1.3 Rozszerzalność cieplna

Rozszerzanie się alkoholu w termometrze jest jednym z wielu powszechnie spotykanych przykładów rozszerzalności cieplnej (ang. thermal expansion), czyli zmiany rozmiarów lub objętości danego układu fizycznego wraz ze zmianą temperatury. Najbardziej widocznym przykładem jest rozszerzalność cieplna gorącego powietrza. Gdy podgrzewamy powietrze, to rozszerza się ono i staje się mniej gęste niż otaczające je chłodne powietrze. W rezultacie chłodniejsze powietrze działa na cieplejsze siłą zwróconą do góry, co powoduje, że para wodna, dym, a także balony z gorącym powietrzem unoszą się ku górze. Takie samo zjawisko zachodzi we wszystkich cieczach i gazach, napędzając naturalny przepływ ciepła do góry w naszych domach, oceanach i układach pogodowych. Rozszerzalność cieplna dotyczy także ciał stałych. Na przykład tory kolejowe i mosty mają szczeliny dylatacyjne (ang. expansion joints), które umożliwiają im swobodne rozszerzanie i kurczenie się przy zmianach temperatury. Dzięki temu nie dochodzi do deformacji, a przy przekroczeniu granicy plastyczności trwałych odkształceń konstrukcji. Wygląd takich szczelin przedstawiono na Ilustracji 1.5.

Ilustracja 1.5 (a) Szczeliny dylatacyjne (dylatacje), takie jak te w moście (b) Auckland Harbour Bridge w Nowej Zelandii, umożliwiają zmiany długości mostu bez powstawania szkodliwych naprężeń i deformacji. Źródło: „ŠJů”/Wikimedia Commons

Co jest przyczyną rozszerzalności cieplnej? Jak wspomniano wcześniej, wzrost temperatury oznacza wzrost energii kinetycznej poszczególnych atomów. W ciele stałym, inaczej niż w gazie, cząsteczki są ulokowane w małych obszarach pod wpływem sił wywieranych przez sąsiednie cząsteczki. Jak widzieliśmy w rozdziale Drgania, siły te można modelować za pomocą sprężyn drgających w sposób harmoniczny i opisać za pomocą potencjału Lennarda-Jonesa. Rozdział Energia w ruchu harmonicznym prostym pokazuje, że taki potencjał jest asymetryczny w takim sensie, że energia potencjalna wzrasta gwałtowniej, gdy cząsteczki zbliżają się do siebie, niż wtedy, gdy się oddalają. Zatem przy danej energii kinetycznej cząsteczek odległości przez nie przebyte są większe, gdy sąsiednie cząsteczki oddalają się od siebie, niż wtedy, kiedy się do siebie zbliżają. W konsekwencji ze wzrostem energii kinetycznej cząsteczek (ze wzrostem temperatury) rośnie średnia odległość między nimi, czyli substancja się rozszerza.

Dla większości substancji w warunkach normalnych można założyć, że żaden kierunek nie jest wyróżniony (to znaczy, że ciało jest izotropowe), więc wraz ze wzrostem temperatury wymiary ciała wzrosną o taki sam współczynnik w każdym kierunku. Dlatego jeżeli ciało może swobodnie się rozszerzać lub kurczyć, jego proporcje pozostają takie same, zmienia się jedynie jego wielkość.

W Tabeli 1.2 zostały zamieszczone wartości współczynnika rozszerzalności liniowej wybranych materiałów. Jak wspomniano wcześniej, zmiana temperatury $\Delta T$ jest taka sama zarówno w stopniach Celsjusza, jak i w kelwinach. Dlatego współczynnik $\alpha$ może być wyrażony w jednostkach ${\mathrm{°}\mathrm{C}}^{-1}$ lub ${\mathrm{K}}^{-1}$ z wartością liczbową taką samą w obydwu przypadkach. Przybliżanie $\alpha$ za pomocą wartości stałej jest dość dokładne dla małych zmian temperatury i w większości przypadków wystarczające do celów praktycznych, czasami nawet dla dużych zmian temperatury. Przyjrzymy się teraz dokładniej temu przybliżeniu w następnym przykładzie.

Zjawisko rozszerzalności cieplnej jest podstawą działania paska bimetalu (Ilustracja 1.6). Przyrząd ten może być używany jako termometr, jeżeli do giętkiego elementu przymocujemy wskazówkę pokazującą wartości na odpowiednio dobranej skali. Może być także zastosowany jako automatyczny przełącznik, który włącza lub wyłącza układ elektryczny przy pewnej temperaturze. W ten sposób działają termostaty starszego typu, np. w żelazkach.

