Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

15.2 Energia w ruchu harmonicznym

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 115.2 Energia w ruchu harmonicznym

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać zasadę zachowania energii dla układu klocek–sprężyna;
  • wyjaśniać pojęcia trwałych i nietrwałych położeń równowagi.

Aby odkształcić ciało, musimy wykonać pracę. Innymi słowy niezależnie od tego, czy chcemy szarpnąć strunę gitary, czy skrócić amortyzator w samochodzie, musimy zadziałać siłą z pewnej odległości. Jeśli jedynym rezultatem tego działania jest deformacja ciała i wykonana praca nie przekształca się w energię termiczną, energię fali dźwiękowej lub energię kinetyczną, to wykonana praca magazynuje się w zdeformowanym obiekcie jako pewna forma energii potencjalnej.

Przyjrzyjmy się klockowi połączonemu ze sprężyną, poruszającemu się ruchem harmonicznym po stole bez tarcia. Możemy zdefiniować energię potencjalną dla tego układu, ponieważ siła sprężystości jest siłą zachowawczą (opisaną w rozdziale dotyczącym energii potencjalnej sprężystości i zasady zachowania energii). Energię potencjalną stanowi energia zmagazynowana w sprężynie, gdy sprężyna jest odkształcona (rozciągnięta lub skrócona). Klocek może wykonywać drgania w jednym wymiarze w obecności siły sprężystości działającej równolegle do osi ruchu:

W = x p x k F x d x = x p x k k x d x = [ 1 2 k x 2 ] x p x k = [ 1 2 k x k 2 1 2 k x p 2 ] = [ E psprk E psprp ] = Δ E pspr . W= x p x k F x d x= x p x k kx d x= [ 1 2 k x 2 ] x p x k = [ 1 2 k x k 2 1 2 k x p 2 ] =[ E psprk E psprp ]=Δ E pspr .

Położenie równowagi oznaczone jako x i = 0,00 m x i = 0,00 m jest położeniem, dla którego energia zmagazynowana w sprężynie równa się zeru. Gdy sprężynę rozciągniemy lub skrócimy o odległość x, to energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie wyniesie:

E pspr = 1 2 k x 2 . E pspr = 1 2 k x 2 .

Energia i oscylator harmoniczny

Aby opisać energię oscylatora harmonicznego, musimy wziąć pod uwagę wszystkie formy energii. Zastanówmy się nad klockiem połączonym ze sprężyną, który oscyluje w ruchu harmonicznym, przesuwając się po powierzchni bez tarcia. Energia potencjalna zmagazynowana w odkształconej sprężynie wynosi:

E pspr = 1 2 k x 2 . E pspr = 1 2 k x 2 .

W oscylatorze harmonicznym energia zmienia się z energii kinetycznej drgającej masy E k = m v 2 / 2 E k =m v 2 /2 w energię potencjalną E pspr = k x 2 / 2 E pspr =k x 2 /2 zmagazynowaną w sprężynie. W przypadku, gdy w ruchu harmonicznym układu masy i sprężyny nie występują siły dyssypacji, całkowita energia układu jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Zasadę zachowania energii w tym układzie opisano poniżej. To podejście będzie słuszne dla wszystkich oscylatorów harmonicznych, w tym również dla przypadków, gdzie kluczową rolę odgrywa siła grawitacji.

Przyjrzyjmy się Ilustracji 15.11, która przedstawia oscylujący klocek przymocowany do sprężyny. Przy braku tłumienia w ruchu harmonicznym energia przechodzi całkowicie z jednej formy w drugą w czasie, kiedy układ wykonuje drgania. W tym prostym przykładzie ruchu klocka na sprężynie po powierzchni bez tarcia w chwili początkowej cała energia magazynuje się w sprężynie. Energię tę nazywamy energią potencjalną sprężystości. Kiedy klocek zaczyna się poruszać, energia potencjalna sprężystości przekształca się w energię kinetyczną, a w położeniu równowagi w całości staje się energią kinetyczną klocka. Następnie energia kinetyczna z powrotem przekształca się w energię potencjalną sprężystości, gdy sprężyna jest rozciągana lub ściskana. W skrajnych położeniach prędkość klocka wynosi zero, a więc energia kinetyczna też jest równa zeru. Cykl przemian się powtarza. Zrozumienie zasady zachowania energii w tych cyklach pozwala zrozumieć zagadnienia omawiane w dalszej części podrozdziału, a także wyjaśnia ruch harmoniczny polegający na oscylacjach ładunku w obwodzie typu LC.

