15.2 Energia w ruchu harmonicznym

Energia i oscylator harmoniczny

Aby opisać energię oscylatora harmonicznego, musimy wziąć pod uwagę wszystkie formy energii. Zastanówmy się nad klockiem połączonym ze sprężyną, który oscyluje w ruchu harmonicznym, przesuwając się po powierzchni bez tarcia. Energia potencjalna zmagazynowana w odkształconej sprężynie wynosi:

W oscylatorze harmonicznym energia zmienia się z energii kinetycznej drgającej masy $E_{\mathrm{k}}=m{v}^2\text{/}2$ w energię potencjalną $E_{\text{pspr}}=k{x}^2\text{/}2$ zmagazynowaną w sprężynie. W przypadku, gdy w ruchu harmonicznym układu masy i sprężyny nie występują siły dyssypacji, całkowita energia układu jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Zasadę zachowania energii w tym układzie opisano poniżej. To podejście będzie słuszne dla wszystkich oscylatorów harmonicznych, w tym również dla przypadków, gdzie kluczową rolę odgrywa siła grawitacji.

Przyjrzyjmy się Ilustracji 15.11, która przedstawia oscylujący klocek przymocowany do sprężyny. Przy braku tłumienia w ruchu harmonicznym energia przechodzi całkowicie z jednej formy w drugą w czasie, kiedy układ wykonuje drgania. W tym prostym przykładzie ruchu klocka na sprężynie po powierzchni bez tarcia w chwili początkowej cała energia magazynuje się w sprężynie. Energię tę nazywamy energią potencjalną sprężystości. Kiedy klocek zaczyna się poruszać, energia potencjalna sprężystości przekształca się w energię kinetyczną, a w położeniu równowagi w całości staje się energią kinetyczną klocka. Następnie energia kinetyczna z powrotem przekształca się w energię potencjalną sprężystości, gdy sprężyna jest rozciągana lub ściskana. W skrajnych położeniach prędkość klocka wynosi zero, a więc energia kinetyczna też jest równa zeru. Cykl przemian się powtarza. Zrozumienie zasady zachowania energii w tych cyklach pozwala zrozumieć zagadnienia omawiane w dalszej części podrozdziału, a także wyjaśnia ruch harmoniczny polegający na oscylacjach ładunku w obwodzie typu LC.

Ilustracja 15.11 Przemiana energii w ruchu harmonicznym dla klocka przymocowanego do sprężyny. Ruch odbywa się bez tarcia powierzchniowego. (a) Gdy masa znajduje się w położeniu $x=+A$, cała energia magazynuje się w sprężynie jako energia potencjalna sprężystości $E_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}}=k{A}^2\text{/}2$. Energia kinetyczna jest równa zeru, ponieważ prędkość masy wynosi zero. (b) Gdy klocek porusza się w kierunku $x=\text{−}A$, masa przechodzi przez położenie $x=0$. W tym momencie sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani skrócona, więc energia zmagazynowana w sprężynie wynosi zero. W położeniu $x=0$ całkowita energia jest energią kinetyczną $E_{\mathrm{k}}=m(-v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{)}^2\text{/}2$. (c) Masa kontynuuje ruch, aż osiągnie położenie $x=\text{−}A$, w którym klocek zatrzymuje się, a następnie zaczyna się poruszać w kierunku $x=+A$. W położeniu $x=\text{−}A$ całkowita energia magazynuje się jako energia potencjalna sprężystości $E_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}}=k(-A{)}^2\text{/}2$. Energia kinetyczna klocka jest równa zero. (d) Kiedy masa przechodzi przez położenie $x=0$, energia kinetyczna wynosi $E_{\mathrm{k}}=m{v}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^2\text{/}2$, a energia potencjalna sprężystości jest zerowa. (e) Masa wraca do położenia $x=+A$, gdzie $E_k=0$ i $E_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}}=k{A}^2\text{/}2$.

