15.1 Ruch harmoniczny

Okres i częstotliwość drgań

W ruchu periodycznym okresem (ang. period), oznaczanym $T$, nazywamy czas wykonania jednego pełnego drgania. Za jednostkę okresu przyjmujemy zazwyczaj sekundę, ale może być on wyrażony w innej jednostce czasu (np. minuta, godzina,…). Słowo „okres” oznacza też czas trwania jakiegoś zdarzenia, które może się powtarzać (ale nie musi). W tym podrozdziale zajmiemy się przede wszystkim ruchem okresowym, który z definicji jest ruchem powtarzalnym.

Pojęciem ściśle związanym z okresem jest częstotliwość. Częstotliwość (ang. frequency), oznaczaną $f$, określa się jako liczbę zdarzeń na jednostkę czasu. Dla ruchu periodycznego częstotliwość to liczba drgań (oscylacji) w jednostce czasu. Zależność między częstotliwością i okresem określa następujący wzór:

W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). 1 Hz określa się jako jeden cykl na sekundę:

Cykl to jedno pełne drgnienie (ang. pulse).

Charakterystyka ruchu harmonicznego

Bardzo powszechnym ruchem periodycznym jest ruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion). Układem, który swobodnie oscyluje i wykonuje ruch harmoniczny, jest oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator).

Dobrym przykładem ruchu harmonicznego jest klocek o masie $m$ przymocowany do nieważkiej sprężyny i poruszający się po powierzchni bez tarcia, tak jak pokazano na Ilustracji 15.3. Masa wykonuje drgania wokół położenia równowagi, a siła wypadkowa działająca na obiekt jest równa sile wywieranej przez sprężynę. Siła ta spełnia prawo Hooke’a $F_s=\text{−}kx,$ zgodnie z treścią poprzedniego rozdziału.

Jeżeli siłę wypadkową można opisać przez prawo Hooke'a i nie zachodzi tłumienie (spowalniające ruch ze względu na tarcie lub inną siłę niezachowawczą), to oscylator harmoniczny wykonuje drgania. Zakres wartości przemieszczeń po obu stronach względem położenia równowagi jest podobny, tak jak pokazano na Ilustracji 15.3. Maksymalne przemieszczenie względem położenia równowagi nazywamy amplitudą ($A$). Jednostki amplitudy i przesunięcia są takie same, ale zależą od rodzaju drgań. W przypadku klocka na sprężynie jednostki amplitudy i przemieszczenia wyraża się w metrach.

Ilustracja 15.3 Dobrym przykładem oscylatora harmonicznego jest klocek przymocowany do sprężyny. Drugi koniec sprężyny przytwierdzono do ściany. Klocek porusza się po powierzchni bez tarcia. Położenie masy, gdy sprężyna nie jest ani rozciągnięta ani ściśnięta, oznaczono jako $x=0$. Położenie to określa również stan równowagi. (a) Klocek przesunięto do położenia $x=A$, po czym swobodnie go puszczono. (b) Klocek przyspiesza i przemieszcza się w kierunku przeciwnym do zwrotu $x$ i osiąga maksymalną ujemną prędkość w punkcie $x=0$. (c) Klocek kontynuuje ruch w ujemnym kierunku $x$, zmniejszając swoją prędkość aż do zatrzymania się w punkcie $x=\text{−}A$. (d) Klocek, poruszając się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$, przyspiesza i osiąga maksymalną prędkość w punkcie $x=0$. (e) Klocek kontynuuje ruch w kierunku dodatnim i zatrzymuje się w punkcie $x=A$. Ruch harmoniczny klocka ma amplitudę $A$ i okres drgań $T$. Maksymalna prędkość klocka występuje, gdy przechodzi on przez punkt równowagi. Zastosowanie sztywniejszej sprężyny skróciłoby okres $T$ drgań. Przy zwiększeniu masy klocka nastąpiłoby wydłużenie okresu $T$ drgań.

W ruchu harmonicznym okres $T$ i częstotliwość $f$ drgań oscylatora harmonicznego nie zależą od amplitudy drgań, np. struna gitary oscyluje z taką samą częstotliwością zarówno przy mocnym, jak i delikatnym szarpnięciu.