Ruch i energia ciała o masie m, połączonego z poziomą sprężyną o współczynniku sprężystości k, w różnych położeniach ciała. Rysunek (a) przedstawia ciało w położeniu x = A, które znajduje się na prawo od punktu x =0, prędkość ciała wynosi v=0. Sprężyna jest rozciągnięta. Siła działająca na ciało jest skierowana w lewo. Wykres jest opisany jako 1/2 k A do kwadratu. (b) Ciało znajduje się w położeniu x = 0 i porusza się w kierunku ujemnych wartości x z prędkością –v sub max. Sprężyna jest zwolniona. Siła działająca na ciało wynosi zero. Wykres jest opisany jako 1/2 mv sub max do kwadratu. (c) Ciało znajduje się w położeniu minus A, które znajduje się na lewo od x = 0, prędkość wynosi v =0. Sprężyna jest ściśnięta. Siła F jest skierowana w prawo. Wykres jest opisany jako 1/2 k minus A do kwadratu. (d) Ciało znajduje się w położeniu x = 0 i porusza się zgodnie z kierunkiem osi x z prędkością plus v sub max. Sprężyna jest zwolniona. Siła działająca na ciało wynosi zero. Wykres jest opisany jako 1/2 m v sub max do kwadratu. (e) Ciało znowu znajduje się w położeniu x = A, które znajduje się na prawo od x =0. Wykres jest opisany jako 1/2 k A do kwadratu.
Ilustracja 15.11 Przemiana energii w ruchu harmonicznym dla klocka przymocowanego do sprężyny. Ruch odbywa się bez tarcia powierzchniowego. (a) Gdy masa znajduje się w położeniu x = + A x = + A , cała energia magazynuje się w sprężynie jako energia potencjalna sprężystości E p s p r = k A 2 / 2 E p s p r = k A 2 / 2 . Energia kinetyczna jest równa zeru, ponieważ prędkość masy wynosi zero. (b) Gdy klocek porusza się w kierunku x = A x = A , masa przechodzi przez położenie x = 0 x = 0 . W tym momencie sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani skrócona, więc energia zmagazynowana w sprężynie wynosi zero. W położeniu x = 0 x = 0 całkowita energia jest energią kinetyczną E k = m ( v m a x ) 2 / 2 E k = m ( v m a x ) 2 / 2 . (c) Masa kontynuuje ruch, aż osiągnie położenie x = A x = A , w którym klocek zatrzymuje się, a następnie zaczyna się poruszać w kierunku x = + A x = + A . W położeniu x = A x = A całkowita energia magazynuje się jako energia potencjalna sprężystości E p s p r = k ( A ) 2 / 2 E p s p r = k ( A ) 2 / 2 . Energia kinetyczna klocka jest równa zero. (d) Kiedy masa przechodzi przez położenie x = 0 x = 0 , energia kinetyczna wynosi E k = m v m a x 2 / 2 E k = m v m a x 2 / 2 , a energia potencjalna sprężystości jest zerowa. (e) Masa wraca do położenia x = + A x = + A , gdzie E k = 0 E k = 0 i E p s p r = k A 2 / 2 E p s p r = k A 2 / 2 .

Rozważmy Ilustrację 15.11, która przedstawia wartości energii w poszczególnych punktach ruchu drgającego klocka. Podczas gdy całkowita energia pozostaje wartością stałą, zmieniają się w czasie udziały energii kinetycznej klocka i energii potencjalnej zmagazynowanej w sprężynie:

E całkowita = E pspr + E k = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 . E całkowita = E pspr + E k = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 .

Ruch klocka na sprężynie to ruch harmoniczny, który określają wyrażenia na położenie x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) i prędkość v ( t ) = A ω sin ( ω t + ϕ ) v ( t ) = A ω sin ( ω t + ϕ ) . Korzystając z tych wyrażeń, zależności trygonometrycznej cos 2 θ + sin 2 θ = 1 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 i relacji ω = k / m ω= k / m , możemy wyznaczyć energię całkowitą układu:

E całkowita = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 ω 2 sin 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 k m sin 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 k A 2 sin 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 ( cos 2 ( ω t + ϕ ) + sin 2 ( ω t + ϕ ) ) = 1 2 k A 2 . E całkowita = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 ω 2 sin 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 k m sin 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 k A 2 sin 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 ( cos 2 ( ω t + ϕ ) + sin 2 ( ω t + ϕ ) ) = 1 2 k A 2 .

