Cel dydaktyczny
- obliczać różnicę potencjałów i ładunek zgromadzony na okładkach połączonych kondensatorów;
- wyznaczać pojemność zastępczą kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle.
W wielu zastosowaniach wygodnie jest użyć więcej niż jednego kondensatora. Układ taki zachowuje się jak pojedynczy kondensator o innych właściwościach. Jego całkowita pojemność zależy od pojemności poszczególnych kondensatorów oraz od sposobu ich połączenia. Istnieją dwie podstawowe metody łączenia kondensatorów: łączenie szeregowe (ang. series combination) i łączenie równoległe (ang. parallel combination), dla których łatwo obliczyć pojemność zastępczą. Bardziej złożone układy można budować przez łączenie wielu kondensatorów szeregowo i równolegle.
Łączenie szeregowe kondensatorów
Na Ilustracji 8.11 przedstawiono trzy kondensatory połączone w obwodzie w sposób szeregowy. Tak jak w przypadku pojedynczych kondensatorów pojemność zastępcza ich układu wiąże się z ładunkiem i napięciem zgodnie z Równaniem 8.1. Po podłączeniu układu kondensatorów połączonych szeregowo do akumulatora o napięciu U na okładkach każdego z nich gromadzi się identyczny ładunek Q. Aby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, musimy pamiętać, że ładunek na okładce połączonej z dodatnim biegunem akumulatora wynosi +Q, a ładunek na okładce połączonej z biegunem ujemnym wynosi −Q. Następnie na pozostałych okładkach ładunki indukują się w taki sposób, aby ich całkowita suma w obwodzie oraz suma na każdej sąsiadującej parze okładek była równa zero. Spadek potencjału U1=Q∕C1 na jednym kondensatorze nie musi być jednak równy spadkowi potencjału U2=Q∕C2 na innym kondensatorze, ponieważ mogą one mieć różne pojemności elektryczne. Połączenie szeregowe dwóch lub większej liczby kondensatorów jest tożsame z pojedynczym kondensatorem (zastępczym), którego pojemność (zwana pojemnością zastępczą (ang. equivalent capacitance)) jest mniejsza od najmniejszej z pojemności łączonych kondensatorów. Ładunek na takim kondensatorze zastępczym równa się ładunkowi na każdym z kondensatorów w układzie.
Wyrażenie na pojemność zastępczą układu można uzyskać na podstawie analizy napięcia na każdym z kondensatorów. Spadki potencjału na kondensatorach 1, 2 i 3 to odpowiednio U1=Q∕C1, U2=Q∕C2 i U3=Q∕C3. Muszą się one sumować do napięcia na akumulatorze, co daje równość
Na kondensatorze zastępczym o ładunku Q i pojemności zastępczej CS napięcie wynosiłoby U. Po podstawieniu wyrażenia na U1, U2 i U3, otrzymamy
Po skróceniu przez ładunek Q otrzymamy wyrażenie na pojemność zastępczą CS trzech kondensatorów połączonych szeregowo
Wyrażenie to można uogólnić, by odnosiło się do dowolnej liczby kondensatorów połączonych szeregowo.
Łączenie szeregowe
Dla kondensatorów połączonych szeregowo odwrotność pojemności zastępczej jest równa sumie odwrotności pojemności kondensatorów składowych
Przykład 8.4
Pojemność zastępcza układu kondensatorów połączonych szeregowo
Obliczmy pojemność zastępczą dla trzech kondensatorów połączonych szeregowo, wiedząc, że ich pojemności wynoszą 1µF, 5µF i 8µF.Strategia rozwiązania
Ponieważ układ składa się tylko z trzech kondensatorów, jego pojemność zastępczą możemy obliczyć z Równania 8.7 dla trzech składowych.Rozwiązanie
Podane pojemności podstawiamy do Równania 8.7Następnie odwracamy wynik i otrzymujemy
Znaczenie
Zauważmy, że dla układu kondensatorów połączonych szeregowo wypadkowa pojemność jest zawsze mniejsza niż najmniejsza z pojemności kondensatorów składowych.Łączenie równoległe kondensatorów
Na Ilustracji 8.12 (a) przedstawiono układ trzech kondensatorów połączonych równolegle. Jedna okładka każdego z nich podłączona jest do jednego bieguna akumulatora, druga zaś do drugiego. Ponieważ kondensatory są połączone równolegle, to na każdym z nich występuje takie samo napięcie U, jednakże zgromadzone ładunki mogą być różne. Aby obliczyć pojemność zastępczą CR układu, musimy uwzględnić fakt, że całkowity ładunek Q jest sumą ładunków na poszczególnych kondensatorach
Lewą stronę tego wyrażenia przekształcamy zgodnie z zależnością Q=CRU dla układu jako całości. Po prawej stronie wykorzystujemy zależności Q1=C1U, Q2=C2U oraz Q3=C3U dla każdego z kondensatorów z osobna. W ten sposób otrzymujemy
Po skróceniu przez U równanie to opisuje pojemność zastępczą układu trzech kondensatorów połączonych równolegle
Łatwo uogólnić je do postaci dla dowolnej liczby kondensatorów połączonych równolegle.
