Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

1.3 Rozszerzalność cieplna

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 21.3 Rozszerzalność cieplna

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Termodynamika
    1. 1 Temperatura i ciepło
      1. Wstęp
      2. 1.1 Temperatura i równowaga termiczna
      3. 1.2 Termometry i skale temperatur
      4. 1.3 Rozszerzalność cieplna
      5. 1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria
      6. 1.5 Przemiany fazowe
      7. 1.6 Mechanizmy przekazywania ciepła
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Kinetyczna teoria gazów
      1. Wstęp
      2. 2.1 Model cząsteczkowy gazu doskonałego
      3. 2.2 Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek
      4. 2.3 Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii
      5. 2.4 Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Pierwsza zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 3.1 Układy termodynamiczne
      3. 3.2 Praca, ciepło i energia wewnętrzna
      4. 3.3 Pierwsza zasada termodynamiki
      5. 3.4 Procesy termodynamiczne
      6. 3.5 Pojemność cieplna gazu doskonałego
      7. 3.6 Proces adiabatyczny gazu doskonałego
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Druga zasada termodynamiki
      1. Wstęp
      2. 4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
      3. 4.2 Silniki cieplne
      4. 4.3 Chłodziarki i pompy ciepła
      5. 4.4 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki
      6. 4.5 Cykl Carnota
      7. 4.6 Entropia
      8. 4.7 Entropia w skali mikroskopowej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Elektryczność i magnetyzm
    1. 5 Ładunki i pola elektryczne
      1. Wstęp
      2. 5.1 Ładunek elektryczny
      3. 5.2 Przewodniki, izolatory i elektryzowanie przez indukcję
      4. 5.3 Prawo Coulomba
      5. 5.4 Pole elektryczne
      6. 5.5 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków
      7. 5.6 Linie pola elektrycznego
      8. 5.7 Dipole elektryczne
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Prawo Gaussa
      1. Wstęp
      2. 6.1 Strumień pola elektrycznego
      3. 6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa
      4. 6.3 Stosowanie prawa Gaussa
      5. 6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 7 Potencjał elektryczny
      1. Wstęp
      2. 7.1 Elektryczna energia potencjalna
      3. 7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów
      4. 7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego
      5. 7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału
      6. 7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki
      7. 7.6 Zastosowanie elektrostatyki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Pojemność elektryczna
      1. Wstęp
      2. 8.1 Kondensatory i pojemność elektryczna
      3. 8.2 Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów
      4. 8.3 Energia zgromadzona w kondensatorze
      5. 8.4 Kondensator z dielektrykiem
      6. 8.5 Mikroskopowy model dielektryka
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 9 Prąd i rezystancja
      1. Wstęp
      2. 9.1 Prąd elektryczny
      3. 9.2 Model przewodnictwa w metalach
      4. 9.3 Rezystywność i rezystancja
      5. 9.4 Prawo Ohma
      6. 9.5 Energia i moc elektryczna
      7. 9.6 Nadprzewodniki
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Obwody prądu stałego
      1. Wstęp
      2. 10.1 Siła elektromotoryczna
      3. 10.2 Oporniki połączone szeregowo i równolegle
      4. 10.3 Prawa Kirchhoffa
      5. 10.4 Elektryczne przyrządy pomiarowe
      6. 10.5 Obwody RC
      7. 10.6 Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Siła i pole magnetyczne
      1. Wstęp
      2. 11.1 Odkrywanie magnetyzmu
      3. 11.2 Pola magnetyczne i ich linie
      4. 11.3 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym
      5. 11.4 Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem
      6. 11.5 Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem
      7. 11.6 Efekt Halla
      8. 11.7 Zastosowania sił i pól magnetycznych
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 12 Źródła pola magnetycznego
      1. Wstęp
      2. 12.1 Prawo Biota-Savarta
      3. 12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem
      4. 12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem
      5. 12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem
      6. 12.5 Prawo Ampère’a
      7. 12.6 Solenoidy i toroidy
      8. 12.7 Magnetyzm materii
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    9. 13 Indukcja elektromagnetyczna
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo Faradaya
      3. 13.2 Reguła Lenza
      4. 13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem
      5. 13.4 Indukowane pola elektryczne
      6. 13.5 Prądy wirowe
      7. 13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna
      8. 13.7 Zastosowania indukcji elektromagnetycznej
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 14 Indukcyjność
      1. Wstęp
      2. 14.1 Indukcyjność wzajemna
      3. 14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne
      4. 14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym
      5. 14.4 Obwody RL
      6. 14.5 Oscylacje obwodów LC
      7. 14.6 Obwody RLC
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 15 Obwody prądu zmiennego
      1. Wstęp
      2. 15.1 Źródła prądu zmiennego
      3. 15.2 Proste obwody prądu zmiennego
      4. 15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego
      5. 15.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego
      6. 15.5 Rezonans w obwodzie prądu zmiennego
      7. 15.6 Transformatory
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 16 Fale elektromagnetyczne
      1. Wstęp
      2. 16.1 Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne
      3. 16.2 Płaskie fale elektromagnetyczne
      4. 16.3 Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne
      5. 16.4 Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego
      6. 16.5 Widmo promieniowania elektromagnetycznego
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • odpowiadać na pytania dotyczące skutków rozszerzalności cieplnej;
  • rozwiązywać problemy związane z rozszerzalnością cieplną, a także z naprężeniem cieplnym.