Dwa ważne czynniki wpływają na okres drgań oscylatora harmonicznego: współczynnik sprężystości i masa układu drgającego. Układ z dużą wartością współczynnika sprężystości ($k$) ma krótszy okres drgań. Dzięki temu można, np. odpowiednio wybrać sztywność trampoliny. Im bardziej sztywna, tym szybciej oscyluje, a jej okres drgań jest krótszy. Okres zależy również od masy układu drgającego. Im układ ma większą masę, tym dłuższy jest okres drgań (np. ludzie o dużej masie oscylują na trampolinie z niższą częstotliwością niż ci o mniejszej masie). W rzeczywistości masa $m$ i współczynnik sprężystości $k$ są jedynymi czynnikami, które wpływają na okres i częstotliwość drgań w ruchu harmonicznym. Aby wyprowadzić wyrażenie na okres i częstotliwość drgań, musimy najpierw zdefiniować i przeanalizować równania ruchu.

Równania opisujące ruch harmoniczny

Przyjrzyjmy się klockowi przymocowanemu do sprężyny i poruszającemu się po stole bez tarcia (Ilustracja 15.4). Położenie równowagi (miejsce, w którym sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani ściśnięta) oznaczono jako $x=0$. W położeniu równowagi siła wypadkowa wynosi zero.

Ilustracja 15.4 Klocek przymocowano do sprężyny i umieszczono na stole, po którym może poruszać się bez tarcia. Położenie równowagi dla sprężyny nieodkształconej oznaczono jako $x=0$.

Przesuwamy klocek do położenia $x=+A$, wykonując przy tym pracę, a następnie go puszczamy. Maksymalną wartość położenia $x(A)$ nazywamy amplitudą ruchu drgającego. Klocek zaczyna oscylować w zakresie pomiędzy $x=+A$ a $x=\text{−}A$, gdzie $A$ to amplituda ruchu, a $T$ to okres drgań. Okres to czas trwania jednej oscylacji (cyklu). Ilustracja 15.5 przedstawia ruch klocka, który wykonał półtora drgania (cyklu) od momentu zwolnienia. Ilustracja 15.6 pokazuje wykres położenia klocka w funkcji czasu. Przebieg położenia w funkcji czasu możemy opisać funkcją cosinus o amplitudzie $A$ i okresie $T$. Wartości funkcji $\text{cos}\theta$ powtarzają się co każdą wielokrotność $2\pi$, natomiast ruch klocka – co jeden okres $T$. Zauważmy, że wartości funkcji $\cos (2\pi t\text{/}T)$ powtarzają się dla każdej chwili $t$ będącej wielokrotnością okresu drgań. Maksimum wartości funkcji cosinus wynosi jeden, dlatego konieczne jest pomnożenie tej funkcji przez amplitudę $A$.

Przypomnijmy, że w rozdziale opisującym ruch po okręgu częstość kątową określiliśmy jako $\omega =\mathrm{d}\theta \text{/}\mathrm{d}t$. W rozważanym przypadku wartość okresu drgań jest stała, a więc częstość kątową (kołową) definiuje się jako $2\pi$ podzielone przez wartość okresu drgań $\omega =2\pi \text{/}T$.

Ilustracja 15.5 Klocek umieszczono na stole i przymocowano do jednego końca sprężyny. Drugi koniec sprężyny przymocowano do ściany. Klocek porusza się bez tarcia. Położenie równowagi, dla którego siła wypadkowa równa się zero, oznaczono jako $x=0\text{m}$. Przesuwamy klocek do położenia w punkcie $x=+A$, następnie puszczamy go swobodnie. Masa oscyluje w zakresie położeń pomiędzy $x=+A$ a $x=\text{−}A$. Siłę wypadkową działającą na klocek pokazano w postaci wektora.

Ilustracja 15.6 Wykres położenia klocka z Ilustracji 15.5 w funkcji czasu. Przebieg położenia można modelować funkcją okresową taką jak sinus albo cosinus.

Wyrażenie przedstawiające położenie jako funkcję czasu $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t\right)$ jest dobrym modelem opisującym sytuację, w której położenie klocka w chwili początkowej $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ jest równe amplitudzie $A$, a prędkość początkowa wynosi zero. Przykładowe dane eksperymentalne najprawdopodobniej wykażą, że położenie masy w chwili początkowej $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ nie jest równe amplitudzie, a prędkość początkowa jest różna od zera. Rozważmy zbiór danych zebranych przez studenta w laboratorium dla 10 sekund ruchu, który przedstawiono na Ilustracji 15.7.

