William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

definiować pojęcia: potencjał elektryczny, napięcie, różnica potencjałów;
podawać definicję elektronowolta;
obliczać potencjał i różnicę potencjałów na podstawie energii potencjalnej i natężenia pola;
podawać przykłady zastosowania elektronowolta jako jednostki energii;
stosować zasadę zachowania energii do układów ładunków elektrycznych.

Przypomnij sobie, że natężenie pola elektrycznego wprowadziliśmy po to, aby uniezależnić się od wielkości ładunku próbnego, ale jednocześnie za pomocą tej wielkości jesteśmy w stanie podać siłę działającą na dowolny ładunek. Domyślnie przyjmujemy przy tym, że znak ładunku próbnego jest dodatni (żeby siła miała zwrot zgodny z natężeniem pola). Wektor natężenia pola wprowadziliśmy także przy omawianiu pola grawitacyjnego, ale bez dużej szczegółowości. Pole grawitacyjne ma zawsze charakter przyciągający, podczas gdy pole elektryczne może być zarówno przyciągające, jak i odpychające. Zatem, chociaż w przypadku grawitacji pojęcie energii potencjalnej było wystarczające, to dla pola elektrycznego wygodnie jest wprowadzić nową skalarną wielkość fizyczną, niezależną od wielkości ładunku próbnego, która umożliwi także obliczanie pracy nad ładunkiem. Obliczanie pracy bezpośrednio na podstawie definicji $\d W = \vec{F} \cdot \d \vec{s}$ może być trudne, ponieważ wielkość siły oraz iloczyn skalarny mogą zależeć od rozkładu ładunków i krzywoliniowych trajektorii w skomplikowany sposób. Ze związku $\vec{F} = q \vec{E}$ wiemy jednak, że praca, a więc i wielkość $Δ E_{p}$ , są proporcjonalne do ładunku próbnego $q$ (niech w tym podrozdziale ładunek próbny będzie oznaczony małą literą $q$ ). Aby dostać wielkość skalarną niezależną od wielkości ładunku próbnego, wprowadzamy pojęcie potencjału elektrycznego (ang. electric potential) $V$ (w skrócie: potencjału), który jest równy stosunkowi energii potencjalnej do wielkości ładunku próbnego.

Potencjał elektryczny

Potencjał jest energią potencjalną liczoną dla jednostki ładunku

V = \frac{E_{p}}{q} .

7.4

Ponieważ, jak wiemy, energia potencjalna $E_{p}$ jest proporcjonalna do ładunku $q$ , to zależność od $q$ upraszcza się. Zatem potencjał $V$ nie zależy od $q$ , podobnie jak natężenie pola. Tak jak ważna w problemach fizycznych jest zmiana energii potencjalnej $Δ E_{p}$ , tak ważna jest też zmiana potencjału, którą nazywamy różnicą potencjałów $Δ V$ między dwoma punktami i definiujemy jako

Δ V = V_{B} - V_{A} = \frac{Δ E_{p}}{q} .

Różnica potencjałów

Różnica potencjałów elektrycznych (ang. electric potential difference) między dwoma punktami $A$ i $B$ , oznaczona jako $V_{B} - V_{A}$ , jest zdefiniowana jako energia potencjalna ładunku $q$ przemieszczonego z $A$ do $B$ , podzielona przez wielkość tego ładunku. Jednostką różnicy potencjałów jest dżul na kulomb, czyli wolt ( $V$ ) – jednostka nazwana na cześć fizyka Alessandro Volty (1745–1827)

1 V = 1 J ∕ C .

Różnicę potencjałów często nazywa się też napięciem (ang. voltage). Pamiętaj, że gdy znajdujesz odwołanie do napięcia, tak naprawdę chodzi właśnie o różnicę potencjałów. Przykładowo, każda bateria ma dwa bieguny, a napięcie baterii to różnica potencjałów między nimi. Wchodząc bardziej w szczegóły, możemy powiedzieć, że określenie wielkości potencjału jest dość arbitralne. Zupełnie dowolnie można wybrać punkt oznaczający zero woltów (poziom odniesienia). Analogicznie jest w przypadku energii potencjalnej grawitacji, której poziom zerowy możemy przyjąć np. na wysokości poziomu morza albo blatu stołu. Różnica potencjałów jest już jednak określona precyzyjnie. Zwróć jednocześnie uwagę na rozróżnienie między zmianą energii potencjalnej a różnicą potencjałów.

Różnica potencjałów a energia potencjalna

Związek między różnicą potencjałów (napięciem) a zmianą energii potencjalnej jest następujący:

Δ V = \frac{Δ E_{p}}{q} lub Δ E_{p} = q Δ V .

7.5

Napięcie nie jest tym samym co energia. Napięcie jest zmianą energii potencjalnej przypadającej na jednostkę ładunku. Dlatego też akumulator samochodowy i ten zamontowany w motocyklu mogą mieć to samo napięcie (bardziej precyzyjnie: różnicę potencjałów między biegunami), ale ten pierwszy gromadzi o wiele większą energię, ponieważ $Δ E_{p} = q Δ V$ . Akumulator samochodowy pozwala na przesłanie o wiele większego ładunku niż akumulator motocyklowy, mimo że dla obu napięcie wynosi $12 V$ .