Energia całkowita klocka i sprężyny jest równa sumie energii potencjalnej sprężystości zmagazynowanej w sprężynie oraz energii kinetycznej klocka i wzrasta wraz z kwadratem amplitudy drgań E całkowita = k A 2 / 2 E całkowita =k A 2 /2. Energia całkowita układu jest stała w czasie.

Warto zauważyć, że energia kinetyczna klocka zmienia się w czasie tak jak kwadrat funkcji sinus, natomiast energia potencjalna sprężystości zmienia się jak kwadrat funkcji cosinus. Niemniej jednak całkowita energia układu jest stała i zwiększa się wraz z kwadratem amplitudy drgań. Ilustracja 15.12 przedstawia czasowe zależności energii potencjalnej sprężystości i energii kinetycznej oraz energię całkowitą układu klocka i sprężyny. Pokazano również wykresy położenia i prędkości klocka w funkcji czasu. W chwili czasu t = 0 s t=0s położenie klocka jest równe amplitudzie przesunięcia, energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie jest równa E p s p r = k A 2 / 2 E p s p r =k A 2 /2, siła sprężystości działająca na klocek jest maksymalna i ma zwrot przeciwny do zwrotu osi x x ( F S = k A ) ( F S = k A ) . Prędkość i energia kinetyczna klocka w chwili t = 0 s t = 0 s mają wartości zerowe. W chwili t = 0 s t = 0 s klocek zwolniono, co dało początek ruchowi drgającemu.

Wykresy energii, położenia i prędkości w funkcji czasu dla ciała o masie m, połączonego ze sprężyną. Po lewej stronie znajduje się wykres energii, gdzie energia jest podana w dżulach (J) w funkcji czasu wyrażonego w sekundach. Zakres na osi pionowej jest od zera do 1/2 razy k razy A do kwadratu. Zakres na osi poziomej jest od zera do T. Pokazano trzy krzywe. Wykres energii całkowitej E sub całkowita narysowano na zielono. Energia całkowita jest stała i wynosi 1/2 razy k razy A do kwadratu. Energia kinetyczna E sub k wynosi 1/2 m v do kwadratu i jest przedstawiona czerwoną linią. E sub k zaczyna się w punkcie odpowiadającym zerowej energii, przy t=0 i osiąga wartość maksymalną równą 1/2 k A do kwadratu dla 1/4 T, następnie osiąga zero dla 1/2 T, osiąga wartość k A do kwadratu dla 3/4 T, a następnie znowu osiąga wartość zero dla T. Energia potencjalna E sub p jest równa 1/2 k x do kwadratu i jest przedstawiona kolorem niebieskim. E sub p zaczyna się w punkcie, gdzie energia wynosi 1/2 k A do kwadratu dla t=0, osiąga wartość zero dla 1/4 T, następnie rośnie osiągając wartość 1/2 k A do kwadratu dla 1/2 T, spada do zera dla 3/4 T i osiąga wartość maksymalna dla 1/2 k A do kwadratu dla t=T. Wykres po prawej stronie przedstawia położenie w funkcji czasu, poniżej znajduje się wykres prędkości w funkcji czasu. Położenie jest oznaczone jako x i jest podane w metrach, zakres wynosi od –A do +A, czas podany jest w sekundach. Wykres zaczyna się od +A, następnie wartości maleją do t=0, gdzie położenie jest minimalne i wynosi –A, następnie osiąga +A. Prędkość oznaczona jest jako v i podana w metrach na sekundę, zakres jest od minus v sub max do plus v sub max, czas jest podany w sekundach. Prędkość wynosi zero dla t=0, osiąga minimum równe minus v sub max dla tej samej chwili, w której położenie jest równe zero. Prędkość wynosi ponownie zero dla x=-A, rośnie do plus v sub max dla położenia równego zero, następnie v=0 w końcowym punkcie wykresu, gdzie położenie jest znowu maksymalne.
Ilustracja 15.12 Wykres energii kinetycznej, energii potencjalnej sprężystości i energii całkowitej układu w ruchu harmonicznym. Pokazano również wykresy położenia i prędkości w funkcji czasu. Całkowita energia układu jest stała, ale następuje zmiana udziałów energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości. Kiedy energia kinetyczna osiąga wartość maksymalną, to energia potencjalna sprężystości wynosi zero. Dzieje się tak w chwilach, gdy prędkość klocka jest maksymalna i masa znajduje się w położeniu równowagi. Natomiast energia potencjalna sprężystości osiąga maksimum, gdy prędkość klocka wynosi zero. Całkowita energia stała w czasie jest sumą energii kinetycznej klocka oraz energii potencjalnej zmagazynowanej w sprężynie.

