Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • podawać definicję okresu i częstotliwości drgań;
  • wymieniać cechy ruchu harmonicznego;
  • wyjaśniać pojęcie przesunięcia fazowego;
  • zapisywać równania ruchu dla drgającego klocka na sprężynie;
  • opisywać ruch masy drgającej na sprężynie w układzie pionowym.

Przy szarpnięciu struny gitary uzyskujemy trwający dość długo dźwięk o stałym tonie (Ilustracja 15.2). Struna wykonuje drgania wokół położenia równowagi. Cykl jednego pełnego drgania rozpoczyna się w położeniu początkowym. Stąd struna przemieszcza się do jednego ze skrajnych położeń, po czym wędruje do drugiego skrajnego położenia i wreszcie powraca do położenia początkowego, kończąc tym samym cykl. Ruch periodyczny (ang. periodic motion) definiujemy jako powtarzającą się zmianę położenia w regularnych odstępach czasu. Przykładami mogą być: ruch struny gitary lub dziecko, które rozbujało się na huśtawce. W tym podrozdziale przedstawiamy podstawowe cechy drgań wraz z ich opisem matematycznym.

Zdjęcie strun gitary.
Ilustracja 15.2 Struna gitarowa po szarpnięciu wykonuje drgania periodyczne (okresowe) w górę i w dół. Struna wywołuje drgania otaczających cząsteczek powietrza i wytwarza fale dźwiękowe. (Źródło: Yutaka Tsutano)

Okres i częstotliwość drgań

W ruchu periodycznym okresem (ang. period), oznaczanym TT, nazywamy czas wykonania jednego pełnego drgania. Za jednostkę okresu przyjmujemy zazwyczaj sekundę, ale może być on wyrażony w innej jednostce czasu (np. minuta, godzina,…). Słowo „okres” oznacza też czas trwania jakiegoś zdarzenia, które może się powtarzać (ale nie musi). W tym podrozdziale zajmiemy się przede wszystkim ruchem okresowym, który z definicji jest ruchem powtarzalnym.

Pojęciem ściśle związanym z okresem jest częstotliwość. Częstotliwość (ang. frequency), oznaczaną f f, określa się jako liczbę zdarzeń na jednostkę czasu. Dla ruchu periodycznego częstotliwość to liczba drgań (oscylacji) w jednostce czasu. Zależność między częstotliwością i okresem określa następujący wzór:

f = 1 T . f = 1 T .
15.1

W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). 1 Hz określa się jako jeden cykl na sekundę:

1 Hz = 1 cykl sekunda albo 1 Hz = 1 s = 1 s −1 . 1 Hz = 1 cykl sekunda albo 1 Hz = 1 s = 1 s −1 .

Cykl to jedno pełne drgnienie (ang. pulse).

Przykład 15.1

Ustalenie częstotliwości fal stosowanych w ultrasonografii (USG)

Urządzenia ultradźwiękowe lekarze wykorzystują w celu obrazowania i badania narządów wewnętrznych ludzkiego ciała. Aparat USG emituje fale dźwiękowe o wysokiej częstotliwości, które odbijają się od narządów. Rejestracja i obróbka komputerowa danych pozwala uzyskać obraz, który następnie analizuje lekarz. Aby określić częstotliwość drgań, możemy zastosować wzór podany powyżej. Rozważmy urządzenie USG generujące ultradźwięki z oscylacjami o okresie 0,400 μ s 0,400 μ s . Jaka jest częstotliwość tych drgań?

Strategia rozwiązania

Mamy już podany okres drgań ( T T), zatem musimy wyznaczyć częstotliwość (f f).

Rozwiązanie

Podstawmy 0,400 μ s 0,400 μ s w miejsce T T we wzorze f = 1 T f = 1 T :
f = 1 T = 1 0,400 10 6 s . f= 1 T = 1 0,400 10 6 s .

co daje:

f = 2,50 10 6 H z . f=2,50 10 6 H z .

Znaczenie

Ta częstotliwość dźwięku jest znacznie wyższa niż najwyższa częstotliwość, jaką człowiek może usłyszeć (zakres słyszalności dźwięków u człowieka wynosi od 20 Hz do ok. 20 000 Hz), dlatego falę tę nazywamy ultradźwiękową. Drgania generowane przez urządzenia USG o tak wysokiej częstotliwości umożliwiają nieinwazyjną diagnostykę medyczną, np. obserwację płodu w łonie matki.

Charakterystyka ruchu harmonicznego

Bardzo powszechnym ruchem periodycznym jest ruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion). Układem, który swobodnie oscyluje i wykonuje ruch harmoniczny, jest oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator).

