7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

W poprzednim podrozdziale pokazaliśmy, jak na podstawie znajomości wektora natężenia pola elektrycznego obliczyć potencjał określonego układu ładunków, także tworzącego ciągły rozkład. Wykorzystaliśmy wtedy wzór całkowy. Jak się zapewne domyślasz, możliwy jest rachunek w drugą stronę ‒ obliczenie natężenia jako pochodnej potencjału. Uwagi wymaga jednak przejście od wielkości skalarnej do wektorowej. Najczęściej potrzebujemy wektora $\overrightarrow{E}$, żeby obliczyć siłę działającą na ładunek w danym polu. Jednak często łatwiej jest znaleźć potencjał niż natężenie, dlatego wygodnie byłoby znać metodę obliczania wektora natężenia pola $\overrightarrow{E}$ na podstawie potencjału $V$.

Wektor natężenia pola jest w ogólności, niezależnie od tego, czy pole jest jednorodne, czy nie, skierowany w stronę malejącego potencjału. Dzieje się tak dlatego, że siła działająca na ładunek próbny dodatni zwrócona jest zgodnie z liniami pola $\overrightarrow{E}$, czyli w stronę mniejszego potencjału $V$. Co więcej, wartość wektora $\overrightarrow{E}$ jest równa szybkości spadku potencjału $V$ wraz ze zmianą odległości. Widać to choćby na podstawie analizy wymiarowej natężenia (jednostką natężenia jest $\mathrm{V}∕\mathrm{m}$). Im szybciej $V$ maleje wraz ze zmianą odległości, tym większe jest natężenie pola. Możemy więc podać następujące stwierdzenie.

Dla ciągłej funkcji potencjału wielkości $\Delta V$ i $\Delta s$ stają się małymi przyrostami (różniczkami) i musimy zastosować rachunek różniczkowy w celu obliczenia natężenia pola. Na Ilustracji 7.27 pokazujemy, że jeśli $\Delta s$ jest bardzo małe, natężenie pola jest zasadniczo stałe na tym odcinku i możemy to zapisać następująco

Ilustracja 7.27 Składowa wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż przemieszeczenia $\Delta s$ jest równa $E=-\Delta V∕\Delta s$. Zauważ, że gdy punkty $A$ i $B$ są blisko siebie, natężenie pola jest stałe na odcinku $\Delta s$.

We wszystkich trzech kierunkach układu kartezjańskiego możemy zdefiniować składowe wektora natężenia pola jako odpowiednie pochodne

Użyliśmy tutaj zapisu z użyciem symbolu pochodnej cząstkowej $\partial$. Do zapisania tych trzech równań w bardziej zwartej postaci możemy użyć operatora matematycznego gradientu (oznaczenie $\overrightarrow{\nabla }$ lub „grad”). Postać tego operatora różniczkowego, który jest wektorem o trzech składowych, w zmiennych kartezjańskich jest następująca

Za pomocą tej notacji możemy zapisać jedno równanie na wektor natężenia pola obliczony na podstawie potencjału elektrycznego

a procedurę tę nazwiemy obliczaniem gradientu potencjału. Zwróć uwagę na niezbędny znak minus we wzorze przed gradientem.

Do matematycznego opisu układów o symetrii cylindrycznej lub sferycznej wygodnie jest używać postaci operatora gradientu w zmiennych cylindrycznych (walcowych)

lub sferycznych

Przykład 7.17

Natężenie pola wokół ładunku punktowego

Obliczmy natężenie pola pochodzącego od ładunku punktowego.

Strategia rozwiązania

Wiemy, że potencjał takiego układu dany jest wzorem $V=kq∕r$ i ma symetrię sferyczną. Dlatego w równaniu $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\nabla }V$ wygodnie będzie zastosować zmienne sferyczne.

Rozwiązanie

Wykonujemy obliczenia w zmiennych sferycznych

Po obliczeniu pochodnych otrzymujemy wynik

$$\overrightarrow{E}=-kq\left(\hat{r}\cdot \frac{-1}{r^2}+\hat{\theta }\cdot 0+\hat{\phi }\cdot 0\right)=k\frac{q}{r^2}\hat{r}\text{,}$$

którego się spodziewaliśmy.

Znaczenie

Powyższym rachunkiem potwierdziliśmy znany nam z poprzednich rozdziałów wynik. Dodatkowo pokazaliśmy, że wektor $\overrightarrow{E}$ jest rzeczywiście skierowany w stronę malejącego potencjału (kierunek zgodny z wektorem wodzącym zaczepionym w środku ładunku źródłowego), co zobrazowano na Ilustracji 7.28. Wykorzystaliśmy postać operatora gradientu w zmiennych sferycznych, jednak, jak łatwo zauważyć, tylko różniczkowanie po zmiennej radialnej „przetrwało” różniczkowanie. Potencjał zależy tylko od $r$, dlatego możemy go potraktować jak funkcję jednej zmiennej i natężenie obliczać jako pochodną po $r$ (oczywiście ze znakiem minus).

Ilustracja 7.28 Wektory natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek dodatni, pokazane dla trzech odległości od ładunku źródłowego.

Przykład 7.18

Natężenie pola naładowanego pierścienia

Użyjmy wzoru na potencjał znalezionego w Przykładzie 7.8, aby obliczyć natężenie pola wytworzonego przez naładowany jednorodnie pierścień w punkcie na osi pierścienia (Ilustracja 7.29).

Ilustracja 7.29 Obliczamy wektor natężenia pola elektrycznego pierścienia naładowanego jednorodnie.

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że wektor natężenia pola wytwarzanego przez każdy mały fragment pierścienia będzie miał dwie składowe: wzdłuż osi $z$ oraz prostopadle do niej. Dwa punkty po przeciwnych stronach pierścienia dadzą natężenie, którego prostopadłe składowe się znoszą. Nasz problem jest więc jednowymiarowy. Wystarczy zatem użyć równania $E_z=-\partial V∕\partial z$ i wyrażenia na potencjał $V=k{q}_{\text{cał}}∕\sqrt{z^2+R^2}$, przedstawionego w poprzednim podrozdziale.

Rozwiązanie

Obliczając pochodną potencjału po $z$, otrzymujemy

$$E_z=-\frac{\partial }{\partial z}\frac{k{q}_{\text{cał}}}{\sqrt{z^2+R^2}}=k\frac{q_{\text{cał}}z}{{\left(z^2+R^2\right)}^{3∕2}}\text{.}$$

Znaczenie

Tym razem także uzyskaliśmy wynik zgodny z naszymi oczekiwaniami – obliczone tutaj natężenie pola wytworzonego przez jednorodnie naładowany pierścień jest takie samo jak obliczone w poprzednich rozdziałach. Ponadto okazuje się, że symetria niektórych układów ładunku pozwala na uproszczenie pełnego gradientu i obliczenie tylko jednej jego składowej.