy wzoru na potencjał znalezionego w Przykładzie 7.8, aby obliczyć natężenie pola wytworzonego przez naładowany jednorodnie pierścień w punkcie na osi pierścienia (Ilustracja 7.29).
Ilustracja 7.29 Obliczamy wektor natężenia pola elektrycznego pierścienia naładowanego jednorodnie.

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że wektor natężenia pola wytwarzanego przez każdy mały fragment pierścienia będzie miał dwie składowe: wzdłuż osi z z oraz prostopadle do niej. Dwa punkty po przeciwnych stronach pierścienia dadzą natężenie, którego prostopadłe składowe się znoszą. Nasz problem jest więc jednowymiarowy. Wystarczy zatem użyć równania E z = − ∂ V ∕ ∂ z E z = − ∂ V ∕ ∂ z i wyrażenia na potencjał V = k ⁢ q cał ∕ z 2 + R 2 V= k ⁢ q cał ∕ z 2 + R 2 , przedstawionego w poprzednim podrozdziale.

Rozwiązanie

Obliczając pochodną potencjału po z z, otrzymujemy
E z = − ∂ ∂ z k ⁢ q cał z 2 + R 2 = k ⁢ q cał ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ . E z = − ∂ ∂ z k ⁢ q cał z 2 + R 2 = k ⁢ q cał ⁢ z z 2 + R 2 3 ∕ 2 ⁢ . E_z = - \dd[\partial]{z}\frac{kq_{\text{cał}}}{\sqrt{z^2+R^2}} = k \frac{q_{\text{cał}} z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \text{.}

Znaczenie

Tym razem także uzyskaliśmy wynik zgodny z naszymi oczekiwaniami – obliczone tutaj natężenie pola wytworzonego przez jednorodnie naładowany pierścień jest takie samo jak obliczone w poprzednich rozdziałach. Ponadto okazuje się, że symetria niektórych układów ładunku pozwala na uproszczenie pełnego gradientu i obliczenie tylko jednej jego składowej.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.11

Jakiego układu współrzędnych użyłbyś do obliczenia natężenia pola wytworzonego przez dipol, używając gradientu potencjału?

PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie
Ponowne wykorzystanie i redystrybucja tej treści w formacie cyfrowym lub drukowanym:
  • Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania dużych modeli językowych ani w żaden inny sposób przetwarzany przez duże modele językowe lub rozwiązania generatywnej sztucznej inteligencji bez uprzedniej pisemnej zgody OpenStax Poland.
  • Ten podręcznik jest wydany na licencji Uznanie autorstwa (CC BY), co oznacza, że możesz ponownie wykorzystywać i modyfikować materiał wyłącznie w celach niekomercyjnych, musisz uznać autorstwo OpenStax Poland oraz musisz rozpowszechniać wszelkie utwory zależne na tej samej licencji.
  • Jakikolwiek komercyjny druk tego podręcznika, w tym z wykorzystaniem lokalnej lub niestandardowej drukarni, wymaga zgody OpenStax Poland oraz podania odpowiedniego cytowania.
  • Obrazy, aktywności, testy i podobne elementy tego podręcznika objęte prawami autorskimi OpenStax Poland podlegają tej samej licencji – CC-BY-NC-SA. Mogą być wykorzystywane w celach niekomercyjnych z uznaniem autorstwa. Użycie komercyjne wymaga zgody.
  • Prośby o zgodę: Każdy, kto zamierza włączyć tę treść (w tym tekst, obrazy i inne elementy) do dużych modeli językowych, wykorzystać ją w rozwiązaniach opartych na sztucznej inteligencji, użyć jej komercyjnie (w tym w druku) i/lub ma pytania dotyczące innego przypadku użycia, może skorzystać z naszego formularza wniosku o ponowne wykorzystanie.
Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej w celach niekomercyjnych, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym w celach niekomercyjnych, dla każdej strony zawierającej treści OpenStax musisz udostępnić utwór zależny na tej samej licencji CC-BY-NC-SA co oryginał oraz na każdym widoku strony umieścić informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

Poniższe informacje zawierają dane potrzebne do utworzenia cytowania w większości głównych stylów (APA, MLA itp.); musisz przeformatować i zorganizować te informacje zgodnie z wymaganiami danego stylu. Jeśli chcesz zacytować tę książkę, skorzystaj z dostępnych narzędzi do tworzenia wpisów bibliograficznych, jak np.: ten.

© 21 wrz 2022 OpenStax Poland. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY). Nazwa OpenStax Poland i OpenStax, logo OpenStax Poland i OpenStax, okładki OpenStax Poland iOpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo, jak również nazwa i logo Rice University oraz powiązane znaki towarowe i słowne, nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.