Ruch harmoniczny

W ruchu harmonicznym przyspieszenie układu, a więc i siła wypadkowa, są proporcjonalne do przemieszczenia i skierowane są w kierunku położenia równowagi.

Dobrym przykładem ruchu harmonicznego jest klocek o masie m m przymocowany do nieważkiej sprężyny i poruszający się po powierzchni bez tarcia, tak jak pokazano na Ilustracji 15.3. Masa wykonuje drgania wokół położenia równowagi, a siła wypadkowa działająca na obiekt jest równa sile wywieranej przez sprężynę. Siła ta spełnia prawo Hooke’a F s = k x , F s = k x , zgodnie z treścią poprzedniego rozdziału.

Jeżeli siłę wypadkową można opisać przez prawo Hooke'a i nie zachodzi tłumienie (spowalniające ruch ze względu na tarcie lub inną siłę niezachowawczą), to oscylator harmoniczny wykonuje drgania. Zakres wartości przemieszczeń po obu stronach względem położenia równowagi jest podobny, tak jak pokazano na Ilustracji 15.3. Maksymalne przemieszczenie względem położenia równowagi nazywamy amplitudą ( A A). Jednostki amplitudy i przesunięcia są takie same, ale zależą od rodzaju drgań. W przypadku klocka na sprężynie jednostki amplitudy i przemieszczenia wyraża się w metrach.

Ruch swobodnej cząstki o masie m, zamocowanej do poziomej sprężyny o stałej sprężystości w różnych momentach jej ruchu. Na rysunku (a) masa jest przesunięta do położenia x = A, które znajduje się na prawo od punktu x =0 i wychylona z położenia równowagi (v=0). Sprężyna jest naprężona. Siła działająca na masę jest skierowana w lewo. Ciężar cząstki swobodnej w jest skierowany w dół, N oznacza siłę normalną, która jest skierowana w górę i równa jest ciężarowi, siła F jest skierowana w lewo. (b) Cząstka znajduje się w położeniu x = 0 i porusza się w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x z prędkością v sub max. Sprężyna nie jest naprężona. Przyłożona do masy siła wynosi zero. Ciężar cząstki w jest skierowany w dół, siła normalna N jest skierowana w górę i jest równa ciężarowi. (c) Położenie ciała wynosi minus A i znajduje się ono po lewej stronie punktu x = 0 a prędkość masy wynosi v =0. Sprężyna jest ściśnięta. Siła F jest skierowana w prawo. Ciężar ciała w jest skierowany w dół, siła normalna N jest skierowana w górę i jest równa ciężarowi, siła F jest skierowana w prawo. (d) Ciało znajduje się w położeniu x = 0 i porusza się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x z prędkością plus v sub max. Sprężyna nie jest napięta. Siła przyłożona do ciała wynosi zero. Ciężar ciała w jest skierowany w dół, siła normalna N jest skierowana w górę i równa ciężarowi. (e) Ciało jest znowu w położeniu x = A, które znajduje się na prawo od punktu x =0 a prędkość wynosi v=0. Sprężyna jest naprężona. Siła przyłożona do ciała jest skierowana w lewo. Ciężar ciała w jest skierowany w dół, siła normalna N jest skierowana w górę i równa ciężarowi, siła F jest skierowana w lewo.
Ilustracja 15.3 Dobrym przykładem oscylatora harmonicznego jest klocek przymocowany do sprężyny. Drugi koniec sprężyny przytwierdzono do ściany. Klocek porusza się po powierzchni bez tarcia. Położenie masy, gdy sprężyna nie jest ani rozciągnięta ani ściśnięta, oznaczono jako x = 0 x = 0 . Położenie to określa również stan równowagi. (a) Klocek przesunięto do położenia x = A x = A , po czym swobodnie go puszczono. (b) Klocek przyspiesza i przemieszcza się w kierunku przeciwnym do zwrotu x x i osiąga maksymalną ujemną prędkość w punkcie x = 0 x = 0 . (c) Klocek kontynuuje ruch w ujemnym kierunku x x , zmniejszając swoją prędkość aż do zatrzymania się w punkcie x = A x = A . (d) Klocek, poruszając się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x x , przyspiesza i osiąga maksymalną prędkość w punkcie x = 0 x = 0 . (e) Klocek kontynuuje ruch w kierunku dodatnim i zatrzymuje się w punkcie x = A x = A . Ruch harmoniczny klocka ma amplitudę A A i okres drgań T T . Maksymalna prędkość klocka występuje, gdy przechodzi on przez punkt równowagi. Zastosowanie sztywniejszej sprężyny skróciłoby okres T T drgań. Przy zwiększeniu masy klocka nastąpiłoby wydłużenie okresu T T drgań.