Oscylacje względem położenia równowagi

Powyżej rozważaliśmy energię układu w ruchu harmonicznym w funkcji czasu. Przeanalizujmy teraz energię oscylatora harmonicznego jako funkcję położenia klocka. Ilustracja 15.13 przedstawia wykres energii układu względem położenia klocka poruszającego się ruchem harmonicznym.

Wykres energii E w dżulach (oś pionowa), w funkcji położenia x w metrach (oś pozioma). Na osi poziomej oznaczono dla x=0 położenie równowagi, gdzie F=0. Położenia x=-A i x=+A są oznaczone jako punkty zwrotne. Parabola narysowana na czerwono i oznaczona jako E sub k, osiąga wartość maksymalną E = E sub całkowita dla x = 0 i wartość zerową dla x = -A i x = +A. Pozioma zielona linia przedstawia wartości E całkowitej. Parabola narysowana na niebiesko przecina zieloną linię w punktach odpowiadających E = E sub całkowita dla x = -A i x = +A. Fragment wykresu na lewo od x = 0 jest oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w prawo i równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x. Obszar wykresu na prawo od x = 0 jest oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w lewo i równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x.
Ilustracja 15.13 Wykres energii kinetycznej (czerwony), energii potencjalnej (niebieski) i energii całkowitej (zielony) oscylatora harmonicznego. Siłę opisano wyrażeniem F = d E p o t / d x F = d E p o t / d x . Położenie równowagi oznaczono czarną kropką, w którym siła sprężystości jest równa zeru. Siła ta jest dodatnia, gdy x < 0 x < 0 , ujemna gdy x > 0 x > 0 , a równa zeru, gdy x = 0 x = 0 .

Kształt krzywej energii potencjalnej sprężystości na Ilustracji 15.13 przypomina miskę. Gdy kulę umieścimy w misce, to osiągnie stan równowagi w najniższym punkcie naczynia ( x = 0 ) ( x = 0 ) . Dzieje się tak dlatego, że siła zwrotna jest skierowana do położenia równowagi. To położenie równowagi określa też minimum energii potencjalnej. Gdy kulę wytrącimy z położenia równowagi do nowego położenia ( x = + A ) ( x = + A ) , to wykona ona drgania wokół położenia równowagi. Na wykresie energii potencjalnej wartość siły możemy znaleźć dla dowolnego położenia jako tangens kąta nachylenia krzywej w punkcie x x wzięty z przeciwnym znakiem ( F = d E p o t / d x ) (F= d E p o t / d x). Ze względu na to, że siłę po obu stronach położenia równowagi skierowano w kierunku tego punktu, równowagę tę nazywamy trwałą (stabilną). Położenia x = A x = A i x = A x = A nazywamy punktami zwrotnymi. (Patrz: Energia potencjalna i zasada zachowania energii).

Musimy też pamiętać o stabilności, ponieważ jeśli położenie równowagi jest trwałe, to niewielkie zakłócenie działające na kulę, która początkowo znajduje się w punkcie równowagi trwałej ( x = 0 x=0), wywoła oscylacje kuli względem tego punktu. Siła działająca na kulę będzie skierowana w kierunku położenia równowagi trwałej. Natomiast w przypadku kuli znajdującej się w położeniu równowagi nietrwałej (niestabilnej, chwiejnej), nawet lekkie wychylenie z położenia równowagi spowoduje, że nie wróci już samoistnie do tego położenia równowagi.

