William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać zjawiska z udziałem ciepła, jako formy przekazywania energii;
rozwiązywać problemy związane z wymianą ciepła.

Dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, że energia jest jednym z fundamentalnych pojęć fizyki. Ciepło (ang. heat) jest sposobem przekazywania energii spowodowanego różnicą temperatury i może zmieniać temperaturę ciała. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej w tym rozdziale, wymiana ciepła (ang. heat transfer) to przepływ energii z jednego miejsca lub materiału do innego w wyniku różnicy temperatur. Wymiana ciepła jest podstawą takich codziennych czynności jak gotowanie czy ogrzewanie mieszkania, ale także wielu bardziej skomplikowanych procesów przemysłowych. Jest także podstawą wszystkich innych tematów omawianych w tym rozdziale.

Wprowadzamy także pojęcie energii wewnętrznej, którą można zwiększyć lub zmniejszyć w wyniku wymiany ciepła. Omawiamy również inny sposób zwiększenia energii wewnętrznej układu, czyli poprzez wykonanie nad nim pracy. Rozpoczynamy w ten sposób badanie związku pomiędzy ciepłem a pracą. Związek ten jest podstawą działania silników oraz lodówek, ale jest także głównym zagadnieniem (oraz źródłem nazwy) termodynamiki.

Energia wewnętrzna i ciepło

Każdy układ cieplny posiada energię wewnętrzną (ang. internal energy), która jest sumą energii mechanicznych wszystkich cząsteczek układu. Energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury układu. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej w tym rozdziale, jeżeli dwa ciała o różnej temperaturze zostaną zetknięte ze sobą, to energia jest przekazywana od ciała cieplejszego do zimniejszego do momentu, gdy uzyskają równowagę cieplną (czyli ich temperatury się wyrównają). Żadne z ciał nie wykonuje pracy, ponieważ nie działają na siebie wzajemnie siłami i nie przemieszczają się (jak zostało omówione w rozdziale Praca i energia kinetyczna). Te obserwacje pokazują, że ciepło jest spontanicznym przekazywaniem energii z powodu różnicy temperatur. Ilustracja 1.9 pokazuje przykład wymiany ciepła.

Rysunek a przedstawia puszkę z sodą w temperaturze T1 i kostkę lodu, znajdującej się w pewnej odległości od niej, w temperaturze T2. T1 is większa od T2. Rysunek b pokazuje puszkę i kostkę lodu, które stykają się ze sobą. Obie mają temperaturę T prim.

Ilustracja 1.9 (a) Napój ma wyższą temperaturę niż lód, zatem ciała te nie są w równowadze cieplnej. (b) Kiedy napój i lód mogą oddziaływać na siebie, ciepło jest przekazywane od napoju do lodu z powodu różnicy temperatur aż do momentu, gdy osiągną tę samą temperaturę

T^{'}

, dochodząc do równowagi termicznej. W rzeczywistości skoro zarówno napój, jak i lód oddziałują z powietrzem, to końcowa temperatura równowagi będzie taka sama jak temperatura powietrza.

Znaczenie słowa ciepło w fizyce różni się od jego znaczenia w mowie potocznej. Na przykład w czasie upałów moglibyśmy powiedzieć „jest strasznie ciepło!”, ale poprawnie z punktu widzenia fizyki musielibyśmy powiedzieć, że „jest bardzo wysoka temperatura”. Ciepło jest formą przepływu energii, ale temperatura już nie. Nawiasem mówiąc – ludzka skóra reaguje na przepływ ciepła, a nie na temperaturę dotykanego przedmiotu.

