7.1 Elektryczna energia potencjalna

Podczas przyspieszania dodatniego ładunku elektrycznego $q$ zwiększa się jego energia kinetyczna (zob. Ilustracja 7.2). Efekt ten jest analogiczny do rozpędzania ciała w polu grawitacyjnym – to tak, jakbyśmy ładunek elektryczny spuszczali z „elektrycznej góry”, powodując zamianę jego energii potencjalnej na kinetyczną. Oczywiście źródła sił są w obu przypadkach zupełnie różne. Spróbujmy określić pracę wykonaną przez pole elektryczne podczas rozpędzania ładunku $q$, co pozwoli nam zdefiniować elektryczną energię potencjalną.

Ilustracja 7.2 Przyspieszanie ładunku w polu elektrycznym jest podobne do staczającej się ze wzniesienia kulki. W obu przypadkach energia kinetyczna rośnie kosztem energii potencjalnej, $-\Delta E_{\text{p}}=\Delta E_{\text{k}}$. Pracę w tych przypadkach wykonuje siła (elektrostatyczna lub grawitacyjna), która jest jednocześnie siłą zachowawczą, dlatego możemy zapisać $W=-\Delta E_{\text{p}}$.

Siła elektrostatyczna Coulomba jest siłą zachowawczą, co oznacza, że praca wykonana nad ładunkiem $q$ przez tę siłę jest niezależna od drogi, co szczegółowo zademonstrujemy później. Dokładnie tak samo jest w przypadku siły grawitacji. Dla sił zachowawczych potrafimy zdefiniować energię potencjalną związaną z tą siłą (mówimy czasem, że siły zachowawcze są siłami potencjalnymi). Efektem wykonanej pracy może być zmiana energii potencjalnej, którą łatwiej obliczać, bo zależy jedynie od położenia.

Zobaczymy to na następującym przykładzie: mamy dwa ładunki dodatnie, z których pierwszy, $+q$, jest nieruchomy, a w jego stronę zbliża się drugi o wielkości $+Q$ w taki sposób, że w każdym momencie siła $\overrightarrow{F}$ do niego przyłożona (powodująca ruch w stronę ładunku $q$) równoważy siłę elektrostatycznego odpychania ${\overrightarrow{F}}_{\text{e}}$ działającą na $Q$ (Ilustracja 7.3). Nieruchomy ładunek nazwiemy ładunkiem „źródłowym”, a ładunek $Q$ – ładunkiem „próbnym”. Jest to mały ładunek dodatni niezaburzający pola pochodzącego od ładunku źródłowego (za jego pomocą dokujemy „próbkowania” pola od ładunku źródłowego). Praca wykonana przez siłę $\overrightarrow{F}$ działającą na $Q$ zmienia energię potencjalną tego ładunku. Energię tę nazywamy elektryczną energią potencjalną (ang. electric potential energy) ładunku $Q$.

Ilustracja 7.3 Ruch ładunku próbnego $Q$ w polu wytwarzanym przez ładunek źródłowy $q$.

Praca $W_{12}$ siły zewnętrznej $\overrightarrow{F}$ potrzebna do przesunięcia ładunku z punktu $P_1$ do punktu $P_2$ może być obliczona jako

Skoro siła zewnętrzna $\overrightarrow{F}$ równoważy siłę elektrostatyczną ${\overrightarrow{F}}_{\text{e}}$, to obie siły mają równe wartości i przeciwne zwroty. Zatem wektor siły zewnętrznej jest następujący

gdzie za dodatni kierunek przyjęliśmy kierunek od ładunku źródłowego, a przez $r$ oznaczyliśmy odległość od ładunku źródłowego do ładunku próbnego. Siła i wektor przemieszczenia są do siebie równoległe i mają przeciwne zwroty (zob. Ilustracja 7.3), zatem praca siły zewnętrznej jest dodatnia.

Do oznaczenia energii potencjalnej użyjemy oznaczenia $E_{\text{p}}$, natomiast jednostką energii potencjalnej jest dżul ($\mathrm{J}$). Gdy siła zachowawcza wykonuje ujemną pracę, układ zwiększa swoją energię potencjalną. Z kolei dodatnia praca siły zachowawczej oznacza zawsze ubytek energii potencjalnej, dlatego zapiszemy $\Delta E_{\text{p}}=-W$. W układzie na Ilustracji 7.3 siła Coulomba działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia, więc jej praca jest ujemna. Jednak energia potencjalna w tym układzie dwóch ładunków wzrosła. To siła zewnętrzna wykonuje dodatnią pracę, w wyniku czego powiększa energię potencjalną układu.