W ruchu harmonicznym okres T T i częstotliwość f f drgań oscylatora harmonicznego nie zależą od amplitudy drgań, np. struna gitary oscyluje z taką samą częstotliwością zarówno przy mocnym, jak i delikatnym szarpnięciu.

Dwa ważne czynniki wpływają na okres drgań oscylatora harmonicznego: współczynnik sprężystości i masa układu drgającego. Układ z dużą wartością współczynnika sprężystości (kk) ma krótszy okres drgań. Dzięki temu można, np. odpowiednio wybrać sztywność trampoliny. Im bardziej sztywna, tym szybciej oscyluje, a jej okres drgań jest krótszy. Okres zależy również od masy układu drgającego. Im układ ma większą masę, tym dłuższy jest okres drgań (np. ludzie o dużej masie oscylują na trampolinie z niższą częstotliwością niż ci o mniejszej masie). W rzeczywistości masa m m i współczynnik sprężystości k k są jedynymi czynnikami, które wpływają na okres i częstotliwość drgań w ruchu harmonicznym. Aby wyprowadzić wyrażenie na okres i częstotliwość drgań, musimy najpierw zdefiniować i przeanalizować równania ruchu.

Równania opisujące ruch harmoniczny

Przyjrzyjmy się klockowi przymocowanemu do sprężyny i poruszającemu się po stole bez tarcia (Ilustracja 15.4). Położenie równowagi (miejsce, w którym sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani ściśnięta) oznaczono jako x = 0 x = 0 . W położeniu równowagi siła wypadkowa wynosi zero.

Blok jest zamocowany do poziomej sprężyny i leży na gładkiej powierzchni stołu. Położenie równowagi, w którym sprężyna nie jest ani wydłużona, ani ściśnięta jest oznaczone jako x=0. Położenie po lewej stronie bloku jest oznaczone jako x = - A, a położenie po prawej stronie bloku jako x = + A.
Ilustracja 15.4 Klocek przymocowano do sprężyny i umieszczono na stole, po którym może poruszać się bez tarcia. Położenie równowagi dla sprężyny nieodkształconej oznaczono jako x = 0 x = 0 .

Przesuwamy klocek do położenia x = + A x = + A , wykonując przy tym pracę, a następnie go puszczamy. Maksymalną wartość położenia x ( A ) x(A) nazywamy amplitudą ruchu drgającego. Klocek zaczyna oscylować w zakresie pomiędzy x = + A x = + A a x = A x = A , gdzie A A to amplituda ruchu, a T T to okres drgań. Okres to czas trwania jednej oscylacji (cyklu). Ilustracja 15.5 przedstawia ruch klocka, który wykonał półtora drgania (cyklu) od momentu zwolnienia. Ilustracja 15.6 pokazuje wykres położenia klocka w funkcji czasu. Przebieg położenia w funkcji czasu możemy opisać funkcją cosinus o amplitudzie A A i okresie T T. Wartości funkcji cos θ cos θ powtarzają się co każdą wielokrotność 2 π 2 π , natomiast ruch klocka – co jeden okres T T. Zauważmy, że wartości funkcji cos ( 2 π t / T ) cos(2πt/T) powtarzają się dla każdej chwili t t będącej wielokrotnością okresu drgań. Maksimum wartości funkcji cosinus wynosi jeden, dlatego konieczne jest pomnożenie tej funkcji przez amplitudę A A.

x ( t ) = A cos ( 2 π T t ) = A cos ( ω t ) . x ( t ) = A cos ( 2 π T t ) = A cos ( ω t ) .
15.2

Przypomnijmy, że w rozdziale opisującym ruch po okręgu częstość kątową określiliśmy jako ω = d θ / d t ω= d θ/ d t. W rozważanym przypadku wartość okresu drgań jest stała, a więc częstość kątową (kołową) definiuje się jako 2 π 2 π podzielone przez wartość okresu drgań ω = 2 π / T ω=2π/T.

