William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

obliczać potencjał elektryczny ładunku punktowego;
obliczać potencjał pola układu ładunków punktowych;
opisywać dipol elektryczny;
definiować moment dipolowy;
obliczać potencjał ciągłego rozkładu ładunków.

Ładunki punktowe, takie jak elektrony, są podstawowymi budulcami materii. Co więcej, sferycznie symetryczne rozkłady ładunków (jak np. naładowana metalowa sfera albo kula) wytwarzają wokół siebie pole identyczne z tym, które jest wytwarzane przez ładunki punktowe. Dlatego umiejętność wyznaczania potencjału ładunku punktowego jest ważna i przydatna w wielu przypadkach fizycznych.

Wykorzystując całkową definicję pracy potrzebnej do przemieszczenia ładunku próbnego $q$ z nieskończoności do punktu odległego o $r$ od ładunku źródłowego oraz na podstawie związku pracy i różnicy potencjałów, $W = - q Δ V$ , opisanego w poprzednim podrozdziale, możemy otrzymać następujący wniosek.

Potencjał elektryczny ładunku punktowego

Potencjał elektryczny $V$ wytworzony przez nieruchomy ładunek punktowy dany jest następującym wzorem

V = \frac{kq}{r} \text{,}

7.9

gdzie $k$ jest stałą elektrostatyczną o wartości $8,99 \cdot 10^{9} N m^{2} ∕ C^{2}$ (często będziemy zaokrąglać tę liczbę do $9 \cdot 10^{9} N m^{2} ∕ C^{2}$ ).

Zastosowaliśmy tutaj konwencję, zgodnie z którą potencjał elektryczny w nieskończoności wynosi zero. Wtedy potencjał $V$ ładunku punktowego maleje wraz z odległością od źródła pola, podczas gdy wartość natężenia pola $\vec{E}$ wytwarzanego przez ładunek punktowy maleje proporcjonalnie do odwrotności kwadratu odległości

E = \frac{F}{q_{0}} = \frac{k q}{r^{2}} .

Przez $q_{0}$ oznaczyliśmy tym razem ładunek próbny. Pamiętaj także, że potencjał jest wielkością skalarną, natomiast natężenie jest wektorem, który ma wartość, kierunek i zwrot. Aby znaleźć wypadkowy potencjał układu ładunków, dodajesz potencjały poszczególnych ładunków jak liczby, natomiast wypadkowe natężenie pola jest wektorową sumą natężeń pół wytwarzanych przez poszczególne ładunki. Skalarny charakter potencjału jest związany z tym, że jest on zdefiniowany za pomocą energii, która jest skalarem, natomiast wektorowy charakter natężenia wynika z definicji natężenia odnoszącej się do siły Coulomba, która jest wektorem.

Przykład 7.10

Potencjał metalowej kuli

Wielkość ładunku elektrycznego, jaki spotykamy w typowych zagadnieniach elektrostatyki, jest rzędu nanokulombów (

nC

) lub mikrokulombów (

µC

). Jaki potencjał panuje w odległości

5 cm

od środka metalowej kulki o promieniu długości

1 cm

, na której zgromadzono ładunek

- 3 nC

?

Strategia rozwiązania

Tak jak mówiliśmy w rozdziale Ładunki elektryczne i pola, ładunek zgromadzony wewnątrz metalowej kuli rozkłada się zawsze równomiernie i symetrycznie na powierzchni, przez co wytwarza wokół pole, tak jak wokół ładunku punktowego. Możemy traktować cały ładunek kuli jak ładunek punktowy umieszczony w jej środku. W takim przypadku obowiązuje wzór

V = k q ∕ r

.

Rozwiązanie

Podstawiamy dane do wzoru na potencjał ładunku punktowego

V = k \frac{q}{r} = 8,99 \cdot 10^{9} N m^{2} ∕ C^{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 10^{- 9} C}{5 \cdot 10^{- 2} m} = - 539 V .

Znaczenie

Ujemna wartość potencjału oznacza, że ładunek dodatni byłby przyciągany do ładunku źródłowego, natomiast ładunek ujemny byłby od niego odpychany.