Rozszerzanie się alkoholu w termometrze jest jednym z wielu powszechnie spotykanych przykładów rozszerzalności cieplnej (ang. thermal expansion), czyli zmiany rozmiarów lub objętości danego układu fizycznego wraz ze zmianą temperatury. Najbardziej widocznym przykładem jest rozszerzalność cieplna gorącego powietrza. Gdy podgrzewamy powietrze, to rozszerza się ono i staje się mniej gęste niż otaczające je chłodne powietrze. W rezultacie chłodniejsze powietrze działa na cieplejsze siłą zwróconą do góry, co powoduje, że para wodna, dym, a także balony z gorącym powietrzem unoszą się ku górze. Takie samo zjawisko zachodzi we wszystkich cieczach i gazach, napędzając naturalny przepływ ciepła do góry w naszych domach, oceanach i układach pogodowych. Rozszerzalność cieplna dotyczy także ciał stałych. Na przykład tory kolejowe i mosty mają szczeliny dylatacyjne (ang. expansion joints), które umożliwiają im swobodne rozszerzanie i kurczenie się przy zmianach temperatury. Dzięki temu nie dochodzi do deformacji, a przy przekroczeniu granicy plastyczności trwałych odkształceń konstrukcji. Wygląd takich szczelin przedstawiono na Ilustracji 1.5.

Fotografia a przedstawia zmiany stanu nawierzchni w postaci małych ubytków na drodze. Na fotografii b widnieje most Harbour Bridge w Auckland.
Ilustracja 1.5 (a) Szczeliny dylatacyjne (dylatacje), takie jak te w moście (b) Auckland Harbour Bridge w Nowej Zelandii, umożliwiają zmiany długości mostu bez powstawania szkodliwych naprężeń i deformacji. Źródło: „ŠJů”/Wikimedia Commons

Co jest przyczyną rozszerzalności cieplnej? Jak wspomniano wcześniej, wzrost temperatury oznacza wzrost energii kinetycznej poszczególnych atomów. W ciele stałym, inaczej niż w gazie, cząsteczki są ulokowane w małych obszarach pod wpływem sił wywieranych przez sąsiednie cząsteczki. Jak widzieliśmy w rozdziale Drgania, siły te można modelować za pomocą sprężyn drgających w sposób harmoniczny i opisać za pomocą potencjału Lennarda-Jonesa. Rozdział Energia w ruchu harmonicznym prostym pokazuje, że taki potencjał jest asymetryczny w takim sensie, że energia potencjalna wzrasta gwałtowniej, gdy cząsteczki zbliżają się do siebie, niż wtedy, gdy się oddalają. Zatem przy danej energii kinetycznej cząsteczek odległości przez nie przebyte są większe, gdy sąsiednie cząsteczki oddalają się od siebie, niż wtedy, kiedy się do siebie zbliżają. W konsekwencji ze wzrostem energii kinetycznej cząsteczek (ze wzrostem temperatury) rośnie średnia odległość między nimi, czyli substancja się rozszerza.