Przykład 7.1

Energia kinetyczna naładowanej cząstki

Ładunek $Q$ o wartości $+3\mathrm{nC}$ znajduje się początkowo w spoczynku w odległości $10\mathrm{cm}$ ($r_1$) od ładunku $q$ o wartości $+5\mathrm{nC}$, który znajduje się w początku układu współrzędnych (Ilustracja 7.4). Oczywiście ładunek $Q$ jest odpychany od ładunku $q$, wskutek czego przemieszcza się na odległość $15\mathrm{cm}$ (położenie $r_2$).

Ilustracja 7.4 Ładunek $Q$ jest odpychany od ładunku $q$. Wykonana nad nim praca zamienia się w jego energię kinetyczną.

1. Jaką pracę wykonało pole elektryczne na przeniesienie ładunku $Q$ z $r_1$ do $r_2$?
2. Jaką energię kinetyczną ładunek $Q$ posiada w położeniu $r_2$?

Strategia rozwiązania

Obliczymy pracę na podstawie definicji. Ponieważ ładunek $Q$ początkowo spoczywał, praca ta będzie równa końcowej energii kinetycznej ładunku.

Rozwiązanie

1. Całkując siłę po wielkości przemieszczenia, otrzymujemy
2. Taka sama jest wartość energii kinetycznej w położeniu $r_2$.

Znaczenie

Ładunek $Q$ początkowo spoczywał; pole elektryczne wytwarzane przez ładunek $q$ wykonało pracę na przemieszczenie $Q$, która w całości została zamieniona na energię kinetyczną ładunku $Q$.

W powyższym przykładzie praca $W$ wykonana podczas przyspieszania dodatniego ładunku jest dodatnia, a jej źródłem jest zmniejszenie się energii potencjalnej $E_{\text{p}}$ (inaczej: ujemna zmiana energii potencjalnej $\Delta E_{\text{p}}$). Wartość $E_{\text{p}}$ możemy znaleźć dla dowolnego punktu, jeśli ustalimy pewien punkt odniesienia i względem niego obliczymy pracę potrzebną do przeniesienia ładunku do innego punktu.

Nasze rozważania dotyczące elektrycznej energii potencjalnej są bardzo podobne do dyskusji o energii potencjalnej grawitacji, co z pewnością zauważyłeś. Energia potencjalna jest zawsze związana z pracą siły zachowawczej i wnosi dodatkowe informacje o energii i zmianach energii ciała lub układu, bez konieczności rozważania bezpośrednio samej siły. Jest to bardzo wygodne i praktyczne podejście. W praktyce o wiele częściej używamy pojęcia elektrycznej energii potencjalnej (w skrócie mówimy: energii elektrycznej), niż odwołujemy się do np. siły Coulomba.

Znajdziemy teraz ogólne wyrażenie na energię potencjalną elektryczną w polu centralnym. W układzie współrzędnych sferycznych, przy ładunku $q$ umieszczonym w środku układu oraz ładunku $Q$ umieszczonym w odległości $r$, wektor przemieszczenia wynosi $d\overrightarrow{l}=\hat{r}dr$, dzięki czemu łatwo obliczymy całkę krzywoliniową i w rezultacie pracę

Zwróćmy uwagę, że wynik zależy jedynie od skrajnych położeń ładunku, a nie od toru. Przyjrzyjmy się bliżej temu zagadnieniu – przeanalizujemy dwie różne ścieżki, po których przemieszczamy ładunki: $P_1$ do $P_2$ oraz ścieżkę $P_1{P}_3{P}_4{P}_2$ z Ilustracji 7.5.

Ilustracja 7.5 Dwie ścieżki, po których między punktami $P_1$ i $P_2$ przemieszczamy ładunek. Praca wykonana na odcinkach $P_1{P}_3$ oraz $P_4{P}_2$ jest zerowa, bo siła elektrostatyczna jest wtedy prostopadła do przemieszczenia. Odcinki $P_1{P}_2$ i $P_3{P}_4$ są identyczne, więc praca wykonana na obu ścieżkach $P_1{P}_2$ oraz $P_1{P}_3{P}_4{P}_2$ jest w rezultacie taka sama.