Przykład 7.11

Generator Van de Graaffa

Generator Van de Graaffa (ang. Van de Graaff generator) służy do wytwarzania dużych ładunków elektrycznych. Demonstracyjna wersja generatora posiada metalową czaszę w kształcie sfery o średnicy

25 cm

, która pozwala na uzyskiwanie napięcia o wartości

100 kV

przy powierzchni czaszy (Ilustracja 7.18). Jaki nadmiarowy ładunek jest zgromadzony na sferze przy takim napięciu? Podajmy wynik z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Rysunek przedstawia schemat generatora Van de Graaffa.

Ilustracja 7.18 Napięcie w tym modelu demonstracyjnym generatora Van de Graaffa mierzone jest między powierzchnią sferycznej czaszy generatora a podłożem. Potencjał Ziemi jest przyjęty jako zerowy poziom odniesienia. Potencjał naładowanej sfery jest dokładnie taki sam jak potencjał ładunku punktowego o identycznej wielkości, zgromadzonego w środku czaszy.

Strategia rozwiązania

Potencjał sferycznej czaszy jest taki sam jak potencjał ładunku punktowego umieszczonego w środku sfery, w odległości

12,5 cm

od tego ładunku (promień czaszy wynosi

12,5 cm

). Ładunek nadmiarowy zgromadzony na powierzchni czaszy obliczymy za pomocą wzoru

V = \frac{k q}{r} .

Rozwiązanie

Ze wzoru wyznaczamy

q

i podstawiamy dane

q = \frac{r V}{k} = \frac{0,125 m \cdot 100 \cdot 10^{3} V}{8,99 \cdot 10^{9} N m^{2} ∕ C^{2}} = 1,39 \cdot 10^{- 6} C = 1,39 µC .

Znaczenie

Obliczony ładunek jest raczej mały, mimo to wystarcza do wytworzenia całkiem dużego potencjału. Na podstawie tego zadania możemy też zobaczyć, że nie jest łatwo przechowywać odizolowane ładunki elektryczne. Nawet niewielka ich liczba wytwarza duże różnice potencjałów, które mogą doprowadzić do „przebicia”.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.8

Jaki potencjał panuje wewnątrz metalowej sfery z Przykładu 7.10?

W obu powyższych przykładach pomiaru napięcia moglibyśmy dokonać za pomocą prostego miernika, który porównywałby wielkość potencjału w danym punkcie z potencjałem Ziemi. Potencjał podłoża często przyjmujemy jako zerowy (zamiast nieskończoności jako punktu odniesienia). W problemach fizycznych ważna jest najczęściej różnica potencjałów, dlatego wybór punktu odniesienia nie jest bardzo istotny, możemy milcząco założyć, że jest to powierzchnia Ziemi, albo bardzo odległy punkt (w nieskończoności). Sytuacja jest podobna do wyboru poziomu morza czy gruntu ( $h = 0 m$ ) jako poziomu zerowej energii potencjalnej, gdy określamy ją wzorem $E_{p} = m g h$ .

Układy wielu ładunków

Zasada superpozycji, którą poznałeś dla natężenia pola, obowiązuje także dla potencjału. Rozważmy układ $N$ ładunków $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{N}$ . Jaki wypadkowy potencjał $V$ panuje w punkcie $P$ w pewnej odległości od tego układu ładunków? Każdy z ładunków wchodzących w skład układu jest ładunkiem źródłowym, który w punkcie $P$ wytwarza swój własny potencjał, niezależnie od pozostałych ładunków. Niech $V_{1}, V_{2}, \dots, V_{N}$ oznaczają potencjały w punkcie $P$ wytworzone przez odpowiednie ładunki $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{N}$ . Wypadkowy potencjał $V_{P}$ w tym punkcie jest równy sumie wszystkich pojedynczych potencjałów

V_{P} = V_{1} + V_{2} + \dots + V_{N} = \sum_{i = 1}^{N} V_{i} .