Ilustracja 15.7 Dane przedstawiają położenie klocka przymocowanego do sprężyny. Student rejestrował dane w laboratorium, posługując się dalmierzem akustycznym. Dane dla chwili $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ pokazują, że początkowe położenie klocka wynosi $x\approx -\mathrm{0,80}\text{cm}\ne \mathrm{3,00}\text{cm}$, zatem początkowe położenie nie jest równe amplitudzie $x_0=+A$. Prędkość jest pochodną przemieszczenia względem czasu, stąd można ją obliczyć z nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie. W chwili początkowej wartość kąta nachylenia stycznej nie jest równa zeru, więc prędkość nie wynosi $v=\mathrm{0,00}\text{m/s}$ w chwili $t=\mathrm{0,00}\text{s}$.

Dane na Ilustracji 15.7 można opisywać funkcją periodyczną taką jak funkcja cosinus, którą na wykresie przesunięto w prawo. To przesunięcie znane jest jako przesunięcie fazowe i zwykle oznacza się je grecką literą fi $(\varphi )$. Przemieszczenie jako funkcję czasu dla danego klocka na sprężynie opisuje wzór:

Ten uogólniony wzór opisuje ruch harmoniczny, gdzie $t$ oznacza czas mierzony w sekundach, $\omega$ jest częstością kołową mierzoną w radianach na sekundę $(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s})$, $A$ jest amplitudą mierzoną w metrach lub centymetrach, a $\varphi$ jest przesunięciem fazowym wyrażonym w radianach (Ilustracja 15.8). Należy zauważyć, że skoro funkcje sinus i cosinus różnią się jedynie o przesunięcie fazowe, to ruch harmoniczny może być modelowany zarówno przy użyciu funkcji cosinus, jak i sinus.

Ilustracja 15.8 (a) Funkcja cosinus. (b) Funkcja cosinus przesunięta w prawo o kąt o wartości $\varphi$. Kąt $\varphi$ określa przesunięcie fazowe funkcji.

Prędkość wykonującej ruch harmoniczny masy na sprężynie można wyznaczyć na podstawie pochodnej przemieszczenia względem czasu:

Ze względu na to, że funkcja sinus zmienia się w zakresie od -1 do +1, to prędkość maksymalna jest iloczynem amplitudy i częstości kątowej ($v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=A\omega$ ). Maksymalna prędkość występuje podczas przejścia przez położenie równowagi $\left(x=0\right)$, kiedy masa porusza się w kierunku $x=+A$. Maksymalną prędkość w kierunku przeciwnym osiąga się w położeniu równowagi $\left(x=0\right)$, kiedy masa porusza się w kierunku $x=\text{−}A$ i wynosi $\text{−}{v}_{\text{max}}$.

Przyspieszenie masy na sprężynie można wyznaczyć z pochodnej prędkości względem czasu:

Wprowadziliśmy oznaczenie $a_{\text{max}}=A{\omega }^2$. W położeniu $x=\text{−}A$ przyspieszenie ciała osiąga maksymalną wartość bezwzględną, która wynosi $\text{−}{a}_{\text{max}}$.

Podsumowanie wzorów opisujących ruch harmoniczny

Podsumowując, ruch drgający masy na sprężynie może być opisywany następującymi równaniami:

W tym przypadku $A$ jest amplitudą ruchu, $T$ jest okresem drgań, $\varphi$ jest przesunięciem fazowym, a $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$ jest częstością kołową ruchu klocka.

Okres i częstotliwość drgań masy na sprężynie

Jedną z cech ruchu harmonicznego klocka umocowanego do sprężyny jest to, że częstość kołowa, a więc okres i częstotliwość drgań, zależą tylko od masy i współczynnika sprężystości, a nie od innych czynników (np. od amplitudy drgań). Możemy więc skorzystać z prawa Hooke’a i drugiej zasady dynamiki Newtona $\overrightarrow{F}$=$m\overrightarrow{a}$, aby znaleźć wzory na częstość kołową, częstotliwość i okres drgań.