Rozważmy przykład kuli i miski. Jeśli miskę ustawimy dnem do podłoża, to nawet lekko wychylona kula będzie oscylować wokół trwałego punktu równowagi. Jeśli jednak naczynie odwrócimy dnem do góry, a kulę starannie położymy dokładnie w najwyższym punkcie, to może ona przez pewien czas utrzymać stan równowagi, gdyż działająca siła wypadkowa wyniesie zero. Wystarczy jednak delikatne wychylenie, by zainicjować stoczenie się kuli ze szczytu miski. Dzieje się tak dlatego, że siły działające po obu stronach punktu równowagi są skierowane od tego punktu. Punkt na szczycie miski znajduje się więc w stanie równowagi nietrwałej.

Ilustracja 15.14 pokazuje trzy sytuacje. Pierwsza z nich przedstawia położenie równowagi trwałej, któremu odpowiada minimum energii potencjalnej (a); druga to punkt równowagi nietrwałej położony w maksimum energii potencjalnej (b); ostatnia sytuacja również dotyczy położenia równowagi nietrwałej, ponieważ jedynie siła po prawej stronie działa na kulę w kierunku położenia równowagi (c).

Trzy rysunki, ilustrujące piłkę na powierzchni. Na rysunku a pokazano punkt równowagi trwałej, piłka znajduje się wewnątrz wklęsłej paraboli. Wypełnione kolorem kółko, znajdujące się pod powierzchnią posiada dwie strzałki poziome, oznaczone jako F skierowane są w stronę powierzchni. Szare strzałki styczne do powierzchni znajdują się wewnątrz powierzchni, skierowane są ku dołowi, w kierunku piłki. Rysunek b przedstawia położenie równowagi nietrwałej, piłka znajduje się na szczycie paraboli. Puste kółko pod powierzchnią, pod piłką ma dwie strzałki poziome oznaczone jako F skierowane na zewnątrz. Szare strzałki styczne do powierzchni znajdują się wewnątrz powierzchni, skierowane w dół zbocza od położenia piłki. Rysunek c przedstawia położenie równowagi nietrwałej, piłka znajduje się w punkcie przegięcia powierzchni. W połowie wypełnione kółko znajduje się pod powierzchnią, pod piłką ma dwie poziome strzałki, oznaczone jako F, skierowane w lewo. Szare strzałki styczne do powierzchni znajdują się wewnątrz powierzchni, są skierowane w dół zbocza, jedna w kierunku piłki, druga od piłki.
Ilustracja 15.14 Przykłady położeń równowagi: (a) trwałe położenie równowagi, (b) i (c) nietrwałe położenia równowagi.

Procedura ustalenia, czy dane położenie równowagi jest trwałe czy nietrwałe, może być sformalizowana. Rozważmy krzywą energii potencjalnej pokazaną na Ilustracji 15.15. Siła może zostać oszacowana na podstawie analizy nachylenia wykresu. Wartość siły jest określona wzorem F = d E p o t / d x F= d E p o t / d x. W punkcie (a), gdy x < 0 m x<0 m , siła jest dodatnia. Gdy x > 0 m x>0 m , siła ta jest ujemna. Wobec tego punkt przy x = 0 m x=0 m jest położeniem trwałym. W (b), gdy x < 0 m x<0 m , siła jest ujemna. Gdy x > 0 m x>0 m , siła jest również ujemna, więc punkt przy x = 0 m x=0 m jest nietrwałym położeniem.

