15.4 Wahadła

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne jest zdefiniowane jako masa punktowa (ciężarek) zawieszona na nierozciągliwej, nieważkiej nici o długości $d$ (Ilustracja 15.20). Jedynymi siłami działającymi na masę są siła grawitacji i naprężenie nici. Wahadło na rysunku znajduje się w maksymalnym wychyleniu i nie działają na nie siły związane z ruchem obrotowym. Nieważkość nici oznacza, że jej masa jest zaniedbywalnie mała w porównaniu do masy ciężarka.

Ilustracja 15.20 Na wahadło matematyczne składają się ciężarek o masie skupionej w punkcie i nierozciągliwa nić o zaniedbywalnej masie. Liniowe przemieszczenie z położenia równowagi jest równe długości łuku $s$. Na rysunku pokazane są również siły działające na ciężarek. Prostopadła składowa siły wypadkowej $\text{−}mg\text{sin}\theta$ działa w kierunku położenia równowagi ciężarka.

Rozważmy moment siły działającej na ciężarek. Jest on związany ze składową siły wypadkowej działającej stycznie do łuku. Moment siły to długość nici $d$ pomnożona przez siłę wypadkową, która działa prostopadle do promienia łuku. Znak minus wskazuje, że moment siły działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia kątowego:

Rozwiązanie tego równania różniczkowego wymaga złożonych rachunków i wykracza poza zakres tego rozdziału. Warto zauważyć, że dla małych kątów (mniej niż 15 stopni), $\text{sin}\theta$ i $\theta$ różnią się mniej niż 1%, co pozwala na zastosowanie przybliżenia $\text{sin}\theta \approx \theta$. Kąt $\theta$ opisuje położenie wahadła. W przybliżeniu dla małych kątów $\theta$ możemy uprościć równanie różniczkowe do postaci:

Ze względu na to, że równanie to ma tę samą postać co równanie ruchu harmonicznego, łatwo jest zaproponować rozwiązanie. Częstość kołowa wynosi:

a okres drgań to:

Okres drgań wahadła matematycznego zależy więc wyłącznie od jego długości i przyspieszenia grawitacyjnego. Nie mają na niego wpływu ani masa ciężarka, ani amplituda maksymalnego kąta w zakresie do około $15\text{°}$. Dlatego też zegary mechaniczne wykorzystujące wahadło mogą precyzyjnie odmierzać czas.

Warto podkreślić wpływ $g$ na $T$. Jeżeli długość wahadła jest dokładnie znana, to można je zastosować do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego tak jak w poniższym przykładzie.

Wahadło fizyczne

Każde ciało może oscylować jak wahadło. Rozważmy kubek do kawy wiszący na haczyku w spiżarni. Jeśli kubek zostanie wytrącony z położenia równowagi, to zacznie wykonywać oscylacje tam i z powrotem (podobnie jak wahadło) aż do chwili, gdy drgania ulegną wygaszeniu. Wahadło matematyczne opisano jako układ składający się z masy punktowej i nici. Natomiast wahadło fizyczne to dowolne ciało, którego oscylacje są podobne do wahadła matematycznego, ale które nie może być opisane jako masa punktowa na nici, ponieważ jego równanie ruchu musi uwzględnić rozkład masy.

W wahadle matematycznym siła grawitacji działa na środek ciężarka, natomiast w wahadle fizycznym – na środek masy (ŚM) ciała. Ciało oscyluje wokół punktu $O$. Rozważmy ciało o złożonym kształcie tak jak pokazano na Ilustracji 15.21.

Ilustracja 15.21 Wahadłem fizycznym może być dowolne ciało, które oscyluje jak wahadło, ale nie można go opisać jako masę punktową na nitce. Siła grawitacji działa na środek masy (ŚM), a jej składowa prostopadła do ramienia $d$ odpowiada za oscylacje ciała. Znak minus dla tej składowej oznacza, że jej kierunek jest przeciwny do narastającego kąta $\theta$.

Gdy wahadło fizyczne zawiesimy w punkcie, tak, by miało ono swobodę obrotu, to obrót ten będzie zachodził pod wpływem momentu siły przyłożonej do ŚM, a konkretnie składowej siły grawitacji, działającej stycznie do ruchu ŚM. Wartość tej składowej siły grawitacji wynosi $\text{−}mg\text{sin}\theta$, a ujemny znak wynika z kierunku działania siły, który jest przeciwny do kierunku narastania kąta wychylenia. Moment siły opisuje wyrażenie $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$, a więc wartość ta jest równa iloczynowi długości ramienia oraz składowej stycznej działającej siły: $\left|\tau \right|=rF\text{sin}\theta$. $d$ oznacza długość ramienia liczoną od punktu zawieszenia wahadła do ŚM. By opisać ruch drgającego ciała, zacznijmy od wyznaczenia wypadkowego momentu siły. Zauważmy, że podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego, oscylacje przebiegają w zakresie małych kątów. Możemy więc założyć, że $\text{sin}\theta \approx \theta$. Zgodnie z opisem ruchu obrotowego ciała względem ustalonej osi obrotu (Obroty wokół stałej osi)ustalmy, że wypadkowy moment siły jest równy iloczynowi momentu bezwładności $I=\int r^2\mathrm{d}m$ oraz przyspieszenia kątowego $\epsilon$, gdzie $\epsilon ={\mathrm{d}}^2\theta \text{/}\mathrm{d}{t}^2$:

Jeśli zastosujemy przybliżenie małych kątów i przeprowadzimy proste przekształcenia, otrzymamy:

Po raz kolejny otrzymujemy równanie różniczkowe, które przedstawia drugą pochodną przemieszczenia kątowego względem czasu jako iloczyn pewnej ujemnej stałej $-mgd\text{/}I$ razy wartość kąta $\theta$. Rozwiązaniem tego równania jest:

gdzie $\text{Θ}$ to maksymalne przesunięcie kątowe. Częstość kołowa wynosi:

a wartość okresu drgań wahadła fizycznego określa wzór:

Zauważmy, że dla wahadła matematycznego moment bezwładności wynosi $I=\int r^2\mathrm{d}m=m{d}^2$, a wyrażenie na okres drgań upraszcza się do postaci $T=2\pi \sqrt{d\text{/}g}$.

Przykład 15.4

Ograniczenie efektu kołysania wieżowca

W warunkach silnych podmuchów wiatru lub fali sejsmicznej konstrukcja drapacza chmur może oscylować z amplitudą około dwóch metrów i z częstotliwością około 20 Hz. Istnieją zaawansowane rozwiązania inżynierskie polegające na zastosowaniu wahadła fizycznego zainstalowanego na szczycie wieżowca. Wówczas w sytuacji, kiedy wieżowiec przechyla się na prawo, wahadło to wykonuje wahnięcie w przeciwną stronę, co wygasza efekt kołysania konstrukcji. Jeśli przyjmiemy, że oscylacje mają częstotliwość 0,50 Hz, będziemy mogli zaprojektować wahadło w postaci długiego pręta o masie 100 ton, zbudowane z materiałów o stałej gęstości z punktem obrotu znajdującym się na końcu pręta (rysunek poniżej). Jaka powinna być długość ramienia wahadła?

Strategia rozwiązania

Naszym zadaniem jest wyznaczenie długości ramienia wahadła fizycznego. Musimy najpierw znaleźć wartość momentu bezwładności ramienia, a następnie zastosować wzór na okres drgań wahadła fizycznego.

Rozwiązanie

1. Znajdź moment bezwładności pręta o długości L i masie M dla ŚM:
   $$\frac{1}{12}M{L}^2$$
2. Użyj twierdzenia Steinera dla momentu bezwładności bryły sztywnej względem osi obrotu:
   
   $$I=I_{\text{ŚM}}+{\frac{L}{4}}^{2}M=\frac{1}{12}M{L}^2+\frac{1}{4}M{L}^2=\frac{1}{3}M{L}^2$$
3. Okres drgań wahadła fizycznego wynosi $T=2\pi \sqrt{I\text{/}(mgd)}$. Jeśli podstawimy wyrażenie na moment bezwładności pręta, będziemy mogli wyznaczyć długość ramienia L:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill T& =\hfill & 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}=2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}M{L}^2}{Mg\cdot \frac{1}{2}L}}=2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}};\hfill \\ \hfill L& =\hfill & \frac{3}{2}g{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot \mathrm{9,8}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(\frac{2\text{s}}{2\pi }\right)}^2=\mathrm{1,49}\text{m}\text{.}\hfill \end{array}$$

Znaczenie

Jest wiele sposobów na redukcję oscylacji wieżowca, m.in. dobór odpowiedniego kształtu budynku, zastosowanie kilku wahadeł fizycznych lub masowego tłumika drgań.

Wahadło torsyjne

Wahadło torsyjne składa się z bryły sztywnej zawieszonej na lekkim drucie (Ilustracja 15.22). Na skutek początkowego skręcenia wahadła o mały kąt (o maksymalnej wartości $\text{Θ}$) możemy obserwować drgania swobodne wahadła polegające na oscylacjach w zakresie kątów pomiędzy $\left(\theta =+\text{Θ}\right)$ a $\left(\theta =\text{−}\text{Θ}\right)$. Moment siły wywołuje naprężenie skręcające drutu (nici), które dąży do przywrócenia bryły do położenia równowagi.

Ilustracja 15.22 Wahadło torsyjne składa się ze sztywnej bryły (np. tarczy) zawieszonej na drucie. Bryła wykonuje oscylacje w zakresie kątów od $\theta =+\text{Θ}$ do $\theta =\text{−}\text{Θ}$.

Moment siły jest proporcjonalny do wartości kąta $\theta$

Stałą $\kappa$ (kappa) nazywamy momentem kierującym i jest to współczynnik charakteryzujący dany drut. Znak minus oznacza, że moment siły działa w kierunku przeciwnym do zwiększania kąta skręcenia wahadła. Wypadkowy moment siły jest równy momentowi bezwładności razy przyspieszenie kątowe:

Równanie to wskazuje, że druga pochodna kąta względem czasu równa się ujemnej stałej pomnożonej przez wartość kąta. Ten wzór jest bardzo podobny do równania ${\mathrm{d}}^{2}x\text{/}\mathrm{d}{t}^2=-kx\text{/}m$ dla ruchu harmonicznego, w którym okres drgań klocka na sprężynie opisano zależnością $T=2\pi \sqrt{m\text{/}k}$. Wobec tego okres drgań wahadła torsyjnego może zostać wyrażony w postaci:

Jednostka momentu kierującego ma wymiar $[\kappa ]=\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}=(\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2)\cdot \mathrm{m}=\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2\text{/}{\mathrm{s}}^2$, natomiast jednostką miary momentu bezwładności jest $\left[I\right]={\text{kg·m}}^2$, z czego widać, że jednostką okresu drgań jest sekunda.

Przykład 15.5

Pomiar momentu kierującego drutu

Pręt ma długość $L=\mathrm{0,30}\text{m}$ i masę $\text{4 kg}$. Drut przyłączono do ŚM pręta, a cały układ podwieszono do sufitu (Ilustracja 15.23). Pręt skręcono o kąt 10 stopni od położenia równowagi i puszczono swobodnie. Pręt wykonuje drgania o okresie $\text{0,5 s}$. Jaka jest wartość momentu kierującego $\kappa$?

Ilustracja 15.23 (a) Drut z prętem podwieszony do sufitu. (b) Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności pręta.

Strategia rozwiązania

Naszym celem jest wyznaczenie momentu kierującego drutu. Najpierw musimy obliczyć moment bezwładności pręta.

Rozwiązanie

1. Znajdź moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez ŚM według wzoru:
2. $I_{Ś\mathrm{M}}=\int x^2\mathrm{d}m=\underset{-\frac{L}{2}}{\overset{\frac{L}{2}}{\int }}{x}^2\lambda \mathrm{d}x=\lambda {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}=\lambda \frac{2L^3}{24}=\frac{M}{L}\frac{2L^3}{24}=\frac{1}{12}M{L}^2.$
3. Wyznacz moment kierujący, stosując wzór na okres drgań:
4. $\begin{array}{rl}T& =2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa }}\\ \kappa & =I{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2=\frac{1}{12}M{L}^2{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\\ & =\frac{1}{12}\cdot 4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (\mathrm{0,3}\mathrm{m}{)}^2\cdot {\left(\frac{2\pi }{\mathrm{0,5}\mathrm{s}}\right)}^2=\mathrm{4,73}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.\end{array}$

Znaczenie

Podobnie jak w przypadku współczynnika sprężystości w układzie klocka ze sprężyną, im większy jest moment kierujący, tym krótszy okres drgań oscylatora.