Przykład 7.4

Obliczanie energii

Dysponujemy akumulatorem motocyklowym o napięciu

12 V

, który pozwala na przepływ ładunku w wysokości

5000 C

, oraz akumulatorem samochodowym o takim samym napięciu, który umożliwia przepływ ładunku

60 000 C

. Jakiej energii jest w stanie dostarczyć każdy z akumulatorów?

Strategia rozwiązania

Mówiąc, że akumulatory są 12-woltowe, mamy na myśli, że różnice potencjałów na końcach ich biegunów wynoszą

12 V

. Gdy taki akumulator powoduje przepływ ładunku, to pod wpływem różnicy potencjałów

12 V

ładunki zwiększają swoją energię potencjalną o

Δ E_{p} = q Δ V

. Aby obliczyć wielkość energii uzyskanej przy pomocy akumulatora, pomnożymy wartości ładunku i napięcia.

Rozwiązanie

Dla akumulatora w motocyklu

q = 5000 C

oraz

Δ V = 12 V

. Całkowita energia dostarczona przez akumulator motocyklowy wynosi

Δ E_{p motocykl} = 5000 C \cdot 12 V = 5000 C \cdot 12 J ∕ C = 6 \cdot 10^{4} J .

Podobnie dla akumulatora w samochodzie mamy $q = 60 000 C$ oraz $Δ V = 12 V$ . Całkowita energia dostarczona przez akumulator samochodowy wynosi

Δ E_{p samochód} = 60 000 C \cdot 12 V = 7,2 \cdot 10^{5} J .

Znaczenie

Napięcie i energia są ze sobą powiązane, ale nie oznaczają tego samego. Napięcia dwóch akumulatorów są równe, ale każdy dostarcza innej energii. Akumulator w samochodzie musi umożliwić uruchomienie znacznie większego silnika niż w motocyklu. Zauważ też, że nie cała energia zgromadzona w baterii lub akumulatorze jest dostępna dla urządzeń zewnętrznych – część z niej jest potrzebna na użytek wewnętrzny samej baterii. Widzisz to np, gdy światło z reflektorów miga, bo akumulator jest częściowo rozładowany.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.4

Jaką energię gromadzi 1,5-woltowa bateria AAA, która może przesłać ładunek $100 C$ ?

Zwróć uwagę, że energie obliczone w powyższym przykładzie są wartościami bezwzględnymi. Zmiana energii potencjalnej baterii czy akumulatora jest ujemna, ponieważ przy przesyle ładunku tracą one energię. Akumulatory i baterie, tak jak wiele innych urządzeń elektrycznych, tak naprawdę powodują przepływ ujemnych ładunków – elektronów. Elektrony są odpychane od ujemnych biegunów (oznaczonych $A$ ) i po przejściu przez dowolny obwód elektryczny są przyciągane do dodatnich biegunów ( $B$ ), jak pokazano na Ilustracji 7.12. Zmiana potencjału wynosi $Δ V = V_{B} - V_{A} = + 12 V$ , a ponieważ ładunek $q$ jest ujemny, to $Δ E_{p} = q Δ V$ jest także ujemne, co oznacza, że energia potencjalna akumulatora zmalała w czasie przepływu ładunku $q$ między punktami $A$ i $B$ .

Rysunek przedstawia reflektor połączony z zaciskami 12 V akumulatora. Ładunek q wypływa z zacisku A akumulatora i wraca do zacisku B akumulatora. — Ilustracja 7.12 Akumulator powoduje przepływ ujemnego ładunku od zacisku ujemnego, przez zewnętrzny obwód elektryczny, do zacisku dodatniego. Odpowiednie reakcje chemiczne zachodzące wewnątrz akumulatora wywołują powstawanie ładunków ujemnych, przez co zacisk ujemny ma nadmiar ładunku, który jest przez niego odpychany. Przyciągane są natomiast ładunki dodatnie. Mając na uwadze pojęcie potencjału powiemy, że zacisk dodatni ma wyższy potencjał niż zacisk ujemny. Wewnątrz akumulatora zachodzi transport zarówno ładunków ujemnych, jak i dodatnich (jonów).

Przykład 7.5

Ile elektronów przepływa przez reflektor w każdej sekundzie?

Jeżeli akumulator 12-woltowy zasila 30-watową żarówkę reflektora samochodowego, to ile elektronów przepływa przez reflektor w ciągu każdej sekundy?

Strategia rozwiązania

Żeby znaleźć ilość elektronów, musimy w pierwszej kolejności obliczyć wielkość ładunku, jaki przepłynął w ciągu

1 s

. Ładunek jest związany z napięciem i energią w postaci równania

Δ E_{p} = q Δ V

. Reflektor o mocy

30 W

zużywa

30 J

energii w każdej sekundzie. W akumulatorze mamy do czynienia ze stratą energii

Δ E_{p} = - 30 J

, a ponieważ elektrony poruszają się od ujemnego do dodatniego bieguna, to

Δ V = + 12 V

.