Dwa fragmenty $P_1{P}_3$ oraz $P_4{P}_2$ są łukami okręgu o środku w $q$. Ponieważ siła Coulomba działająca na ładunek $Q$ jest centralna – zwrócona jest do ładunku $q$, albo przeciwnie, zawsze wzdłuż promienia okręgu – siła zewnętrzna (o kierunku przeciwnym do siły Coulomba) nie wykonuje pracy, ponieważ jest prostopadła do tych łuków w każdym punkcie. Zatem praca jest niezerowa jedynie na odcinku $P_3{P}_4$, który jest taki sam jak $P_1{P}_2$.

Dodatkowym wnioskiem płynącym z powyższych obliczeń jest to, że praca wykonana na pętli $P_1{P}_3{P}_4{P}_2{P}_1$ byłaby zerowa (Ilustracja 7.6). Przypomnij sobie, że w taki właśnie sposób określaliśmy, czy siła jest zachowawcza, czy nie. Co więcej, ponieważ siła elektrostatyczna jest związana z natężeniem pola elektrycznego relacją $\overrightarrow{F}=Q\overrightarrow{E}$, to mówimy, że samo pole elektryczne jest polem zachowawczym (lub też polem potencjalnym), ponieważ

Cały czas zakładamy, że ładunek źródłowy $q$ jest stały i nieruchomy (elektrostatyka zajmuje się ładunkami w spoczynku).

Ilustracja 7.6 Praca po zamkniętym torze w polu elektrycznym jest równa zero.

Kolejnym wnioskiem wynikającym z powyższego będzie wzór na energię potencjalną pola elektrycznego. Przypomnij sobie jeszcze, że praca siły zachowawczej jest równa różnicy energii potencjalnych w dwóch punktach. W takim razie praca $W_{\text{ref}}$ potrzebna do przeniesienia ładunku od punktu referencyjnego do interesującego nas punktu może być obliczona jako

a na podstawie wzoru z Równania 7.1 różnica energii potencjalnych ($E_{\text{p}⁣1}-E_{\text{p}⁣2}$) ładunku próbnego $Q$ pomiędzy dwoma punktami wynosi

W takim razie ogólne wyrażenie na energię potencjalną między dwoma ładunkami w polu centralnym jest następujące

Drugi składnik różnicy we wzorze możemy przyjąć jako zupełnie dowolny poziom odniesienia w pomiarze energii potencjalnej (poziom zerowy). Dlatego

Wygodnym wyborem poziomu odniesienia jest nieskończoność – zgodnie z naszą intuicją oraz definicją siły Coulomba oddziaływanie między ładunkami dąży do zera, gdy oddalimy je na nieskończoną odległość. (Możesz wrócić do dyskusji o poziomie odniesienia dla energii potencjalnej w rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii). Jeśli energię potencjalną w nieskończoności przyjmiemy jako równą zero, to składnik $E_{\text{p ref}}$ w powyższej definicji znika. To tak, jakbyśmy przyjęli podłoże (powierzchnię Ziemi albo blat stołu) jako poziom odniesienia w zagadnieniach dotyczących ruchu w polu grawitacyjnym. Zatem wzór na energię potencjalną ładunku $Q$, umieszczonego w odległości $r$ od ładunku $q$ wytwarzającego centralne pole elektryczne, przyjmuje ostatecznie postać

Powyższy wzór jest symetryczny ze względu na kolejność ładunków $q$ i $Q$, dlatego doskonale opisuje energię potencjalną w układzie dowolnych dwóch ładunków.

Przykład 7.2

Energia potencjalna naładowanego ciała

Ładunek $Q$ o wartości $+3\mathrm{nC}$ znajduje się początkowo w spoczynku w odległości $10\mathrm{cm}$ ($r_1$) od nieruchomego i umieszczonego w początku układu współrzędnych ładunku $q$, którego wartość to $+5\mathrm{nC}$ (Ilustracja 7.7). Pod wpływem odpychającej siły Coulomba ładunek $Q$ oddala się od ładunku źródła $q$, osiągając w pewnym momencie odległość $15\mathrm{cm}$ ($r_2$).