Skoro ciepło jest formą przekazywania energii, jego jednostką w układzie SI jest dżul ( $J$ ). Inną popularną jednostką energii jest kaloria $\si{\calorie}$ (ang. calorie), zdefiniowana jako ilość energii potrzebna do zmiany temperatury $1 g$ wody o $1 ° C$ , a dokładnie pomiędzy $14,5 ° C$ a $15,5 ° C$ , ponieważ zachodzi subtelna zależność ilości przekazywanego ciepła od temperatury przedmiotu, który je odbiera. Często także używa się jednostki kilokaloria $\si{\kilo\calorie}$ (ang. kilocalorie), która określa ilość ciepła potrzebną do ogrzania $1 kg$ wody o $1 ° C$ . Jako że zwykle masę podajemy w kilogramach, kilokaloria jest wygodną jednostką energii. Co ciekawe, potocznie mówimy, że tabliczka czekolady ma 530 „kalorii”. Precyzyjna wypowiedź wymaga jednak użycia prawidłowej jednostki $\si{\kilo\calorie}$ . Warto więc pamiętać, że tak naprawdę 100 gramów czekolady ma 530 kilokalorii. Podobnie godzina spędzona na siłowni (szczęśliwie) pozwoli nam spalić około 500 kilokalorii, a nie 500 kalorii.

Mechaniczny równoważnik ciepła

Okazuje się, że możliwa jest także zmiana temperatury substancji w wyniku wykonania pracy, która przekazuje energię do układu lub ją z niego zabiera. To odkrycie pomogło ustalić, że ciepło jest formą energii. James Prescott Joule (1818–1889) przeprowadził wiele eksperymentów, by wyznaczyć mechaniczny równoważnik ciepła (ang. mechanical equivalent of heat) – pracę potrzebną, aby wytworzyć takie same efekty jak wymiana ciepła. W jednostkach używanych do opisu tych dwóch równoważnych wielkości wartość tego przelicznika wynosi

1 kcal = 4186 J .

Równanie to reprezentuje przekształcenie pomiędzy dwiema jednostkami energii (inne wartości liczbowe, które można znaleźć w literaturze, odnoszą się do kalorii zdefiniowanej w zakresie temperatur innym niż od $14,5 ° C$ do $15,5 ° C$ ).

Ilustracja 1.10 pokazuje jedno z najsłynniejszych stanowisk pomiarowych służących do pokazania, że praca i ciepło dają takie same rezultaty, oraz do zmierzenia mechanicznego równoważnika ciepła. Dzięki niemu Joule wykazał także słuszność zasady zachowania energii. W doświadczeniu tym energia potencjalna grawitacji ( $E_{p}$ ) zamieniała się w energię kinetyczną ( $E_{k}$ ), a następnie z powodu lepkości cieczy i powstających w niej turbulencji zwiększała średnią energię kinetyczną atomów i cząsteczek, powodując wzrost jej temperatury. Wkład Joule’a w termodynamikę był na tyle znaczący, że jednostka energii w układzie SI została nazwana od jego nazwiska.

Odizolowany cylindryczny zbiornik wypełniony jest wodą o znanej objętości. Zanurzony jest w nim pionowy pręt. Posiada on wiosła mogące mieszać wodę jeżeli pręt wprawiony jest w ruch rotacyjny. Górna część pręta znajduje się poza wodą. Pręt jest ciasno opasany sznurkiem a do obu jego końców przymocowane są wielokrążki utrzymujące ciężarki po obu jego stronach. Dźwignia na górze służy do obracania prętem. W wodzie umocowany jest termometr. Odległość od środka ciężarka do wiosła u podstawy zbiornika wyrażona jest poprzez wzrost obniżenia.

Ilustracja 1.10 Eksperyment Joule’a udowodnił równoważność ciepła i pracy. Ciężarki, opadając, poruszały łopatkami i powodowały wykonanie przez nie pracy

W = m g h

, związanej z mieszaniem wody. W wyniku tego temperatura wody wzrosła o

Δ T

, co pokazał termometr. Joule wykazał, że

Δ T

była proporcjonalna do

W

i w ten sposób wyznaczył mechaniczny równoważnik ciepła.