Rozwiązanie

Aby obliczyć ładunek

q

, przekształcimy równanie

Δ E_{p} = q Δ V

q = \frac{Δ E_{p}}{Δ V} .

Podstawiając za $Δ E_{p}$ i $Δ V$ , otrzymujemy

q = \frac{- 30 J}{+ 12 V} = \frac{- 30 J}{+ 12 J ∕ C} = - 2,5 C .

Liczba elektronów $n_{\text{e}}$ jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez ładunek elementarny. W takim razie

n_{\text{e}} = \frac{-\SI{2,5}{\coulomb}}{-\SI{1,6e-19}{\coulomb}} = \SI{1,56e19}{\elektronow}\text{.}

Znaczenie

Otrzymaliśmy bardzo dużą liczbę elektronów. Nie jest więc zaskoczeniem, że nie jesteśmy w stanie zauważyć bezpośrednio przepływu pojedynczych elektronów, gdy jest ich tak wiele. Elektryczność jest zjawiskiem znanym od dawna i była wykorzystywana na długo przed tym, zanim odkryto elektron, a nawet zanim ustalono, że płynące w obwodach elektrycznych ładunki są ujemne. Zarówno przepływ ładunku dodatniego, jak i ujemnego w przeciwnym kierunku, często wywołują te same efekty. Dlatego zwykle trudno jest rozstrzygnąć, z ruchem jakiego rodzaju nośników ładunku mamy do czynienia.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.5

Ile elektronów przepływa w ciągu sekundy przez lampę o mocy $24 W$ przy napięciu $12 V$ ?

Elektronowolt

W wielu makroskopowych sytuacjach, jak w przykładzie omawianym powyżej, energie pojedynczych elektronów są bardzo niewielkie – rzędu małego ułamka dżula. Jednak w skali mikroskopowej energia przypadająca na cząstkę (np. elektron, proton czy jon) może być znacząca. Przykładowo nawet tak niewielka energia elektronu jak ułamek dżula w poprzednim zadaniu może być wystarczająca do rozbicia cząsteczki chemicznej czy uszkodzenia tkanki. Cząstka naładowana może dokonać zniszczeń na skutek bezpośredniego zderzenia, ale także w wyniku wyemitowania promieniowania X. W takich przypadkach warto posługiwać się jednostką energii odpowiednią dla zjawisk mikroskopowych.

Na Ilustracji 7.13 obrazujemy sytuację fizyczną odpowiadającą próbie definicji takiej jednostki energii. Elektron jest przyspieszany między dwiema naładowanymi płytkami przewodnika, podobnie jak ma to miejsce w kineskopie telewizorów starego typu lub w oscyloskopie. Elektron nabiera energii kinetycznej, która może być potem zamieniona na inną formę, np. energię światła w kineskopie. (Pamiętaj, że w przypadku elektronu ruch przyspieszony w prawo będzie równoważny przyspieszaniu w lewo cząstki naładowanej dodatnio). Ze związku energii i napięcia, $Δ E_{p} = q Δ V$ , wynika definicja dżula jako kulombo-wolta (dżul to kulomb razy wolt).

Część a przedstawia schemat działa elektronowego z dwiema metalowymi płytkami i elektronem między płytkami. Metalowe płytki są połączone zaciskami z akumulatorem i mają ładunki przeciwne oraz napięcie V z indeksem AB. Część b pokazuje zdjęcie prawdziwego działa elektronowego. — Ilustracja 7.13 Typowe działo elektronowe przyspiesza elektrony dzięki różnicy potencjałów między dwiema oddalonymi od siebie metalowymi płytkami. Zgodnie z zasadą zachowania energii energia kinetyczna elektronu rośnie dzięki zmianie energii potencjalnej, czyli $E_{k} = q Δ V$ . Wartość liczbowa energii elektronu, wyrażona w elektronowoltach jest równa wartości napięcia między płytkami. Przykładowo przy napięciu $5000 V$ elektron uzyskuje energię $5000 eV$ . Schematyczny model działa elektronowego jako układu dwóch równoległych płyt, z których jedna posiada otwór wylotowy, jest pokazany na rysunku (a), natomiast zdjęcie prawdziwego działa przedstawia rysunek (b).

Elektronowolt

Do zjawisk zachodzących w skali mikroskopowej wygodniej jest wyrażać energię w elektronowoltach (ang. electronvolt), które oznaczamy jako $eV$ . $1 eV$ odpowiada energii cząstki o ładunku elementarnym przyspieszonemu dzięki różnicy potencjałów $1 V$ . W jednostkach podstawowych układu SI (dżulach) elektronowolt ma wartość

1 eV = 1,6 \cdot 10^{- 19} C \cdot 1 V = 1,6 \cdot 10^{- 19} C \cdot 1 J ∕ C = 1,6 \cdot 10^{- 19} J .