Przyjrzyjmy się klockowi na sprężynie poruszającemu się po powierzchni bez tarcia. Na masę działają trzy siły: siła ciężkości, siła normalna i siła sprężystości. Siły, które działają prostopadle do powierzchni, to siła ciężkości i siła normalna, mające jednakowe wartości i przeciwne kierunki, a ich suma wynosi zero. Jedyną siłą, która działa równolegle do powierzchni, jest siła sprężystości, a więc siła wypadkowa jest równa sile wywieranej przez sprężynę na klocek:

Podstawiając Równanie 15.3 i Równanie 15.5 w miejsce $x$ i $a$ otrzymujemy:

Po wyłączeniu podobnych członów wyznaczamy częstość kołową:

Częstość kołowa zależy jedynie od współczynnika sprężystości i masy klocka, a nie od amplitudy drgań. Wykorzystując wzór na częstość kołową $\omega =2\pi \text{/}T$ otrzymujemy wzór na okres drgań:

Okres drgań zależy tylko od masy klocka i współczynnika sprężystości. Im większa masa, tym dłuższy okres, a im sztywniejsza sprężyna, tym okres jest krótszy. Częstotliwość opisuje wzór:

Drgania pionowe

Zgodnie z Ilustracją 15.9 do sprężyny zawieszonej pionowo przymocowano klocek. Zauważmy, że siła grawitacji zmienia położenie równowagi układu. Na klocek działają dwie siły: ciężar i siła sprężystości. Siła ciężkości jest stała, a siła sprężystości zmienia się wraz ze zmianą długości sprężyny. Klocek wykonuje ruch harmoniczny.

Ilustracja 15.9 Sprężynę zawieszono pod sufitem. Po przyłączeniu klocka masa znajduje się w nowym położeniu równowagi; w punkcie tym siła ciężkości jest zrównoważona siłą sprężystości. (a) Sprężyna zwisa z sufitu; położenie równowagi oznaczono jako $y_o$. (b) Masa, którą zamocowano na sprężynie, osiąga nowe położenie równowagi ($y_1=y_o-\text{Δ}y$), kiedy siła działająca na klocek równa się sile ciężkości. (c) Diagram dwóch sił działających na masę: siły ciężkości i siły sprężystości.

Gdy klocek osiąga położenie równowagi tak jak na Ilustracji 15.9, wartość siły sprężystości jest równa wartości siły ciężkości działającej na klocek $F_{\text{wyp}}=F_{\text{s}}-mg=0$, gdzie:

Z rysunku możemy wywnioskować, że zmiana położenia wynosi $\text{Δ}y=y_0-y_1$, a zatem otrzymujemy:

Jeżeli klocek przesuniemy w płaszczyźnie pionowej, a następnie powoli puścimy, to będzie oscylować wokół nowego położenia równowagi. Jak pokazano na Ilustracji 15.10, jeżeli położenie klocka określono w funkcji czasu, to dane tworzą funkcję okresową.

Jeśli klocek przesuniemy do pozycji $y$, to siła wypadkowa wyniesie $F_{\text{wyp}}=k\left(y-y_0\right)-mg=0$. Dla położenia równowagi zachodzi zależność $mg=k\text{Δ}y=k{y}_0-k{y}_1$, a zatem:

Przypominamy, że $y_1$ jest położeniem równowagi, które możemy określić względem dowolnego punktu, może więc przykładowo wynosić $0\mathrm{m}$. Wówczas siła wypadkowa wyniesie:

Jest to więc zależność analogiczna do tej, którą wcześniej znaleźliśmy dla horyzontalnie drgającej masy na sprężynie. Działanie stałej siły grawitacji spowodowało jedynie zmianę położenia punktu równowagi. W związku z tym końcowe rozwiązanie powinno mieć taką samą postać jak dla klocka drgającego w poziomie: $y\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t+\varphi \right)$. Zauważmy też, że ruch możemy opisać funkcją cosinus lub sinus, ponieważ te dwie funkcje różnią się jedynie o wartość przesunięcia fazowego. Podobnie równania określające prędkość i przyspieszenie klocka drgającego pionowo mają postać identyczną jak wzory dla ruchu horyzontalnego.

Ilustracja 15.10 Wykresy $y(t)$, $v(t)$ i $a(t)$ w funkcji czasu $t$ dla pionowych drgań kuli na sprężynie. Siłę wypadkową działającą na kulę można opisać prawem Hooke'a, więc kula porusza się ruchem harmonicznym. Należy zauważyć, że początkowe położenie osiąga wartość maksymalną $A$ ; $v$ jest początkowo zerowa, a następnie staje się ujemna, kiedy kula porusza się w dół. Początkowe przyspieszenie jest ujemne, następnie kula przesuwając się do położenia równowagi, osiąga zerową wartość przyspieszenia.