Zauważmy, że co do konstrukcji matematycznej zasada superpozycji dla potencjału jest dokładnie taka sama jak zasada superpozycji dla natężenia pola i energii potencjalnej. Zasadę superpozycji dla potencjału łatwo udowodnić, obliczając całkowitą energię potencjalną ładunku próbnego przenoszonego od punktu odniesienia do punktu $P$ . Załóżmy, że odległości ładunku próbnego $q_{0}$ umieszczonego w punkcie $P$ od $N$ ładunków źródłowych wynoszą odpowiednio $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{N}$ , jak pokazano na Ilustracji 7.19. Używając wzoru na potencjał ładunku punktowego dla każdego z ładunków źródłowych (o których zakładamy, że są punktowe), otrzymujemy

V_{P} = \sum_{i = 1}^{N} k \frac{q_{i}}{r_{i}} = k \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{i}} .

7.10

W takim razie energia potencjalna ładunku próbnego wynosi

E_{p⁣ P} = q_{0} V_{P} = q_{0} k \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{i}},

co jest wartością pracy wykonanej podczas przenoszenia ładunku próbnego w pobliże układu ładunków, jak pokazaliśmy w pierwszej części tego rozdziału.

Rysunek przedstawia N ładunków rozmieszczonych w różnych odległościach od punktu stałego P.

Ilustracja 7.19 Definicja odległości od ładunków źródłowych do wybranego punktu

P

w przestrzeni.

Dipol elektryczny

Dipol elektryczny (ang. electric dipole) to układ dwóch ładunków o jednakowych wartościach, ale przeciwnych znakach, umieszczonych w stałej odległości od siebie. Dipol jest wykorzystywany często w modelowaniu wielu rzeczywistych układów w fizyce, jak choćby modelu wiązań chemicznych między cząsteczkami lub atomami. W pewnych warunkach możemy przyjąć, że także cząsteczka wody jest dipolem. Taki obraz jest słuszny chociażby w przypadku kuchenki mikrofalowej, gdzie wytwarzane pole elektryczne o zmiennym kierunku powoduje gwałtowną i częstą zmianę orientacji cząsteczek wody. Pod wpływem tych wibracji rośnie energia cieplna cząsteczek, dzięki czemu nasza potrawa się podgrzewa.

Przykład 7.12

Potencjał dipola

Rozważmy przypadek dipola z Ilustracji 7.20 o ładunku

q = 3 nC

i rozmiarze

d = 4 cm

. Jaki potencjał dipol wytwarza w punkcie

$A = (\SI{0}{\centi\metre}, \SI{0}{\centi\metre}, \SI{1}{\centi\metre})$ ;
$B = (\SI{0}{\centi\metre}, \SI{0}{\centi\metre}, -\SI{5}{\centi\metre})$ ;
$C = (\SI{3}{\centi\metre}, \SI{0}{\centi\metre}, \SI{2}{\centi\metre})$ ?

Rysunek przedstawia dipol elektryczny z dwoma ładunkami (3,0 nC oraz -3,0 nC) rozmieszczonymi niezależnie na osi z. Środek dipola jest w początku układu współrzędnych i zaznaczone są trzy inne punkty (0; 0; 1,0 cm), (0; 0; –5,0 cm) i (3.0 cm; 0; 2,0 cm).

Ilustracja 7.20 Ogólny schemat budowy dipola, z zaznaczonymi położeniami kolejnych punktów, w których szukamy potencjału.

Strategia rozwiązania

Do każdego z położeń zastosujemy wzór

V_{P} = k \sum_{i = 1}^{N} q_{i} ∕ r_{i}

.

Rozwiązanie

$V_A = k \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r_i} = \SI{9e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot (\frac{\SI{3}{\nano\coulomb}}{\SI{0,01}{\metre}} - \frac{\SI{3}{\nano\coulomb}}{\SI{0,03}{\metre}}) = \SI{1,8e3}{\volt} \text{;}$
$V_B = k \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r_i} = \SI{9e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot (\frac{\SI{3}{\nano\coulomb}}{\SI{0,07}{\metre}} - \frac{\SI{3}{\nano\coulomb}}{\SI{0,03}{\metre}}) = -\SI{5,1e2}{\volt} \text{;}$
$V_C = k \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r_i} = \SI{9e9}{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} \cdot (\frac{\SI{3}{\nano\coulomb}}{\SI{0,03}{\metre}} - \frac{\SI{3}{\nano\coulomb}}{\SI{0,05}{\metre}}) = \SI{3,6e2}{\volt} \text{.}$

Znaczenie

Zwróćmy uwagę, że wyznaczanie wypadkowego potencjału jest zasadniczo prostsze niż obliczanie wypadkowego natężenia pola, ponieważ potencjał jest wielkością skalarną.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.9

Jaki potencjał wytwarza dipol z powyższego przykładu wzdłuż osi $x$ i $z$ ?