Elektron przyspieszony napięciem $1 V$ uzyskuje energię $1 eV$ . Oczywiście przy napięciu $50 V$ energia elektronu będzie wynosić $50 eV$ , natomiast napięcie $100 000 V$ ( $100 kV$ ) przekłada się na energię elektronu o wartości $100 000 eV$ ( $100 keV$ ) itd. Podobnie jon o wielkości ładunku równej dwóm ładunkom elementarnym przyspieszany napięciem $100 V$ otrzymuje energię $200 eV$ . Taka prosta relacja między napięciem przyspieszania a energią cząstki powoduje, że elektronowolt staje się bardzo wygodną i użyteczną jednostką energii.

Jednostkę elektronowolta stosujemy często w procesach mikroskopowych – takich jak wiązania chemiczne molekuł czy jądrowe. Dla przykładu energia w wysokości $5 eV$ jest zwykle wystarczająca, by rozerwać wiązanie cząsteczek organicznych. Proton przyspieszany napięciem $30 kV$ ma energię $30 keV$ , która wystarcza na rozbicie aż $6000$ takich cząsteczek ( $\SI{30000}{\electronvolt} / \SI{5}{\electronvolt} = \num{6000}$ ). Rozpadom jądrowym towarzyszy wydzielanie energii o wartościach rzędu $1 MeV$ ( $1 000 000 eV$ ) na jeden akt rozpadu, co może spowodować zjawiska o bardzo niekorzystnych skutkach dla naszego organizmu.

Zachowanie energii

Całkowita energia układu jest zachowana, jeżeli nie występuje nadwyżka lub niedobór energii w postaci pracy sił zewnętrznych czy przekazu ciepła. Dla sił zachowawczych, takich jak siła elektrostatyczna, zasada zachowania energii mówi, że energia mechaniczna układu jest stała.

Energia mechaniczna jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej układu, zatem zgodnie z zasadą zachowania energii możemy napisać $E_{k} + E_{p} = const$ . Ubytek energii potencjalnej $E_{p}$ ładunku powoduje wzrost jego energii kinetycznej $E_{k}$ . Zachowanie energii możemy wyrazić równaniem

E_{k} + E_{p} = const

lub

E_{k⁣ 0} + E_{p⁣ 0} = E_{k⁣ 1} + E_{p⁣ 1},

gdzie indeksy 0 oraz 1 oznaczają odpowiednio stan początkowy i końcowy. Jak już widzieliśmy wiele razy, rozważania na temat energii dają nam zazwyczaj lepszy wgląd w naturę zjawisk fizycznych i są pomocne przy rozwiązywaniu problemów.

Przykład 7.6

Zamiana elektrycznej energii potencjalnej na energię kinetyczną

Obliczmy prędkość końcową, jaką uzyskuje początkowo spoczywający elektron przyspieszany napięciem

100 V

.

Strategia rozwiązania

W naszym układzie występują jedynie siły zachowawcze. Zakładając, że przyspieszanie zachodzi w próżni, oraz pomijając wpływ siły grawitacji (bardziej szczegółowe rozważania na ten temat przeprowadzimy później), cała energia potencjalna elektronu jest zamieniana na jego energię kinetyczną. Początkowe i końcowe wartości energii kinetycznej i potencjalnej wynoszą:

E_{k⁣ 0} = 0 eV

,

E_{k⁣ 1} = 1 ∕ 2 \cdot m v^{2}

,

E_{p⁣ 0} = q Δ V

,

E_{p⁣ 1} = 0 eV

.

Rozwiązanie

Z zasady zachowania energii wynika, że

E_{k⁣ 0} + E_{p⁣ 0} = E_{k⁣ 1} + E_{p⁣ 1} .

Podstawiając wartości początkowe i końcowe, otrzymujemy

q Δ V = \frac{m v^{2}}{2} .

Obliczamy $v$

v = \sqrt{\frac{2 q Δ V}{m}}

i do wzoru końcowego podstawiamy wartości $q$ , $Δ V$ oraz $m$ , co daje wynik

v = \sqrt{\frac{2 \cdot (- 1,6 \cdot 10^{- 19} C) \cdot (- 100 J ∕ C)}{9,11 \cdot 10^{- 31} kg}} = 5,93 \cdot 10^{6} m ∕ s .

Znaczenie

Zauważ, że – podobnie jak na Ilustracji 7.13 – ładunek i napięcie są ujemne. Ponadto z dyskusji o ładunkach i polu elektrycznym wiemy, że siła elektrostatyczna Coulomba dla niewielkich cząstek jest bardzo duża w porównaniu z siłą grawitacji. Uzyskana duża prędkość ładunku w tym zadaniu potwierdza, że rzeczywiście wpływ siły grawitacji może być z powodzeniem pominięty. To pokazuje także, jak łatwo jest przyspieszać elektrony za pomocą niewielkich napięć, właśnie ze względu na ich małą masę. W działach elektronowych są zazwyczaj używane napięcia znacznie wyższe od

100 V

z tego zadania. Tak wysokie napięcia pozwalają na nadanie elektronom prędkości tak dużej, że rolę zaczynają odgrywać efekty relatywistyczne i do opisu elektronów muszą być wykorzystywane narzędzia szczególnej teorii względności. Tym zajmiemy się dopiero w kolejnych rozdziałach, dlatego teraz ograniczamy się do niewielkich napięć, rzędu

100 V

.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.6

Jak wyniki z powyższego zadania zmieniłyby się, gdyby elektron zastąpić pozytonem? Pozyton różni się od elektronu jedynie tym, że jego ładunek ma przeciwny znak.