Rozważmy Ilustrację 15.11, która przedstawia wartości energii w poszczególnych punktach ruchu drgającego klocka. Podczas gdy całkowita energia pozostaje wartością stałą, zmieniają się w czasie udziały energii kinetycznej klocka i energii potencjalnej zmagazynowanej w sprężynie:

Ruch klocka na sprężynie to ruch harmoniczny, który określają wyrażenia na położenie $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t+\varphi \right)$ i prędkość $v\left(t\right)=\text{−}A\omega \text{sin}\left(\omega t+\varphi \right)$. Korzystając z tych wyrażeń, zależności trygonometrycznej ${\text{cos}}^2\theta +{\text{sin}}^2\theta =1$ i relacji $\omega =\sqrt{k\text{/}m}$, możemy wyznaczyć energię całkowitą układu:

Energia całkowita klocka i sprężyny jest równa sumie energii potencjalnej sprężystości zmagazynowanej w sprężynie oraz energii kinetycznej klocka i wzrasta wraz z kwadratem amplitudy drgań $E_{\mathrm{całkowita}}=k{A}^2\text{/}2$. Energia całkowita układu jest stała w czasie.

Warto zauważyć, że energia kinetyczna klocka zmienia się w czasie tak jak kwadrat funkcji sinus, natomiast energia potencjalna sprężystości zmienia się jak kwadrat funkcji cosinus. Niemniej jednak całkowita energia układu jest stała i zwiększa się wraz z kwadratem amplitudy drgań. Ilustracja 15.12 przedstawia czasowe zależności energii potencjalnej sprężystości i energii kinetycznej oraz energię całkowitą układu klocka i sprężyny. Pokazano również wykresy położenia i prędkości klocka w funkcji czasu. W chwili czasu $t=0\text{s}$ położenie klocka jest równe amplitudzie przesunięcia, energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie jest równa $E_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}}=k{A}^2\text{/}2$, siła sprężystości działająca na klocek jest maksymalna i ma zwrot przeciwny do zwrotu osi $x$ $\left(F_S=\text{−}kA\right)$. Prędkość i energia kinetyczna klocka w chwili $t=0\text{s}$ mają wartości zerowe. W chwili $t=0\text{s}$ klocek zwolniono, co dało początek ruchowi drgającemu.

Ilustracja 15.12 Wykres energii kinetycznej, energii potencjalnej sprężystości i energii całkowitej układu w ruchu harmonicznym. Pokazano również wykresy położenia i prędkości w funkcji czasu. Całkowita energia układu jest stała, ale następuje zmiana udziałów energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości. Kiedy energia kinetyczna osiąga wartość maksymalną, to energia potencjalna sprężystości wynosi zero. Dzieje się tak w chwilach, gdy prędkość klocka jest maksymalna i masa znajduje się w położeniu równowagi. Natomiast energia potencjalna sprężystości osiąga maksimum, gdy prędkość klocka wynosi zero. Całkowita energia stała w czasie jest sumą energii kinetycznej klocka oraz energii potencjalnej zmagazynowanej w sprężynie.

Oscylacje względem położenia równowagi

Powyżej rozważaliśmy energię układu w ruchu harmonicznym w funkcji czasu. Przeanalizujmy teraz energię oscylatora harmonicznego jako funkcję położenia klocka. Ilustracja 15.13 przedstawia wykres energii układu względem położenia klocka poruszającego się ruchem harmonicznym.

Ilustracja 15.13 Wykres energii kinetycznej (czerwony), energii potencjalnej (niebieski) i energii całkowitej (zielony) oscylatora harmonicznego. Siłę opisano wyrażeniem $F=-\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}\text{/}\mathrm{d}x$. Położenie równowagi oznaczono czarną kropką, w którym siła sprężystości jest równa zeru. Siła ta jest dodatnia, gdy $x<0$, ujemna gdy $x>0$, a równa zeru, gdy $x=0$.

Kształt krzywej energii potencjalnej sprężystości na Ilustracji 15.13 przypomina miskę. Gdy kulę umieścimy w misce, to osiągnie stan równowagi w najniższym punkcie naczynia $\left(x=0\right)$. Dzieje się tak dlatego, że siła zwrotna jest skierowana do położenia równowagi. To położenie równowagi określa też minimum energii potencjalnej. Gdy kulę wytrącimy z położenia równowagi do nowego położenia $\left(x=+A\right)$, to wykona ona drgania wokół położenia równowagi. Na wykresie energii potencjalnej wartość siły możemy znaleźć dla dowolnego położenia jako tangens kąta nachylenia krzywej w punkcie $x$ wzięty z przeciwnym znakiem $(F=-\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}\text{/}\mathrm{d}x)$. Ze względu na to, że siłę po obu stronach położenia równowagi skierowano w kierunku tego punktu, równowagę tę nazywamy trwałą (stabilną). Położenia $x=A$ i $x=\text{−}A$ nazywamy punktami zwrotnymi. (Patrz: Energia potencjalna i zasada zachowania energii).