Dla większości substancji w warunkach normalnych można założyć, że żaden kierunek nie jest wyróżniony (to znaczy, że ciało jest izotropowe), więc wraz ze wzrostem temperatury wymiary ciała wzrosną o taki sam współczynnik w każdym kierunku. Dlatego jeżeli ciało może swobodnie się rozszerzać lub kurczyć, jego proporcje pozostają takie same, zmienia się jedynie jego wielkość.

Liniowa rozszerzalność cieplna

Jak stwierdzono doświadczalnie, rozszerzalność cieplna zależy od temperatury, rodzaju substancji oraz początkowej długości i jest opisana wzorem

d L d T = α L , d L d T = α L ,
1.1

gdzie L L to długość początkowa, d L d T d L d T to zmiana długości w odniesieniu do zmiany temperatury, a α α jest współczynnikiem rozszerzalności liniowej (ang. coefficient of linear expansion), czyli właściwością danego materiału, która nieznacznie zależy od temperatury. Ponieważ α α jest praktycznie stały dla ograniczonego zakresu temperatur i jego wartość jest mała, w praktyce używa się następującego przybliżenia liniowego

Δ L = α L Δ T . Δ L = α L Δ T .
1.2

W Tabeli 1.2 zostały zamieszczone wartości współczynnika rozszerzalności liniowej wybranych materiałów. Jak wspomniano wcześniej, zmiana temperatury Δ T ΔT jest taka sama zarówno w stopniach Celsjusza, jak i w kelwinach. Dlatego współczynnik α α może być wyrażony w jednostkach °C 1 °C 1 lub K 1 K 1 z wartością liczbową taką samą w obydwu przypadkach. Przybliżanie α α za pomocą wartości stałej jest dość dokładne dla małych zmian temperatury i w większości przypadków wystarczające do celów praktycznych, czasami nawet dla dużych zmian temperatury. Przyjrzymy się teraz dokładniej temu przybliżeniu w następnym przykładzie.

Materiał Współczynnik rozszerzalności liniowej α °C 1 α °C 1 Współczynnik rozszerzalności objętościowej β °C 1 β °C 1
Ciała stałe
Aluminium 25 10 6 25 10 6 75 10 6 75 10 6
Mosiądz 19 10 6 19 10 6 56 10 6 56 10 6
Miedź 17 10 6 17 10 6 51 10 6 51 10 6
Złoto 14 10 6 14 10 6 42 10 6 42 10 6
Żelazo lub stal 12 10 6 12 10 6 35 10 6 35 10 6
Inwar (stop niklu i żelaza) 0,9 10 6 0,9 10 6 2,7 10 6 2,7 10 6
Ołów 29 10 6 29 10 6 87 10 6 87 10 6
Srebro 18 10 6 18 10 6 54 10 6 54 10 6
Szkło (zwykłe) 9 10 6 9 10 6 27 10 6 27 10 6
Szkło laboratoryjne (Pyrex®) 3 10 6 3 10 6 9 10 6 9 10 6
Kwarc 0,4 10 6 0,4 10 6 10 6 10 6
Beton, cegła 12 10 6 12 10 6 36 10 6 36 10 6
Marmur (średnio) 2,5 10 6 2,5 10 6 7,5 10 6 7,5 10 6
Ciecze
Eter 1650 10 6 1650 10 6
Alkohol etylowy 1100 10 6 1100 10 6
Benzyna 950 10 6 950 10 6
Gliceryna 500 10 6 500 10 6
Rtęć 180 10 6 180 10 6
Woda 210 10 6 210 10 6
Gazy
Powietrze i większość gazów pod normalnym ciśnieniem atmosferycznym 3400 10 6 3400 10 6
Tabela 1.2 Wartości współczynników rozszerzalności cieplnej.

Zjawisko rozszerzalności cieplnej jest podstawą działania paska bimetalu (Ilustracja 1.6). Przyrząd ten może być używany jako termometr, jeżeli do giętkiego elementu przymocujemy wskazówkę pokazującą wartości na odpowiednio dobranej skali. Może być także zastosowany jako automatyczny przełącznik, który włącza lub wyłącza układ elektryczny przy pewnej temperaturze. W ten sposób działają termostaty starszego typu, np. w żelazkach.