Zwiększenie energii wewnętrznej przez wymianę ciepła daje identyczne rezultaty jak jej zwiększenie poprzez pracę. Nawet jeżeli układ ma dobrze zdefiniowaną energię wewnętrzną, to określenie, jaką jej część uzyskał on w wyniku wymiany ciepła, a jaką w wyniku wykonania pracy, jest niemożliwe. Wielkość, która zależy wyłącznie od aktualnego stanu, w jakim znajduje się układ, a nie zależy od jego historii, nazywana jest funkcją stanu (ang. state function). Takimi funkcjami stanu są temperatura i energia wewnętrzna. Ciepło i praca nie są funkcjami stanu.

Warto zaznaczyć, że zwiększanie energii wewnętrznej układu nie zawsze musi oznaczać wzrost jego temperatury. Jak dowiemy się w następnym dziale, podczas przejścia substancji z jednego stanu skupienia do innego, jej temperatura pozostaje stała. Przykładem może być topnienie lodu w wyniku pobrania ciepła lub wykonania pracy przeciwko siłom tarcia, kiedy pocieramy kostką lodu o szorstką powierzchnię.

Zmiana temperatury i pojemność cieplna

Zauważyliśmy, że wymiana ciepła często powoduje zmianę temperatury. Eksperymenty pokazują, że jeżeli w układzie nie zachodzą przemiany fazowe ani nie jest wykonywana praca przez układ lub nad układem, to z reguły przekazane ciepło jest wprost proporcjonalne do zmiany temperatury i do masy układu (poniżej pokazujemy, jak traktować sytuacje, gdy to przybliżenie nie jest spełnione). Stała proporcjonalności zależy od substancji i od jej fazy: inna jest dla fazy gazowej, cieczy oraz dla ciała stałego. Pomijamy czwarty stan skupienia – plazmę, ponieważ mimo iż jest to najczęściej spotykany stan skupienia we Wszechświecie, to na Ziemi występuje rzadko i jest nietrwały.

Obserwacje te będą zrozumiałe, jeżeli zauważymy, że przekazane ciepło równoważne jest zmianie energii wewnętrznej, która jest całkowitą energią cząsteczek. W typowych warunkach całkowita energia kinetyczna cząsteczek $E_{k cał}$ jest stałą częścią energii wewnętrznej (wyjątki od tej reguły poznamy w następnym rozdziale). Średnia energia kinetyczna cząsteczki $E_{k śr}$ jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej. Dlatego zmiana energii wewnętrznej układu jest zazwyczaj proporcjonalna do zmiany temperatury układu oraz liczby cząsteczek $N$ . Matematycznie: $Δ U \propto Δ E_{k cał} = N Δ E_{k śr} \propto N Δ T$ . Zależność od rodzaju substancji w znacznej części związana jest z różną masą atomów i cząsteczek. Pojemność cieplna substancji zależy od jej masy, ale, jak dowiemy się w następnym rozdziale, w niektórych przypadkach dla różnych substancji wartości pojemności cieplnej przypadającej na jedną cząsteczkę są do siebie zbliżone. Zależność od rodzaju substancji oraz fazy, w jakiej się znajduje, wynika także z różnic w energii potencjalnej związanej z oddziaływaniami między atomami i cząsteczkami.

Wymiana ciepła i zmiana temperatury

Stosowane w praktyce przybliżenie relacji między przekazanym ciepłem a zmianą temperatury wygląda następująco

\prefop{\Delta} Q = mc\prefop{\Delta} T \text{,}

1.5

gdzie $\prefop{\Delta} Q$ oznacza przekazane ciepło, $m$ to masa substancji, a $Δ T$ to zmiana temperatury. Współczynnik $c$ nosi nazwę ciepła właściwego (ang. specific heat) i zależy od substancji i jej fazy. Ciepło właściwe jest liczbowo równe ilości ciepła potrzebnej do zmiany temperatury $1 kg$ substancji o $1 ° C$ . Jednostką ciepła właściwego w układzie SI jest $J ∕ (kg K)$ (jak pamiętamy, zmiana temperatury $Δ T$ jest taka sama zarówno w kelwinach, jak i w stopniach Celsjusza).