Seria rysunków, ilustrujących ruch ciała o masie m, przymocowanego do poziomej sprężyny i poruszającego się po poziomej powierzchni. Położenie ciała, sprężyny i działająca na ciało siła są pokazane w chwilach, odpowiadających kolejnym jednym ósmym okresu, poczynając od chwili t = 0 do t = 1.5 T. Ilustracje leżą jedna pod drugą, ilustracje poszczególnych położeń ciała są połączone niebieską linią, tworząc wykres zależności położenia od czasu. Położenie x = 0 jest zlokalizowane po środku poziomej powierzchni. Na górnym rysunku ciało znajduje się w położeniu x = +A, wypadkowa siła jest skierowana w lewo i wynosi – kA. Sprężyna jest maksymalnie naprężona. Chwila czasu została oznaczona jako t = 0. Na drugim rysunku ciało znajduje się pomiędzy punktami x = +A/2 i x = A, siła wypadkowa jest skierowana w lewo i ma mniejszą wartość niż na poprzednim rysunku. Sprężyna jest mniej naprężona niż w chwili t=0. Na trzecim rysunku ciało znajduje się w położeniu x = 0, siła wypadkowa wynosi zero. Sprężyna nie jest naprężona. Chwila czasu jest oznaczona jako t = 1/4 T. Na czwartym rysunku ciało znajduje się pomiędzy punktami x = -A/2 i x = -A, siła wypadkowa jest skierowana w prawo. Wartość siły jest taka sama jak na drugim rysunku. Sprężyna jest nieco naprężona. Na piątym rysunku ciało znajduje się w położeniu x = -A, siła wypadkowa jest skierowana w prawo i wynosi + k A. Sprężyna jest maksymalnie naprężona. Chwila czasu to t = 1/2 T. Na szóstym rysunku ciało jest w położeniu pomiędzy punktami x = -A/2 i x = -A, siła wypadkowa jest skierowana w prawo. Wartość siły jest taka sama jak na drugim rysunku. Sprężyna jest nieco naprężona. Rysunek jest identyczny z rysunkiem czwartym. Na siódmym rysunku ciało znajduje się w położeniu x = 0, siła wypadkowa wynosi zero. Sprężyna nie jest naprężona. Chwila czasu wynosi t = 3/4 T. Rysunek jest taki sam jak trzeci rysunek. Na ósmym rysunku ciało znajduje się w położeniu pomiędzy punktami x = +A/2 i x = A, siła wypadkowa jest skierowana w lewo. Rysunek jest identyczny z rysunkiem drugim. Na dziewiątym rysunku ciało znajduje się w położeniu x = +A, siła wypadkowa jest skierowana w lewo i wynosi – k A. Sprężyna jest maksymalnie naprężona. Chwila czasu wynosi t = 0. Rysunek jest identyczny z rysunkiem pierwszym. Pozostałe cztery rysunki są identyczne z rysunkami kolejno drugim, trzecim, czwartym i piątym, chwila czasu dla jedenastego rysunku wynosi t = 1 i 1/4 T a dla trzynastego t = 1 i 1/2 T. Krzywa łącząca położenia ciała ma kształt sinusoidy.
Ilustracja 15.5 Klocek umieszczono na stole i przymocowano do jednego końca sprężyny. Drugi koniec sprężyny przymocowano do ściany. Klocek porusza się bez tarcia. Położenie równowagi, dla którego siła wypadkowa równa się zero, oznaczono jako x = 0 m x = 0 m . Przesuwamy klocek do położenia w punkcie x = + A x = + A , następnie puszczamy go swobodnie. Masa oscyluje w zakresie położeń pomiędzy x = + A x = + A a x = A x = A . Siłę wypadkową działającą na klocek pokazano w postaci wektora.
Wykres położenia w funkcji czasu. Zakres wartości na osi pionowej wynosi od – A do +A a na osi poziomej od 0 do 3/2 T. Krzywa jest funkcją cosinus, osiąga wartość +A dla t=0 oraz dla t=T.
Ilustracja 15.6 Wykres położenia klocka z Ilustracji 15.5 w funkcji czasu. Przebieg położenia można modelować funkcją okresową taką jak sinus albo cosinus.

Wyrażenie przedstawiające położenie jako funkcję czasu x ( t ) = A cos ( ω t ) x ( t ) = A cos ( ω t ) jest dobrym modelem opisującym sytuację, w której położenie klocka w chwili początkowej t = 0,00 s t = 0,00 s jest równe amplitudzie A A, a prędkość początkowa wynosi zero. Przykładowe dane eksperymentalne najprawdopodobniej wykażą, że położenie masy w chwili początkowej t = 0,00 s t = 0,00 s nie jest równe amplitudzie, a prędkość początkowa jest różna od zera. Rozważmy zbiór danych zebranych przez studenta w laboratorium dla 10 sekund ruchu, który przedstawiono na Ilustracji 15.7.