Rozważmy teraz szczególny przypadek, gdy odległość punktu $P$ od środka dipola jest dużo większa niż rozmiar dipola (czyli odległość między ładunkami): $r ≫ d$ ; takie uproszczenie będzie dla nas wystarczające w większości przypadków, np. gdy pytamy o potencjał spolaryzowanej cząsteczki wody. Odległość, dla której stosujemy takie uproszczenie, nie jest wystarczająca (jest dużo mniejsza od nieskończoności), żeby potencjał spadał aż do zera, ale jest na tyle duża, by uproszczenie było możliwe. Uzyskamy wynik, który jest o wiele prostszy niż ten otrzymany metodą przedstawioną w przykładzie powyżej.

Zgodnie z oznaczeniami na Ilustracji 7.21 potencjał wypadkowy możemy zapisać jako sumę

V_{P} = V_{+} + V_{-} = k (\frac{q}{r_{+}} - \frac{q}{r_{-}}),

gdzie

r_{\pm} = \sqrt{x^{2} + {(z \mp \frac{d}{2})}^{2}} .

Rysunek przedstawia dipol elektryczny umieszczony na osi z, z centrum w środku układu. Punkt oznaczony P jest umieszczony w (x, 0, z) i oddalony o r od środka dipola.

Ilustracja 7.21 Ogólny schemat dipola z oznaczeniem odległości punktu

P

od poszczególnych ładunków.

Powyższe wyrażenie jest pełnym wzorem na potencjał dipola, bez żadnych przybliżeń. Zanim dokonamy przybliżenia $r ≫ d$ , wyraźmy długości promieni w zmiennych biegunowych (rozważamy dwuwymiarowy problem na płaszczyźnie): $x = r sin θ$ oraz $z = r cos θ$ . Otrzymujemy

r_x = \sqrt{r^2 \sin^2 \theta + (r\cos \theta \mp \frac{d}{2})^2} \text{.}

Wyłączmy $r$ przed pierwiastek

r_x = r \sqrt{\sin^2 \theta + (\cos \theta \mp \frac{d}{2r})^2}

i obliczmy kwadrat pod pierwiastkiem

r_x = r\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \mp \frac{d}{r} \cos \theta + (\frac{d}{2r})^2} = r \sqrt{1 \mp \frac{d}{r} \cos \theta + (\frac{d}{2r})^2} \text{.}

Teraz możemy dokonać przybliżeń. Ostatni składnik pod pierwiastkiem z powodzeniem może być zaniedbany (pamiętaj, że $r ≫ d$ , wobec czego ${(d ∕ r)}^{2}$ jest bardzo małe – tak małe, że na poziomie dokładności pomiarowej możemy je pominąć). Pozostaje

r_{\pm} = r \sqrt{1 \mp cos θ \frac{d}{r}} .

Dalszego przybliżenia dokonamy z użyciem rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy – gdy $α$ jest małe, możemy zastosować następujące rozwinięcie Taylora

\frac{1}{\sqrt{1 \mp α}} \approx 1 \pm \frac{α}{2},

gdzie uwzględniliśmy tylko dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia. Stosując to przybliżenie do naszego wzoru na $V_{P}$ , otrzymujemy

V_{P} = k [\frac{q}{r} (1 + \frac{d cos θ}{2 r}) - \frac{q}{r} (1 - \frac{d cos θ}{2 r})] = k \frac{q d cos θ}{r^{2}} .

Ten wynik możemy zapisać w jeszcze wygodniejszej postaci, wprowadzając pojęcie elektrycznego momentu dipolowego (ang. electric dipole moment)

\vec{p} = q \vec{d} .