Napięcie a natężenie pola elektrycznego

Do tej pory mówiliśmy o związku napięcia z energią. Teraz chcemy poznać, jak potencjał oraz napięcie elektryczne zależą od natężenia pola elektrycznego. Zaczniemy od ogólnego przypadku pola niejednorodnego o natężeniu $\vec{E}$ . Przypomnij sobie, że podaliśmy ogólną definicję energii potencjalnej ładunku $q$ w punkcie $P$ mierzonej względem punktu odniesienia $R$ jako

E_{p⁣ P} = - \int_{R}^{P} \vec{F} \cdot d \vec{l} .

Podstawmy teraz w miejsce siły wyrażenie na siłę wynikające z definicji natężenia pola elektrycznego ( $\vec{E} = \vec{F} ∕ q$ ). Otrzymamy

E_{p⁣ P} = - q \int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d \vec{l} .

Stosując następnie definicję potencjału ( $V = E_{p} ∕ q$ ), ostatecznie otrzymujemy ogólną relację między potencjałem w danym punkcie a natężeniem pola

V_{P} = - \int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d \vec{l} .

7.6

Z wcześniejszej dyskusji na temat energii potencjalnej w polu elektrycznym wiemy, że wielkość energii jest niezależna od wybranego toru, dlatego w powyższej całce krzywą całkowania możemy wybrać zupełnie dowolnie, najlepiej tak, aby była dla nas najwygodniejsza. Zwróć uwagę, że całka ta nie jest prosta – jest to tzw. całka krzywoliniowa i w bardzo ogólnym przypadku krzywoliniowego toru obliczenie jej może być trudne.

Rozważmy szczególny przypadek punktowego ładunku $q$ umieszczonego w początku układu współrzędnych. Aby obliczyć potencjał pola wytworzonego przez ładunek punktowy $q$ w odległości $r$ od środka układu względem punktu odniesienia w nieskończoności, gdzie potencjał jest zerowy (tak samo robiliśmy przy obliczaniu energii potencjalnej), podstawimy: $P = r$ oraz $R \to \infty$ , a także $d \vec{l} = d \vec{r} = \hat{r} d r$ i wykorzystamy definicję $\vec{E} = k q ∕ r^{2} \cdot \hat{r}$ . Jeśli do ogólnej całki

V_{P} = - \int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d \vec{l}

zastosujemy powyższe podstawienia

V_{r} = - \int_{\infty}^{r} \frac{k q}{r^{2}} \hat{r} \cdot \hat{r} d r,

to łatwo obliczymy tę całkę i otrzymamy wynik

V_{r} = - \int_{\infty}^{r} \frac{k q}{r^{2}} d r = \frac{k q}{r} - [\frac{k q}{\infty}] = \frac{k q}{r} .

Wynik ten, w postaci

V_{r} = \frac{k q}{r},

jest standardową formułą na potencjał pola ładunku punktowego (albo inaczej: potencjał w polu centralnym, wytwarzanym przez punktowy ładunek źródłowy). W następnym podrozdziale zajmiemy się tym bardziej szczegółowo.

Kolejnym szczególnym przypadkiem pola elektrycznego, jakim się zajmiemy, jest pole jednorodne $\vec{E}$ wytwarzane między dwoma równoległymi płytami metalowymi, oznaczonymi na Ilustracji 7.14 przez $A$ i $B$ , między którymi panuje różnica potencjałów (czyli napięcie) $Δ V$ . Nasze rozważania dadzą nam odpowiedź na pytanie, jakie napięcie musi istnieć między płytami, aby wytworzyć pole elektryczne o określonym natężeniu. Dowiemy się także więcej o fundamentalnym związku między potencjałem a natężeniem pola.

Rysunek przedstawia pole elektryczne między dwiema płytkami (A i B) o przeciwnych ładunkach. Płytki oddzielone są od siebie na odległość d i mają różnicę potencjałów V ze znakiem AB. Ładunek dodatni q jest umieszczony między płytkami i porusza się od A do B. — Ilustracja 7.14 Związek między $V$ i $E$ dla pola jednorodnego jest następujący: $E = Δ V ∕ d$ . (Zauważ, że $Δ V = V_{A B}$ ma wartość dodatnią. Dla cząstki dodatnio naładowanej, poruszającej się od płytki $A$ o wyższym potencjale do płytki $B$ o niższym potencjale, musimy dodatkowo uwzględnić znak minus w definicji napięcia: $- Δ V = V_{A} - V_{B} = V_{A B}$ ).