Zbiór danych położenia w funkcji czasu dla ciała zamocowanego na sprężynie. Pozioma oś czasu jest wyskalowana w sekundach, zakres wartości od 0 do 10 s. Pozioma oś przedstawia położenie x w centymetrach, zakres wartości -3 cm do 4 cm. Dane są zaprezentowane jako punkty, na każdą sekundę przypada 10 punktów. Dane układają się na sinusoidzie, w czasie 10 s wykonywane są 4 drgania. W chwili t=0, x = -0.8 cm. Maksymalne wychylenie, x = 3 cm osiągane jest dla położeń t = 0.6 s, 3.1 s, 5.5 s i 7.9 s. Minimalne wychylenie, x = -3 cm jest osiągane dla t=1.9 s, 4.3 s, 6.7 s i 9.0 s.
Ilustracja 15.7 Dane przedstawiają położenie klocka przymocowanego do sprężyny. Student rejestrował dane w laboratorium, posługując się dalmierzem akustycznym. Dane dla chwili t = 0,00 s t = 0,00 s pokazują, że początkowe położenie klocka wynosi x 0,80 cm 3,00 cm x 0,80 cm 3,00 cm , zatem początkowe położenie nie jest równe amplitudzie x 0 = + A x 0 = + A . Prędkość jest pochodną przemieszczenia względem czasu, stąd można ją obliczyć z nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie. W chwili początkowej wartość kąta nachylenia stycznej nie jest równa zeru, więc prędkość nie wynosi v = 0,00 m/s v = 0,00 m/s w chwili t = 0,00 s t = 0,00 s .

Dane na Ilustracji 15.7 można opisywać funkcją periodyczną taką jak funkcja cosinus, którą na wykresie przesunięto w prawo. To przesunięcie znane jest jako przesunięcie fazowe i zwykle oznacza się je grecką literą fi ( ϕ ) ( ϕ ) . Przemieszczenie jako funkcję czasu dla danego klocka na sprężynie opisuje wzór:

x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) .

Ten uogólniony wzór opisuje ruch harmoniczny, gdzie t t oznacza czas mierzony w sekundach, ω ω jest częstością kołową mierzoną w radianach na sekundę ( r a d / s ) ( r a d / s ), A A jest amplitudą mierzoną w metrach lub centymetrach, a ϕ ϕ jest przesunięciem fazowym wyrażonym w radianach (Ilustracja 15.8). Należy zauważyć, że skoro funkcje sinus i cosinus różnią się jedynie o przesunięcie fazowe, to ruch harmoniczny może być modelowany zarówno przy użyciu funkcji cosinus, jak i sinus.

Dwa wykresy położenia w funkcji kąta. Na rysunku a, mamy funkcję cos kąta teta w funkcji teta, który przybiera wartości od pi do dwóch pi. Funkcja zmienia się pomiędzy -1 a +1, wartość maksymalną +1 osiąga dla teta równego zero. Na rysunku b mamy funkcję cos of kąta teta plus phi w funkcji teta, przybierającego wartości od minus pi do dwóch pi. Funkcja zmienia się od -1 do +1, i osiąga maximum dla teta równego phi. Krzywa jest cosinusoidą, przesuniętą w prawo o phi.
Ilustracja 15.8 (a) Funkcja cosinus. (b) Funkcja cosinus przesunięta w prawo o kąt o wartości ϕ ϕ . Kąt ϕ ϕ określa przesunięcie fazowe funkcji.

Prędkość wykonującej ruch harmoniczny masy na sprężynie można wyznaczyć na podstawie pochodnej przemieszczenia względem czasu:

v ( t ) = d x d t = d d t ( A cos ( ω t + ϕ ) ) = A ω sin ( ω t + ϕ ) = v m a x sin ( ω t + ϕ ) . v(t)= d x d t = d d t (Acos(ωt+ϕ))=Aωsin(ωt+ϕ)= v m a x sin(ωt+ϕ).

Ze względu na to, że funkcja sinus zmienia się w zakresie od -1 do +1, to prędkość maksymalna jest iloczynem amplitudy i częstości kątowej ( v m a x = A ω v m a x =Aω ). Maksymalna prędkość występuje podczas przejścia przez położenie równowagi ( x = 0 ) ( x = 0 ) , kiedy masa porusza się w kierunku x = + A x = + A . Maksymalną prędkość w kierunku przeciwnym osiąga się w położeniu równowagi ( x = 0 ) ( x = 0 ) , kiedy masa porusza się w kierunku x = A x = A i wynosi v max v max .

Przyspieszenie masy na sprężynie można wyznaczyć z pochodnej prędkości względem czasu:

a ( t ) = d v d t = d d t ( A ω sin ( ω t + ϕ ) ) = A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = a m a x cos ( ω t + ϕ ) . a(t)= d v d t = d d t (Aωsin(ωt+ϕ))=A ω 2 cos(ωt+ϕ)= a m a x cos(ωt+ϕ).

Wprowadziliśmy oznaczenie a max = A ω 2 a max = A ω 2 . W położeniu x = A x = A przyspieszenie ciała osiąga maksymalną wartość bezwzględną, która wynosi a max a max .