Ilustracja 1.6 Stopień zakrzywienia paska bimetalu zależy od temperatury. (a) W temperaturze początkowej pasek jest prosty – oba materiały mają taką samą długość. (b) W wyższej temperaturze pasek wygina się w prawo, ponieważ metal z lewej strony rozszerzył się bardziej niż metal po prawej stronie paska. W temperaturze niższej od początkowej pasek ugiąłby się w lewo, ponieważ metal z lewej strony skurczyłby się bardziej niż metal po prawej stronie paska.

Rozszerzalność cieplna w dwóch i trzech wymiarach

Obiekty nieprzymocowane sztywno do niczego rozszerzają się we wszystkich kierunkach, jak zostało to przedstawione na Ilustracji 1.7. Ich powierzchnia oraz długość, a w rezultacie objętość zmieniają się przy zmianach temperatury. Ze względu na to, że ich proporcje pozostają stałe, rozmiary otworów i pojemności naczyń także zależą od temperatury. Jeżeli wytniemy otwór w metalowej płytce, to pozostały materiał rozszerzy się tak samo, jak gdyby usunięty element pozostał na swoim miejscu. Wycięty element byłby większy, a więc otwór też musi się powiększyć.

Rozszerzalność cieplna w dwóch wymiarach

Dla małych zmian temperatury zmiana pola powierzchni $\Delta S$ wyrażona jest wzorem

$$\Delta S=2\alpha S\Delta T\text{,}$$

1.3

gdzie $\Delta S$ oznacza zmianę pola powierzchni $S$, $\Delta T$ jest zmianą temperatury, a $\alpha$ współczynnikiem rozszerzalności liniowej, który nieznacznie zależy od temperatury.

Ilustracja 1.7 Zasadniczo przy zwiększaniu temperatury ciała rozszerza się ono w każdym kierunku. Na rysunkach początkowe granice ciał zostały pokazane za pomocą linii ciągłych, a ich granice po rozszerzeniu – za pomocą linii przerywanych. (a) Powierzchnia rośnie, ponieważ rośnie zarówno długość, jak i szerokość. Wzrasta także pole powierzchni okrągłego korka. (b) Jeżeli usuniemy korek, to przy zwiększaniu temperatury otwór, który pozostanie, będzie się powiększał, tak jak gdyby korek był wciąż na swoim miejscu. (c) Objętość również się zwiększa, ponieważ rozszerzają się wszystkie trzy wymiary.

Rozszerzalność cieplna w trzech wymiarach

Związek pomiędzy objętością a temperaturą $dV∕dT$ jest wyrażony przez $dV∕dT=\beta V\Delta T$, gdzie $\beta$ jest współczynnikiem rozszerzalności objętościowej (ang. coefficient of volume expansion). W Ćwiczeniu 1.58 pokazano, że $\beta =3\alpha$. Równanie to często jest zapisywane w postaci

$$\Delta V=\beta V\Delta T\text{.}$$

1.4

Zauważmy, że wartości współczynnika $\beta$ podane w Tabeli 1.2 są w przybliżeniu równe $3\alpha$.

Rozszerzalność objętościowa jest zdefiniowana dla płynów, ale liniowa i powierzchniowa już nie. Przyczyną tego jest fakt, że zmiana długości czy powierzchni płynu zawsze zależy od kształtu pojemnika, w którym się on znajduje. Dlatego też w Tabeli 1.2 podano wartości $\beta$ płynów, ale nie podano $\alpha$.

W ogólności ciała rozszerzają się, gdy rośnie temperatura. Woda jest jednym z najważniejszych wyjątków od tej reguły. Rozszerza się ona wraz z rosnącą temperaturą (jej gęstość maleje) dla temperatur większych niż $4\mathrm{°}\mathrm{C}$. W temperaturze $4\mathrm{°}\mathrm{C}$ osiąga największą swoją gęstość i rozszerza się także wraz z malejącą temperaturą pomiędzy $4\mathrm{°}\mathrm{C}$ a $0\mathrm{°}\mathrm{C}$. Zostało to pokazane na Ilustracji 1.8. Niezwykle ciekawym skutkiem tego zjawiska jest zamarzanie wody (ang. freezing of water) w stawie. Gdy woda bliska powierzchni stawu ochładza się do $4\mathrm{°}\mathrm{C}$, staje się gęstsza niż pozostała woda i opada na dno. W ten sposób na powierzchni stawu gromadzi się warstwa wody cieplejszej, która znowu jest ochładzana. Jednak gdy temperatura warstwy znajdującej się przy powierzchni stawu spadnie poniżej $4\mathrm{°}\mathrm{C}$, gęstość wody w tej warstwie staje się mniejsza niż gęstość wody na dnie, przez co pozostaje ona przy powierzchni. W rezultacie powierzchnia stawu może zamarznąć. Powierzchniowa warstwa lodu izoluje wodę znajdującą się głębiej od bardzo zimnego powietrza. Ze względu na tę nietypową właściwość wody ryby i inne organizmy wodne mogą przetrwać w wodzie o temperaturze $4\mathrm{°}\mathrm{C}$ znajdującej się pod powierzchnią lodu.