7.11

Oba wektory w tym wzorze są skierowane od ładunku ujemnego do ładunku dodatniego (to jest tylko konwencja, której jednak wszyscy fizycy się trzymają). Zauważ, że wektor $\vec{p}$ ma wartość $q d$ . Przy użyciu wektora elektrycznego momentu dipolowego możemy zapisać potencjał w punkcie $P$ od dipola w przybliżeniu dla dużych odległości jako

V_{P} = k \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^{2}} .

7.12

Sposób użycia tego wzoru przedstawiamy schematycznie na diagramie (Ilustracja 7.22).

Rysunek pokazuje dwa wektory r i p oraz kąt theta pomiędzy nimi.

Ilustracja 7.22 Diagram wektorowy ilustrujący zastosowanie wzoru na potencjał elektryczny dipola.

Oprócz momentu dipolowego istnieją także momenty wyższego rzędu, takie jak moment kwadrupolowy, oktupolowy itd. Być może poznasz je na bardziej zaawansowanych kursach elektrodynamiki klasycznej. Potencjał pola układu ładunków można przybliżyć przez potencjał dipola, jak wyżej, ale także przez momenty wyższych rzędów. Procedura ta nazywa się rozwinięciem multipolowym.

Potencjał ciągłego rozkładu ładunków

Do tej pory pracowaliśmy z dyskretnym rozkładem ładunku (układem ładunków punktowych). Jak jednak znaleźć potencjał pola ciągłego rozkładu ładunku? Przypomnij sobie, że według Równania 7.10

V_{P} = k \sum \frac{q_{i}}{r_{i}} .

Ciągły rozkład ładunków możemy traktować jako układ nieskończenie małych, ale oddzielnych ładunków punktowych. W takim razie sumowanie w powyższym wzorze możemy zamienić na całkowanie

V_{P} = k \int \frac{d q}{r} .

7.13

Otrzymaliśmy wzór całkowy na potencjał w punkcie $P$ ciągłego rozkładu ładunku. Zwróć uwagę, że $r$ w tym wzorze jest odległością każdego kolejnego małego ładunku punktowego $d q$ od punktu $P$ . Zależy więc od ładunku (zmiennej całkowania), co musimy uwzględnić przed przystąpieniem do całkowania. Jak pamiętamy z rozdziału Ładunki elektryczne i pola, nieskończenie małe ładunki możemy wyrazić, w zależności od wymiaru przestrzeni, następująco

\d q = \left{\begin{matrix} \lambda \d l &\text{ (rozkład liniowy, jeden wymiar)} \\ \sigma \d S &\text{ (rozkład powierzchniowy, dwa wymiary)} \\ \rho \d V &\text{ (rozkład objętościowy, trzy wymiary),} \end{matrix} \right.

gdzie $λ$ jest gęstością liniową ładunku o wymiarze $C ∕ m$ , $σ$ jest gęstością powierzchniową ładunku o wymiarze $C ∕ m^{2}$ , natomiast $ρ$ jest gęstością objętościową ładunku o wymiarze $C ∕ m^{3}$ .

Przykład 7.13

Potencjał pola liniowego rozkładu ładunku

Znajdźmy potencjał pola wytworzonego przez nieprzewodzący pręt o długości

L

, naładowany jednorodnie ładunkiem o gęstości liniowej

λ

(o wymiarze

C ∕ m

) w punkcie leżącym na symetralnej, w dowolnej odległości

x

od środka pręta.

Strategia rozwiązania

Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych o początku w środku pręta, osi

y

skierowanej wzdłuż pręta do góry oraz osi

x

przechodzącej przez punkt

P

, który leży w płaszczyźnie

x⁣ y

. W tej sytuacji końce pręta mają współrzędne

y = \pm L ∕ 2

. Wybór układu współrzędnych przedstawia [link].

Rysunek przedstawia ładunek liniowy rozmieszczony wzdłuż osi y, której początek jest w środku układu. Punkt P jest umieszczony na osi x w odległości x od środka układu.

Ilustracja 7.23 Obliczanie potencjału elektrycznego ładunku punktowego.

