8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze

8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze

Większość z nas widziała filmy i seriale, w których lekarze używają defibrylatora, aby przywrócić prawidłową akcję serca, przepuszczając przez nie impuls elektryczny. Jeśli twórcy przywiązywali wagę do szczegółów, bohater mówi niekiedy do współpracownika: „daj mi 400 dżuli”. Energia dostarczana przez defibrylator zmagazynowana jest w kondensatorze i może być regulowana w zależności od potrzeb. Jej ilość często podaje się w jednostkach układu SI, czyli dżulach. Mniej dramatycznym zastosowaniem kondensatorów jest dostarczanie energii podczas ładowania baterii urządzeń mikroelektronicznych (Ilustracja 8.15). Kondensatory wykorzystuje się również jako źródło energii dla lamp błyskowych w aparatach.

Energia $E_C$ zgromadzona w kondensatorze jest energią potencjalną elektrostatyczną, a więc związaną z ładunkiem $Q$ oraz napięciem $U$ pomiędzy okładkami. Naładowany kondensator magazynuje energię w polu elektrycznym między okładkami. Podczas jego ładowania pole to staje się coraz silniejsze. Po odłączeniu naładowanego kondensatora od akumulatora energia pozostaje w polu elektrycznym między okładkami.

Żeby ustalić, jak energia może się wyrażać przez $Q$ i $U$, rozważmy przypadek naładowanego płaskiego kondensatora próżniowego. Przestrzeń między jego okładkami ma objętość $Sd$ (pole okładek $S$ pomnożone przez odległość $d$ między nimi) i panuje w niej jednorodne pole elektryczne $\overrightarrow{E}$. Cała energia $E_C$ zgromadzona w kondensatorze zawiera się w tej przestrzeni. Gęstość energii (ang. energy density) $u_E$ w tym obszarze to po prostu $E_C$ podzielone przez objętość $Sd$. Jeśli znamy gęstość energii, możemy obliczyć energię ze wzoru $E_C=u_{E}Sd$. Z rozdziału Fale elektromagnetyczne (po przyswojeniu materiału dotyczącego równań Maxwella) dowiemy się, że gęstość energii $u_E$ w polu elektrycznym $\overrightarrow{E}$ w próżni zależy jedynie od natężenia pola i wynosi

Po pomnożeniu gęstości energii przez objętość między okładkami otrzymamy całkowitą energię zgromadzoną w kondensatorze płaskim

W powyższym wyprowadzeniu wykorzystaliśmy fakt, że pole elektryczne między okładkami jest jednorodne, a więc $E=U∕d$ oraz $C={\epsilon }_{0}S∕d$. Ponieważ $C=Q∕U$, wynik ten możemy wyrazić w innych, równoważnych postaciach

Wyrażenie z Równania 8.10 na energię zgromadzoną w kondensatorze płaskim jest w ogólności prawdziwe dla każdego typu kondensatora. Żeby to wykazać, weźmy dowolny nienaładowany kondensator. Podłączenie go do źródła prądu wytwarza różnicę potencjałów $U=q∕C$ między jego okładkami. Na początku ładunek na okładkach wynosi $q=0\mathrm{C}$. W miarę ładowania ilość ładunku na okładkach stopniowo rośnie, aż po pewnym czasie osiąga wartość $Q$. Teraz przeniesienie nieskończenie małego ładunku $dq$ z okładki ujemnej na dodatnią wymaga wykonania nad $dq$ pracy $dW=Udq=q∕C\cdot dq$.

Praca ta przekształca się w energię magazynowaną w polu elektrycznym kondensatora. Całkowita praca wymagana do naładowania kondensatora do ładunku $Q$ wynosi

Ponieważ nie określiliśmy geometrii kondensatora, powyższe równanie jest prawdziwe dla każdego jego typu. Całkowita praca $W$ potrzebna, aby naładować kondensator, równa się energii potencjalnej $E_C$ zgromadzonej między okładkami, czyli $E_C=W$. Jeśli ładunek wyrazimy w kulombach, potencjał w woltach, a pojemność elektryczną w faradach, to równanie da wartość energii w dżulach.

Gdy wiemy, że energię zgromadzoną w kondensatorze wyraża wzór $E_C=Q^2∕\left(2C\right)$, możemy obliczyć gęstość energii $u_E$ w próżni pomiędzy okładkami naładowanego kondensatora płaskiego. Wystarczy, że podzielimy $E_C$ przez objętość $Sd$ przestrzeni pomiędzy okładkami, pamiętając, że dla kondensatora płaskiego $E=\sigma ∕{\epsilon }_0$ i $C={\epsilon }_{0}S∕d$. Otrzymujemy więc zależność

Widzimy, że to wyrażenie na gęstość energii w kondensatorze płaskim pokrywa się z ogólnym wyrażeniem zawartym w Równaniu 8.9. Moglibyśmy powtórzyć te obliczenia dla kondensatora kulistego, walcowego i innych typów, ale zawsze otrzymalibyśmy tę samą ogólną zależność z Równania 8.9.

W przypadku nagłej niewydolności serca przenośne urządzenie elektroniczne nazywane automatycznym defibrylatorem zewnętrznym (ang. automated external defibrillator, AED) może uratować życie. Defibrylator (Ilustracja 8.16) przesyła do serca pacjenta duży ładunek w postaci krótkiego impulsu, zwanego wstrząsem elektrycznym, aby przywrócić naturalny rytm bicia serca, zakłócony przez arytmię. Atak serca może wystąpić w konsekwencji nieregularnych skurczów serca, zwanych migotaniem komór. Silny elektrowstrząs jest w stanie przerwać arytmię i pozwolić sercu powrócić do naturalnego rytmu skurczów. Defibrylatory są obecnie standardowym wyposażeniem karetek pogotowia. AED można również znaleźć w wielu miejscach publicznych. Są one przystosowane do używania przez osoby nieprzeszkolone. Zazwyczaj urządzenie samodzielnie diagnozuje rytm serca pacjenta, a następnie wysyła elektrowstrząs o odpowiednich energii i kształcie fali. Przed użyciem defibrylatora zwykle zaleca się przeprowadzenie resuscytacji krążeniowo-oddechowej.