Zadania
2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
Nadciśnienie w oponach samochodu wyprodukowanego w Gliwicach wynosi 2,5⋅105N∕m2 w temperaturze 35°C. Samochód ten jest eksportowany koleją na północ Norwegii. Jakie będzie nadciśnienie w tych oponach, jeżeli nocą temperatura na miejscu spadnie do −40°C? Załóż, że ilość powietrza w oponach się nie zmienia.
Załóż, że ciśnienie gazu w rurze lampy jarzeniowej jest równe ciśnieniu atmosferycznemu, gdy temperatura lampy wynosi 20°C.
- Wyznacz nadciśnienie panujące w rurze ciepłej lampy, zakładając, że jej średnia temperatura wynosi 60°C (w przybliżeniu), i pomijając zmiany jej objętości spowodowane rozszerzalnością cieplną oraz wycieki gazu;
- Rzeczywiste ciśnienie gazu w rurze lampy jarzeniowej powinno być mniejsze od obliczonego w części (a) ze względu na rozprężanie (rozciąganie) szkła lampy. Czy efekt ten jest znaczący?
Ludzie kupujący żywność w szczelnych torebkach często zauważają, że torebki te puchną, gdyż powietrze wewnątrz nich się rozszerza. Torebka precli została zapakowana pod ciśnieniem 1atm i w temperaturze 22°C. Gdy została otwarta na letnim pikniku na Giewoncie w temperaturze 32°C, objętość powietrza w torebce była 1,38 razy większa od objętości oryginalnej. Jakie było ciśnienie powietrza?
Ile moli zawartych jest w
- 0,05g azotu – N2 (M=28g∕mol);
- 10g dwutlenku węgla – CO2 (M=44g∕mol)?
- Ile cząsteczek zawartych jest w każdej próbce gazu?
Sześcienny zbiornik o objętości 2l zawiera 0,5mol gazowego azotu o temperaturze 25°C. Jaką wartość ma siła, z jaką azot działa na jedną ze ścian zbiornika? Porównaj tę siłę z ciężarem azotu.
Oblicz liczbę moli powietrza w płucach przeciętnego człowieka o objętości 2l. Przyjmij, że powietrze ma temperaturę 37°C (temperatura ciała). Zauważ, że całkowita objętość płuc jest kilkakrotnie większa od objętości typowego wdechu podanej w Przykładzie 2.2.
Pewien pasażer samolotu startującego z lotniska położonego na poziomie morza posiadał w swoim żołądku 100cm3 powietrza. Jaka będzie objętość tego powietrza na wysokości podróżnej, jeżeli ciśnienie wewnątrz kabiny pasażerskiej spadło do 7,5⋅105N∕m2?
Pewna firma dostarcza w butlach o objętości 43,8l hel o nadciśnieniu 1,72⋅107N∕m2. Ile balonów o objętości 4l można napełnić taką ilością helu? Przyjmij, że ciśnienie helu w balonach wynosi 1,01⋅105N∕m2 oraz że temperatura helu w butli i w balonach wynosi 25°C.
Zgodnie z tym źródłem, atmosfera Wenus składa się objętościowo z 96,5% CO2 oraz z 3,5% N2. Jaka jest gęstość atmosfery Wenus na jej powierzchni, gdzie panuje temperatura ok. 750K oraz ciśnienie ok. 90atm?
Za pomocą najlepszych (i kosztownych) systemów próżniowych można uzyskać najniższe ciśnienia rzędu 10-7N∕m2 w temperaturze 20°C. Ile cząsteczek gazu znajduje się w 1cm3 w takich warunkach?
Koncentracja cząsteczek gazu N∕V w pewnym miejscu przestrzeni kosmicznej w pobliżu naszej planety wynosi 1011m-3, a ciśnienie jest równe 2,75⋅10-10Pa. Jaka temperatura panuje w tym miejscu?