Rozwiązanie

Rozważmy element ładunku

d q

umieszczony na odcinku o długości

d y

między punktami

y

oraz

y + d y

, który możemy wyrazić za pomocą gęstości liniowej

d q = λ d y

. Odległość od tego ładunku do punktu

P

wynosi

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

. Położenie ładunku zmienia się od jednego końca pręta do drugiego, z czego wynikają granice całkowania. Zatem potencjał wynosi

\begin{multiline} V_P &= k \int \frac{\d q}{r} = k \int_{-L/2}^{L/2} \frac{\lambda \d y}{\sqrt{x^2+y^2}} = k \lambda [\ln(y+ \sqrt{y^2+x^2})]_{y=-L/2}^{y=L/2} \\ &= k \lambda [\ln(\frac{L}{2}+ \sqrt{(\frac{L}{2})^2+x^2}) - \ln(-\frac{L}{2}+ \sqrt{(-\frac{L}{2})^2+x^2})] \\ &= k \lambda \ln[\frac{L+ \sqrt{L^2+4x^2}}{-L+ \sqrt{L^2+4x^2}}] \text{.} \end{multiline}

Znaczenie

Zauważmy, że po raz kolejny obliczanie potencjału okazało się łatwiejsze niż obliczanie natężenia pola. Potencjał jest skalarem. Zwróć uwagę, że dla skończonej wartości ładunku liniowego spodziewamy się, że w nieskończoności potencjał spada do zera. Sprawdźmy, czy nasz wzór to pokazuje. Obliczmy granicę powyższego wyrażenia przy

x

zdążającym do nieskończoności. W naszym przypadku ułamek pod logarytmem zmierza do jedności, a więc rzeczywiście potencjał spada do zera. Zauważ też, że całkowanie mogliśmy równie dobrze przeprowadzić w zmiennych cylindrycznych, które dobrze oddają symetrię rozkładu ładunków (ładunek liniowy leży wzdłuż osi cylindra), a jedyną zmianą byłoby zastąpienie

x

przez

r

oraz

y

przez

z

.

Przykład 7.14

Potencjał pola naładowanego pierścienia

Cienki pierścień o promieniu

R

jest naładowany ładunkiem o gęstości liniowej

λ

. Znajdźmy zależność potencjału od odległości dla punktu na prostej przechodzącej przez środek pierścienia i do niego prostopadłej.

Strategia rozwiązania

Zastosujemy dokładnie tę samą strategię co w przypadku naładowanego pręta. Jedyna różnica w tym zadaniu jest taka, że ładunek jest rozłożony wzdłuż pierścienia, dlatego całkowanie przeprowadzimy w zmiennych biegunowych, które są wygodniejsze w przypadku symetrii kołowej. Układ współrzędnych i notację pokazujemy na Ilustracji 7.24.

Rysunek przedstawia pierścień naładowany jednorodnie umieszczony na płaszczyźnie xy w początku układu. Punkt P jest umieszczony na osi z w odległości z od środka układu.

Ilustracja 7.24 Ilustracja do obliczenia potencjału naładowanego pierścienia.

Rozwiązanie

Element długości w zmiennych biegunowych między położeniami kątowymi

θ

i

θ + d θ

wynosi

R d θ

, więc ładunek zgromadzony w tym elemencie jest równy

λ R d θ

. Odległość od punktu

P

wynosi

\sqrt{z^{2} + R^{2}}

. Z definicji całkowej wynika, że potencjał pierścienia naładowanego jednorodnie wynosi

V_{P} = k \int \frac{d q}{r} = k \int_{0}^{2 π} \frac{λ R d θ}{\sqrt{z^{2} + R^{2}}} = \frac{k λ R}{\sqrt{z^{2} + R^{2}}} \int_{0}^{2 π} d θ = \frac{2 π k λ R}{\sqrt{z^{2} + R^{2}}} = k \frac{q_{cał}}{\sqrt{z^{2} + R^{2}}} .

Znaczenie

Wynik całkowania jest bardzo prosty, czego mogliśmy się spodziewać, skoro każdy element długości łuku jest w stałej odległości od środka okręgu, a więc i od punktu

P

. Stąd potencjał wypadkowy w punkcie

P

odpowiada sytuacji, gdy całkowity ładunek zgromadzony w pierścieniu został umieszczony w odległości

\sqrt{z^{2} + R^{2}}

od punktu

P

.