Rysunek a pokazuje dwa połączone ze sobą pionowe paski znajdujące się w temperaturze oznaczonej T0. Rysunek b pokazuje dwa te same paski wychylone w sprawo w temperaturze oznaczonej przez T, która jest większa niż T0.
Ilustracja 1.6 Stopień zakrzywienia paska bimetalu zależy od temperatury. (a) W temperaturze początkowej pasek jest prosty – oba materiały mają taką samą długość. (b) W wyższej temperaturze pasek wygina się w prawo, ponieważ metal z lewej strony rozszerzył się bardziej niż metal po prawej stronie paska. W temperaturze niższej od początkowej pasek ugiąłby się w lewo, ponieważ metal z lewej strony skurczyłby się bardziej niż metal po prawej stronie paska.

Przykład 1.2

Obliczanie liniowej rozszerzalności cieplnej

Najdłuższe przęsło Mostu Solidarności w Płocku – najdłuższego mostu w Polsce – ma 375 m 375m. Most narażony jest na wahania temperatury w zakresie od 25 °C 25 °C do 40 °C 40°C. Jak duża jest zmiana jego długości pomiędzy temperaturą maksymalną a minimalną? Załóżmy, że długość początkowa 375 m 375m odpowiada minimalnej temperaturze oraz że most w całości wykonany jest ze stali.

Strategia rozwiązania

Zastosujemy równanie dla liniowej rozszerzalności cieplnej Δ L = α L Δ T Δ L = α L Δ T , by wyliczyć zmianę długości Δ L ΔL. Użyjemy wartości α α dla stali z Tabeli 1.2. Zauważmy, że zmiana temperatury Δ T ΔT wynosi 65 °C 65°C.

Rozwiązanie

Podstawiamy wszystkie dane do wzoru, by wyznaczyć Δ L ΔL
Δ L = α L Δ T = 12 10 6 °C 1 375 m 65 °C = 0,29 m . Δ L = α L Δ T = 12 10 6 °C 1 375 m 65 °C = 0,29 m .

Znaczenie

Pomimo tego, że zmiana długości nie jest duża w porównaniu z całkowitą długością przęsła, to jest jednak zauważalna. Zmiana ta jest rozłożona na wiele szczelin dylatacyjnych tak, aby rozszerzenie na każdej z nich było niewielkie.

Rozszerzalność cieplna w dwóch i trzech wymiarach

Obiekty nieprzymocowane sztywno do niczego rozszerzają się we wszystkich kierunkach, jak zostało to przedstawione na Ilustracji 1.7. Ich powierzchnia oraz długość, a w rezultacie objętość zmieniają się przy zmianach temperatury. Ze względu na to, że ich proporcje pozostają stałe, rozmiary otworów i pojemności naczyń także zależą od temperatury. Jeżeli wytniemy otwór w metalowej płytce, to pozostały materiał rozszerzy się tak samo, jak gdyby usunięty element pozostał na swoim miejscu. Wycięty element byłby większy, a więc otwór też musi się powiększyć.

Rozszerzalność cieplna w dwóch wymiarach

Dla małych zmian temperatury zmiana pola powierzchni Δ S ΔS wyrażona jest wzorem

Δ S = 2 α S Δ T , Δ S = 2 α S Δ T ,
1.3

gdzie Δ S ΔS oznacza zmianę pola powierzchni S S, Δ T ΔT jest zmianą temperatury, a α α współczynnikiem rozszerzalności liniowej, który nieznacznie zależy od temperatury.