Opona rowerowa zawiera 2l gazu o temperaturze 18°C i pod ciśnieniem bezwzględnym 7⋅105N∕m2. Jakie będzie ciśnienie w tej oponie, jeżeli usuniemy z niej taką ilość powietrza, która pod ciśnieniem atmosferycznym zajmuje objętość 100cm3? Załóż, że temperatura opony i jej objętość się nie zmieniają.
W popularnym doświadczeniu butelkę po ogrzaniu zatyka się ugotowanym na twardo jajkiem, które jest nieco większe niż szyjka butelki. Kiedy butelka się ochładza, różnica ciśnień między jej wnętrzem i zewnętrzem wpycha jajko do środka butelki. Załóżmy, że butelka ma objętość 0,5l, a temperatura w jej wnętrzu została podniesiona do 80°C przy stałym ciśnieniu 1atm, gdyż butelka jest otwarta.
- Ile moli powietrza znajduje się w butelce?
- Zamykamy butelkę za pomocą jajka. Jakie będzie ciśnienie nadmiarowe wewnątrz butelki tuż przed wepchnięciem jajka do jej środka, jeżeli powietrze wewnątrz ochłodziło się do temperatury pokojowej 25°C?
Wysokociśnieniowa butla zawiera 50l toksycznego gazu pod ciśnieniem 1,4⋅107N∕m2 i o temperaturze 25°C. Butla została ochłodzona do temperatury suchego lodu (−78,5°C), aby zredukować ciśnienie i wielkość wycieku, co umożliwi jej bezpieczną naprawę.
- Jakie jest końcowe ciśnienie w butli po jej ochłodzeniu? Załóż, że wyciek gazu jest pomijalny i gaz nie ulega skropleniu;
- Jakie będzie ciśnienie końcowe, jeżeli jedna dziesiąta masy gazu wycieknie z butli podczas jej schładzania?
- Do jakiej temperatury należałoby schłodzić butlę, aby zredukować ciśnienie gazu do 1atm? Załóż, że gaz w butli się nie skrapla oraz nie ma wycieku gazu podczas schładzania;
- Czy schładzanie butli opisane w podpunkcie (c) można uznać za praktyczne rozwiązanie?
Oblicz liczbę moli gazu o objętości 2l, temperaturze 35°C i pod ciśnieniem 7,41⋅107Pa.
Oblicz grubość warstwy piłeczek pingpongowych pokrywających Ziemię, jeżeli ich liczba jest równa liczbie Avogadra. Każda piłeczka ma średnicę 3,75cm. Załóż, że wolna przestrzeń między piłeczkami daje dodatkowy wkład w wysokości 25% ich objętości, a piłeczki nie są zgniatane pod własnym ciężarem.
- Ile wynosi nadciśnienie w oponie samochodowej o objętości 30l, zawierającej 3,6mol gazu o temperaturze 25°C?
- Jakie będzie nadciśnienie w tej oponie, jeżeli wpompujemy do niej powietrze o temperaturze 25°C oryginalnie zajmujące objętość 1l pod ciśnieniem atmosferycznym? Temperatura i objętość opony się nie zmieniają.
2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
We wszystkich zadaniach w tym podrozdziale zakładamy, że rozpatrywane gazy są gazami doskonałymi.
Tenisista uderza piłki tenisowe o masie 0,058kg w kierunku ściany. Średnia wartość składowej prędkości piłki prostopadłej do ściany wynosiła 11m∕s, piłki uderzały w ścianę średnio co 2,1s i odbijały się z tą samą wartością składowej prostopadłej prędkości.
- Ile wynosi wartość średniej siły wywieranej na ścianę przez piłki?
- Ile wynosi średnie ciśnienie wywierane przez piłki na ścianę, jeżeli uderzają one w obszar o powierzchni 3m2?
Gracz znajdujący się w pomieszczeniu do racquetballa (gra podobna do squasha) o objętości V=453m3 bez przerwy wybija wokół siebie zupełnie przypadkowo piłkę o masie m=42g. Średnia energia kinetyczna piłki wynosi 2,3J.
- Ile wynosi średnia wartość v2x? Czy ma znaczenie, w którym kierunku zostanie poprowadzona oś x?