Wartości ciepła właściwego muszą zostać zmierzone doświadczalnie, ponieważ nie ma łatwego sposobu, by obliczyć je w sposób dokładny. W Tabeli 1.3 zebrano przykładowe wartości ciepła właściwego różnych substancji. Można zauważyć, że ciepło właściwe wody jest pięć razy większe niż szkła i dziesięć razy większe niż żelaza. Oznacza to, że chcąc podgrzać taką samą masę substancji, dla wody potrzeba pięć razy więcej ciepła niż dla szkła i dziesięć razy więcej niż dla żelaza. W rzeczywistości woda ma jedną z największych wartości ciepła właściwego spośród innych znanych substancji, co ma bardzo duże znaczenie dla podtrzymania życia na Ziemi.

Ciepło właściwe gazów zależne jest od tego, który parametr w czasie podgrzewania utrzymywany jest w stałej wielkości. Zwykle jest to objętość lub ciśnienie. W podanej tabeli pierwsza wartość ciepła właściwego gazów zmierzona została przy stałej objętości, a druga (w nawiasie) przy stałym ciśnieniu. Powrócimy do tego tematu w rozdziale na temat kinetycznej teorii gazów.

Substancja	Ciepło właściwe ( $c$ )
Ciała stałe	$J ∕ (kg ° C)$	$kcal ∕ (kg ° C)$ ¹
Aluminium	$900$	$0,215$
Azbest	$800$	$0,19$
Beton, granit (średnio)	$840$	$0,2$
Miedź	$387$	$0,0924$
Szkło	$840$	$0,2$
Złoto	$129$	$0,0308$
Ludzkie ciało (średnio w $37 ° C$ )	$3500$	$0,83$
Lód (średnio, $- 50 ° C$ do $0 ° C$ )	$2090$	$0,5$
Żelazo, stal	$452$	$0,108$
Ołów	$128$	$0,0305$
Srebro	$235$	$0,0562$
Drewno	$1700$	$0,4$
Ciecze
Benzen	$1740$	$0,415$
Etanol	$2450$	$0,586$
Gliceryna	$2410$	$0,576$
Rtęć	$139$	$0,0333$
Woda ( $15 ° C$ )	$4186$	$1$
Gazy ²
Powietrze (suche)	$721 (1015)$	$0,172 (0,242)$
Amoniak	$1670 (2190)$	$0,399 (0,523)$
Dwutlenek węgla	$638 (833)$	$0,152 (0,199)$
Azot	$739 (1040)$	$0,177 (0,248)$
Tlen	$651 (913)$	$0,156 (0,218)$
Para wodna ( $100 ° C$ )	$1520 (2020)$	$0,363 (0,482)$

Tabela 1.3 Ciepło właściwe różnych substancji³.

Ciepło właściwe zależy od temperatury, dlatego precyzyjna definicja $c$ dla danej substancji musi zostać podana dla infinitezymalnej zmiany temperatury. Aby to osiągnąć, piszemy $c=(1/m)\cdot(\prefop{\Delta}Q/\prefop{\Delta}T)$ i zamieniamy $Δ$ na $d$

c = \frac{1}{m} \cdot \frac{d Q}{d T} .

W przypadku większości substancji, z wyjątkiem gazów, w zakresach temperatury bliskich temperaturze pokojowej zależność ciepła właściwego od temperatury i objętości jest niewielka. Dlatego będziemy przyjmować, że wartości ciepła właściwego podane w tabeli są stałe.

Przykład 1.5

Obliczanie ciepła potrzebnego do ogrzania substancji

Półkilogramowy aluminiowy rondel wypełniony

0,25 l

wody stoi na piecu i jest ogrzewany od temperatury

20 ° C

do

80 ° C

.

Jaką ilość ciepła należy dostarczyć do podgrzania wody?
Jaką ilość ciepła należy dostarczyć do podgrzania rondla?
Jaką ilość ciepła należy dostarczyć do układu w tym procesie i jaki procent ciepła użyty zostanie do podgrzania wody?