Rysunek pokazuje okrąg wewnątrz kwadratu. Okrąg jest otoczony przez inny, nieco większy okrąg. Większy okrąg jest oznaczony linią przerywaną. Obszar zakreślony przez większy okrąg jest zaciemniony. Rysunek b jest podobny do rysunku a z wyjątkiem tego, że okrąg wewnętrzny jest wycięty. Rysunek c przedstawia prostopadłościan obrysowany linią przerywaną przez większy prostopadłościan.
Ilustracja 1.7 Zasadniczo przy zwiększaniu temperatury ciała rozszerza się ono w każdym kierunku. Na rysunkach początkowe granice ciał zostały pokazane za pomocą linii ciągłych, a ich granice po rozszerzeniu – za pomocą linii przerywanych. (a) Powierzchnia rośnie, ponieważ rośnie zarówno długość, jak i szerokość. Wzrasta także pole powierzchni okrągłego korka. (b) Jeżeli usuniemy korek, to przy zwiększaniu temperatury otwór, który pozostanie, będzie się powiększał, tak jak gdyby korek był wciąż na swoim miejscu. (c) Objętość również się zwiększa, ponieważ rozszerzają się wszystkie trzy wymiary.

Rozszerzalność cieplna w trzech wymiarach

Związek pomiędzy objętością a temperaturą d V d T d V d T jest wyrażony przez d V d T = β V Δ T d V d T = β V Δ T , gdzie β β jest współczynnikiem rozszerzalności objętościowej (ang. coefficient of volume expansion). W Ćwiczeniu 1.58 pokazano, że β = 3 α β= 3 α . Równanie to często jest zapisywane w postaci

Δ V = β V Δ T . Δ V = β V Δ T .
1.4

Zauważmy, że wartości współczynnika β β podane w Tabeli 1.2 są w przybliżeniu równe 3 α 3α.

Rozszerzalność objętościowa jest zdefiniowana dla płynów, ale liniowa i powierzchniowa już nie. Przyczyną tego jest fakt, że zmiana długości czy powierzchni płynu zawsze zależy od kształtu pojemnika, w którym się on znajduje. Dlatego też w Tabeli 1.2 podano wartości β β płynów, ale nie podano α α.

W ogólności ciała rozszerzają się, gdy rośnie temperatura. Woda jest jednym z najważniejszych wyjątków od tej reguły. Rozszerza się ona wraz z rosnącą temperaturą (jej gęstość maleje) dla temperatur większych niż 4 °C 4°C. W temperaturze 4 °C 4 °C \SI{4}{\celsius} osiąga największą swoją gęstość i rozszerza się także wraz z malejącą temperaturą pomiędzy 4 °C 4 °C \SI{4}{\celsius} a 0 °C 0°C. Zostało to pokazane na Ilustracji 1.8. Niezwykle ciekawym skutkiem tego zjawiska jest zamarzanie wody (ang. freezing of water) w stawie. Gdy woda bliska powierzchni stawu ochładza się do 4 °C 4°C, staje się gęstsza niż pozostała woda i opada na dno. W ten sposób na powierzchni stawu gromadzi się warstwa wody cieplejszej, która znowu jest ochładzana. Jednak gdy temperatura warstwy znajdującej się przy powierzchni stawu spadnie poniżej 4 °C 4°C, gęstość wody w tej warstwie staje się mniejsza niż gęstość wody na dnie, przez co pozostaje ona przy powierzchni. W rezultacie powierzchnia stawu może zamarznąć. Powierzchniowa warstwa lodu izoluje wodę znajdującą się głębiej od bardzo zimnego powietrza. Ze względu na tę nietypową właściwość wody ryby i inne organizmy wodne mogą przetrwać w wodzie o temperaturze 4 °C 4°C znajdującej się pod powierzchnią lodu.

Wykres przedstawia zależność gęstości czystej wody w gramach na centymetr sześcienny w stosunku do temperatury w stopniach Celsjusza. Krzywa zaczyna się od wartości 0,99985 i zera stopni i rośnie do maksymalnej wartości gęstości bliskiej 1 w temperaturze 4 stopni Celsjusza, po czym opada do wartości 0,99950 w temperaturze 12 stopni Celsjusza.
Ilustracja 1.8 Wykres przedstawia zależność gęstości wody (ang. density of water ) od temperatury. Zauważmy, że rozszerzalność cieplna w niskich temperaturach jest bardzo mała. Maksymalna wartość gęstości w 4 °C 4 ° C jest tylko o 0,0075 % 0,0075 % większa niż gęstość w 1 °C 1 ° C i o 0,012 % 0,012 % większa niż w 0 °C 0 ° C . Spadek gęstości przy ochładzaniu wody obserwowany poniżej 4 °C 4 ° C związany jest z tym, że ciekła woda zbliża się coraz bardziej do stałego stanu skupienia w postaci kryształu lodu, który zawiera więcej pustej przestrzeni między cząsteczkami niż ciecz.