- Stosując metody przedstawione w tym rozdziale, oblicz średnie ciśnienie wywierane przez piłkę na ściany pomieszczenia;
- Dodatkowo, biorąc pod uwagę, że w tym zadaniu mamy tylko jedną „cząsteczkę”, wyjaśnij, które z głównych założeń przyjętych w podrozdziale Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa nie jest tutaj spełnione?
Pięciu rowerzystów jedzie z następującymi prędkościami: 5,4m∕s, 5,7m∕s, 5,8m∕s, 6m∕s, 6,5m∕s.
- Ile wynosi ich średnia prędkość?
- Ile wynosi ich średnia prędkość kwadratowa?
Niektóre lampy jarzeniowe wypełnia się argonem. Ile wynosi średnia prędkość kwadratowa atomów argonu znajdujących się w pobliżu żarnika takiej lampy o temperaturze 2500K?
Typowe wartości prędkości cząsteczek (średnie prędkości kwadratowe) są duże, nawet w niskich temperaturach. Ile wynosi średnia prędkość kwadratowa atomów helu w temperaturze 5K, która o niecały stopień przewyższa jego temperaturę skraplania?
Odpowiedz na poniższe pytania.
- Ile wynosi średnia energia kinetyczna w dżulach atomów wodoru na powierzchni Słońca o temperaturze 5500°C?
- Ile wynosi średnia energia kinetyczna atomów helu w obszarze korony słonecznej o temperaturze 6⋅105°C?
Ile wynosi stosunek średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek azotu w temperaturze 300K do ich energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi, gdy znajdują się pod sufitem pokoju o wysokości 3m, określonej względem podłogi tego pokoju?
Ile wynosi całkowita translacyjna energia kinetyczna cząsteczek powietrza znajdującego się w pokoju o objętości 23m3 i temperaturze 21°C, jeżeli ciśnienie wynosi 9,5⋅105Pa (pokój znajduje się na odpowiedniej wysokości)? Czy jeszcze jakieś dane są niezbędne, aby otrzymać rozwiązanie?
Iloczyn ciśnienia i objętości próbki wodoru o temperaturze 0°C wynosi 80J.
- Ile moli wodoru zawiera ta próbka?
- Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek wodoru w tej próbce?
- Ile będzie wynosić iloczyn ciśnienia i objętości tej próbki w temperaturze 200°C?
Ile wynosi nadciśnienie w zbiorniku zawierającym 4,86⋅104mol azotu ściśniętego do objętości 6,56m3, jeżeli średnia prędkość kwadratowa jego cząsteczek wynosi 514m∕s?
Ile wynosi ciśnienie parcjalne tlenu w lodówce o objętości 0,623m3, jeżeli średnia prędkość kwadratowa jego cząsteczek jest równa 465m∕s? Masa cząsteczkowa tlenu wynosi 32g∕mol, a w lodówce znajduje się 5,71mol tego gazu.
Prędkość ucieczki dowolnego obiektu z Ziemi wynosi 11,1km∕s. W jakiej temperaturze średnia prędkość kwadratowa cząsteczek tlenu o masie molowej 32g∕mol osiągnie wartość równą tej prędkości ucieczki?
Prędkość ucieczki z Księżyca jest znacznie mniejsza od prędkości ucieczki z Ziemi i wynosi tylko 2,38km∕s. W jakiej temperaturze cząsteczki wodoru (masa molowa 2,016g∕mol) mają średnią prędkość kwadratową równą prędkości ucieczki z Księżyca?
Fuzje jąder atomowych, źródło energii Słońca, bomb wodorowych i reaktorów termojądrowych, zachodzą znacznie częściej, gdy atomy posiadają bardzo duże wartości średniej energii kinetycznej – czyli w wysokich temperaturach. Przyjmijmy, że w eksperymencie termojądrowym potrzebne są atomy o średniej energii kinetycznej 6,4⋅10-14J. W jakiej temperaturze ją osiągają?