Ilustracja 1.8 Wykres przedstawia zależność gęstości wody (ang. density of water) od temperatury. Zauważmy, że rozszerzalność cieplna w niskich temperaturach jest bardzo mała. Maksymalna wartość gęstości w $4\mathrm{°}\mathrm{C}$ jest tylko o $\mathrm{0,0075}\mathrm{\%}$ większa niż gęstość w $1\mathrm{°}\mathrm{C}$ i o $\mathrm{0,012}\mathrm{\%}$ większa niż w $0\mathrm{°}\mathrm{C}$. Spadek gęstości przy ochładzaniu wody obserwowany poniżej $4\mathrm{°}\mathrm{C}$ związany jest z tym, że ciekła woda zbliża się coraz bardziej do stałego stanu skupienia w postaci kryształu lodu, który zawiera więcej pustej przestrzeni między cząsteczkami niż ciecz.

Przykład 1.3

Obliczanie rozszerzalności cieplnej

Załóżmy, że na stacji paliw 60-litrowy stalowy bak został zatankowany do pełna chłodną benzyną przepompowaną ze zbiornika znajdującego się pod ziemią. Zarówno bak, jak i benzyna mają teraz temperaturę równą $15\mathrm{°}\mathrm{C}$. Ile benzyny wycieknie z baku podczas ogrzewania się do temperatury $35\mathrm{°}\mathrm{C}$?

Strategia rozwiązania

Zarówno bak, jak i benzyna zwiększają swoją objętość, jednak benzyna rozszerza się bardziej niż stal. Objętość wylanej benzyny będzie równa różnicy zmian ich objętości. Aby obliczyć wartość zmiany ich objętości, możemy użyć równania opisującego objętościową rozszerzalność cieplną, a bak traktować jako bryłę stali.

Rozwiązanie

Użyjemy równania na rozszerzalność objętościową, by obliczyć wzrost objętości stalowego zbiornika

$$\Delta V_{\text{S}}={\beta }_{\text{S}}{V}_{\text{S}}\Delta T\text{.}$$

Wzrost objętości benzyny opisuje poniższe równanie

$$\Delta V_{\text{benz}}={\beta }_{\text{benz}}{V}_{\text{benz}}\Delta T\text{.}$$

Objętość wylanego paliwa równa jest różnicy obliczonych wcześniej zmian objętości

$$V_{\text{wylana}}=\Delta V_{\text{benz}}-\Delta V_{\text{S}}\text{.}$$

Możemy również połączyć powyższe równania w jedno (początkowe objętości są takie same)

Znaczenie

Jak widać, różnica zmian objętości tych materiałów wraz ze wzrostem temperatury jest znaczna. Jest to tym bardziej istotne, że benzyna i stal rozszerzają się dość szybko. Szybkość zmian właściwości cieplnych omówiona zostanie w dalszej części tego rozdziału.

Jeśli spróbujemy zamknąć szczelnie zbiornik paliwa, by zapobiec wypłynięciu benzyny, to okaże się, że mimo tego ona i tak wycieknie, przelewając się przez korek albo rozrywając zbiornik. Szczelne zamykanie rozszerzającego się gazu jest równoważne jego sprężaniu, a ciecze i ciała stałe opierają się przy ich sprężaniu z siłą znacznie większą niż gazy. Aby uniknąć pękania sztywnych pojemników, zostawia się w środku poduszkę powietrzną, która umożliwia cieczom rozszerzanie się i kurczenie bez obciążania ścian zbiornika.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.1

Czy odczyt ilości paliwa w zbiorniku wskaże większą ilość paliwa, gdy jest zimno, czy gdy jest ciepło? Czy temperatura ma tutaj znaczenie?