Podsumowanie wzorów opisujących ruch harmoniczny

Podsumowując, ruch drgający masy na sprężynie może być opisywany następującymi równaniami:

x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ )
15.3
v ( t ) = v max sin ( ω t + ϕ ) v ( t ) = v max sin ( ω t + ϕ )
15.4
a ( t ) = a max cos ( ω t + ϕ ) a ( t ) = a max cos ( ω t + ϕ )
15.5
x max = A x max = A
15.6
v max = A ω v max = A ω
15.7
a max = A ω 2 . a max = A ω 2 .
15.8

W tym przypadku A A jest amplitudą ruchu, T T jest okresem drgań, ϕ ϕ jest przesunięciem fazowym, a ω = 2 π T = 2 π f ω = 2 π T = 2 π f jest częstością kołową ruchu klocka.

Przykład 15.2

Wyznaczanie wyrażeń opisujących ruch klocka na sprężynie

Klocek o masie 2 kg umieszczono na idealnie gładkiej powierzchni, a tarcie nie wpływa na ruch klocka. Sprężynę o współczynniku sprężystości k = 32,00 N / m k = 32,00 N / m przymocowano do klocka, a jej przeciwny koniec przyczepiono do ściany. Sprężyna może ulec skróceniu lub rozciągnięciu. Położenie równowagi układu oznaczono jako x = 0,00 m x = 0,00 m .

Praca wykonana nad klockiem powoduje jego przesunięcie do położenia x = + 0,02 m x = + 0,02 m . Klocek puszczono swobodnie, powodując jego oscylacje w zakresie wartości przemieszczeń pomiędzy x = + 0,02 m x = + 0,02 m a x = −0,02 m x = −0,02 m . Okres drgań wynosi 1,57 s. Wyznacz wyrażenia opisujące ruch.

Strategia rozwiązania

Najpierw wyznaczamy wartość częstości kołowej. Przesunięcie fazowe jest zerowe, ϕ = 0,00 rad ϕ = 0,00 rad , ponieważ ruch klocka zaczyna się w położeniu x = A = + 0,02 m x = A = + 0,02 m . Po wyznaczeniu częstości kątowej możemy określić maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia klocka.

Rozwiązanie

Częstość kątową możemy wyznaczyć, a następnie użyć do wyliczenia maksymalnych wartości prędkości i przyspieszenia:
ω = 2 π 1,57 s = 4,00 1 s v m a x = A ω = 0,02 m 4,00 1 s = 0,08 m s a m a x = A ω 2 = 0,02 m ( 4,00 1 s ) 2 = 0,32 m s 2 . ω = 2 π 1,57 s = 4,00 1 s v m a x = A ω = 0,02 m 4,00 1 s = 0,08 m s a m a x = A ω 2 = 0,02 m ( 4,00 1 s ) 2 = 0,32 m s 2 .

Możemy więc zapisać następujące wyrażenia opisujące ruch masy:

x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) = 0,02 m cos ( 4,00 1 s t ) v ( t ) = v m a x sin ( ω t + ϕ ) = 0,08 m s sin ( 4,00 1 s t ) a ( t ) = a m a x cos ( ω t + ϕ ) = 0,32 m s 2 cos ( 4,00 1 s t ) . x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) = 0,02 m cos ( 4,00 1 s t ) v ( t ) = v m a x sin ( ω t + ϕ ) = 0,08 m s sin ( 4,00 1 s t ) a ( t ) = a m a x cos ( ω t + ϕ ) = 0,32 m s 2 cos ( 4,00 1 s t ) .

Znaczenie

Dla dowolnej chwili ruchu drgającego możemy określić położenie, prędkość i przyspieszenie. Ważne jest, aby przy korzystaniu z kalkulatora ustalić tryb rad (radiany) jako jednostkę miary kąta.

Okres i częstotliwość drgań masy na sprężynie

Jedną z cech ruchu harmonicznego klocka umocowanego do sprężyny jest to, że częstość kołowa, a więc okres i częstotliwość drgań, zależą tylko od masy i współczynnika sprężystości, a nie od innych czynników (np. od amplitudy drgań). Możemy więc skorzystać z prawa Hooke’a i drugiej zasady dynamiki Newtona F F = m a m a , aby znaleźć wzory na częstość kołową, częstotliwość i okres drgań.

Przyjrzyjmy się klockowi na sprężynie poruszającemu się po powierzchni bez tarcia. Na masę działają trzy siły: siła ciężkości, siła normalna i siła sprężystości. Siły, które działają prostopadle do powierzchni, to siła ciężkości i siła normalna, mające jednakowe wartości i przeciwne kierunki, a ich suma wynosi zero. Jedyną siłą, która działa równolegle do powierzchni, jest siła sprężystości, a więc siła wypadkowa jest równa sile wywieranej przez sprężynę na klocek:

F x = k x m a = k x m d 2 x d t 2 = k x d 2 x d t 2 = k m x . F x = k x m a = k x m d 2 x d t 2 = k x d 2 x d t 2 = k m x .