Z punktu widzenia fizyki do opisu oddziaływań między ładunkami można równie dobrze użyć wielkości potencjału $V$ , jak i wektora $\vec{E}$ . Jednak należy pamiętać o zasadniczych różnicach między nimi: $Δ V$ jest wielkością skalarną i nie ma kierunku, natomiast $\vec{E}$ jest wektorem, który oprócz wartości ma także kierunek i zwrot. (Pamiętasz zapewne, że wartość wektora natężenia pola oznaczamy przez $E$ ). Relacja między $Δ V$ i $\vec{E}$ ujawnia się podczas liczenia pracy wykonanej przez siłę elektrostatyczną potrzebną do przeniesienia ładunku z punktu $A$ do punktu $B$ . Jednak, jak już sygnalizowaliśmy wcześniej, zupełnie dowolny rozkład ładunku wymaga użycia rachunku całkowego, przez co obliczenia mogą być skomplikowane. Dlatego rozpatrzymy przypadek szczególny, jakim jest pole jednorodne.

Praca wykonana przez pole elektryczne z Ilustracji 7.14 podczas przeniesienia dodatniego ładunku $q$ z dodatnio naładowanej płyty $A$ o wyższym potencjale na ujemnie naładowaną płytę $B$ o niższym potencjale, wynosi

W = - Δ E_{p} = - q Δ V .

Różnica potencjałów między punktami $A$ i $B$ wynosi

- Δ V = - (V_{B} - V_{A}) = V_{A} - V_{B} = V_{A B} .

Wstawiając to wyrażenie do wzoru na pracę, otrzymujemy

W = q V_{A B} .

Praca jest zdefiniowana jako $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d cos θ$ ; w naszym przypadku $cos θ = 1$ , bo przemieszczenie ładunku jest równoległe do linii pola. Zatem $W = F d$ . Ponieważ $F = q E$ , widzimy, że w rezultacie $W = q E d$ .

Wykorzystując to ostatnie wyrażenie, otrzymujemy związek

q E d = q V_{A B} .

Ładunek po obu stronach równania się upraszcza i ostatecznie dostajemy następującą zależność napięcia między punktami $A$ i $B$ od natężenia pola (pod warunkiem, że pole elektryczne $E$ jest jednorodne)

V_{A\sep B} = Ed \implies E = \frac{V_{A\sep B}}{d} \text{,}

gdzie $d$ jest odległością od $A$ do $B$ , czyli odległością między płytami na Ilustracji 7.14. Zauważ, że to równanie wprowadza nową jednostkę natężenia, wolt na metr ( $V ∕ m$ ). Z poprzednich rozdziałów znamy jednostkę natężenia niuton na kulomb ( $N ∕ C$ ), zatem prawdziwy jest związek między jednostkami

1 N ∕ C = 1 V ∕ m .

Powyższy wynik obowiązuje tylko dla pól jednorodnych, jednak możemy go zastosować do dowolnego pola, wprowadzając zależność całkową. Podstawiając Równanie 7.5 do naszej definicji napięcia między punktami $A$ i $B$ , otrzymujemy

V_{A B} = V_{B} - V_{A} = - \int_{R}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l} + \int_{R}^{A} \vec{E} \cdot d \vec{l},

co upraszcza się do postaci

V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l} .

Jako przykład zastosowania powyższego związku całkowego, rozpatrzmy różnicę potencjałów między dwoma punktami ( $A$ i $B$ ) równoodległymi od źródłowego ładunku punktowego $q$ , który znajduje się w środku układu, jak pokazuje Ilustracja 7.15.

Rysunek przedstawia ładunek q równoodległy od dwóch punktów A i B. — Ilustracja 7.15 Fragment łuku jako krzywa całkowania w obliczeniach różnicy potencjałów między dwoma punktami o równej odległości od ładunku źródłowego umieszczonego w początku układu współrzędnych.

W tym celu musimy obliczyć całkę krzywoliniową po łuku okręgu o promieniu $r$ od punktu $A$ do punktu $B$ . We współrzędnych biegunowych mamy $d \vec{l} = r \hat{φ} d φ$ , natomiast $\vec{E} = k q ∕ r^{2} \cdot \hat{r}$ . W takim razie wielkość

Δ V_{A B} = V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

7.7

dla naszego układu ładunków staje się prostą całką

V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \frac{k q}{r^{2}} \hat{r} \cdot r \hat{φ} d φ .

Wersory w układzie biegunowym są wzajemnie prostopadłe, więc $\hat{r} \cdot \hat{φ} = 0$ , a w konsekwencji

V_{B} - V_{A} = 0 V .

Uzyskany wynik, mówiący, że wzdłuż okręgu o stałym promieniu nie zmienia się potencjał, będzie dla nas bardzo przydatny podczas rysowania rozkładu potencjału w kolejnym podrozdziale.

Przykład 7.7

Jakie jest najwyższe możliwe napięcie między płytami?

Najwyższe natężenie pola, które jest możliwe do uzyskania w suchym powietrzu, ma wartość ok.

3 \cdot 10^{6} V ∕ m

. Powyżej tej wartości pole staje się na tyle silne, że jonizuje obojętne elektrycznie cząsteczki powietrza i powietrze staje się przewodnikiem. Dochodzi wtedy do „przebicia”, czyli sytuacji, gdy następuje rozładowanie napięcia (redukcja natężenia pola) na skutek przepływu dużego ładunku (podczas przebicia obserwujemy iskrę, świadczącą o dużej jonizacji cząsteczek powietrza). Jakie maksymalne napięcie może w takim razie panować między dwoma płytami oddalonymi o

2,5 cm

, między którymi występuje suche powietrze?