Przykład 1.3

Obliczanie rozszerzalności cieplnej

Załóżmy, że na stacji paliw 60-litrowy stalowy bak został zatankowany do pełna chłodną benzyną przepompowaną ze zbiornika znajdującego się pod ziemią. Zarówno bak, jak i benzyna mają teraz temperaturę równą 15 °C 15°C. Ile benzyny wycieknie z baku podczas ogrzewania się do temperatury 35 °C 35°C?

Strategia rozwiązania

Zarówno bak, jak i benzyna zwiększają swoją objętość, jednak benzyna rozszerza się bardziej niż stal. Objętość wylanej benzyny będzie równa różnicy zmian ich objętości. Aby obliczyć wartość zmiany ich objętości, możemy użyć równania opisującego objętościową rozszerzalność cieplną, a bak traktować jako bryłę stali.

Rozwiązanie

Użyjemy równania na rozszerzalność objętościową, by obliczyć wzrost objętości stalowego zbiornika
Δ V S = β S V S Δ T . Δ V S = β S V S Δ T .

Wzrost objętości benzyny opisuje poniższe równanie

Δ V benz = β benz V benz Δ T . Δ V benz = β benz V benz Δ T .

Objętość wylanego paliwa równa jest różnicy obliczonych wcześniej zmian objętości

V wylana = Δ V benz Δ V S . V wylana = Δ V benz Δ V S .

Możemy również połączyć powyższe równania w jedno (początkowe objętości są takie same)

V wylana = β wylana β S V Δ T V wylana = 950 10 -6 °C -1 35 10 -6 °C -1 601 20 °C = 1,11 l . V wylana = β wylana β S V Δ T V wylana = 950 10 -6 °C -1 35 10 -6 °C -1 601 20 °C = 1,11 l . \begin{multiline} V_{\text{wylana}} &= (\beta_{\text{wylana}} - \beta_{\text{S}}) V \prefop{\Delta} T \\ &= (\SI[per-mode=reciprocal]{950e-6}{\per\celsius} - \SI[per-mode=reciprocal]{35e-6}{\per\celsius}) \cdot 601 \cdot \SI{20}{\celsius} = \SI{1,11}{\litre} \text{.} \end{multiline} V wylana = β wylana β S V Δ T = 950 10 -6 °C -1 35 10 -6 °C -1 601 20 °C = 1,11 l .

Znaczenie

Jak widać, różnica zmian objętości tych materiałów wraz ze wzrostem temperatury jest znaczna. Jest to tym bardziej istotne, że benzyna i stal rozszerzają się dość szybko. Szybkość zmian właściwości cieplnych omówiona zostanie w dalszej części tego rozdziału.

Jeśli spróbujemy zamknąć szczelnie zbiornik paliwa, by zapobiec wypłynięciu benzyny, to okaże się, że mimo tego ona i tak wycieknie, przelewając się przez korek albo rozrywając zbiornik. Szczelne zamykanie rozszerzającego się gazu jest równoważne jego sprężaniu, a ciecze i ciała stałe opierają się przy ich sprężaniu z siłą znacznie większą niż gazy. Aby uniknąć pękania sztywnych pojemników, zostawia się w środku poduszkę powietrzną, która umożliwia cieczom rozszerzanie się i kurczenie bez obciążania ścian zbiornika.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.1

Czy odczyt ilości paliwa w zbiorniku wskaże większą ilość paliwa, gdy jest zimno, czy gdy jest ciepło? Czy temperatura ma tutaj znaczenie?

Naprężenie cieplne

Jeśli zmienimy temperaturę ciała, zapobiegając jego rozszerzaniu lub kurczeniu się, to w ciele tym pojawią się naprężenia. Jeżeli zapobiegamy rozszerzeniu się ciała, to naprężenia te są ściskające, a jeżeli zapobiegamy jego kurczeniu – rozciągające. Naprężenie wywołane zmianą temperatury nazywamy naprężeniem cieplnym (ang. thermal stress). Może ono być bardzo duże i powodować znaczne uszkodzenia.