Podstawiając Równanie 15.3 i Równanie 15.5 w miejsce x x i a a otrzymujemy:

A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = k m A cos ( ω t + ϕ ) . A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = k m A cos ( ω t + ϕ ) .

Po wyłączeniu podobnych członów wyznaczamy częstość kołową:

ω = k m . ω = k m .
15.9

Częstość kołowa zależy jedynie od współczynnika sprężystości i masy klocka, a nie od amplitudy drgań. Wykorzystując wzór na częstość kołową ω = 2 π / T ω = 2 π / T otrzymujemy wzór na okres drgań:

T = 2 π m k . T = 2 π m k .
15.10

Okres drgań zależy tylko od masy klocka i współczynnika sprężystości. Im większa masa, tym dłuższy okres, a im sztywniejsza sprężyna, tym okres jest krótszy. Częstotliwość opisuje wzór:

f = 1 T = 1 2 π k m . f = 1 T = 1 2 π k m .
15.11

Drgania pionowe

Zgodnie z Ilustracją 15.9 do sprężyny zawieszonej pionowo przymocowano klocek. Zauważmy, że siła grawitacji zmienia położenie równowagi układu. Na klocek działają dwie siły: ciężar i siła sprężystości. Siła ciężkości jest stała, a siła sprężystości zmienia się wraz ze zmianą długości sprężyny. Klocek wykonuje ruch harmoniczny.

Rysunek przedstawia pionową sprężynę, zamocowaną do sufitu. Oś y jest skierowana w górę. Na rysunku a, który jest po lewej stronie, nie ma ciała zawieszonego na sprężynie. Dolny koniec sprężyny znajduje się w odległości y sub zero od podłogi. Na środkowym rysunku, b, na sprężynie zawieszone jest ciało o masie m. Górny koniec sprężyny znajduje się na tym samym poziomie co na rysunku a, ale sprężyna jest skrócona o odcinek delta y, stąd dolny koniec sprężyny znajduje się w odległości y sub 1 równej y sub zero minus delta y od podłogi. Na rysunku c, z prawej strony, siły działające na ciało to siła ciężaru, która wynosi mg i jest skierowana w dół oraz siła F sub s skierowana w górę, która wynosi k delta y, czyli k razy nawias, a w nawiasie y sub zero minus y sub 1.
Ilustracja 15.9 Sprężynę zawieszono pod sufitem. Po przyłączeniu klocka masa znajduje się w nowym położeniu równowagi; w punkcie tym siła ciężkości jest zrównoważona siłą sprężystości. (a) Sprężyna zwisa z sufitu; położenie równowagi oznaczono jako y o y o . (b) Masa, którą zamocowano na sprężynie, osiąga nowe położenie równowagi ( y 1 = y o Δ y y 1 = y o Δ y ), kiedy siła działająca na klocek równa się sile ciężkości. (c) Diagram dwóch sił działających na masę: siły ciężkości i siły sprężystości.

Gdy klocek osiąga położenie równowagi tak jak na Ilustracji 15.9, wartość siły sprężystości jest równa wartości siły ciężkości działającej na klocek F wyp = F s m g = 0 F wyp = F s m g = 0 , gdzie:

k ( Δ y ) = m g . k ( Δ y ) = m g .

Z rysunku możemy wywnioskować, że zmiana położenia wynosi Δ y = y 0 y 1 Δ y = y 0 y 1 , a zatem otrzymujemy:

k ( y 0 y 1 ) m g = 0 . k ( y 0 y 1 ) m g = 0 .

Jeżeli klocek przesuniemy w płaszczyźnie pionowej, a następnie powoli puścimy, to będzie oscylować wokół nowego położenia równowagi. Jak pokazano na Ilustracji 15.10, jeżeli położenie klocka określono w funkcji czasu, to dane tworzą funkcję okresową.

Jeśli klocek przesuniemy do pozycji y y, to siła wypadkowa wyniesie F wyp = k ( y y 0 ) m g = 0 F wyp = k ( y y 0 ) m g = 0 . Dla położenia równowagi zachodzi zależność m g = k Δ y = k y 0 k y 1 m g = k Δ y = k y 0 k y 1 , a zatem:

F wyp = k y k y 0 ( k y 0 k y 1 ) = k ( y y 1 ) . F wyp = k y k y 0 ( k y 0 k y 1 ) = k ( y y 1 ) .

Przypominamy, że y 1 y 1 jest położeniem równowagi, które możemy określić względem dowolnego punktu, może więc przykładowo wynosić 0 m 0 m . Wówczas siła wypadkowa wyniesie:

F w y p = k y m d 2 y d t 2 = k y . F w y p = k y m d 2 y d t 2 = k y .