Strategia rozwiązania

Możemy założyć, że temperatury rondla i wody zawsze są sobie równe. Umieszczając rondel z wodą na kuchence, zwiększamy temperaturę naczynia i jego zawartości o taką samą wartość. Korzystamy z równania opisującego przepływ ciepła dla podanej zmiany temperatury oraz podanych mas wody i aluminium. Wartości ciepła właściwego dla wody i aluminium odczytujemy z Tabeli 1.3.

Rozwiązanie

Obliczamy zmianę temperatury
$\prefop{\Delta} T = T_{\text{k}} - T_{\text{p}} = \SI{60}{\celsius} \text{.}$
Obliczamy masę wody. Skoro gęstość wody to $1000 kg ∕ m^{3}$ , to $1 l$ wody ma masę $1 kg$ , a masa $0,25 l$ wody to $m_{w} = 0,25 kg$ . Obliczamy ilość ciepła dostarczonego do wody. Korzystamy z wartości ciepła właściwego wody podanej w Tabeli 1.3
$\prefop{\Delta} Q_{\text{w}} = m_{\text{w}} c_{\text{w}} \prefop{\Delta} T = \SI{0,25}{\kilo\gram} \cdot \SI{4186}{\joule\per\kilo\gram\per\celsius} \cdot \SI{60}{\celsius} = \SI{62,8}{\kilo\joule} \text{.}$
Obliczamy ciepło dostarczone do aluminium. Używamy wartości ciepła właściwego dla aluminium podanej w Tabeli 1.3
$\prefop{\Delta} Q_{\text{Al}} = m_{\text{Al}} c_{\text{Al}} \prefop{\Delta} T = \SI{0,5}{\kilo\gram} \cdot \SI{900}{\joule\per\kilo\gram\per\celsius} \cdot \SI{60}{\celsius} = \SI{27}{\kilo\joule} \text{.}$
Obliczamy całkowitą ilość dostarczonego ciepła
$\prefop{\Delta} Q_{\text{cał}} = \prefop{\Delta} Q_{\text{w}} + \prefop{\Delta} Q_{\text{Al}} = \SI{89,8}{\kilo\joule} \text{.}$

$\frac{\prefop{\Delta} Q_{\text{w}}}{\prefop{\Delta} Q_{\text{cał}}} = \frac{\SI{62,8}{\kilo\joule}}{\SI{89,8}{\kilo\joule}} = \num{0,699} = \SI{69,9}{\percent} \text{.}$

Znaczenie

Do ogrzania naczynia wykorzystano znaczną część, bo aż

\SI{30,1}{\percent}

, całkowitego ciepła dostarczonego do układu.Masa rondla jest co prawda dwukrotnie większa niż masa wody, ale ciepło właściwe wody jest czterokrotnie większe niż ciepło właściwe aluminium. Sumarycznie więc do podgrzania wody potrzeba ponad dwukrotnie więcej ciepła niż do podgrzania cięższego od niej aluminiowego naczynia.

Przykład 1.6 pokazuje przyrost temperatury wywołany w wyniku pracy (wynik będzie identyczny, jeśli tę samą ilość ciepła dostarczymy za pomocą podgrzania np. palnikiem, zamiast za pomocą pracy).

Przykład 1.6

Obliczanie wzrostu temperatury wynikającego z pracy wykonanej nad układem

Przy ograniczaniu prędkości ciężarówki jadącej z górki hamulce wykonują pracę, przekształcając energię mechaniczną na energię wewnętrzną tarczy i klocków hamulcowych (Ilustracja 1.11). Przeciwdziała to zamianie energii potencjalnej w energię kinetyczną ciężarówki. Ponieważ masa ciężarówki jest znacznie większa niż masa elementów tarczy i klocków hamulcowych, które absorbują tę energię, wzrost temperatury hamulców może być zbyt szybki, by sprawnie mogły oddać nadmiar ciepła do otoczenia. Inaczej mówiąc – hamulce mogą ulec przegrzaniu.

Ilustracja pokazująca ciężarówkę na drodze. Spod opon wydobywa się dym.

Ilustracja 1.11 Dymiące hamulce w hamującej ciężarówce są widocznym dowodem mechanicznego równoważnika ciepła.