Strategia rozwiązania

Znamy maksymalne natężenie pola

E

między płytami odległymi o

d

. Możemy zastosować równanie

V_{A B} = E d

, aby obliczyć maksymalne możliwe napięcie.

Rozwiązanie

Napięcie między płytami wynosi

V_{A B} = E d .

Podstawiając wartości $E$ oraz $d$ do wzoru, otrzymujemy

V_{A B} = 3 \cdot 10^{6} V ∕ m \cdot 0,025 m = 7,5 \cdot 10^{4} V,

czyli

V_{A B} = 75 kV .

Znaczenie

Wniosek jest taki, że aby wytworzyć przeskok iskry na odległość

2,5 cm

w suchym powietrzu, wystarczy napięcie

75 kV

. Analogicznie na przeskok iskry przez przerwę o szerokości

5 cm

potrzeba napięcia

150 kV

. Stanowi to poważne ograniczenie maksymalnych napięć panujących między przewodnikami, np. między liniami przesyłowymi wysokiego napięcia. Dla danej odległości między przewodnikami również niższe napięcia mogą powodować przeskok iskry, jeśli np. powietrze nie jest suche (wilgotne powietrze zawiera przewodzące jony, przez co obniża się wartość maksymalnego natężenia pola), albo powierzchnia przewodników nie jest gładka, bowiem w okolicach ostrych krawędzi lub wystających szpilkowatych fragmentów panują dużo wyższe natężenia niż w pobliżu powierzchni gładkich (Ilustracja 7.16). Maksymalna wartość natężenia pola elektrycznego, jaka może istnieć między płytami bez wywołania przebicia, jest nazywana wytrzymałością elektryczną (lub wytrzymałością dielektryczną) i ma jednostkę natężenia (

V ∕ m

, częściej

V ∕ cm

).

Na pierwszym zdjęciu pokazana jest komora iskrowe, a na drugim widać ją w działaniu. — Ilustracja 7.16 Komora iskrowa (ang. spark chamber) służy do śledzenia torów wysokoenergetycznych cząstek. Jonizacja cząsteczek gazu, wywołana przez cząstki o wysokich energiach, powoduje przeskok iskry między płytami komory. Iskry są zawsze prostopadłe do płyt i ustawiają się zgodnie z liniami pola jednorodnego panującego między płytami. Napięcie między sąsiednimi płytami nie jest na tyle wysokie, aby powodować samoistne przebicie powietrza bez jonizacji wywołanej przez przejście cząstki wysokoenergetycznej (np. wytworzonej w laboratorium albo pochodzącej z promieniowania kosmicznego). Detektory cząstek zbudowane na bazie komór iskrowych są obecnie przestarzałe i używa się ich w fizyce cząstek elementarnych jedynie w celach demonstracyjnych. Źródło prawej części rysunku: modyfikacja pracy Jack Collins

Przykład 7.8

Natężenie i siła w dziale elektronowym

Działo elektronowe (Ilustracja 7.13), składające się z dwóch równoległych płyt, odległych od siebie o

4 cm

, dostarcza elektronom energię

25 keV

.

Jakie jest natężenie pola między płytami działa?
Jaką siłą działałoby to pole na plastikową kulkę o ładunku $0,5 µC$ , która dostałaby się w obszar między płytami?

Strategia rozwiązania

Ponieważ znamy napięcie i odległość między płytami, możemy skorzystać bezpośrednio z wyrażenia

E = V_{A B} ∕ d

, aby obliczyć natężenie. Gdy będziemy znać natężenie, wykorzystamy wzór

\vec{F} = q \vec{E}

do obliczenia siły. Pole elektryczne działa wzdłuż jednego kierunku, dlatego wzór ten zapiszemy w uproszczonej formie

F = q E

.

Rozwiązanie

Wartość natężenia pola jednorodnego między równoległymi płytami wynosi
$E = \frac{V_{A B}}{d} .$
Ponieważ elektron jest obdarzony ładunkiem elementarnym, energia elektronu $25 keV$ oznacza, że napięcie panujące między płytami wynosi $25 kV$ . Podstawiając tę wartość w miejsce $V_{A B}$ oraz $0,04 m$ w miejsce odległości między płytami, otrzymujemy
$E = \frac{25 kV}{0,04 m} = 6,25 \cdot 10^{5} V ∕ m .$
Siłę, z jaką pole działa na ładunek, obliczymy za pomocą wzoru
$F = q E .$
Podstawiając dane, dostajemy
$F = 0,5 \cdot 10^{- 6} C \cdot 6,25 \cdot 10^{5} V ∕ m = 0,313 N .$

Znaczenie

Zauważ, że otrzymaliśmy niuton jako jednostkę siły, ponieważ

1 V ∕ m = 1 N ∕ C

. Skoro pole między płytami działa elektronowego jest jednorodne, to taka sama siła działa na ładunek w dowolnym miejscu wewnątrz działa, niezależnie od odległości ładunku od płyt.