Przykład 7.15

Potencjał pola jednorodnie naładowanego dysku

Cienki dysk o promieniu

R

jest naładowany jednorodnie ładunkiem o gęstości powierzchniowej

σ

. Znajdźmy potencjał w dowolnym punkcie na osi dysku.

Strategia rozwiązania

Podzielimy dysk na układ cienkich pierścieni o nieskończenie małej grubości i wykorzystamy wynik z poprzedniego przykładu. W rezultacie oprócz całkowania po kącie

θ

wykonamy też całkowanie po współrzędnej radialnej

r

wzdłuż promienia dysku. Przyjęte oznaczenia zobrazowano na Ilustracji 7.25.

Rysunek przedstawia dysk naładowany jednorodnie ładunkiem elektrycznym umieszczony na płaszczyźnie xy w początku układu. Punkt P jest umieszczony na osi z w odległości z od środka układu.

Ilustracja 7.25 Chcemy obliczyć potencjał elektryczny naładowanego jednorodnie dysku.

Rozwiązanie

Pierścień o nieskończenie małej grubości z przedziału

r

i

r + d r

w zmiennych biegunowych (jak na Ilustracji 7.25) ma w punkcie

r

potencjał

d V_{P}

, wyrażony przez

d V_{P} = k \frac{d q}{\sqrt{z^{2} + r^{2}}},

gdzie

d q = σ 2 π r d r .

Superpozycja potencjałów wszystkich cienkich pierścieni daje wypadkowy potencjał pola całego dysku w punkcie $P$ . Obliczymy go, całkując po zmiennej radialnej w zakresie od $r = 0$ do $r = R$

V_{P} = \int d V_{P} = k 2 π σ \int_{0}^{R} \frac{r d r}{\sqrt{z^{2} + r^{2}}} = k 2 π σ (\sqrt{z^{2} + R^{2}} - \sqrt{z^{2}}) .

Znaczenie

Standardowym sposobem obliczania potencjału dysku jest najpierw całkowanie po

θ

, a następnie po

r

. Ta druga całka może być bardziej skomplikowana, niż w przykładzie, który właśnie rozważaliśmy, bo gęstość powierzchniowa ładunku może zależeć dodatkowo od

r

, podczas gdy tu była stała. Wynik całkowania będzie wtedy inny.

Przykład 7.16

Potencjał pola nieskończenie długiego przewodu

Obliczmy potencjał w dowolnym punkcie oddalonym od nieskończenie długiego przewodu naładowanego jednorodnie.

Strategia rozwiązania

Skoro dysponujemy rozwiązaniem dla skończonego przewodu o długości

L

, znalezionym w Przykładzie 7.13, to najprostszym pomysłem jest, obliczyć granicę przy

L ⟶ \infty

z wyrażenia

V_{P} = lim_{L ⟶ \infty} k λ ln (\frac{L + \sqrt{L^{2} + 4 x^{2}}}{- L + \sqrt{L^{2} + 4 x^{2}}}) .

Okazuje się, że granicę taką nie jest łatwo policzyć. Przy $L ⟶ \infty$ pod logarytmem otrzymujemy symbol nieoznaczony $[2 ∕ 0]$ , więc ten sposób nie doprowadzi nas szybko do wyniku. Uzasadnienie tego, dlaczego takie podejście zawodzi, przynosi obserwacja, że tym razem ładunek rozciąga się do nieskończoności, a nie jest zlokalizowany w pręcie o skończonym rozmiarze. Wobec tego nasze ciche założenie, że potencjał w nieskończoności wynosi zero, nie jest dłużej zasadne.

Zastosujemy zatem inne podejście. Wykorzystamy zależność potencjału od natężenia w postaci całkowej, które dla nieskończonego przewodu ustaliliśmy w poprzednim rozdziale.

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór

V_{P} = - \int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d \vec{l},

gdzie $R$ jest skończoną odległością od ładunku liniowego do punktu, w którym przyjmujemy poziom odniesienia dla potencjału, jak pokazano na Ilustracji 7.26.