Ilustracja 7.7 Ładunek $Q$ jest odpychany od ładunku źródłowego $q$, w wyniku czego kosztem wykonanej przez siłę elektrostatyczną pracy maleje jego energia potencjalna.

Ile wynosi zmiana energii potencjalnej układu ładunków przy przemieszczeniu $Q$ od $r_1$ do $r_2$?

Strategia rozwiązania

Obliczymy zmianę energii potencjalnej na podstawie definicji: $\Delta E_{\text{p}1⁣2}=-\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$. Ponieważ ładunek $Q$ początkowo spoczywał, wielkość ta będzie równa przyrostowi energii kinetycznej ładunku.

Rozwiązanie

Mamy

Znaczenie

Tak jak się można było spodziewać, zmiana energii potencjalnej jest ujemna i co do wartości bezwzględnej równa przyrostowi energii kinetycznej. Przypomnij sobie, że w Przykładzie 7.1 zmiana energii kinetycznej była dodatnia.

Dla siły elektrostatycznej Coulomba podaliśmy zasadę superpozycji – siły działające na ładunek próbny, pochodzące od układu wielu ładunków możemy policzyć niezależnie, a wypadkowa siła jest sumą wektorową tych sił. Wobec tego także prace (całki z sił), a przez to również energie potencjalne, spełniają zasadę superpozycji. Zademonstrujemy to na przykładzie układu czterech ładunków umieszczonych w wierzchołkach kwadratu.

Przykład 7.3

Układ czterech ładunków dodatnich

Obliczmy pracę, jaką siła zewnętrzna musi wykonać na przeniesienie czterech ładunków dodatnich o wartościach $+2\mathrm{\mu C}$, $+3\mathrm{\mu C}$, $+4\mathrm{\mu C}$ oraz $+5\mathrm{\mu C}$ z nieskończoności do wierzchołków kwadratu o boku $1\mathrm{cm}$ (Ilustracja 7.8).

Ilustracja 7.8 Jaką pracę trzeba wykonać, aby utworzyć taki układ ładunków?

Strategia rozwiązania

Po kolei przenosimy każdy z ładunków z nieskończoności kolejno do każdego z wierzchołków kwadratu i obliczamy, jaką pracę musimy przy tym wykonać. Bez żadnej przyczyny fizycznej, a jedynie dla porządku zaczniemy od najmniejszego ładunku i zestawimy układ w kolejności do największego.

Rozwiązanie

Krok 1. Najpierw przenosimy ładunek $+2\mathrm{\mu C}$ do dowolnego z wierzchołków. Przyjmijmy, że ten wierzchołek leży w początku układu współrzędnych. Ponieważ w skończonej odległości od tego ładunku nie mamy żadnych innych ładunków, praca, jaką wykonaliśmy wynosi

$$W_1=0\mathrm{J}\text{.}$$

Krok 2. Utrzymując ładunek $+2\mathrm{\mu C}$ w początku układu współrzędnych, przenosimy kolejny ładunek $+3\mathrm{\mu C}$ do położenia $\left(x,y,z\right)=\left(1\mathrm{cm},0\mathrm{cm},0\mathrm{cm}\right)$ (Ilustracja 7.9). Teraz nasza siła musi wykonać pracę przeciwko odpychającej sile elektrostatycznej między ładunkami. Praca siły zewnętrznej jest równa zmianie energii potencjalnej ładunku $+3\mathrm{\mu C}$

$$W_2=k\frac{q_1{q}_2}{r_{12}}=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2∕{\mathrm{C}}^2\cdot \frac{2\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}\cdot 3\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}}{{10}^{-2}\mathrm{m}}=\mathrm{5,4}\mathrm{J}\text{.}$$

Ilustracja 7.9 Praca $W_2$ potrzebna do przeniesienia ładunku $+3\mathrm{\mu C}$ z nieskończoności do wybranego z wierzchołków kwadratu.