Przypuśćmy, że typowa wartość średniej prędkości kwadratowej cząsteczek dwutlenku węgla (masa molowa 44g∕mol) w płomieniu wynosi 1350m∕s. O jakiej temperaturze płomienia to świadczy?
Odpowiedz na poniższe pytania.
- Cząsteczki wodoru (masa molowa 2,016g∕mol) w pewnej próbce mają średnią prędkość kwadratową o wartości 193m∕s. Ile wynosi temperatura tej próbki?
- Większość gazu w pobliżu Słońca to wodór atomowy (czyli H, a nie H2). Gdy atomy wodoru osiągają temperaturę 1,5⋅107K, to ich średnia prędkość kwadratowa staje się równa prędkości ucieczki ze Słońca. Ile wynosi ta prędkość ucieczki?
Mamy dwa najważniejsze izotopy uranu: 235U oraz 238U; izotopy te mają niemal identyczne własności chemiczne, ale różnią się masami atomowymi. Tylko 235U jest użyteczny w reaktorach atomowych. Rozdzielanie tych izotopów uranu nosi nazwę wzbogacania uranu (nazwa ta jest często spotykana w serwisach informacyjnych, gdyż, do tej pory proces ten wzbudza obawy, że niektóre kraje wykorzystują go do produkcji broni jądrowej). Jedną z technik wzbogacania jest dyfuzja gazów bazująca na różnicach prędkości cząsteczek gazowego sześciofluorku uranu UF6.
- Masy molowe 235UF6 i 238UF6 wynoszą odpowiednio 349g∕mol i 352g∕mol. Ile wynosi stosunek ich średnich prędkości kwadratowych?
- W jakiej temperaturze ich średnie prędkości kwadratowe różnią się o 1m∕s?
- Znając odpowiedzi na powyższe pytania, określ, czy ta technika jest trudna?
Ciśnienie parcjalne dwutlenku węgla w płucach wynosi ok. 420Pa, podczas gdy całkowite ciśnienie powietrza to 1atm. Ile wynosi procentowa zawartość cząsteczek dwutlenku węgla w powietrzu płuc? Porównaj ten wynik z procentową zawartością dwutlenku węgla w atmosferze, która wynosi 0,033%.
Suche powietrze zawiera w przybliżeniu 78% azotu, 21% tlenu, 1% argonu (wszystko procenty molowe) oraz śladowe ilości innych gazów. Zbiornik o objętości 0,0498m3 zawiera sprężone suche powietrze o nadciśnieniu 154,675kg∕cm2 i o temperaturze 293K. Ile moli tlenu znajduje się w tym zbiorniku?
Wykonaj poniższe obliczenia.
- Używając danych z poprzedniego zadania, wyznacz masy azotu, tlenu i argonu w 1 molu suchego powietrza. Masy molowe wynoszą odpowiednio 28g∕mol, 32g∕mol i 39,9g∕mol;
- Suche powietrze zostało zmieszane z pentanem (C5H12, masa molowa 72,2g∕mol), który jest ważnym składnikiem benzyny, w stosunku masowym powietrze-paliwo wynoszącym 15:1 (typowym dla silników samochodowych). Wyznacz wartość ciśnienia cząstkowego pentanu w tej mieszaninie, jeżeli ciśnienie całkowite wynosi 1atm.
- Wziąwszy pod uwagę, że powietrze zawiera 21% tlenu, wyznacz minimalne ciśnienie atmosferyczne, które zapewni relatywnie bezpieczne ciśnienie parcjalne tlenu wynoszące 0,16atm;
- Ile wynosi minimalne ciśnienie powietrza, przy którym ciśnienie parcjalne tlenu osiągnie śmiertelnie niski poziom 0,06atm?
- Ciśnienie powietrza na szczycie Mount Everestu (8848m) wynosi 0,334atm. Dlaczego niektórzy ludzie wspinają się na szczyt bez masek tlenowych, podczas gdy inni, nawet po treningu na dużych wysokościach, muszą zawrócić?