Łączenie równoległe
Dla kondensatorów połączonych równolegle pojemność zastępcza jest sumą pojemności wszystkich kondensatorów
Przykład 8.5
Pojemność zastępcza układu kondensatorów połączonych równolegle
Obliczmy pojemność zastępczą dla trzech kondensatorów połączonych równolegle, wiedząc, że ich pojemności wynoszą 1µF, 5µF i 8µF.Strategia rozwiązania
Ponieważ układ składa się tylko z trzech kondensatorów, jego pojemność zastępczą możemy obliczyć z Równania 8.8 dla trzech składowych.Rozwiązanie
Po podstawieniu podanych pojemności do Równania 8.8 otrzymamyZnaczenie
Zauważmy, że dla układu kondensatorów połączonych równolegle pojemność jest zawsze większa niż pojemność każdego z kondensatorów składowych.Łączenie równoległe i szeregowe kondensatorów
Układy kondensatorów to najczęściej zestawienia kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle, tak jak na Ilustracji 8.13. Aby obliczyć pojemność zastępczą takich układów, należy odszukać podukłady, w których występuje tylko jeden typ łączenia, i wyliczyć ich pojemności zastępcze. Następnie proces powtarza się aż do momentu, gdy będzie możliwe ustalenie pojemności zastępczej całego układu. Proces ten przedstawiono na poniższym przykładzie.
Przykład 8.6
Pojemność zastępcza układu kondensatorów
Obliczmy pojemność zastępczą układu kondensatorów przedstawionego na Ilustracji 8.13. Odpowiedź zaokrąglimy do trzech miejsc po przecinku.Strategia rozwiązania
Najpierw sprawdzamy, które kondensatory są połączone szeregowo, a które równolegle. Kondensatory C1 i C2 są połączone szeregowo. Ich kondensator zastępczy o pojemności CS jest połączony równolegle z kondensatorem C3.Rozwiązanie
C1 i C2 są połączone szeregowo, zatem ich pojemność zastępczą CS możemy obliczyć z Równania 8.7Kondensator zastępczy CS jest połączony równolegle z kondensatorem C3, zatem aby obliczyć pojemność zastępczą Crw dla całego układu, stosujemy Równanie 8.8
Przykład 8.7
Układ kondensatorów
Obliczmy pojemność zastępczą C układu kondensatorów przedstawionego na Ilustracji 8.14, jeśli ich pojemności wynoszą C1=12µF, C2=2µF i C3=4µF. Obliczmy także ładunek i napięcie na każdym z kondensatorów, jeśli układ podłączony jest do napięcia 12V.Strategia rozwiązania
Najpierw należy obliczyć pojemność zastępczą C23 równoległego połączenia kondensatorów C2 i C3. Pojemność całkowita C jest wtedy pojemnością zastępczą szeregowo połączonych kondensatorów o pojemnościach C1 i C23. Z równości C=Q∕U wyliczamy ładunki Q1, Q2 i Q3 oraz napięcia U1, U2 i U3 odpowiednio na kondensatorach o pojemnościach C1, C2 i C3.Rozwiązanie
Pojemność zastępcza dla kondensatorów C2 i C3 wynosiCały układ trzech kondensatorów jest równoważny szeregowemu połączeniu dwóch kondensatorów C1 i C23, a więc
Rozważmy równoważny układ dwóch kondensatorów przedstawiony na Ilustracji 8.14 (b). Kondensatory połączone są szeregowo, dlatego mają na okładkach równe ładunki Q1=Q23. Podłączone są do jednego źródła prądu, a więc
Różnica potencjałów na okładkach kondensatora C1 wynosi
Ponieważ kondensatory C2 i C3 są połączone równolegle, napięcie jest na nich jednakowe
Ładunki na nich wynoszą więc odpowiednio
Znaczenie
Zgodnie z przypuszczeniami ładunek na układzie połączonych równolegle kondensatorów C2 i C3 wynosi Q23=Q2+Q3=48µC.Sprawdź, czy rozumiesz 8.5
Oblicz pojemność zastępczą dla każdego z przedstawionych poniżej układów kondensatorów. Załóż, że C1=1pF, C2=2pF, C3=4pF i C4=5pF. Oblicz ładunek na każdym z kondensatorów przy założeniu, że każdy z układów podłączony jest do źródła prądu o różnicy potencjałów 12V.