Musimy też pamiętać o stabilności, ponieważ jeśli położenie równowagi jest trwałe, to niewielkie zakłócenie działające na kulę, która początkowo znajduje się w punkcie równowagi trwałej ($x=0$), wywoła oscylacje kuli względem tego punktu. Siła działająca na kulę będzie skierowana w kierunku położenia równowagi trwałej. Natomiast w przypadku kuli znajdującej się w położeniu równowagi nietrwałej (niestabilnej, chwiejnej), nawet lekkie wychylenie z położenia równowagi spowoduje, że nie wróci już samoistnie do tego położenia równowagi.

Rozważmy przykład kuli i miski. Jeśli miskę ustawimy dnem do podłoża, to nawet lekko wychylona kula będzie oscylować wokół trwałego punktu równowagi. Jeśli jednak naczynie odwrócimy dnem do góry, a kulę starannie położymy dokładnie w najwyższym punkcie, to może ona przez pewien czas utrzymać stan równowagi, gdyż działająca siła wypadkowa wyniesie zero. Wystarczy jednak delikatne wychylenie, by zainicjować stoczenie się kuli ze szczytu miski. Dzieje się tak dlatego, że siły działające po obu stronach punktu równowagi są skierowane od tego punktu. Punkt na szczycie miski znajduje się więc w stanie równowagi nietrwałej.

Ilustracja 15.14 pokazuje trzy sytuacje. Pierwsza z nich przedstawia położenie równowagi trwałej, któremu odpowiada minimum energii potencjalnej (a); druga to punkt równowagi nietrwałej położony w maksimum energii potencjalnej (b); ostatnia sytuacja również dotyczy położenia równowagi nietrwałej, ponieważ jedynie siła po prawej stronie działa na kulę w kierunku położenia równowagi (c).

Ilustracja 15.14 Przykłady położeń równowagi: (a) trwałe położenie równowagi, (b) i (c) nietrwałe położenia równowagi.

Procedura ustalenia, czy dane położenie równowagi jest trwałe czy nietrwałe, może być sformalizowana. Rozważmy krzywą energii potencjalnej pokazaną na Ilustracji 15.15. Siła może zostać oszacowana na podstawie analizy nachylenia wykresu. Wartość siły jest określona wzorem $F=-\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}\text{/}\mathrm{d}x$. W punkcie (a), gdy $x<0\mathrm{m}$, siła jest dodatnia. Gdy $x>0\mathrm{m}$, siła ta jest ujemna. Wobec tego punkt przy $x=0\mathrm{m}$ jest położeniem trwałym. W (b), gdy $x<0\mathrm{m}$, siła jest ujemna. Gdy $x>0\mathrm{m}$, siła jest również ujemna, więc punkt przy $x=0\mathrm{m}$ jest nietrwałym położeniem.

Ilustracja 15.15 Dwa przykłady krzywej energii potencjalnej. Siła w danym punkcie jest równa ujemnej wartości tangensa kąta nachylenia krzywej w tym położeniu. (a) Wykres energii potencjalnej dla trwałego położenia równowagi. (b) Wykres energii potencjalnej dla nietrwałego położenia równowagi. Położenie to nazywa się czasem półstabilnym, ponieważ siła działająca dla położeń $x>0\mathrm{m}$ jest zwrócona w kierunku punktu $x=0\mathrm{m}$.

Koncepcja trwałego położenia równowagi znajduje praktyczne zastosowanie w opisie siły działającej pomiędzy dwoma obojętnymi atomami lub cząsteczkami. Gdy dwa atomy znajdują się w bliskim sąsiedztwie i są oddzielone kilkoma średnicami atomowymi, mogą wystąpić siły przyciągania. Jednym z przykładów sił przyciągania pomiędzy dwoma atomami są siły van der Waalsa. W przypadku dalszego zbliżania atomów, tak że ich powłoki elektronowe będą się nakładać, pojawią się siły odpychające. Siła oddziaływania pomiędzy dwoma atomami nie jest liniowa i nie można jej opisać przez układ dwóch mas odseparowanych sprężyną, ale atomy w cząsteczce mogą oscylować wokół punktu równowagi, jeśli przesuną się tylko trochę poza ten punkt. Na skutek działania sił przyciągających i odpychających atomy wykonują drgania.

Szczegółowa dyskusja na temat oddziaływań międzyatomowych wykracza poza zakres tego rozdziału, ale warto wiedzieć, że drgania atomów odbywają się wzdłuż krzywej energii potencjalnej Lennarda-Jonesa 6-12:

Wykres tej funkcji pokazano na Ilustracji 15.16. Dwa parametry $\epsilon$ i $\sigma$ wyznaczono na podstawie danych doświadczalnych.