- Wyznacz punkt rosy, jeżeli ciśnienie parcjalne pary wodnej wynosi 8,05Tr (tor 1Tr=1mmHg, 760Tr=1atm=101 325Pa);
- W pewien ciepły dzień w temperaturze 35°C temperatura punktu rosy wynosiła 25°C. Ile wynoszą w tych warunkach ciśnienie parcjalne pary wodnej w powietrzu oraz wilgotność względna?
2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
Wzbudzenie w atomie helu pierwszego stanu kwantowego momentu pędu wymaga energii 21,2eV (tzn. jest to różnica energii między stanem o najniższej energii, czyli stanem podstawowym, a stanem o najniższej energii, ale z niezerowym momentem pędu). Elektronowolt (eV) jest energią, jaką uzyskuje elektron przyspieszony napięciem 1V, i jest równoważny 1,6⋅10-19J. Wyznacz temperaturę, w której powyższa energia wzbudzenia jest równa 1∕2⋅kBT. Czy otrzymany wynik wyjaśnia, dlaczego możemy pominąć energię rotacyjną atomów helu w większości sytuacji (wyniki dla innych gazów monoatomowych oraz dwuatomowych wirujących dookoła osi przechodzącej przez jądra obu atomów są porównywalne).
- Ile ciepła musi pobrać 1,5mol powietrza przy stałej objętości, aby jego temperatura wzrosła od 25°C do 33°C? Przyjmij, że powietrze to gaz dwuatomowy;
- Rozwiąż ponownie to zadanie dla takiej samej liczby moli ksenonu, Xe.
Szczelny i sztywny zbiornik zawierający 0,56mol nieznanego gazu został ochłodzony od temperatury 30°C do −40°C. Podczas ochładzania gaz oddał 980J ciepła. Czy gaz w zbiorniku jest gazem jednoatomowym, dwuatomowym lub może wieloatomowym?
Próbka gazowego neonu (Ne, masa molowa M=20,2g∕mol) o temperaturze 13°C została wpuszczona do pustego zbiornika stalowego o masie 47,2g i temperaturze −40°C. Końcowa temperatura wynosi −28°C (nie ma wymiany ciepła z otoczeniem i można pominąć zmianę objętości zbiornika). Jaka była masa próbki neonu?
Stalowy zbiornik o masie 135g zawiera 24g amoniaku, NH3, o masie molowej 17g∕mol. Zbiornik i gaz znajdują się w równowagowej temperaturze 12°C. Ile ciepła musi oddać ten układ, aby jego temperatura spadła do −20°C? Pomiń zmianę objętości zbiornika.
Szczelne pomieszczenie ma objętość 24m3. Pomieszczenie to jest wypełnione powietrzem, które można uważać za gaz dwuatomowy, o temperaturze 24°C i pod ciśnieniem 9,83⋅104Pa. Umieszczono w nim blok lodu o masie 1kg i temperaturze równej jego temperaturze topnienia. Załóż, że ściany pomieszczenia nie przewodzą ciepła. Jaka będzie temperatura równowagowa w pomieszczeniu?
Heliox, mieszanina helu i tlenu, jest niekiedy stosowana w szpitalach u pacjentów, którzy mają problemy z oddychaniem, ponieważ mniejsza masa helu czyni oddychanie lżejszym w porównaniu z oddychaniem powietrzem. Załóżmy, że hel o temperaturze 25°C jest mieszany z tlenem o temperaturze 35°C, aby otrzymać mieszaninę zawierającą 70% molowych helu. Jaka jest końcowa temperatura mieszaniny? Pomiń wymianę ciepła z otoczeniem oraz przyjmij, że końcowa objętość mieszaniny jest sumą początkowych objętości składników.
Profesjonalni nurkowie używają czasami helioxu składającego się w 79% z helu i w 21% z tlenu (procenty molowe). Przypuśćmy, że doskonale sztywna butla akwalungu zawiera heliox o temperaturze 31°C i pod ciśnieniem 2,1⋅107Pa.
- Ile moli helu i ile moli tlenu zawiera?