Dwa wykresy E sub pot w dżulach (oś pionowa) jako funkcja x w metrach (oś pozioma). Na rysunku a, E sub pot w funkcji x jest parabolą, której ramiona skierowane są w górę, a wierzchołek jest oznaczony czarną kropką umieszczoną w punkcie x = 0, E sub pot = 0. Obszar wykresu na lewo od x=0 jest oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w prawo i opisaną równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x jest większa od zera. Obszar wykresu na prawo od x=0 jest oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w lewo i opisaną równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero. Pod wykresem znajduje się kopia kropki pomiędzy kopiami czerwonych strzałek oraz relacji F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero po lewej stronie oraz F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero, po prawej. Na rysunku b, E sub pot w funkcji x jest funkcją rosnącą z punktem przegięcia oznaczonym kółkiem w połowie wypełnionym, umieszczonym w punkcie x=0, E sub pot = 0. Obszar wykresu na lewo od x=0 jest oznaczony czerwoną strzałką, skierowaną w lewo i opisany równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero. Obszar wykresu na prawo od x=0 jest także oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w lewo i opisaną równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero. Pod wykresem znajduje się kopia kółka pomiędzy kopiami czerwonych strzałek, z których obie są skierowane w lewo oraz relacje: F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero po lewej i F równa się minus pochodna E sub pot po x jest mniejsza niż zero po prawej.
Ilustracja 15.15 Dwa przykłady krzywej energii potencjalnej. Siła w danym punkcie jest równa ujemnej wartości tangensa kąta nachylenia krzywej w tym położeniu. (a) Wykres energii potencjalnej dla trwałego położenia równowagi. (b) Wykres energii potencjalnej dla nietrwałego położenia równowagi. Położenie to nazywa się czasem półstabilnym, ponieważ siła działająca dla położeń x > 0 m x > 0 m jest zwrócona w kierunku punktu x = 0 m x = 0 m .

Koncepcja trwałego położenia równowagi znajduje praktyczne zastosowanie w opisie siły działającej pomiędzy dwoma obojętnymi atomami lub cząsteczkami. Gdy dwa atomy znajdują się w bliskim sąsiedztwie i są oddzielone kilkoma średnicami atomowymi, mogą wystąpić siły przyciągania. Jednym z przykładów sił przyciągania pomiędzy dwoma atomami są siły van der Waalsa. W przypadku dalszego zbliżania atomów, tak że ich powłoki elektronowe będą się nakładać, pojawią się siły odpychające. Siła oddziaływania pomiędzy dwoma atomami nie jest liniowa i nie można jej opisać przez układ dwóch mas odseparowanych sprężyną, ale atomy w cząsteczce mogą oscylować wokół punktu równowagi, jeśli przesuną się tylko trochę poza ten punkt. Na skutek działania sił przyciągających i odpychających atomy wykonują drgania.

Szczegółowa dyskusja na temat oddziaływań międzyatomowych wykracza poza zakres tego rozdziału, ale warto wiedzieć, że drgania atomów odbywają się wzdłuż krzywej energii potencjalnej Lennarda-Jonesa 6-12:

E p o t ( x ) = 4 ε [ ( σ x ) 12 ( σ x ) 6 ] . E p o t (x)=4ε [ ( σ x ) 12 ( σ x ) 6 ] .

Wykres tej funkcji pokazano na Ilustracji 15.16. Dwa parametry ε ε i σ σ wyznaczono na podstawie danych doświadczalnych.

Wykres energii podanej w dżulach (oś pionowa) jako funkcja x w metrach (oś pozioma). Potencjał Lennarda-Jonesa, E sub pot, narysowany czerwoną linią, osiąga duże, dodatnie wartości dla małych wartości x. Potencjał ten gwałtownie maleje i osiąga wartości ujemne aż do minimalnej dla punktu oznaczonego jako położenie równowagowe F=0, następnie stopniowo wzrasta i zbliża się asymptotycznie do E=0 przyjmując wartości ujemne. Pozioma, zielona linia odpowiadająca stałym, ujemnym wartościom jest opisana jako E całkowita. Linia zielona, czerwona i krzywa E sub pot przecinają się w dwóch punktach. Punkt przecięcia leżący po lewej stronie położenia równowagi jest oznaczony jako punkt zwrotny minus A, natomiast punkt przecięcia leżący na prawo od położenia równowagi jest oznaczony jako punkt zwrotny plus A. Obszar wykresu na lewo od położenia równowagi jest oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w prawo i opisaną równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x. Obszar wykresu na prawo położenia równowagi jest oznaczony czerwoną strzałką skierowaną w lewo i opisaną równaniem F równa się minus pochodna E sub pot po x.
Ilustracja 15.16 Krzywa energii potencjalnej Lennarda-Jonesa dla układu dwóch obojętnych atomów. Jeżeli energia układu nie jest zbyt wysoka, to układ wykonuje drgania w pobliżu położenia równowagi pomiędzy dwoma punktami zwrotnymi.

