William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania trudniejsze

75.

Miedzianemu przewodowi o długości $L$ nadano kształt kołowej cewki o $N$ zwojach. Płaszczyznę tej cewki przenika zmienny w czasie strumień magnetyczny. Przy jakiej wartości liczby $N$ indukowana w cewce siła elektromotoryczna będzie maksymalna?

76.

Miedziany arkusz o masie $0,5 kg$ spada w poziomym, jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji równej $1,5 T$ . Wartość końcowej prędkości tego spadku wynosi $2 m ∕ s$ .

Oblicz wypadkową siłę magnetyczną działającą na arkusz poruszający się z końcową prędkością spadku;
Opisz mechanizm powstawania tej siły;
Oblicz moc wydzielaną w postaci ciepła Joule’a podczas ruchu arkusza z prędkością końcową.

77.

Okrągły miedziany dysk o promieniu $7,5 cm$ obraca się z prędkością $2400 obr ∕ \min$ wokół osi przechodzącej przez środek tegoż dysku i prostopadłej do jego płaszczyzny. Dysk umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym, którego wektor indukcji $\vec{B}$ jest równoległy do osi obrotu. Oblicz różnicę potencjałów pomiędzy obrzeżem dysku a jego osią, jeżeli wartość indukcji magnetycznej wynosi $1,2 T$ .

78.

Przedstawiony na poniższym rysunku krótki pręt o długości $a$ porusza się z prędkością $\vec{v}$ , równolegle do nieskończonego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu $I$ . Odległość bliższego końca pręta od tego przewodu wynosi $b$ . Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pręcie.

79.

Przedstawiony na poniższym rysunku prostokątny obwód elektryczny zawierający rezystor o wartości $R$ odsuwa się z prędkością $\vec{v}$ od długiego, prostoliniowego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu $I_{0}$ . Wyprowadź równanie opisujące natężenie prądu indukowanego w obwodzie w funkcji odległości $x$ pomiędzy przewodem a bliższym bokiem tego obwodu.

80.

Dwa nieskończenie długie solenoidy przecinają płaszczyznę obwodu elektrycznego w sposób pokazany na rysunku. Promienie solenoidów wynoszą odpowiednio $0,1 m$ i $0,2 m$ . Natężenie prądu płynącego w każdym z solenoidów zmienia się tak, że szybkość zmiany wartości indukcji magnetycznej $d B ∕ d t = 0,5 T ∕ s$ . Oblicz natężenia prądów w każdym z rezystorów tego obwodu.

81.

Poniższy rysunek przedstawia ośmiozwojową cewkę ciasno nawiniętą wokół bocznej powierzchni długiego solenoidu. Solenoid nawinięto z gęstością 10 zwojów na centymetr długości, a jego promień wynosi $2 cm$ . W uzwojeniu solenoidu płynie prąd, którego natężenie rośnie w czasie zgodnie z funkcją $I = I_{0} (1 - e^{- α t})$ , gdzie $I_{0} = 4 A$ i $α = {2 \cdot 10^{- 2} s}^{- 1}$ . Wyznacz siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce, gdy

$t = 0 s$ ;
$t = 10^{2} s$ ;
$t ⟶ \infty$ .

82.

Poniżej przedstawiono długą prostokątną ramkę o szerokości $a$ , długości $b$ , masie $m$ i rezystancji $R$ . Ramka, początkowo spoczywająca przy granicy obszaru jednorodnego pola magnetycznego o indukcji $\vec{B}$ , pod działaniem stałej siły $\vec{F}$ wnika w ten obszar. Wyznacz prędkość ramki w funkcji czasu.

83.

Belka o masie $m$ , rezystancji $R$ i przekroju kwadratowym ześlizguje się bez tarcia po bardzo długich, równoległych przewodzących szynach, jak przedstawiono na poniższym rysunku. Odległość pomiędzy szynami wynosi $l$ , a ich końce u podnóża utworzonej w ten sposób równi pochyłej połączone są odcinkiem przewodu. Szyny nachylone są do poziomu pod kątem $θ$ , a układ znajduje się w pionowym, jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$ .

Wykaż, że zsuwająca się belka osiągnie graniczną prędkość $v = mgR\sin \theta /(B^2 l^2 \cos^2 \theta)$ ;
Oblicz pracę wykonaną w jednostce czasu przez siłę ciężkości;
Jaki będzie skutek odwrócenia wektora indukcji $\vec{B}$ ? Przyjmij, że rezystancja szyn oraz łączącego je przewodu jest pomijalnie mała.

84.

Poniższy rysunek przedstawia metalowy pierścień, którego wewnętrzny promień wynosi $r_{1}$ , a promień zewnętrzny równy jest $r_{2}$ . Pierścień obraca się z prędkością kątową $ω$ wokół osi przechodzącej przez jego środek i umieszczony jest w jednorodnym, równoległym do tej osi polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$ . Do wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni pierścienia przylegają szczotki, które połączono z woltomierzem. Co wskazuje woltomierz?

85.

Długi solenoid nawinięty z gęstością $10$ zwojów na centymetr długości umieszczono współosiowo wewnątrz miedzianego pierścienia. Promień pierścienia wynosi $10 cm$ , a promień solenoidu jest równy $5 cm$ .

Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pierścieniu, jeżeli natężenie prądu w solenoidzie $I = 5 A$ i zmienia się w czasie z szybkością $d I ∕ d t = 100 A ∕ s$ ;
Oblicz SEM indukowaną w pierścieniu, jeżeli $I = 2 A$ , przy niezmienionej wartości $d I ∕ d t$ ;
W obu przypadkach określ wartość natężenia pola elektrycznego wewnątrz tego pierścienia;
Przyjmijmy, że pierścień przemieszczono względem solenoidu tak, że ich osie pozostają równoległe, ale nie pokrywają się, przy czym solenoid znajduje się nadal wewnątrz pierścienia. Jaka jest teraz wartość SEM indukowanej w tym pierścieniu?
Czy możliwe jest obecnie obliczenie natężenia pola elektrycznego wewnątrz pierścienia w sposób taki, jak w części (c) zadania?

86.

Natężenie prądu w długim prostoliniowym przewodzie przedstawionym na załączonym rysunku zmienia się w czasie zgodnie z formułą $I = I_{0} sin (ω t)$ , w której $I_{0} = 15 A$ , a $ω = 100 π rad ∕ s$ . Oblicz natężenie prądu indukowanego w prostokątnej ramce w chwili

$t = 0 s$ ;
$t = 2,1 \cdot 10^{- 3} s$ .

87.

Pięćsetzwojowa cewka o powierzchni $0,25 m^{2}$ obraca się w ziemskim polu magnetycznym o wartości indukcji równej $5 \cdot 10^{- 5} T$ . Maksymalna wartość indukowanej w cewce siły elektromotorycznej wynosi wówczas $12 kV$ .

Z jaką prędkością kątową obraca się cewka?
Czy obliczona wartość jest możliwa do osiągnięcia?
Który z warunków zadania powoduje taki wynik?

88.

Wykonaną z drutu kołową pętlę o promieniu $10 cm$ zaopatrzono w pionową oś i umieszczono w jednorodnym, prostopadłym do tejże osi polu magnetycznym o wartości indukcji wynoszącej $2 \cdot 10^{- 4} T$ . Pętla obraca się wokół tej osi z częstotliwością $5 Hz$ .

Wyprowadź wyrażenie opisujące zmianę w czasie strumienia magnetycznego przenikającego pętlę;
Wyraź w funkcji czasu natężenie prądu płynącego w pętli, jeżeli jej rezystancja wynosi $10 Ω$ .

89.

W długim solenoidzie o promieniu $a$ nawiniętym z gęstością $n$ zwojów na jednostkę długości płynie prąd zmienny o natężeniu opisanym funkcją $I (t) = I_{0} sin (ω t)$ , w której $I_{0}$ oraz $ω$ są stałymi. Solenoid otacza dwuzwojowa pętla wykonana z drutu o rezystancji $R$ . Promień pętli $b$ jest większy od promienia solenoidu ( $b > a$ ). Wyznacz natężenie prądu indukowanego w tej pętli w chwili $t = 0 s$ .

90.

Prostokątna miedziana ramka o masie równej $100 g$ i rezystancji wynoszącej $0,2 Ω$ znajduje się w obszarze jednorodnego pola magnetycznego. Pole magnetyczne jest prostopadłe do powierzchni tej ramki i równoległe do powierzchni Ziemi, jak przedstawiono na poniższym rysunku. W położeniu spoczynkowym dolna krawędź ramki znajduje się na granicy obszaru występowania pola magnetycznego, a w chwili $t = 0 s$ ramka zaczyna opadać.

Wyprowadź wyrażenie opisujące prędkość ramki w chwili, gdy opuszcza ona obszar pola;
Oblicz czas, w którym ramka opuści obszar tego pola. Przyjmij następujące wartości liczbowe: $a = 25 cm$ , $b = 50 cm$ , $B = 3 T$ , $g = 9,8 m ∕ s^{2}$ . Załóż, że wartość indukcji pola magnetycznego wzbudzanego prądu jest pomijalnie mała w stosunku do $B = 3 T$ .

91.

Metalowy pręt o masie $m$ może ślizgać się bez tarcia po dwóch równoległych szynach odległych od siebie o $D$ . Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji $B_{0}$ , prostopadłym do płaszczyzny, na której leżą szyny, jak przedstawiono na poniższym rysunku. Obie szyny połączone są na jednym z końców rezystorem, którego rezystancja jest znacznie większa niż rezystancja szyn i pręta. W pewnej chwili prętowi nadano prędkość początkową $v_{0}$ i stwierdzono następnie, że jego prędkość systematycznie spada. Oblicz odległość, którą przebędzie pręt do chwili zatrzymania się. Załóż, że wartość indukcji pola magnetycznego wzbudzanego prądu jest pomijalnie mała w stosunku do $B_{0}$ .

92.

Zależne od czasu pole magnetyczne o indukcji $B (t)$ wypełnia cylindryczny obszar o promieniu $R$ . Wewnątrz tego obszaru, na płaszczyźnie jego przekroju poprzecznego, w pewnej odległości od średnicy przekroju, umieszczono przewodzący pręt o długości $2 D$ , tak że końce pręta znajdują się na granicy obszaru pola. Wykaż, że siła elektromotoryczna pomiędzy końcami tego pręta opisana jest formułą: $d B ∕ d t \cdot D \sqrt{R^{2} - D^{2}}$ . Przyjmij, że pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny przekroju i jest do niej zwrócone. (Wskazówka: Aby znaleźć SEM pomiędzy końcami pręta, należy obliczyć całkę z natężenia pola elektrycznego po długości tegoż pręta. Pole elektryczne można określić, korzystając z postaci prawa Faradaya, znanego pod nazwą „prawa Ampère’a dla natężenia pola elektrycznego”).