- Nurek zszedł pod wodę do miejsca, gdzie morze ma temperaturę 27°C, zużywając niewielką ilość mieszaniny. Ile ciepła musiał oddać gaz w butli, aby obniżyć swoją temperaturę?
Jedną z zalet stosowania mieszaniny ciekłego podtlenku azotu (N2O, tzw. nitro) z powietrzem w wyścigach samochodowych jest to, że wrzące nitro pobiera z powietrza utajone ciepło parowania, powodując obniżenie jego temperatury i w efekcie obniżenie temperatury mieszanki paliwowej, dzięki czemu do każdego cylindra dostaje się większa jej ilość. Aby rozpatrzyć ten proces w dużym przybliżeniu, przypuśćmy, że 1mol podtlenku azotu w temperaturze wrzenia, −88°C, jest mieszany z 4mol powietrza (dwuatomowego) o temperaturze 30°C. Jaka jest końcowa temperatura mieszaniny? Do obliczeń użyj tablicowej wartości ciepła właściwego N2O w temperaturze 25°C, która wynosi 30,4J∕(molK). (Podstawową zaletą stosowania nitro jest to, że składa się w 1∕3 z tlenu, czyli zawiera go więcej niż powietrze, a tym samym dostarcza więcej tlenu do spalania paliwa. Kolejną zaletą jest to, że rozpad podtlenku azotu na azot i tlen uwalnia dodatkową energię wewnątrz cylindrów).
2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
Próbka siarkowodoru (H2S o masie molowej M=34,1g∕mol) ma temperaturę 300K. Wyznacz dla tej próbki stosunek liczby cząsteczek posiadających prędkość bliską ich średniej prędkości kwadratowej do liczby cząsteczek posiadających prędkość bliską dwukrotnie większej prędkości.
Stosując przybliżenie v1+Δv∫v1f(v)dv≈f(v1)Δv słuszne dla małych Δv, oblicz, jaka część cząsteczek azotu o temperaturze 300K ma prędkości pomiędzy 290m∕s a 291m∕s.
Stosując metodę z poprzedniego zadania, oblicz, jaka część cząsteczek tlenku azotu (NO) o temperaturze 250K posiada energię pomiędzy 3,45⋅10-21J a 3,5⋅10-21J.
Zliczając prostokąty na poniższym wykresie, oblicz liczbę atomów argonu o temperaturze T=300K, których prędkości mieszczą się pomiędzy 600m∕s a 800m∕s. Krzywa na wykresie jest poprawnie znormalizowana. Udział cząsteczek odpowiadający jednemu prostokątowi jest równy iloczynowi długości boków tego prostokąta wzdłuż osi x(v) i y(f) z uwzględnieniem jednostek podanych na tych osiach.
Stosując metodę Simpsona całkowania numerycznego, wyznacz, jaka część cząsteczek w próbce gazowego tlenu o temperaturze 250K ma prędkości zawarte pomiędzy 100m∕s a 150m∕s. Masa molowa tlenu (O2) wynosi 32g∕mol. Obliczenia wykonaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.
Wyznacz
- prędkość najbardziej prawdopodobną;
- prędkość średnią;
- średnią prędkość kwadratową
cząsteczek azotu w temperaturze 295K.
Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania dla cząsteczek azotu w temperaturze 2950K.
Najbardziej prawdopodobna prędkość cząsteczek pewnego gazu wynosi 263m∕s w temperaturze 296K. Ile wynosi masa molowa tego gazu (musisz wymyślić sposób na określenie, jaki to przypuszczalnie jest gaz)?
Odpowiedz na poniższe pytania.
- W jakiej temperaturze cząsteczki tlenu mają taką samą wartość prędkości średniej jak cząsteczki helu (M=4g∕mol) w temperaturze 300K?
- Jaka jest odpowiedź na to samo pytanie dotycząca prędkości najbardziej prawdopodobnych?
- Jaka jest odpowiedź na to samo pytanie dotycząca średnich prędkości kwadratowych?