Jest to więc zależność analogiczna do tej, którą wcześniej znaleźliśmy dla horyzontalnie drgającej masy na sprężynie. Działanie stałej siły grawitacji spowodowało jedynie zmianę położenia punktu równowagi. W związku z tym końcowe rozwiązanie powinno mieć taką samą postać jak dla klocka drgającego w poziomie: y ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) y ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Zauważmy też, że ruch możemy opisać funkcją cosinus lub sinus, ponieważ te dwie funkcje różnią się jedynie o wartość przesunięcia fazowego. Podobnie równania określające prędkość i przyspieszenie klocka drgającego pionowo mają postać identyczną jak wzory dla ruchu horyzontalnego.

Seria 10 rysunków, ilustrujących piłkę zamocowaną na pionowej sprężynie. Rysunki są rozmieszczone jeden obok drugiego. Pionowe położenia zostały oznaczone jako y = +A, y = 0 i y = -A i znajdują się po prawej stronie rysunku. Idąc od lewej do prawej: na rysunku najbardziej na lewo sprężyna jest ściśnięta, piłka znajduje się w położeniu y = +A. Na drugim rysunku piłka znajduje się w położeniu y = 0 i przemieszcza się w dół. Na trzecim rysunku sprężyna jest ściśnięta, piłka znajduje się w położeniu y = -A. Na czwartym rysunku piłka znajduje się w położeniu y = 0 i przemieszcza się w górę. Na piątym rysunku sprężyna jest ściśnięta, piłka jest w położeniu y = +A. Na szóstym rysunku piłka znajduje się w położeniu y = 0 i porusza się w dół. Na siódmym rysunku sprężyna jest rozciągnięta i piłka znajduje się w położeniu y = -A. Na ósmym rysunku piłka znajduje się w położeniu y = 0 i porusza się w górę. Na dziewiątym rysunku sprężyna jest ściśnięta, a piłka znajduje się w położeniu y = +A. Na dzisiątym rysunku piłka znajduje się w położeniu y = 0 i porusza się w górę. Poniżej tych rysunków znajduje się seria rysunków ułożonych pionowo. Górny rysunek to wykres położenia w funkcji czasu. Na osi pionowej mamy położenie y, którego wartości zmieniają się między –A a +A. Oś pozioma to czas t, wyskalowana w T. Wartość y=+A występuje dla t=0, liczba drgań to 2 i 1/4. Pozioma odległość między maksimami funkcji wynosi T, a pionowa odległość pomiędzy poziomymi osiami a maximum jest oznaczona jako amplituda A. Środkowy rysunek przedstawia wykres prędkości w funkcji czasu. Oś pionowa to prędkość v, zakres prędkości wynosi od minus v sub max do v max. Pozioma oś to czas t, wyskalowana w T. Funkcja osiąga v=0 dla t=0 a liczba cykli wynosi 2 i 1/4. Dolny wykres przedstawia przyspieszenie w funkcji czasu. Oś pozioma to przyspieszenie a, które przybiera wartości między -a sub max do +a max. Oś pozioma to czas t, wyskalowana w T. Zaznaczone wartości to a równe minus a sub max i a równe a sub max, zaś liczba cykli wynosi 2 i 1/4. Poniżej tych wykresów znajdują się trzy rysunki przedstawiające piłkę na sprężynie. Po prawej stronie zaznaczono położenia y = +A, y=0 i y = -A. Na górnym rysunku po lewej stronie widać rękę trzymającą piłkę, długość sprężyny jest oznaczona jako długość sprężyny nieodkształconej. To położenie znajduje się powyżej y = +A. Na środkowym rysunku piłka nie jest trzymana i znajduje się w położeniu opisanym jako położenie równowagi. To położenie to y = 0. Na rysunku po prawej stronie piłka jest pokazana w czterech różnych położeniach. Te położenia to y = +A, nieco powyżej y = 0, nieco poniżej y = 0 i y = -A.
Ilustracja 15.10 Wykresy y ( t ) y ( t ) , v ( t ) v ( t ) i a ( t ) a ( t ) w funkcji czasu t t dla pionowych drgań kuli na sprężynie. Siłę wypadkową działającą na kulę można opisać prawem Hooke'a, więc kula porusza się ruchem harmonicznym. Należy zauważyć, że początkowe położenie osiąga wartość maksymalną A A ; v v jest początkowo zerowa, a następnie staje się ujemna, kiedy kula porusza się w dół. Początkowe przyspieszenie jest ujemne, następnie kula przesuwając się do położenia równowagi, osiąga zerową wartość przyspieszenia.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.