W celu uniknięcia naprężeń inżynierowie starają się projektować elementy podatne na zmiany temperatury w taki sposób, aby mogły one swobodnie się rozszerzać i kurczyć. Przykładowo betonowe autostrady posiadają szczeliny pomiędzy blokami betonu, zapobiegające powstawaniu w nim naprężeń cieplnych. Podobnie jest ze zbrojeniem w konstrukcjach betonowych wykonanym ze stali. Stal ma współczynnik rozszerzalności cieplnej prawie identyczny jak beton.

W celu obliczenia naprężenia cieplnego w pręcie, którego końce zostały sztywno zamocowane, możemy wyobrazić sobie, że naprężenie powstaje w dwóch etapach. Najpierw przyjmijmy, że końce pręta są swobodne i może się on wydłużać (lub skracać). Obliczmy to wydłużenie (lub skrócenie). Następnie – określmy siłę potrzebną, by ścisnąć (lub rozciągnąć) pręt do jego początkowej długości, stosując metody poznane w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość. Innymi słowy Δ L ΔL wynikająca z liniowej rozszerzalności cieplnej jest równa Δ L ΔL wynikającej z odkształcenia sprężystego (jedynie znaki są przeciwne).

Przykład 1.4

Obliczanie naprężenia cieplnego

Betonowe bloki ułożono na autostradzie bez żadnych przerw pomiędzy nimi, przez co nie mogą się rozszerzać. Ekipa budowlana wykonała budowę w zimie, kiedy temperatura wynosiła 5 °C 5°C. Obliczmy naprężenie betonowych bloków w lecie, gdy słońce rozgrzewa je do temperatury 38 °C 38°C. Moduł Younga betonu wynosi E = 20 10 9 N m 2 E= 20 10 9 N m 2 .

Strategia rozwiązania

Zgodnie z tym, czego dowiedzieliśmy się w rozdziale o równowadze statycznej i elastyczności, naprężenie wynosi
F S = E Δ L L 0 , F S = E Δ L L 0 ,

gdzie E E to moduł Younga materiału, w naszym przypadku betonu. Rozszerzalność cieplna opisana jest równaniem Δ L = α L 0 Δ T Δ L = α L 0 Δ T . Łączymy te dwa równania, zakładając, że wartości Δ L ΔL są równe. Ponieważ nie podano informacji o L 0 L 0 i polu powierzchni S S, odpowiedź liczbową uzyskamy tylko wtedy, gdy wyeliminujemy te dwie wielkości.

Rozwiązanie

Podstawiamy równanie opisujące rozszerzalność cieplną do równania opisującego naprężenie elastyczne i otrzymujemy
F S = E α L 0 Δ T L 0 = E α Δ T . F S = E α L 0 Δ T L 0 = E α Δ T .

Zgodnie z przypuszczeniem L 0 L 0 eliminuje się, a S S występuje jedynie w F S FS, a zatem w członie określającym naprężenie, którego szukamy.

Teraz pozostaje jedynie podstawić dane

F S = 20 10 9 N m 2 12 10 6 °C 1 38 °C 5 °C = 7,9 10 6 N m 2 . F S = 20 10 9 N m 2 12 10 6 °C 1 38 °C 5 °C = 7,9 10 6 N m 2 .

Znaczenie

Graniczna wytrzymałość betonu na ściskanie to 20 10 6 N m 2 20 10 6 N m 2 , zatem bloki nie powinny popękać. Jednak graniczna wytrzymałość na ścinanie to już tylko 2 10 6 N m 2 2 10 6 N m 2 , co oznacza, że mogą pojawić się odpryski betonu.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.2

Dwa ciała A i B mają te same wymiary i są w taki sam sposób sztywno zamocowane. Ciało A jest wykonane z materiału o wyższym współczynniku rozszerzalności cieplnej niż ciało B. Jeżeli obydwa ciała zostaną podgrzane w identyczny sposób, to czy w A powstanie większe naprężenie niż w B?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-2/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.