Obliczmy wzrost temperatury układu hamulcowego o łącznej masie $10 kg$ , zbudowanego z materiału o średniej wartości ciepła właściwego $800 J ∕ (kg ° C)$ . Układ hamulcowy przejmuje $10 %$ energii ciężarówki o masie $10 000 kg$ zjeżdżającej ze stałą prędkością ze wzniesienia o wysokości $75 m$ .

Strategia rozwiązania

Obliczamy energię potencjalną grawitacji (

M g h

), którą ciężarówka traci, zjeżdżając ze wzniesienia; przyrównujemy ją do wzrostu energii wewnętrznej hamulców, a następnie obliczamy wzrost temperatury materiału hamulcowego.

Rozwiązanie

Najpierw obliczamy zmianę energii potencjalnej grawitacji ciężarówki po zjechaniu ze wzniesienia

M g h = 10 kg \cdot 9,8 m ∕ s^{2} \cdot 75 m = 7,35 \cdot 10^{6} J .

Ciężarówka zjeżdża ze stałą prędkością, a więc jej energia kinetyczna jest stała. Zasada zachowania energii mówi nam, że utracona energia potencjalna zostaje rozproszona, a tutaj załóżmy, że jej $10 %$ zostaje przekazane do układu hamulcowego. Mamy zatem $\prefop{\Delta} Q = Mgh / 10$ . Następnie obliczamy zmianę temperatury na podstawie ilości dostarczonego ciepła ze wzoru

\prefop{\Delta} T = \frac{\prefop{\Delta} Q}{mc} \text{,}

gdzie $m$ to masa materiału hamulców. Podstawiamy znane wartości i otrzymujemy

Δ T = \frac{7,35 \cdot 10^{5} J}{10 kg \cdot 800 J ∕ (kg ° C)} = 92 ° C .

Znaczenie

Jeżeli nasza ciężarówka poruszała się już od jakiegoś czasu, zanim zaczęła zjeżdżać ze wzniesienia, to zapewne temperatura hamulców była wyższa od temperatury otoczenia. Temperatura hamulców po zjechaniu z tak dużego wzniesienia mogłaby być bardzo duża, więc taki sposób hamowania nie jest praktyczny. Aby zapobiec przegrzaniu hamulców, kierowca ciężarówki użyje tzw. techniki hamowania silnikiem. Inny rodzaj konwersji energii zastosowano także ostatnio w samochodach o napędzie elektrycznym lub hybrydowym. Tam energię mechaniczną (potencjalną grawitacji i kinetyczną) zamienia się w energię elektryczną magazynowaną w akumulatorach. Proces ten nazywany jest hamowaniem rekuperacyjnym, czyli hamowaniem z odzyskiem energii.

Często rozważanym zagadnieniem jest sytuacja, gdy dwa ciała o różnych temperaturach odizolowujemy od otoczenia i stykamy jedno z drugim, żeby osiągnęły równowagę cieplną. Urządzenie, które umożliwia odizolowanie ciała od otoczenia poprzez ograniczenie przepływu ciepła pomiędzy jego wnętrzem a otoczeniem, nazywamy kalorymetrem (ang. calorimeter). Badanie pojemności cieplnej oraz ciepła właściwego substancji za pomocą kalorymetru nazywamy kalorymetrią (ang. calorimetry).

Żeby obliczyć temperaturę końcową po osiągnięciu przez odizolowany układ równowagi termicznej, należy pamiętać o tym, że ilość ciepła utraconego przez ciało o wyższej temperaturze zawsze równa jest ilości ciepła, jakie zyskało ciało o temperaturze niższej. Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy

\prefop{\Delta} Q_{\text{oddane}} + \prefop{\Delta} Q_{\text{pobrane}} = \SI{0}{\joule} \text{.}

1.6

Zapisujemy to wyrażenie jako sumę, ponieważ ciepło pobrane traktujemy jako dodatnie, natomiast ciepło oddane jako ujemne.