Ilustracja 15.16 Krzywa energii potencjalnej Lennarda-Jonesa dla układu dwóch obojętnych atomów. Jeżeli energia układu nie jest zbyt wysoka, to układ wykonuje drgania w pobliżu położenia równowagi pomiędzy dwoma punktami zwrotnymi.

Na wykresie można zauważyć, że krzywa energii potencjalnej Lennarda- Jonesa ma pewne podobieństwa do krzywej energii potencjalnej przedstawionej na Ilustracji 15.13 dla oscylatora harmonicznego. Na krzywej potencjału Lennarda-Jonesa znajduje się położenie równowagi, dla którego energia potencjalna jest minimalna i siła działająca po obu stronach punktu równowagi skierowana jest w stronę tego punktu (tzw. siła zwrotna). Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do oscylatora harmonicznego, kształt krzywej energii potencjalnej Lennarda-Jonesa nie jest symetryczny. Wynika to z faktu, że siła działająca pomiędzy atomami nie jest funkcją liniową względem położenia $x$, tzn. nie spełnia prawa Hooke'a tak, jak siła sprężystości. Atomy mogą wykonywać drgania wokół stanu równowagi $x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$, ponieważ gdy $x<x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$, siła jest dodatnia, natomiast gdy $x>x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$, siła jest ujemna. Zauważmy, że gdy $x$ zbliża się do zera, to nachylenie krzywej jest dość strome i tangens kąta nachylenia jest wartością ujemną, a to oznacza, że siła ma dużą wartość i jej zwrot jest zgodny ze zwrotem osi $x$. Można więc wywnioskować, że siła ta odpycha atomy od siebie. Z kolei dla położeń przyjmujących coraz większe wartości $x$, nachylenie staje się mniej strome, siła ma coraz mniejszą wartość, a jej zwrot jest przeciwny do zwrotu osi $x$. Wobec tego jeśli układ ma wystarczająco dużo energii, to atomy mogą ulec rozdzieleniu.

Możemy też obliczyć siły międzycząsteczkowe z funkcji energii potencjalnej. Zauważmy, że siła różni się od tej z prawa Hooke'a $\left(F=\text{−}kx\right)$, ale znając dwumian Newtona:

siłę tę można w przybliżeniu obliczyć z prawa Hooke'a.

Prędkość i zasada zachowania energii

Wróćmy do układu klocka i sprężyny z Ilustracji 15.11. W chwili, gdy klocek zostaje wytrącony ze stanu spoczynku przy $x=A$, zaczyna poruszać się w kierunku położenia równowagi. Energia potencjalna sprężystości zmniejsza się, a prędkość i energia kinetyczna klocka wzrastają. W chwili $t=T\text{/}4$ klocek osiąga położenie równowagi $x=0\text{m}$, gdzie zarówno siła działająca na klocek, jak i energia potencjalna są wartościami zerowymi. W położeniu równowagi klocek osiąga maksymalną ujemną prędkość o wartości $v=\text{−}A\omega$. Energia kinetyczna jest najwyższa i wynosi $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^2=\frac{1}{2}k{A}^2$. W tej chwili siła działająca na klocek wynosi zero, ale pęd klocka powoduje kontynuację ruchu w kierunku punktu $x=\text{−}A$. W czasie dalszego ruchu klocka działa na niego siła o zwrocie zgodnym ze zwrotem osi $x$, a wartości prędkości i energii kinetycznej maleją. Energia potencjalna wzrasta wraz ze skracaniem się sprężyny. W chwili $t=T\text{/}2$ klocek osiąga położenie $x=-A$. W tym położeniu prędkość i energia kinetyczna są wartościami zerowymi. Siła sprężystości działająca na klocek wynosi $F=kA$, natomiast energię potencjalną zmagazynowanej w sprężynie wyrażono wzorem $E_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}}=k{A}^2\text{/}2$. Podczas drgań klocka energia całkowita jest stała i równa sumie energii potencjalnej i energii kinetycznej układu:

Można więc wyznaczyć wzór na prędkość klocka dla każdego położenia w ruchu harmonicznym:

Energia w oscylatorze harmonicznym wzrasta wraz z kwadratem amplitudy drgań. Rozważając różne układy drgające, często można się przekonać, że ich energia również jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań.