Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać siły działające na wahadło matematyczne;
  • określać częstość kołową, częstotliwość i okres drgań wahadła, w zależności od długości wahadła i wartości przyspieszenia grawitacyjnego;
  • wyznaczać okres drgań wahadła fizycznego;
  • obliczać okres drgań wahadła torsyjnego.

Bez wahadła nie byłoby zabytkowych zegarów. Te proste mechanizmy nadal są w powszechnym użyciu. Wahadło może być np. stosowane do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego. Dla małych kątów wychyleń wahadło zachowuje się jak oscylator harmoniczny.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne jest zdefiniowane jako masa punktowa (ciężarek) zawieszona na nierozciągliwej, nieważkiej nici o długości d d (Ilustracja 15.20). Jedynymi siłami działającymi na masę są siła grawitacji i naprężenie nici. Wahadło na rysunku znajduje się w maksymalnym wychyleniu i nie działają na nie siły związane z ruchem obrotowym. Nieważkość nici oznacza, że jej masa jest zaniedbywalnie mała w porównaniu do masy ciężarka.

Na rysunku widać poziomą belkę. Nić o długości L zwisa z niej pod kątem theta na prawo od pionu. Pion zaznaczono przerywaną linią biegnącą od punktu przyczepu nici do belki. Do wolnego końca nici przytwierdzono ciężarek o masie m. Kąt między ciężarkiem a pionem zaznaczono kolejną przerywaną linią i ma on długość s. Wzdłuż nici w kierunku belki zaznaczono czerwoną strzałkę pokazującą czas T oscylacji ciężarka. Obok ciężarka pokazano układ współrzędnych, w którym oś y jest zgodna z osią nici a jej zwrot wskazuje punkt obrotu, zaś oś x jest styczna do łuku i ma zwrot przeciwny do punktu równowagi. Niebieska strzałka biegnąca wzdłuż nici od ciężarka do punktu obrotu została oznaczona jako F sub T. Czerwona strzałka biegnąca od ciężarka w dół została oznaczona jako w = m g. Czerwoną strzałkę styczną do łuku i biegnącą w kierunku punktu równowagi w kierunku minus x oznaczono minus m g sinus theta. Czerwona strzałka biegnąca na przedłużeniu nici, pod kątem theta względem pionu została oznaczona jako minus m g cosinus theta.
Ilustracja 15.20 Na wahadło matematyczne składają się ciężarek o masie skupionej w punkcie i nierozciągliwa nić o zaniedbywalnej masie. Liniowe przemieszczenie z położenia równowagi jest równe długości łuku s s . Na rysunku pokazane są również siły działające na ciężarek. Prostopadła składowa siły wypadkowej m g sin θ m g sin θ działa w kierunku położenia równowagi ciężarka.

Rozważmy moment siły działającej na ciężarek. Jest on związany ze składową siły wypadkowej działającej stycznie do łuku. Moment siły to długość nici d d pomnożona przez siłę wypadkową, która działa prostopadle do promienia łuku. Znak minus wskazuje, że moment siły działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia kątowego:

M = d m g sin θ I ε = d m g sin θ I d 2 θ d t 2 = d m g sin θ m d 2 d 2 θ d t 2 = d m g sin θ d 2 θ d t 2 = g d sin θ . M = d m g sin θ I ε = d m g sin θ I d 2 θ d t 2 = d m g sin θ m d 2 d 2 θ d t 2 = d m g sin θ d 2 θ d t 2 = g d sin θ .

Rozwiązanie tego równania różniczkowego wymaga złożonych rachunków i wykracza poza zakres tego rozdziału. Warto zauważyć, że dla małych kątów (mniej niż 15 stopni), sin θ sin θ i θ θ różnią się mniej niż 1%, co pozwala na zastosowanie przybliżenia sin θ θ sin θ θ . Kąt θ θ opisuje położenie wahadła. W przybliżeniu dla małych kątów θ θ możemy uprościć równanie różniczkowe do postaci:

d 2 θ d t 2 = g d sin θ g d θ . d 2 θ d t 2 = g d sinθ g d θ.
15.17

Ze względu na to, że równanie to ma tę samą postać co równanie ruchu harmonicznego, łatwo jest zaproponować rozwiązanie. Częstość kołowa wynosi:

ω = g d , ω= g d ,
15.18

a okres drgań to:

T = 2 π d g . T = 2 π d g .
15.19

Okres drgań wahadła matematycznego zależy więc wyłącznie od jego długości i przyspieszenia grawitacyjnego. Nie mają na niego wpływu ani masa ciężarka, ani amplituda maksymalnego kąta w zakresie do około 15 ° 15 ° . Dlatego też zegary mechaniczne wykorzystujące wahadło mogą precyzyjnie odmierzać czas.

Warto podkreślić wpływ g g na T T. Jeżeli długość wahadła jest dokładnie znana, to można je zastosować do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego tak jak w poniższym przykładzie.

Przykład 15.3

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego na postawie pomiaru okresu wahadła

Jaka jest wartość przyspieszenia grawitacyjnego w danym miejscu pomiarowym, jeśli wahadło o długości 75 cm ma okres drgań 1,7357 s?

Strategia rozwiązania

Naszym celem jest wyznaczenie g g ; wartości znane to okres drgań T T i długość wahadła d d. Z zależności T = 2 π d g T = 2 π d g możemy wyznaczyć g g, jeśli założymy, że kąt maksymalnego odchylenia jest mniejszy niż 15 15 .

Rozwiązanie

  1. Zależność T = 2 π d g T = 2 π d g podnieś do kwadratu i wyznacz wzór na g g :
    g = 4 π 2 d T 2 g = 4 π 2 d T 2
  2. Podstaw podane wartości do wzoru:
    g = 4 π 2 0,75 m ( 1,7357 s ) 2 g = 4 π 2 0,75 m ( 1,7357 s ) 2
  3. Wyznacz wartość g g :
    g = 9,8281 m s 2 g=9,8281 m s 2

Znaczenie

Przedstawiona metoda wyznaczania przyspieszenia ziemskiego może być bardzo dokładna, jeśli wykonamy pomiary przy maksymalnym kącie o wartości poniżej 0,5 0,5 . Dzięki temu błąd spowodowany przybliżeniem sin θ θ sin θ θ będzie mniejszy.

Sprawdź, czy rozumiesz 15.3

Inżynier zbudował dwa wahadła. Oba podwieszono pod sufitem pomieszczenia i zastosowano do tego linki o małym przekroju. Każdy z ciężarków zawisł 2 cm nad podłogą. Pierwsze wahadło ma masę 10 kg, a drugie 100 kg. Oba wychylono o kąt 12 12 . Opisz ruch wahadeł.

Wahadło fizyczne

Każde ciało może oscylować jak wahadło. Rozważmy kubek do kawy wiszący na haczyku w spiżarni. Jeśli kubek zostanie wytrącony z położenia równowagi, to zacznie wykonywać oscylacje tam i z powrotem (podobnie jak wahadło) aż do chwili, gdy drgania ulegną wygaszeniu. Wahadło matematyczne opisano jako układ składający się z masy punktowej i nici. Natomiast wahadło fizyczne to dowolne ciało, którego oscylacje są podobne do wahadła matematycznego, ale które nie może być opisane jako masa punktowa na nici, ponieważ jego równanie ruchu musi uwzględnić rozkład masy.

W wahadle matematycznym siła grawitacji działa na środek ciężarka, natomiast w wahadle fizycznym – na środek masy (ŚM) ciała. Ciało oscyluje wokół punktu O O. Rozważmy ciało o złożonym kształcie tak jak pokazano na Ilustracji 15.21.

Rysunek wahadła fizycznego pokazanego jako obiekt o nieregularnym kształcie. Środek masy, Ś M, znajduje się w odległości L od punktu obrotu, O. Środek masy zatacza łuk o środku O. Linia biegnąca od O do L wyznacza kąt theta oznaczony na prawo od pionu. Dla środka masy określono trzy siły oznaczone czerwonymi strzałkami. Siła m g jest skierowana w dół. Jej składowe to minus m g sinus theta, skierowana stycznie do łuku kreślonego przez środek masy oraz m g cosinus theta skierowana odśrodkowo wzdłuż promienia.
Ilustracja 15.21 Wahadłem fizycznym może być dowolne ciało, które oscyluje jak wahadło, ale nie można go opisać jako masę punktową na nitce. Siła grawitacji działa na środek masy (ŚM), a jej składowa prostopadła do ramienia d d odpowiada za oscylacje ciała. Znak minus dla tej składowej oznacza, że jej kierunek jest przeciwny do narastającego kąta θ θ .

Gdy wahadło fizyczne zawiesimy w punkcie, tak, by miało ono swobodę obrotu, to obrót ten będzie zachodził pod wpływem momentu siły przyłożonej do ŚM, a konkretnie składowej siły grawitacji, działającej stycznie do ruchu ŚM. Wartość tej składowej siły grawitacji wynosi m g sin θ m g sin θ , a ujemny znak wynika z kierunku działania siły, który jest przeciwny do kierunku narastania kąta wychylenia. Moment siły opisuje wyrażenie τ = r × F τ = r × F , a więc wartość ta jest równa iloczynowi długości ramienia oraz składowej stycznej działającej siły: | τ | = r F sin θ | τ | = r F sin θ . d d oznacza długość ramienia liczoną od punktu zawieszenia wahadła do ŚM. By opisać ruch drgającego ciała, zacznijmy od wyznaczenia wypadkowego momentu siły. Zauważmy, że podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego, oscylacje przebiegają w zakresie małych kątów. Możemy więc założyć, że sin θ θ sin θ θ . Zgodnie z opisem ruchu obrotowego ciała względem ustalonej osi obrotu (Obroty wokół stałej osi)ustalmy, że wypadkowy moment siły jest równy iloczynowi momentu bezwładności I = r 2 d m I= r 2 d m oraz przyspieszenia kątowego ε ε, gdzie ε = d 2 θ / d t 2 ε= d 2 θ/ d t 2 :

I α = M w y p = d m g sin θ . Iα= M w y p =dmgsinθ.

Jeśli zastosujemy przybliżenie małych kątów i przeprowadzimy proste przekształcenia, otrzymamy:

I ε = d m g θ I d 2 θ d t 2 = d m g θ d 2 θ d t 2 = m g d I θ . I ε = d m g θ I d 2 θ d t 2 = d m g θ d 2 θ d t 2 = m g d I θ .

Po raz kolejny otrzymujemy równanie różniczkowe, które przedstawia drugą pochodną przemieszczenia kątowego względem czasu jako iloczyn pewnej ujemnej stałej m g d / I mgd/I razy wartość kąta θ θ. Rozwiązaniem tego równania jest:

θ ( t ) = Θ cos ( ω t + ϕ ) , θ ( t ) = Θ cos ( ω t + ϕ ) ,

gdzie Θ Θ to maksymalne przesunięcie kątowe. Częstość kołowa wynosi:

ω = m g d I , ω= m g d I ,
15.20

a wartość okresu drgań wahadła fizycznego określa wzór:

T = 2 π I m g d . T=2π I m g d .
15.21

Zauważmy, że dla wahadła matematycznego moment bezwładności wynosi I = r 2 d m = m d 2 I= r 2 d m=m d 2 , a wyrażenie na okres drgań upraszcza się do postaci T = 2 π d / g T=2π d / g .

Przykład 15.4

Ograniczenie efektu kołysania wieżowca

W warunkach silnych podmuchów wiatru lub fali sejsmicznej konstrukcja drapacza chmur może oscylować z amplitudą około dwóch metrów i z częstotliwością około 20 Hz. Istnieją zaawansowane rozwiązania inżynierskie polegające na zastosowaniu wahadła fizycznego zainstalowanego na szczycie wieżowca. Wówczas w sytuacji, kiedy wieżowiec przechyla się na prawo, wahadło to wykonuje wahnięcie w przeciwną stronę, co wygasza efekt kołysania konstrukcji. Jeśli przyjmiemy, że oscylacje mają częstotliwość 0,50 Hz, będziemy mogli zaprojektować wahadło w postaci długiego pręta o masie 100 ton, zbudowane z materiałów o stałej gęstości z punktem obrotu znajdującym się na końcu pręta (rysunek poniżej). Jaka powinna być długość ramienia wahadła?
Rysunek przedstawia wysoki budynek z kolumną na dachu i długim prętem o długości L, który kołysze się na sworzniu w pobliżu szczytu kolumny.

Strategia rozwiązania

Naszym zadaniem jest wyznaczenie długości ramienia wahadła fizycznego. Musimy najpierw znaleźć wartość momentu bezwładności ramienia, a następnie zastosować wzór na okres drgań wahadła fizycznego.

Rozwiązanie

  1. Znajdź moment bezwładności pręta o długości L i masie M dla ŚM:
    1 12 M L 2 1 12 M L 2
  2. Użyj twierdzenia Steinera dla momentu bezwładności bryły sztywnej względem osi obrotu:
    I = I ŚM + L 4 2 M = 1 12 M L 2 + 1 4 M L 2 = 1 3 M L 2 I= I ŚM + L 4 2 M= 1 12 M L 2 + 1 4 M L 2 = 1 3 M L 2
  3. Okres drgań wahadła fizycznego wynosi T = 2 π I / ( m g d ) T=2π I / ( m g d ) . Jeśli podstawimy wyrażenie na moment bezwładności pręta, będziemy mogli wyznaczyć długość ramienia L:
    T = 2 π I M g d = 2 π 1 3 M L 2 M g 1 2 L = 2 π 2 L 3 g ; L = 3 2 g ( T 2 π ) 2 = 3 2 9,8 m s 2 ( 2 s 2 π ) 2 = 1,49 m . T = 2 π I M g d = 2 π 1 3 M L 2 M g 1 2 L = 2 π 2 L 3 g ; L = 3 2 g ( T 2 π ) 2 = 3 2 9,8 m s 2 ( 2 s 2 π ) 2 = 1,49 m .

Znaczenie

Jest wiele sposobów na redukcję oscylacji wieżowca, m.in. dobór odpowiedniego kształtu budynku, zastosowanie kilku wahadeł fizycznych lub masowego tłumika drgań.

Wahadło torsyjne

Wahadło torsyjne składa się z bryły sztywnej zawieszonej na lekkim drucie (Ilustracja 15.22). Na skutek początkowego skręcenia wahadła o mały kąt (o maksymalnej wartości Θ Θ ) możemy obserwować drgania swobodne wahadła polegające na oscylacjach w zakresie kątów pomiędzy ( θ = + Θ ) ( θ = + Θ ) a ( θ = Θ ) ( θ = Θ ) . Moment siły wywołuje naprężenie skręcające drutu (nici), które dąży do przywrócenia bryły do położenia równowagi.

Na rysunku pokazano wahadło torsyjne. Składa się ono z poziomej tarczy zawieszonej na drucie zwisającym z sufitu. Drut łączy się z tarczą w punkcie 0 znajdującym się w środku tarczy. Tarcza i drut mogą oscylować w płaszczyźnie poziomej od kąta plus Theta do minus Theta i z powrotem. Położenie równowagi znajduje się między dwoma skrajnymi punktami, w theta = 0.
Ilustracja 15.22 Wahadło torsyjne składa się ze sztywnej bryły (np. tarczy) zawieszonej na drucie. Bryła wykonuje oscylacje w zakresie kątów od θ = + Θ θ = + Θ do θ = Θ θ = Θ .

Moment siły jest proporcjonalny do wartości kąta θ θ

M = κ θ . M = κ θ .

Stałą κ κ (kappa) nazywamy momentem kierującym i jest to współczynnik charakteryzujący dany drut. Znak minus oznacza, że moment siły działa w kierunku przeciwnym do zwiększania kąta skręcenia wahadła. Wypadkowy moment siły jest równy momentowi bezwładności razy przyspieszenie kątowe:

I d 2 θ d t 2 = κ θ d 2 θ d t 2 = κ I θ . I d 2 θ d t 2 = κ θ d 2 θ d t 2 = κ I θ .

Równanie to wskazuje, że druga pochodna kąta względem czasu równa się ujemnej stałej pomnożonej przez wartość kąta. Ten wzór jest bardzo podobny do równania d 2 x / d t 2 = k x / m d 2 x/ d t 2 =kx/m dla ruchu harmonicznego, w którym okres drgań klocka na sprężynie opisano zależnością T = 2 π m / k T=2π m / k . Wobec tego okres drgań wahadła torsyjnego może zostać wyrażony w postaci:

T = 2 π I κ . T = 2 π I κ .
15.22

Jednostka momentu kierującego ma wymiar [ κ ] = N m = ( k g m / s 2 ) m = k g m 2 / s 2 [κ]= N m =( k g m / s 2 ) m = k g m 2 / s 2 , natomiast jednostką miary momentu bezwładności jest [ I ] = kg·m 2 [ I ] = kg·m 2 , z czego widać, że jednostką okresu drgań jest sekunda.

Przykład 15.5

Pomiar momentu kierującego drutu

Pręt ma długość L = 0,30 m L = 0,30 m i masę 4 kg 4 kg. Drut przyłączono do ŚM pręta, a cały układ podwieszono do sufitu (Ilustracja 15.23). Pręt skręcono o kąt 10 stopni od położenia równowagi i puszczono swobodnie. Pręt wykonuje drgania o okresie 0,5 s 0,5 s. Jaka jest wartość momentu kierującego κ κ?
Rysunek przedstawia pręt długości 30 cm, o masie 4 kg, zawieszony poziomo na drucie. Drut jest umocowany dokładnie w połowie pręta i oscyluje wraz z nim w płaszczyźnie poziomej. Rysunek b przedstawia pręt ze szczegółami pozwalającymi wyznaczyć jego moment bezwładności. Długość pręta wynosi L a jego masa to M. Jego gęstość liniowa lambda równa się d m po d x, a zarazem M podzielone przez L. Zaznaczono niewielki fragment pręta o długości d x położony w odległości x od środka. Drut jest zamocowany dokładnie w połowie długości pręta.
Ilustracja 15.23 (a) Drut z prętem podwieszony do sufitu. (b) Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności pręta.

Strategia rozwiązania

Naszym celem jest wyznaczenie momentu kierującego drutu. Najpierw musimy obliczyć moment bezwładności pręta.

Rozwiązanie

  1. Znajdź moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez ŚM według wzoru:
  2. I Ś M = x 2 d m = L 2 L 2 x 2 λ d x = λ [ x 3 3 ] L 2 L 2 = λ 2 L 3 24 = M L 2 L 3 24 = 1 12 M L 2 . I Ś M = x 2 d m= L 2 L 2 x 2 λ d x=λ [ x 3 3 ] L 2 L 2 =λ 2 L 3 24 = M L 2 L 3 24 = 1 12 M L 2 .
  3. Wyznacz moment kierujący, stosując wzór na okres drgań:
  4. T = 2 π I κ κ = I ( 2 π T ) 2 = 1 12 M L 2 ( 2 π T ) 2 = 1 12 4 k g ( 0,3 m ) 2 ( 2 π 0,5 s ) 2 = 4,73 N m . T = 2 π I κ κ = I ( 2 π T ) 2 = 1 12 M L 2 ( 2 π T ) 2 = 1 12 4 k g ( 0,3 m ) 2 ( 2 π 0,5 s ) 2 = 4,73 N m .

Znaczenie

Podobnie jak w przypadku współczynnika sprężystości w układzie klocka ze sprężyną, im większy jest moment kierujący, tym krótszy okres drgań oscylatora.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.