Przykład 1.7

Obliczanie końcowej temperatury ustalonej w kalorymetrze

Do ważącego

0,5 kg

, właśnie zdjętego z kuchenki, rondla mającego temperaturę

150 ° C

wlewamy

0,25 kg

(w przybliżeniu to około jednej szklanki) wody o temperaturze

20 ° C

. Jaka będzie temperatura układu woda-rondel, gdy osiągnie on równowagę? Rondel stoi na izolacyjnej podkładce. Pomijamy ciepło, które mogło zostać oddane do otoczenia. Załóżmy, że ciepło przepływa tylko między rondlem a wodą. Przyjmijmy także, że woda po wlaniu jej do rondla nie paruje.

Strategia rozwiązania

Na początku woda i rondel nie są w równowadze – garnek ma wyższą temperaturę niż woda. Po wlaniu wody do rondla ciepło z rondla zaczyna przepływać do wody. Przepływ ciepła kończy się w momencie osiągnięcia równowagi cieplnej pomiędzy wodą a rondlem. Zgodnie z podstawową zasadą kalorymetrii ciepło utracone przez rondel jest równe ciepłu, jakie uzyskała woda.

Rozwiązanie

Korzystamy z równania opisującego przepływ ciepła

\prefop{\Delta} Q = mc \prefop{\Delta} T

, aby zapisać ilość ciepła utraconego przez aluminiowy garnek w odniesieniu do jego masy, ciepła właściwego aluminium oraz jego temperatury początkowej i końcowej

\prefop{\Delta} Q_{\text{Al}} = m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}(T_{\text{k}}-\SI{150}{\celsius}) \text{.}

Zapisujemy podobnie ciepło uzyskane przez wodę

\prefop{\Delta} Q_{\text{w}} = m_{\text{w}}c_{\text{w}} (T_{\text{k}}-\SI{20}{\celsius}) \text{.}

Zauważamy, że ciepło $\prefop{\Delta} Q_{\text{Al}} < \SI{0}{\joule}$ , a $\prefop{\Delta} Q_{\text{w}} > \SI{0}{\joule}$ oraz że, jak wcześniej stwierdziliśmy, ich suma musi dać zero

\begin{align} \prefop{\Delta} Q_{\text{w}}+\prefop{\Delta} Q_{\text{Al}} &= \SI{0}{\joule} \text{,}\\ \prefop{\Delta} Q_{\text{w}} &=-\prefop{\Delta} Q_{\text{Al}} \text{,}\\ m_{\text{w}}c_{\text{w}}(T_{\text{k}}-\SI{20}{\celsius}) &=-m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}(T_{\text{k}}-\SI{150}{\celsius}) \text{.} \end{align}

Jest to równanie z jedną niewiadomą, którą jest temperatura końcowa układu $T_{k}$ . Rozwiązując je w celu wyznaczenia $T_{k}$ , otrzymujemy

T_{k} = \frac{m_{Al} c_{Al} \cdot 150 ° C + m_{w} c_{w} \cdot 20 ° C}{m_{Al} c_{Al} + m_{w} c_{w}} .

T_{k} = \frac{0,5 kg \cdot 900 J ∕ (kg ° C) \cdot 150 ° C + 0,25 kg \cdot 4186 J ∕ (kg ° C) \cdot 20 ° C}{0,5 kg \cdot 900 J ∕ (kg ° C) + 0,25 kg \cdot 4186 J ∕ (kg ° C)} = 59,1 ° C .

Znaczenie

Dlaczego temperatura końcowa jest znacznie bliższa

20 ° C

niż

150 ° C

? Przyczyną tego jest fakt, że woda ma znacznie większe ciepło właściwe niż większość powszechnie spotykanych substancji. Oznacza to, że jeśli dostarczymy tę samą ilość ciepła do kilograma wody oraz do kilograma wspomnianej substancji, to woda zawsze ogrzeje się słabiej. Aby w sposób zauważalny podnieść temperaturę znacznej ilości wody, np. takiej jaka znajduje się w jeziorze, należy dostarczyć bardzo dużo ciepła. To wyjaśnia, dlaczego temperatura wody w jeziorze pozostaje względnie stała w ciągu doby, mimo że wahania temperatury powietrza pomiędzy dniem a nocą są duże. Wyraźnie zauważalną zmianę temperatury tak dużej ilości wody, jaka jest w jeziorze, widać dopiero w dłuższej skali czasowej, np. pomiędzy latem a zimą. Na marginesie, różnice w nagrzewaniu się lądu i np. morza są przyczyną powstawania bryzy, a w większej skali huraganów.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.3

Jeżeli do zwiększenia temperatury kamienia z $25 ° C$ do $30 ° C$ potrzebne jest $25 kJ$ ciepła, to ile ciepła potrzeba, aby podgrzać go z $45 ° C$ do $50 ° C$ ?

Przykład 1.8

Zależność temperaturowa pojemności cieplnej

W bardzo niskich temperaturach ciepło właściwe ciał stałych jest proporcjonalne do trzeciej potęgi temperatury

T^{3}

. Pierwszym, który rzucił światło na wyjaśnienie tej zależności, był holenderski fizyk Peter Debye (1884–1966), który w 1912 roku opisał zjawiska oscylacji atomu za pomocą teorii kwantowej, której niewiele wcześniej Max Planck użył do opisania promieniowania. Dobrym przybliżeniem ciepła właściwego soli kuchennej (chlorku sodu – NaCl) jest

c = 3,33 \cdot 10^{4} J ∕ (kg K) \cdot {(T ∕ 321 K)}^{3}

. Stała

321 K

to temperatura Debye’a

Θ_{D}

(ang. Debye temperature) dla NaCl, a wzór daje dobre wyniki, gdy

T < 0,04 Θ_{D}

. Używając powyższego wzoru, obliczymy, ile ciepła potrzeba do podniesienia temperatury

24 g

NaCl z

5 K

do

15 K

.

Rozwiązanie

Ponieważ pojemność cieplna zależy od temperatury, musimy zastosować równanie

c = \frac{1}{m} \cdot \frac{d Q}{d T} .

Uzyskamy $Q$ , rozwiązując to równanie poprzez całkowanie obu jego stron: $Q = m \int_{T_{1}}^{T_{2}} c d T$ .

Następnie podstawiamy znane wartości i obliczamy całkę

\begin{multiline} Q &= \SI{0,024}{\kilo\gram} \int_{T_1}^{T_2} \SI{3,33e4}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin} \cdot (\frac{T}{\SI{321}{\kelvin}})^3 \d T \\ &= \SI{2,42e-5}{\joule\per\kelvin\super} \cdot \frac{1}{4} T \mid_{\SI{5}{\kelvin}}^{\SI{15}{\kelvin}} = \SI{0,302}{\joule} \text{.}\end{multiline}

Znaczenie

Gdybyśmy użyli równania

\prefop{\Delta}Q = mc\prefop{\Delta}T

oraz wartości ciepła właściwego dla soli w temperaturze pokojowej wynoszącej

\SI{880}{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}

, otrzymalibyśmy całkiem inny wynik.

Przypisy

1Wartości te są identyczne w jednostkach $cal ∕ (g ° C)$ .
2Ciepło właściwe przy stałej objętości i w temperaturze $20 ° C$ , chyba że zaznaczono inaczej, oraz pod ciśnieniem $1 atm$ . Wartości w nawiasach to ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu $1 atm$ .
3Wartości dla ciał stałych i dla cieczy podane są przy stałej objętości i temperaturze $25 ° C$ , chyba że zaznaczono inaczej.

1.4 Przekazywanie ciepła, ciepło właściwe i kalorymetria

Energia wewnętrzna i ciepło

Mechaniczny równoważnik ciepła

Zmiana temperatury i pojemność cieplna

Obliczanie ciepła potrzebnego do ogrzania substancji

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Obliczanie wzrostu temperatury wynikającego z pracy wykonanej nad układem

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Obliczanie końcowej temperatury ustalonej w kalorymetrze

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Zależność temperaturowa pojemności cieplnej

Rozwiązanie

Znaczenie

Przypisy