William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać, jak funkcje sinus i cosinus odnoszą się do ruchu ciała po okręgu;
wyjaśniać związek pomiędzy ruchem harmonicznym a ruchem po okręgu.

Jednym ze sposobów na opisanie ruchu harmonicznego jest analiza jednostajnego ruchu po okręgu zgodnie z Ilustracją 15.17. Marker (drewniany kołek) przymocowano do tarczy, która obraca się ze stałą częstością kątową. Ilustracja 15.18 pokazuje ten dysk z markerem w rzucie bocznym. Umieszczenie lampy nad tarczą powoduje, że marker tworzy cień. Położenie cienia w punkcie $x = 0$ oznacza, że pozycja markera jest najniższa lub najwyższa. Dla dysku o promieniu $r = A$ obracającego się ze stałą prędkością kątową, cień oscyluje między położeniami $x = + A$ i $x = - A$ . Wyobraźmy sobie klocek na sprężynie umieszczony tak, jak pokazano na Ilustracji 15.18.

Rysunek przedstawia opisywaną w tekście metodę rzucania cienia w ruchu harmonicznym. Z umieszczonego pionowo na ścianie, obracającego się dysku wystaje kołek. Z góry oświetla go zestaw punktowych źródeł światła świecących w dół. Cień kołka pokazano poniżej jako szereg kółek w różnych położeniach oscylacji, tworzących linię równoległą do ściany. Odległość danego kółka cienia od środka tej linii oznaczono jako x. — Ilustracja 15.17 Obracający się ze stałą częstością kątową kołek rzuca cień, który porusza się ruchem harmonicznym.

Porównanie kątowego położenia kołka na obracającej się tarczy, położenia jego cienia oraz położenia masy drgającej na poziomej sprężynie. Na każdym z rysunków kołek jest oświetlany z góry przez zestaw lamp i rzuca cień wzdłuż prostej, poziomej linii. Tarcza ma promień r = A i obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową omega. Kątowa pozycja kołka, theta, wynosi zero, gdy kołek jest dokładnie na prawo od środka tarczy. Sprężyna jest po lewej zamocowana do ściany a po prawej przytwierdzono do niej klocek. Położenie klocka i cienia oznaczono jako x, gdzie x=0 znajduje się dokładnie pod środkiem tarczy, x=-A znajduje się dokładnie pod lewą krawędzią tarczy, a x=+A znajduje się dokładnie pod prawą krawędzią tarczy. Na rysunku a, t=0. Kołek jest dokładnie po prawo od środka tarczy. Jego cień i klocek oba znajdują się w punkcie x = +A. Na rysunku b kołek znajduje się w pierwszym kwadrancie, pod kątem theta równa się omega t. Jego cień i klocek oba są dokładnie pod kołkiem w odległości x = +A/2. Czas nie jest określony. Na rysunku c, t=T/4. Kołek znajduje się dokładnie ponad środkiem tarczy. Jego położenie kątowe to theta równe omega t. Jego cień i klocek oba znajdują się w punkcie x =0. Na rysunku d kołek jest w położeniu kątowym theta równe omega t, tyle że teraz w drugim kwadrancie tarczy. Jego cień i klocek znajdują się poniżej, w punkcie x = -A/2. Czas nie jest oznaczony. — Ilustracja 15.18 Światło skierowano na dysk w ten sposób, że kołek tworzy cień. Klocek na sprężynie porusza się ruchem harmonicznym. Jeśli dysk obraca się z odpowiednią częstością kątową, to cień kołka może poruszać się identycznie jak klocek. Jeśli nie ma dyssypacji energii z powodu działania sił niezachowawczych, klocek i cień będą synchronicznie oscylować. Na rysunku przedstawiono cztery migawki dla różnych chwil tego ruchu. (a) Koło startuje przy $θ = 0^{\circ}$ , a cień kołka znajduje się (podobnie jak klocek) w położeniu $x = + A$ . (b) Rotujący dysk tworzy kąt $θ = ω t$ , natomiast cień kołka znajduje się pomiędzy $x = + A$ a $x = 0$ . (c) Dysk obraca się o kąt $θ = 90^{\circ}$ , podczas gdy klocek i jego cień osiągają położenie $x = 0$ . (d) Dysk kontynuuje ruch, a cień śledzi jego położenie.

Jeśli dysk obraca się z odpowiednią częstością kątową, to cień przesuwa się tak samo jak klocek. Położenie cienia możemy opisać równaniem:

x (t) = A \cos (ω t) .

15.14

Przypomnijmy, że klocek przymocowany do sprężyny nie porusza się ze stałą prędkością. Z jaką częstością kątową musi się obracać koło, aby cień zawsze padał na klocek? Tę wartość częstości kątowej opisano zależnością $2 π$ razy częstotliwość drgań $(ω = 2 π f)$ .

Ilustracja 15.19 przedstawia podstawowe zależności pomiędzy jednostajnym ruchem po okręgu a ruchem harmonicznym. Kołek leży na obwodzie dysku w odległości $A$ od środka dysku. Oś $x$ określa linia położona równolegle do podłoża i przecinająca dysk na pół. Oś $y$ (niepokazana) jest określona przez linię prostopadłą do podłoża, która dzieli tarczę na lewą i prawą część. Środkiem dysku jest punkt $(x = 0, y = 0)$ . Rzuty położenia kołka na oś $x$ wyznaczają położenie cienia, który porusza się ruchem harmonicznym analogicznie jak klocek na sprężynie. Rysunek przedstawia migawkę z ruchu, kiedy cień przemieszcza się w lewo z prędkością $v$ . Prędkość styczna kołka na okręgu jest równa $v_{m a x}$ klocka na sprężynie. Składowa $x$ prędkości kołka jest równa prędkości klocka na sprężynie.

Porównanie położenia kątowego kołka na obracającej się tarczy, jego cienia oraz klocka drgającego na poziomej sprężynie. Promień tarczy to r = A i kręci się ona w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową omega. Pozycja kątowa kołka, theta, wynosi zero gdy kołek znajduje się dokładnie na prawo od środka tarczy i w chwili pokazanej na rysunku jest równa omega t. Prędkość liniową kołka pokazano jako styczną do koła na krawędzi tarczy. Wynosi ona v sub max, co jest równe A omega. Jej składową x oznaczono jako poziomy wektor skierowany w lewo, o wartości - v sub max razy sinus omega t. Kołek rzuca cień na poziomą linię. Jeden koniec sprężyny przymocowany jest do ściany po lewej, a do drugiego zamocowano klocek. Położenie klocka i cienia oznaczono jako x, gdzie x=0 znajduje się dokładnie pod prawą krawędzią dysku. Na rysunku kołek jest w pierwszym kwadrancie. Jego cień i klocek znajdują się w punkcie x między 0 a plus A (na rysunku poołożenie to wydaje się być x = A/2.) — Ilustracja 15.19 Kołek porusza się ruchem jednostajnym po okręgu ze stałą prędkością kątową $ω$ . Rzut kołka na oś $x$ wykonuje ruch harmoniczny. Pokazano również wektor prędkości kołka na okręgu: $v_{max}$ i jego rzut $v$ na oś $x$ . Warto zauważyć, że trójkąt tworzony przez wektory prędkości jest podobny do trójkąta przemieszczeń.

Za pomocą Ilustracji 15.19 możemy przeanalizować prędkość cienia tworzonego przez kołek, który porusza się po okręgu z prędkością $v_{max} = A ω$ . Cień przemieszcza się z prędkością równą horyzontalnej składowej prędkości kołka:

v = − v_{max} sin (ω t) .

15.15

Wynika z tego, że przyspieszenie wynosi:

a = − a_{max} cos (ω t) .

15.16

Sprawdź, czy rozumiesz 15.2

Jak stwierdzić, czy ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu? Opisz, w jaki sposób można wykazać ruch harmoniczny tego ciała.