Przykład 7.9

Obliczanie potencjału pola od ładunku punktowego

Ładunek punktowy

q = + 2 nC

umieszczono w środku układu współrzędnych. Obliczmy różnicę potencjałów między punktami:

A

o odległości

a = 4 cm

od ładunku źródła

q

oraz

B

o odległości

b = 12 cm

od ładunku

q

, jeśli kąt pomiędzy tymi punktami wynosi

φ = 24 °

(Ilustracja 7.17).

Rysunek przedstawia dwa punkty P z indeksem 1 i P z indeksem 2 o odległościach a i b od początku układu i tworzące pomiędzy sobą kąt fi. — Ilustracja 7.17 Obliczymy różnicę potencjałów między punktami $A$ i $B$ .

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie podzielimy na dwa etapy. W pierwszym użyjemy równania

V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

i podstawimy

A = a = 4 cm

oraz

B = b = 12 cm

, przy czym

d \vec{l} = d \vec{r} = \hat{r} d r

, natomiast

\vec{E} = k q ∕ r^{2} \cdot \hat{r}

. Następnie wykonamy całkowanie. W drugim etapie obliczymy całkę

V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

w zmiennych biegunowych po łuku o stałym promieniu

r

, gdzie

d \vec{l} = r \hat{φ} d φ

przy ograniczeniu zakresu zmienności kąta

0 \leq φ \leq 24 °

, ciągle podstawiając

\vec{E} = k q ∕ r^{2} \cdot \hat{r}

. Na końcu dodamy oba wyniki do siebie.

Rozwiązanie

W pierwszym etapie całka

V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

staje się równa

V_b - V_a = - \int_a^b \frac{kq}{r^2} \hat{r} \cdot \hat{r}\d r \text{,}

co daje wynik

\begin{multiline} \prefop{\Delta} V &= - \int_a^b \frac{kq}{r^2} \d r = kq [\frac{1}{a} - \frac{1}{b}] \\ &= \SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot \SI{2e-9}{\coulomb} \cdot [\frac{1}{\SI{0,04}{\metre}} - \frac{1}{\SI{0,12}{\metre}}] = \SI{300}{\volt} \text{.} \end{multiline}

W drugim etapie $V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}$ w zmiennych biegunowych przybiera postać

\prefop{\Delta} V = - \int_0^{2/15} \frac{kq}{r^2} \hat{r} \cdot r\hat{\varphi}\d \varphi \text{,}

7.8

(całkujemy po kącie od $\ang{0}\$ do $\ang{24}\$ , czyli $2/15 \si{\radian}$ ), ale ponieważ $\hat{r} \cdot \hat{φ} = 0$ , dostajemy $Δ V = 0 V$ . Dodając oba częściowe wyniki, otrzymujemy ostatecznie $300 V$ .

Znaczenie

Zastosowaliśmy metodę obliczania różnicy potencjałów przy pomocy całki z natężenia pola do obliczenia wyników numerycznych napięcia w konkretnych przypadkach rozkładu ładunków. Zauważ, że w tym akurat przypadku równie dobrze moglibyśmy po prostu zastosować wzór na potencjał pola ładunku punktowego (w polu centralnym), co doprowadziłoby do tego samego wyniku, nawet w prostszy sposób.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.7

Na podstawie wyników z powyższych przykładów oceń, jak energia wyładowania atmosferycznego zależy od wysokości chmur nad ziemią. Załóż, że poziom gruntu i chmur tworzy układ dwóch równoległych płyt wykonanych z przewodnika.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań i problemów proponujemy zapoznanie się ze strategią rozwiązywania problemów fizycznych z zakresu elektrostatyki.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: elektrostatyka

Zbadaj zadanie pod kątem tego, czy dotyczy zagadnień z elektrostatyki; w tym celu zastanów się, czy masz do czynienia z układem pojedynczych i nieruchomych ładunków, z siłami między nimi i polami przez nie wytwarzanymi.
Zidentyfikuj, jak wygląda układ ładunków: jaka jest ilość, położenie i rodzaj ładunków? Może okazać się potrzebny schematyczny rysunek z przedstawieniem sytuacji fizycznej.
Określ, co dokładnie ma zostać obliczone (jakie są niewiadome). Przydatna może być lista szukanych, jeśli jest ich więcej. Określ, czy występuje siła Coulomba – jeśli tak, warto naszkicować przebieg linii pola i określić wektor siły.
Wypisz, jakie wielkości są znane na podstawie treści zadania (jakie są dane). Zwróć uwagę szczególnie na rozróżnienie między siłą Coulomba $F$ a natężeniem pola $E$ .
Rozwiąż odpowiednie równanie ze względu na niewiadomą, podstaw dane i oblicz wartości. Jeśli to koniecznie, zrób rysunek ilustrujący wynik.
Oceń, czy otrzymany rezultat ma sens fizyczny? Czy jednostki są prawidłowe i wartość liczbowa jest prawdopodobna?