Na wykresie można zauważyć, że krzywa energii potencjalnej Lennarda- Jonesa ma pewne podobieństwa do krzywej energii potencjalnej przedstawionej na Ilustracji 15.13 dla oscylatora harmonicznego. Na krzywej potencjału Lennarda-Jonesa znajduje się położenie równowagi, dla którego energia potencjalna jest minimalna i siła działająca po obu stronach punktu równowagi skierowana jest w stronę tego punktu (tzw. siła zwrotna). Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do oscylatora harmonicznego, kształt krzywej energii potencjalnej Lennarda-Jonesa nie jest symetryczny. Wynika to z faktu, że siła działająca pomiędzy atomami nie jest funkcją liniową względem położenia x x, tzn. nie spełnia prawa Hooke'a tak, jak siła sprężystości. Atomy mogą wykonywać drgania wokół stanu równowagi x m i n x m i n , ponieważ gdy x < x m i n x< x m i n , siła jest dodatnia, natomiast gdy x > x m i n x> x m i n , siła jest ujemna. Zauważmy, że gdy x x zbliża się do zera, to nachylenie krzywej jest dość strome i tangens kąta nachylenia jest wartością ujemną, a to oznacza, że siła ma dużą wartość i jej zwrot jest zgodny ze zwrotem osi x x. Można więc wywnioskować, że siła ta odpycha atomy od siebie. Z kolei dla położeń przyjmujących coraz większe wartości x x, nachylenie staje się mniej strome, siła ma coraz mniejszą wartość, a jej zwrot jest przeciwny do zwrotu osi x x. Wobec tego jeśli układ ma wystarczająco dużo energii, to atomy mogą ulec rozdzieleniu.

Możemy też obliczyć siły międzycząsteczkowe z funkcji energii potencjalnej. Zauważmy, że siła różni się od tej z prawa Hooke'a ( F = k x ) ( F = k x ) , ale znając dwumian Newtona:

( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n 1 ) 2 ! x 2 + n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 ! x 3 + , ( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n 1 ) 2 ! x 2 + n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 ! x 3 + ,

siłę tę można w przybliżeniu obliczyć z prawa Hooke'a.

Prędkość i zasada zachowania energii

Wróćmy do układu klocka i sprężyny z Ilustracji 15.11. W chwili, gdy klocek zostaje wytrącony ze stanu spoczynku przy x = A x=A, zaczyna poruszać się w kierunku położenia równowagi. Energia potencjalna sprężystości zmniejsza się, a prędkość i energia kinetyczna klocka wzrastają. W chwili t = T / 4 t = T / 4 klocek osiąga położenie równowagi x = 0 m x = 0 m , gdzie zarówno siła działająca na klocek, jak i energia potencjalna są wartościami zerowymi. W położeniu równowagi klocek osiąga maksymalną ujemną prędkość o wartości v = A ω v = A ω . Energia kinetyczna jest najwyższa i wynosi E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m A 2 ω 2 = 1 2 k A 2 E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m A 2 ω 2 = 1 2 k A 2 . W tej chwili siła działająca na klocek wynosi zero, ale pęd klocka powoduje kontynuację ruchu w kierunku punktu x = A x = A . W czasie dalszego ruchu klocka działa na niego siła o zwrocie zgodnym ze zwrotem osi x x, a wartości prędkości i energii kinetycznej maleją. Energia potencjalna wzrasta wraz ze skracaniem się sprężyny. W chwili t = T / 2 t=T/2 klocek osiąga położenie x = - A x=-A. W tym położeniu prędkość i energia kinetyczna są wartościami zerowymi. Siła sprężystości działająca na klocek wynosi F = k A F=kA, natomiast energię potencjalną zmagazynowanej w sprężynie wyrażono wzorem E p s p r = k A 2 / 2 E p s p r =k A 2 /2. Podczas drgań klocka energia całkowita jest stała i równa sumie energii potencjalnej i energii kinetycznej układu:

E całkowita = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 . E całkowita = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 .
15.12

Można więc wyznaczyć wzór na prędkość klocka dla każdego położenia w ruchu harmonicznym:

| v | = k m ( A 2 x 2 ) . | v | = k m ( A 2 x 2 ) .
15.13

Energia w oscylatorze harmonicznym wzrasta wraz z kwadratem amplitudy drgań. Rozważając różne układy drgające, często można się przekonać, że ich energia również jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań.

Sprawdź, czy rozumiesz 15.1

Zaproponuj sposób zmniejszenia maksymalnej prędkości oscylatora harmonicznego.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.