Krok 3. Utrzymujemy ładunki $+2\mathrm{\mu C}$ i $+3\mathrm{\mu C}$ nieruchomo w ich położeniach i przenosimy kolejny ładunek o wartości $+4\mathrm{\mu C}$ do punktu o współrzędnych $\left(x,y,z\right)=\left(1\mathrm{cm},1\mathrm{cm},0\mathrm{cm}\right)$ (Ilustracja 7.10). Praca wykonana w tym etapie wynosi

Ilustracja 7.10 Praca $W_3$ potrzebna do przeniesienia ładunku $+4\mathrm{\mu C}$ z nieskończoności do dowolnego z wierzchołków.

Krok 4. Wreszcie do ostatniego wierzchołka o współrzędnych $\left(x,y,z\right)=\left(0\mathrm{cm},1\mathrm{cm},0\mathrm{cm}\right)$ przenosimy z nieskończoności ładunek $+5\mathrm{\mu C}$, a pierwsze trzy ładunki pozostawiamy nieruchome (Ilustracja 7.11). Praca potrzebna do tego wynosi

Ilustracja 7.11 Praca $W_4$ potrzebna do przeniesienia ładunku $+5\mathrm{\mu C}$ z nieskończoności do nieobsadzonego wierzchołka.

Zatem całkowita praca wykonana przez siłę zewnętrzną do utworzenia układu jest sumą wszystkich poszczególnych prac potrzebnych do przeniesienia kolejno ładunków z nieskończoności do punktów, odpowiadających wierzchołkom kwadratu

$$W_{\text{cał}}=W_1+W_2+W_3+W_4=0\mathrm{J}+\mathrm{5,4}\mathrm{J}+\mathrm{15,9}\mathrm{J}+\mathrm{36,5}\mathrm{J}=\mathrm{57,8}\mathrm{J}\text{.}$$

Znaczenie

Praca wykonana nad każdym ładunkiem zależy tylko od oddziaływań parami z kolejnymi ładunkami. Nie ma potrzeby rozpatrywania dodatkowych, bardziej skomplikowanych oddziaływań (np. trójciałowych). Praca wykonana nad trzecim ładunkiem zależy jedynie od jego oddziaływania z ładunkiem pierwszym i drugim, osobno. Oddziaływanie między ładunkiem pierwszym i drugim na nią nie wpływa. Mówimy, że charakter oddziaływania siły Coulomba (tak jak siły grawitacji Newtona) jest dwuciałowy.

Zwróćmy uwagę, że elektryczna energia potencjalna jest dodatnia, jeśli dwa ładunki są jednoimienne, a ujemna, jeśli ładunki są różnoimienne. Ta zależność stanie się jeszcze bardzie zrozumiała, jeśli pomyślimy o zmianie energii potencjalnej $\Delta E_{\text{p}}$ przy próbie oddalenia i zbliżenia dwóch ładunków. W zależności od znaku ładunków to my będziemy musieli wykonać pracę nad układem ładunków albo pole elektryczne samo wykona tę pracę za nas, zatem nasza praca będzie dodatnia lub ujemna. Jeśli jesteśmy zmuszeni wykonać dodatnią pracę nad układem, to energia układu powinna wzrosnąć. Jeśli np. chcemy zbliżyć do siebie dwa ładunki jednoimienne (oba dodatnie lub ujemne), to wykonamy dodatnią pracę, która spowoduje powiększenie energii układu. Ponieważ w polu centralnym energia potencjalna zależy od odległości jak $1∕r$, jej wartość rośnie, gdy odległość $r$ między ładunkami maleje.

Z drugiej strony, gdy chcemy zbliżyć do siebie ładunek dodatni i ujemny, nasza praca jest ujemna (ładunki same się przyciągają), co oznacza, że odbieramy energię układowi ładunków, przez co maleje energia potencjalna układu. Ponieważ w tym przypadku (ładunki różnoimienne) energia jest zawsze ujemna, wzrost wartości wyrażenia $1∕r$ powoduje, że energia staje się „bardziej ujemna”, co oznacza jednocześnie pomniejszenie energii potencjalnej.

Wynik uzyskany w Przykładzie 7.1 może być zastosowany do dowolnej liczby ładunków wchodzących w skład układu. W takim ogólnym przypadku wyrażenie na pracę potrzebną do utworzenia układu ładunków możemy zapisać w postaci wzoru

Czynnik $1∕2$ uwzględnia fakt, że w powyższej sumie każdą parę ładunków liczymy dwukrotnie.