Rysunek pokazuje nieskończoną prostą wzdłuż osi z obdarzoną ładunkiem. Punkty P i R są umieszczone na osi x.

Ilustracja 7.26 Definicje punktów charakterystycznych przy obliczaniu potencjału pola nieskończenie długiej prostej naładowanej ładunkiem jednorodnym.

Przy takich założeniach do całki wstawimy $E_P = 2k\lambda / r \cdot \hat{i}$ oraz $\d \vec{l} = \d \vec{r}$ i łatwo ją obliczymy

V_P - V_R = -\int_R^P 2k\lambda \frac{\d r}{r} = - 2k\lambda \ln \frac{r_P}{r_R} \text{.}

Przyjmijmy teraz, że potencjał $V_{R} = 0 V$ w punkcie odniesienia, dla którego $r_R = \SI{1}{\metre}$ . Jest to zupełnie arbitralny wybór, ale nasz wynik upraszcza się wtedy do końcowej postaci

V_P = -2l\lambda \ln r_P \text{.}

Zauważmy, że ten wynik jest całkiem wiarygodny. Potencjał rzeczywiście wynosi zero w odległości $1 m$ od przewodu i jest nieokreślony w nieskończoności, z którego to powodu nie mogliśmy przyjąć nieskończoności jako punktu odniesienia.

Znaczenie

W większości przypadków, obliczanie potencjału dla rozkładu ciągłego ładunku jako superpozycji przyczynków do potencjału dyskretnych, nieskończenie małych ładunków jest bardzo wygodne i łatwo pozwala otrzymać wynik. Znaleźliśmy jednak taki przykład układu, gdy ta metoda zawodzi. Z pomocą może wtedy przyjść definicja potencjału jako całki z natężenia pola, które możemy znać skądinąd. Dociekliwy Czytelnik z pewnością zauważy, że granicę w powyższej definicji

V_P

można było obliczyć, wykorzystując rozwinięcie w szereg Maclaurina przy

x/L \to 0

, po uprzednim podzieleniu licznika i mianownika przez

L

. Podejście takie da wzór na potencjał postaci

V_P = 2k \lambda \ln (L/x)

dla punktu

P

w odległości

x

od prostoliniowego przewodnika, jeśli odległość ta jest bardzo mała w porównaniu z długością przewodnika (albo długość przewodnika jest o wiele większa niż odległość do punktu

P

). Jeżeli zażądamy, aby

L ⟶ \infty

, to nadal otrzymamy

V_{P} ⟶ \infty

. W tych obliczeniach nadal zakładamy położenie punktu referencyjnego w nieskończoności, gdzie tym razem przecież istnieje ładunek. Możemy postąpić podobnie do strategii rozwiązania tego zadania. Jeżeli punkt referencyjny, w którym

V_{R} = 0

, przeniesiemy do punktu

r_{R}

, to potencjał w punkcie

P

obliczymy następująco:

V_{P} = 2 k λ ln (L ∕ r_{P}) - 2 k λ ln (L ∕ r_{R}) = - 2 k λ ln (r_{P} ∕ r_{R})

. Jeżeli

r_{R} = 1 m

, to otrzymujemy wynik taki sam, jak powyżej. Należy pamiętać, że nie w każdym przypadku ciągłego rozkładu ładunku możemy przyjąć, że potencjał jest zerowy w nieskończoności.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.10

Jaki jest potencjał w dowolnym punkcie na osi cienkiego pierścienia naładowanego niejednorodnie ładunkiem o gęstości liniowej zależnej od kąta tak, jak $λ (θ) = λ_{0} cos θ$ ( $λ_{0}$ jest stałą)?

7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego

Potencjał metalowej kuli

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Generator Van de Graaffa

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Układy wielu ładunków

Dipol elektryczny

Potencjał dipola

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Potencjał ciągłego rozkładu ładunków

Potencjał pola liniowego rozkładu ładunku

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Potencjał pola naładowanego pierścienia

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Potencjał pola jednorodnie naładowanego dysku

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Potencjał pola nieskończenie długiego przewodu

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie